江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 概率、随机变量及其概率分布检测题
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 统计检测题
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 统计检测题知识梳理 1． 随机抽样抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值． 2． 总体分布、总体特征数的估计3． 用样本频率分布估计总体分布4． 样本平均数：x ＝1n(x 1＋x 2＋…＋x n )；样本方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．预习练习1． (2013·陕西改编)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为_____．2． (2013·福建改编)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6 组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为________．3． (2013·重庆改编)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)：已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为_______． 4． (2012·江西改编)样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y(x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中 0<α<12，则n ，m 的大小关系为________．5． (2013·江苏)运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．典型例题题型一 抽样方法例1 (1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2， (960)甲组乙组9 0 9x2 1 5 y8 7424分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________．（2）某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为____．题型二用样本估计总体例2(2012·广东)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5变式训练2 (1)某调查机构统计了某地100个新生婴儿的体重，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[3.2,4.0)(kg)的有________人．(2)某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为________；平均分为________．题型三茎叶图及其应用例3如图所示是一次歌咏大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a 2＋b 2的最小值是________.7 98 4 a6 b7 93变式训练3 (1)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，则x 甲___x乙，m 甲____m 乙．(填“>”或“<”)(2)如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在6次物理测试中由低到高的成绩(成绩为整数)，其中2个数字被污损．若甲、乙两人成绩的中位数相等，甲的极差比乙的极差小2，则甲、乙两人成绩的标准差s 甲与s 乙的大小关系为________．课后练习一、填空题1． 为了解一片大约10 000株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的树木大约有________株．2． 如图是2013年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1、a 2，则a 1，a 2的大小关系为________.3． (2013·江西改编)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第57816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 320492344935820036234869693874814． 学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)的同学有30人，若想在这n 个人中抽取50个人，则在[50,60)之间应抽取的人数为________．甲乙0 7 9 5 45518 4 4 6 4 7 m935． (2013·山东改编)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 则7个剩余分数的方差为________．6.如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温 的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．7．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如上表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s 2＝________.8．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．9．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________． 二、解答题10．(2013·安徽)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考的数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如下：9 4 0 1 0 x 9 1学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班67679(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1，x2，估计x1－x2的值．。
江苏省宿迁市高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象练习苏教版必修3
3．1．1 随机现象【新知导读】1． 请举出一些必然事件，不可能事件和随机事件的实例.2． 某人购买福利彩票10注,10注中有2注中得三等奖,其余8注未中奖.这个事件的条件和结果是什么?3．传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守侯,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,这是为什么?【范例点睛】例1：给出下列四个命题:①集合{}|||0x x <是空集是必然事件;②()y f x =是奇函数,则()0f x =是随机事件;③若log (1)0a x ->,则2x >是必然事件;④对顶角不相等是不可能事件.其中正确命题的个数是 ( )A .0个 B.1个 C.2个 D.3个思路点拨：结合实数的性质及函数知识来判断.易错辨析：判断是否是随机事件,要看条件是什么,否则②的判断可能会出现错误.例2：下列随机事件中,一次试验是指什么?它们各有几次试验?⑴一天中,从北京开往沈阳的7列列车,全部正点到达;⑵抛10次质地均匀的硬币,硬币落地时有5次正面向上.思路点拨：关键看这两个事件的条件是什么.方法点评：对于某个现象,如果能让其条件实现一次,就是进行了一次试验.每次试验的条件和结果都是独立的，结果可能不相同.【课外链接】1．下列事件:①物体在重力作用下会自由下落;②方程2230x x -+=有两个不相等的实数根;③下周日会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次.其中随机事件的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【自我检测】1.若,a b R ∈,则a b b a +=+是 ( )A.随机事件B.必然事件C.不可能事件D.以上说法都不对2.在10件同类产品中,有8件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件的必然事件是 （ ）A.3件都是正品B.至少有1件是次品C.3件都是次品D.至少有1件是正品3．判断下列现象:(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数;(2)水的沸点是100℃;(3)三角形的内角和为180°;(4)一个射击运动员每次射击的命中环数;(5)任一实数的平方是非负数.其中是随机现象的是 ( )A ．(1)(2)(4) B.(1)(4) C ．(1)(3)(4) D ．(1)(4)(5)4.①已经发生的事件一定是必然事件;②随机事件的发生能够人为控制其发生或不发生;③不可能事件反映的是确定性现象;④随机现象的结果是可以预知的.以上说法正确的是 ( )A. ①③ B ．①② C ．③ D.②④5.给出下列事件:(1)在常温下,焊锡熔化;(2)同时掷二颗骰子,都出现2点;(3)如果,x y 都是实数且0x y >>,那么1122log log x y >;(4)三角形两边之和大于第三边;(5)口袋中有3个红球,2个白球,随机摸出一个球,这个球是白球,其中必然事件有______,不可能事件有_______,随机事件有________.6.给出下列两个随机事件:(1)抛10次同一枚的质地均匀的硬币,有10次正面向上;(2)姚明在本赛季中共罚球57次,有53次投球命中.其中事件(1)的一次试验是_______________,事件(2)一共进行了___________次试验.7. 事件”某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗?条件和结果是什么?一次试验是指什么?一共做了几次试验?8. 在10个学生中,男生有x个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当x为何值时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件?9.同时抛掷骰子m个,已知事件:”点数之和大于2”为必然事件,事件:”点数之和大于30”为不可能事件,事件”点数之和等于20”为随机事件,求m的值.10.已知2()2,[2,1]f x x x x =+∈-,给出事件:()A f x a ≥.(1)当A 为必然事件时,求a 的取值范围;(2)当A 为不可能事件时,求a 的取值范围.3.1.1 随机现象【新知导读】1. 略2. 条件:某人购买福利彩票10注,结果:10注中有2注得三等奖,其余8注未中奖.3. 兔子碰死在木桩上是随机事件,可能不发生.【范例点睛】例1. 选 D.∵||0x ≥恒成立,∴①正确;奇函数()y f x =只有当0x =有意义时,才有(0)0f =,∴②正确; log (1)0a x ->当底数a 与真数1x -在相同区间(0,1)或相同区间(1,)+∞时成立,∴③应是随机事件;对顶角相等是必然事件,所以④正确,故应选D.例2.(1)一列列车开出,就是一次试验,共有7次试验.(2)抛一次硬币,就是一次试验.共有10次试验.【课外链接】1. 选B.结合必然事件,不可能事件,随机事件的定义作出判断.由定义可知,①是必然事件; ②是不可能事件;③,④是随机事件.【自我检测】1.B2.D3.A4.C5. (4); (1)(3); (2)(5)6.“抛一次硬币”; 57次7. 是随机事件.条件:某人掷骰子5次,结果:两次点数为2,掷骰子一次就是一次试验,一共做了5次试验.8. ”至少有1个女生”为必然事件,则有6x <;“5个男生,1个女生”为不可能事件,则有5x <或10x =;“3个男生,3个女生”为随机事件,则有37x ≤≤;综上所述,又由x ∈N ,可知3x =或4x =.9.”点数之和大于2”为必然事件,则2m >;”点数之和大于30”为不可能事件,则630m ≤,∴5m ≤;”点数之和等于20”为随机事件,∵20=6×3+2,∴420m ≤≤;综上知: 45m ≤≤且m ∈N ,故4m =或5m =.10. 22min ()2(1)1,[2,1],()1,f x x x x x f x =+=+-∈-∴=-此时1x =-,又max (2)0(1)3,()3,()[1,3].f f f x f x -=<=∴=∴∈-(1)当A 为必然事件时,即()f x a ≥恒成立,所以有min ()1a f x ≤=-,则a 的取值范围是(,1];-∞-(1)当A 为不可能事件时,即()f x a ≥一定不成立,所以有max ()3a f x >=,则a 的取值范围是(3,).+∞。
高中数学第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.2随机事件的概率练习苏教版必修3(2021学年)
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3．1．2 随机事件的概率【新知导读】１．生活中，我们经常听到这样的议论："天气预报说昨天降水概率为９0℅,结果根本一点雨都没下,天气预报也太不准确了，"学了概率后，你能给出解释吗?2．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：数的概率(结果保留到小数点后三位):(1）90分以上;（2）６0分～69分;(3)６０分以上。
3.某医院治疗一种疾病的治愈率为10℅,那么,若前９个病人都没有治愈,第10个人一定能治愈吗?【范例点睛】例1:某射手在同一条件下进行射击,结果如下表所示:（1）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少?思路点拨:根据概率的统计定义,可以用事件发生的频率去测量概率。
易错辨析：随机事件在一次试验中是否发生,虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性，概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
例2:某中学一年级有1２个班,要从中选２个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加,另外再从二至十二班中选１个班,有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数和是几(见下表)，就选几班,你认为这种方法公平吗?思路点拨：从上表中可以看出掷两个骰子得到的点数和是2,３，4,5,６,７,8,９，10，11,12的情况分别有1种,２种，3种,4种，5种，6种，5种,４种,3种,2种,1种。
2023-2024学年江苏省宿迁市高中数学人教A版选修三随机变量及其分布强化训练-5-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省宿迁市高中数学人教A版选修三随机变量及其分布强化训练(5)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）0.40.50.60.751. 口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A. B. C. D.1.40.15 1.50.142. 若离散型随机变量的分布列如下表，则随机变量的期望为（）0123A. B. C. D.0.30.40.60.73. 已知随机变量服从正态分布，若，则( )A. B. C. D.0.650.70.350.254. 设随机变量，，则（）A. B. C. D.5. 已知随机变量的分布列如下表，若，则（）-101PA. B. C. D.A. B. C. D.81216207. 随机变量X ～B （n ， ），E （X ）=3，则n=（ ）A. B. C. D. 128. 从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为 ，则数学期望 （ ）A.B. C.D. 0.20.80.160.259. 已知 独立，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 0.10.20.30.410. 已知随机变量X 服从 ， 若 ， 则（ ）A. B. C. D. 11. 从 中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（）A.B.C. D.12. 一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票．设第1次抽出的彩票有奖的事件为A ，第2次抽出的彩票有奖的事件为B ，则A.B.C.D.13. 已知离散型随机变量 的分布列如下表：-202Pab若随机变量 的期望值，则，．14. 有4个同学一起坐上公交车后，分别在后面三个不同车站中的某个车站下车，且每个车站至少有一人下车，用 表示在第二个车站下车的人数，则，.15. 设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为 ，则事件A 恰好发生一次的概率为 .X－1245P0.20.350.250.2阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 某次数学测试之后，数学组的老师对全校数学总成绩分布在[105，135）的n名同学的19题成绩进行了分析，数据整理如下：组数分组 19题满分人数 19题满分人数占本组人数比例第一组[105，110] 15 0.3第二组[110，115） 30 0.3第三组[115，120） x 0.4第四组[120，125） 100 0.5第五组[125，130） 120 0.6第六组[130，135） 195 y（Ⅰ）补全所给的频率分布直方图，并求n，x，y的值；（Ⅱ）现从[110，115）、[115，120）两个分数段的19题满分的试卷中，按分层抽样的方法抽取9份进行展出，并从9份试卷中选出两份作为优秀试卷，优秀试卷在[115，120）中的分数记为ξ，求随机变量ξ的分布列及期望．18. 《最强大脑》是大型科学竞技类真人秀节目，是专注传播脑科学知识和脑力竞技的节目．某机构为了了解大学生喜欢《最强大脑》是否与性别有关，对某校的100名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢《最强大脑》不喜欢《最强大脑》合计男生15女生15合计已知在这100人中随机抽取1人抽到不喜欢《最强大脑》的大学生的概率为0.4（I）请将上述列联表补充完整；判断是否有99.9%的把握认为喜欢《最强大脑》与性别有关，并说明理由；（II）已知在被调查的大学生中有5名是大一学生，其中3名喜欢《最强大脑》，现从这5名大一学生中随机抽取2人，抽到喜欢《最强大脑》的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：，参考数据：，，， .19. 已知从地到地有两条道路可以到达，走道路①准点到达的概率为，不准点到达的概率为；走道路②准点到达的概率为，不准点到达的概率为 .若甲乙两车走道路①，丙车由于其他原因走道路②，且三辆车是否准点到达相互之间没有影响.(1) 若三辆车中恰有一辆车没有准点到达的概率为，求走道路②准点到达的概率；(2) 在（1）的条件下，求三辆车中准点到达车辆的辆数的分布列和数学期望.月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．(1) 求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；(2) 由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．21. 2020年某地在全国志愿服务信息系统注册登记志愿者8万多人.2019年7月份以来，共完成1931个志愿服务项目，8900多名志愿者开展志愿服务活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿服务的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿服务时长（单位：小时），并绘制如图所示的频率分布直方图．(1) 求这500名志愿者每月志愿服务时长的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；(2) 由直方图可以认为，目前该地志愿者每月服务时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若，令，则，且．（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求；（ⅱ）从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿服务时长超过10小时的人数，求（结果精确到0.001）以及的数学期望．参考数据：，．若，则．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.12.13.14.16.17.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 专题2 函数与导数检测题
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 专题2 函数与导数检测题一、重点知识梳理： 1．函数的性质以及图象2．函数、方程与不等式之间的关系 3．导数及其应用 （1）导数的几何意义（2）利用导数判断函数的单调性 （3）利用导数求函数的极值与最值 二：典型例题例1．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，求a 的取值范围．例2．已知函数f (x )＝(ax 2＋x )e x，其中e 是自然数的底数，a ∈R . (1)当a <0时，解不等式f (x )>0；(2)若f (x )在[－1,1]上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当a ＝0时，求整数k 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[k ，k ＋1]上有解．例3．已知函数f (x )＝x (x －a )2，g (x )＝－x 2＋(a －1)x ＋a (其中a 为常数)． (1)如果函数y ＝f (x )和y ＝g (x )有相同的极值点，求a 的值；(2)设a >0，问是否存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x 0)>g (x 0)，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)记函数H (x )＝[f (x )－1]·[g (x )－1]，若函数y ＝H (x )有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x <1，g x ，x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y＝F (x )上总存在另一点Q ，使得∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x 2－a ln x ，g (x )＝bx －x ＋2，其中a ，b ∈R 且ab ＝2.函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是增函数． (1)求函数f (x )，g (x )的表达式；(2)若不等式f (x )≥mg (x )对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1恒成立，求实数m 的取值范围； (3)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )－12x 的最小值，并证明当n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )>3.3．已知f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)． (1)当x <0时，求f (x )的解析式；(2)当m ∈R 时，试比较f (m －1)与f (3－m )的大小；(3)求最小的整数m (m ≥－2)，使得存在实数t ，对任意的x ∈[m,10]，都有f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|.课后作业1．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫na n n ＋1的前n 项和的公式是________________________．2．不等式ax ≤x 在x ∈[0,3]内恒成立，则实数a 的取值范围________． 3．若f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________．4．将函数y ＝－x 2＋2x ＋3－3(x ∈[0,2])的图象绕坐标原点逆时针旋转θ(θ为锐角)，若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为________．5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (2)＝3，且f (x )在R 上的导函数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为________．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是____．7．设函数f (x )的定义域为D ，若满足：①f (x )在D 内是单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，则k 的取值范围是________8．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)有3个不同的实数根，则a 的取值范围为________．9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ，f x ≥f ′xf x ，f x <f ′x ，求g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．10．已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5，在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，又当x ＝0，x ＝2时取得极小值． (1)求函数f (x )的解析式；(2)能否找到函数f (x )垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；(3)设使关于x 的方程f (x )＝λ2x 2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，且两个非零实根为x 1，x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案二：典型例题1.[解] 法一：设f (x )的最小值为g (a )，则只需要g (a )≥0.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，又a >4，故不存在；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4. 综上所述a 的取值范围为[－7,2]．法二：原题可等价转化为x 2＋3≥(1－x )a 对于任意的x ∈[－2,2]恒成立． (1)若1－x ＝0即x ＝1时，显然成立，此时a ∈R .(2)若1－x >0即－2≤x <1，不等式a ≤x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x，利用求导的方法得到g (x )min ＝2，得到a ≤2，(3)若1－x <0即1<x ≤2，不等式a ≥x 2＋31－x 恒成立，设g (x )＝x 2＋31－x，利用求导的方法得到g (x )max ＝－7，得到a ≥－7.综上所述a 的取值范围为[－7,2]． 2.[解] (1)因为e x>0，所以不等式f (x )>0，即ax 2＋x >0.又因为a <0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a <0.所以不等式f (x )>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a .(2)f ′(x )＝(2ax ＋1)e x ＋(ax 2＋x )e x＝[ax 2＋(2a ＋1)x ＋1]e x，①当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ′(x )≥0在[－1,1]上恒成立，当且仅当x ＝－1时取等号，故a ＝0符合要求；②当a ≠0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1， 因为Δ＝(2a ＋1)2－4a ＝4a 2＋1>0，所以g (x )＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， 不妨设x 1>x 2，因此f (x )有极大值又有极小值．若a >0，因为g (－1)·g (0)＝－a <0，所以f (x )在(－1,1)内有极值点，故f (x )在[－1,1]上不单调．若a <0，可知x 1>0>x 2.因为g (0)＝1>0，且g (x )的图象开口向下，要使f (x )在[－1,1]上单调，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧g1≥0，g －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2≥0，－a ≥0.所以－23≤a <0.综上可知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0. (3)当a ＝0时， 方程为x e x＝x ＋2，由于e x>0，所以x ＝0不是方程的解． 所以原方程等价于e x －2x －1＝0，令h (x )＝e x－2x－1，因为h ′(x )＝e x＋2x2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上． 所以整数k 的所有值为－3,1.3.[解] (1)f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x ，则f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝a 3，而g (x )在x ＝a －12处有极大值，所以a －12＝a ⇒a ＝－1，或a －12＝a3⇒a ＝3. 综上a ＝3或a ＝－1.(2)假设存在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得f (x )－g (x )＝x (x －a )2－[－x 2＋(a －1)x ＋a ]＝x (x －a )2＋(x －a )(x ＋1) ＝(x －a )[x 2＋(1－a )x ＋1]>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3时，又a >0，故x －a <0，则存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 3，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0，1°当a －12>a3，即a >3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32＋(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1<0，得a >3或a <－32，故a >3； 2°当－1≤a －12≤a 3，即0<a ≤3时，4－a －124<0，得a <－1或a >3，故a 无解；综上a 的取值范围为(3，＋∞)．(3)据题意有f (x )－1＝0有3个不同的实根，g (x )－1＝0有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．①g (x )－1＝0有2个不同的实根，只需满足g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12>1⇒a >1或a <－3；②f (x )－1＝0有3个不同的实根，1°当a 3>a 即a <0时，f (x )在x ＝a 处取得极大值，而f (a )＝0，不符合题意，舍去；2°当a 3＝a 即a ＝0时，不符合题意，舍去；3°当a3<a 即a >0时，f (x )在x ＝a3处取得极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3>1⇒a >3322，所以a >3322.因为①②要同时满足，故a >3322.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫注：a >334也对 下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在x 0使得f (x 0)－1＝0和g (x 0)－1＝0同时成立． 假设存在x 0使得f (x 0)＝g (x 0)＝1， 由f (x 0)＝g (x 0)，即x 0(x 0－a )2＝－x 20＋(a －1)x 0＋a ， 得(x 0－a )(x 20－ax 0＋x 0＋1)＝0.当x 0＝a 时，f (x 0)＝g (x 0)＝0，不符合题意，舍去； 所以x 0≠a ，即x 20－ax 0＋x 0＋1＝0.①又g (x 0)＝1，即－x 20＋(a －1)x 0＋a ＝1.②联立①②式，可得a ＝0，而当a ＝0时，不满足a ＞3322，故舍去，所以这5个实根两两不相等．综上，当a >3322时，函数y ＝H (x )有5个不同的零点．四、巩固练习1. 解：(1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得， 所以ln x <x ，x －ln x >0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min .设t (x )＝x 2－2xx －ln x，x ∈[1，e]．求导，得t ′(x )＝x －1x ＋2－2ln xx －ln x 2.x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x >0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数． 所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a ≤－1.(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP ·OQ <0. ①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP ·OQ ＝－t 2＋a ln(－t )·(－t 3＋t 2)．由于OP ·OQ <0恒成立，a (1－t )ln(－t )<1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )<1恒成立． 当t <－1时，a <11－t ln －t恒成立．由于11－t ln －t>0，所以a ≤0.②若－1<t <1，t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)， 则OP ·OQ ＝－t 2＋(－t 3＋t 2)(t 3＋t 2)<0，t 4－t 2＋1>0对－1<t <1，t ≠0恒成立．③当t ≥1时，同①可得a ≤0. 综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]．2.解：(1)f ′(x )＝2x －a x ≤0对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1恒成立，所以a ≥2x 2.所以a ≥2.同理可得b ≥1.∵ab ＝2，∴a ＝2，b ＝1.∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －x ＋2.[(2)∵f (1)＝1>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝74>0，且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是减函数，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上是增函数．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1时，f (x )>0，g (x )>0，∴m ≤f x g x .由条件得⎝ ⎛⎭⎪⎫f x g x min ＝f 1g 1＝12－2ln 11－1＋2＝12，∴m ≤12. (3)h ′(x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋1x ＋1x ＋12x ， 当x >0时，2x ＋1x ＋1x＋12x>0， 则当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0. 故h (x )在x ∈(0,1)递减，在x ∈(1，＋∞)递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝52，即h (x )的最小值为52.当n ≥2时，h (n )≥h (2)＝7－2ln 2－2＝3＋(2－ln 4)＋(2－2)>3，即h (n )>3. 所以n ∈N *，n ≥2时f (n )＋g (n )＝h (n )＋n 2>3＋n2>3成立．3.解：(1)当x <0时，f (x )＝f (－x )＝ln(－x ＋2)．(2)当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋2)单调递增，而f (x )是偶函数，所以f (x )在(－∞，0)上单调递减．所以f (m －1)＞f (3－m )⇔|m －1|>|3－m | ⇔(m －1)2>(3－m )2⇔m >2.所以当m >2时，f (m －1)>f (3－m ) ； 当m ＝2时，f (m －1)＝f (3－m )； 当m <2时，f (m －1)<f (3－m )．(3)当x ∈R 时，f (x )＝ln(|x |＋2)，则由f (x ＋t )≤2ln|x ＋3|，得ln(|x ＋t |＋2)≤ln(x ＋3)2，即|x ＋t |＋2≤(x ＋3)2对x ∈[m,10]恒成立从而有⎩⎪⎨⎪⎧t ≤x 2＋5x ＋7，t ≥－x 2－7x －7，对x ∈[m,10]恒成立，因为m ≥－2,所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≤x 2＋5x ＋7min＝m 2＋5m ＋7，t ≥－x 2－7x －7max＝－m 2－7m －7.因为存在这样的t ，所以－m 2－7m －7≤m 2＋5m ＋7， 即m 2＋6m ＋7≥0.又m ≥－2，所以适合题意的最小整数m ＝－1. 课后习题 1．S n ＝2－(1－n )2n ＋12．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，33 3．(1,2) 4．π6 5．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 6．4 7．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，94 8．(34，2)9．解：(1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )． 又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥x 2－2x ＋121－x 在x ∈[－2，－1]时恒成立．因为x 2－2x ＋121－x ＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |， 所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0， 则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a . ①当a <－1时，|x ＋a |＝1－a ， 所以x ＝－1或x ＝1－2a ；②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )； ③当a >1时，|x ＋a |＝1＋a ， 所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′x ，f x ≥f ′x ，f x ，f x <f ′x .①若a ≥－12，则x ∈[2,4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a .从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若a <－32，则x ∈[2,4]时，f (x )<f ′(x )， 所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax ＋1，当－2≤a <－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5； 当－4<a <－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2；当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a <－12，则x ∈[2,4]时， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ，2x ＋2a ，x ∈[1－2a ，4]，当x ∈[2,1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a,4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a <－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3<0， 所以g (x )最小值为4a ＋5.综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4<a <－2，4a ＋5，－2≤a <－12，2a ＋4，a ≥－12. 10．解：(1)∵函数f (x )＝x 4＋ax 3＋bx 2＋c ，在y 轴上的截距为－5, ∴c ＝－5. ∵函数f (x )在区间[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， ∴x ＝1时取得极大值．又当x ＝0，x ＝2时函数f (x )取得极小值，∴x ＝0，x ＝1, x ＝2为函数f (x )的三个极值点，即f ′(x )＝0的三个根为0,1,2. ∴f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋2bx ＝4x (x －1)(x －2)＝4x 3－12x 2＋8x . ∴a ＝－4，b ＝4. ∴函数f (x )的解析式 f (x )＝x 4－4x 3＋4x 2－5. (2)若函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴，设对称轴方程为x ＝t ，则f (t ＋x )＝f (t －x )对x ∈R 恒成立， 即 (t ＋x )4－4(t ＋x )3＋4(t ＋x )2－5＝(t －x )4－4(t －x )3＋4(t －x )2－5.化简得(t －1)x 3＋( t 2－3 t ＋2)x ＝0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－3t ＋2＝0，解得t ＝1. 即函数f (x )存在垂直于x 轴的对称轴x ＝1. (3)x 4－4x 3＋4x 2－5＝λ2x 2－5恰好有三个不同的根， 即x 4－4x 3＋4x 2－λ2x 2＝0恰好有三个不同的根， 即x 2(x 2－4x ＋4－λ2)＝0.∵x ＝0是一个根，∴方程x 2－4x ＋4－λ2＝0应有两个非零的不相等的实数根．∴Δ＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x 1x 2＝4－λ2≠0.∴λ≠0，－2,2.假设存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立． ∵|x 1－x 2|＝x 1－x 22－4x 1x 2＝2|λ|＞0， 要使m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立，只要m 2＋tm ＋2≤0对任意t ∈[－3,3] 恒成立，令g (t )＝tm ＋m 2＋2 , 则g (t )是关于t 的线性函数．∴只要⎩⎪⎨⎪⎧ g －3≤0，g 3≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤m ≤2，－2≤m ≤－1.∴不存在实数m ，使得不等式m 2＋tm ＋2≤|x 1－x 2|对任意t ∈[－3,3], λ∈A 恒成立．。
苏教版高中数学选修同步精练随机变量及其概率分布
2.1 随机变量及其概率分布 同步练测填空题（本题包括8小题，每小题6分，给出的四个选项中，只有一个选项正确，共48分）1.已知随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=k 21，k =1，2，…，n，则P （2<ξ≤4）等于______2.一个袋中装有大小相同的5个球，分别标有号码1，2，3，4，5.在有放回的条件下先后取两次，用ξ表示两次取得球的号码之和，则ξ所有可能取值的个数是______0.3，则一次投篮时投中次数的概率分布是______． 6.离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (＜X ＜)的值为= ；(2)P (η¿3)= .P (|X |＝1)＝______. 二、解答题（本题共3小题，共52分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤） 9.（16分）袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次若取出黑球不再放回，直到取白为，求取球次数X 的概率分布.10.（16分）一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的概率分布11.（20分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的概率分布.答题纸得分：一、填空题1． 2． 3. 4. 5． 6． 7. 8.二、解答题9.10.11.参考答案一、填空题1.163解析：P （2<ξ≤4）=P （ξ=3）+P （ξ=4）=321+421=1632.9 解析：ξ可取2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个值.3.13解析：由离散型随机变量概率分布的性质，知P (X ＝1)+P (X ＝2)+P (X =3)+P (X =4)=1，所以p= P (X =4)=1- 16 - 13- 16 ＝ 13.4.1 解析：由概率分布的性质知 k n·n =1，∴ k =1.5.6. 解析：由(＋＋＋)×a ＝1,知a ＝1,∴ a ＝.故P (＜X ＜)＝P (1)＋P (2)＝×＋×＝. 7.(1)0 (2)0.45解析：(1)由概率分布的性质，得0.2+x +0.35+0.1+0.15+0.2=1，解得x =0. (2)P (η＞3)＝P (η=4)+P (η=5)+P (η=6)=0.1+0.15+0.2=0.45. 8． 解析：∵ a ，b ，c 成等差数列，∴ 2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴ b ＝，∴ P (|X |＝1)＝a ＋c ＝. 二、解答题9.解：X 的可能取值为1，2，3，4，5，则 第一次取到白球的概率为P (X ＝1)＝ 15，第二次取到白球的概率为P (X ＝2)＝45 × 14 = 15 ， 第三次取到白球的概率为P (X =3)= 45 × 34 × 13 = 15，第四次取到白球的概率为P (X ＝4)＝ 45 × 34 × 23 × 12 = 15，第五次取到白球的概率为P (X ＝5)＝ 45× 34× 23× 12× 11=15.所以X 的概率分布为10.解：根据题意可知随机变量ξ的取值为3，4，5当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的编号只能是1，2，故P（ξ=3）=3522CC=101当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只能在编号为1，2，3的3个球中取2个，故P（ξ=4）=3523CC=103同理P（ξ=5）=3524CC=106可得ξ的概率分布为11.解：分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y的取值分别为17,18,19,20,21，P(Y＝17)＝＝，P(Y＝18)＝＝，P(Y＝19)＝＝，P(Y＝20)＝＝，P(Y＝21)＝＝，则这两名同学的植树总棵数Y的概率分布是。
高中数学第二章概率 2.1 随机变量及其概率分布学业分层测评苏教版
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 概率 2.1 随机变量及其概率分布学业分层测评 苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设随机变量ξ的概率分布为则P (ξ＜3)＝【解析】 P (ξ＜3)＝1－P (ξ≥3)＝1－P (ξ＝3)＝1－25＝35.【答案】 352．设随机变量ξ的概率分布P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，则a ＝________.【解析】 由P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1， ∴a ＝2713.【答案】27133．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．【答案】个数为ξ，则ξ＝k 表示的试验结果为________．【答案】 前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品5．随机变量ξ的等可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ＜4)＝0.3，则n ＝________. 【解析】 ∵ξ等可能取值为1,2，…，n .∴P (ξ＜4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n＝0.3，∴n ＝10. 【答案】 106．若随机变量X ～01分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝32a ，则a ＝________.【导学号：29440036】【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.【答案】 257．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an n ＋，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为________．【解析】 ∵P (ξ＝n )＝a n n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1a ， ∴∑i ＝14P (ξ＝i )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15a ＝45a ＝1，∴a ＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝56.【答案】 568．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16二、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X ； (2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X . 【解】 (1)X 可取0,1,2,3.X ＝i 表示取出i 支白粉笔，(3－i )支红粉笔，其中i ＝0,1,2,3.(2)X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为(1)求η1＝12ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布． 【解】 (1)η1＝12ξ的概率分布为(2)η2＝ξ21．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________. 【导学号：29440037】【解析】 由Y ＝－2，得3X －2＝－2，X ＝0. ∴P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8. 【答案】 0.82．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝c k k ＋，k ＝1,2,3，c 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)＝________.【解析】 ∵c ⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＝1，∴c ＝43，∴P (0.5＜X ＜2.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝23＋29＝89.【答案】 893．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．【解析】 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4，求：(1)P (ξ＝1或ξ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72.【解】 (1)∵P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝210，∴P (ξ＝1或ξ＝2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝110＋210＝310＝0.3.(2)ξ＝1,2,3,4，又12<ξ<72，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝110＋210＋310＝0.6.。
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 集合与常用逻辑用语检测题
江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习集合与常用逻辑用语检测题【考情解读】1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2．试题以填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．【知识梳理】1．集合的概念、关系与运算(1)集合中元素的特性：、、．注：求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒，空集是任何集合的；空集是任何非空集合的．含有n个元素的集合的子集数为，真子集数为，非空真子集数为．(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝，∁U(A∩B)＝，∁U(∁U A)＝．2．四种命题及其关系四种命题中原命题与命题同真同假，逆命题与命题同真同假．因此,四种命题为真的个数只能是偶数．注：遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．3．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的条件，q是p的条件；若p⇔q，则p，q互为条件．4．简单的逻辑联结词用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．对一个命题p否定，就得到一个新命题，记作“”，其真值表简记为“”．5．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“”．注：命题的否定与否命题的区别是：命题的否定，否命题．【预习练习】1．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝________．2．已知集合P={x|x 2=1},集合Q={x|ax=1},且Q P ⊆,那么a 的取值集合是 ．3．若U={(x,y)|x,y ∈R}, 3{(,)1}2y A x y x -==-,B={(x,y)|y=x+1}, 则(C U A)∩B= ．4．已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________．5． 设p ：x x －2<0，q ：0<x <m ，若p 是q 成立的充分不必要条件，则m 的取值范围是__________．【典型例题】考点一 集合间的关系及运算例1 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．变式训练：已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________．考点二四种命题与充要条件例2(1)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是____________．(2)设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的条件．变式训练：设m为大于0的常数,已知命题p:|x-2|<m;命题q:|x2-4|<1.若非p是非q的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.考点三逻辑联结词、全称量词和存在量词例3(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是________________．(2)若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，求实数a的取值范围．变式训练：(1)下列命题中，真命题是________．(填序号)①∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数；②∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数；③∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数；④∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数．(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题p、q 均是真命题，求实数a的取值范围．【课后练习】1． 已知集合A ＝{z ∈C |z ＝1－2a i ，a ∈R }，B ＝{z ∈C ||z |＝2}，则A ∩B ＝_______．2． 设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________．3． 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________．4． 已知R 是实数集，M ＝{x |2x<1}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________． 5．(2013·陕西改编)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件．6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是________．7．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．8．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)9．已知：集合A={x|x 2+4ax-4a+3=0}， B={x|x 2+(a-1)x+a 2=0}，其中至少有一个集合不是空集，则实数a 的取值范围是 ．10．已知 A ={x|-2≤x ≤5},B ={x|a +1≤x ≤2a -1},B A ，求实数a 的取值范围．11．设p:-1≤4x-3≤1,q:x 2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围．。
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江苏省宿迁市马陵中学高三数学专题复习 概率、随机变量及其概率分布检测题
知识梳理
1．古典概型和几何概型
(1)古典概型的概率P(A)＝＝.
(2)几何概型的概率P(A)＝.
2．互斥事件与对立事件的关系
3．相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B)．
4．独立重复试验如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为P n(k)＝C p k(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
5．离散型随机变量的概率分布
(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，x i，…，ξ取每一个
值x i的概率为P(ξ＝x i)＝p i，则称下表：
ξx1x2x3…x i…
P p1p2p3…p i…
为离散型随机变量ξ的概率分布表．
(2)离散型随机变量ξ的概率分布具有两个性质：①p i≥0，②p1＋p2
＋…＋p i＋…＝1(i＝1,2,3，…)．
6．常见的离散型随机变量的分布
(1)两点分布
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能取的值为0,1,2,3，…，n，并且P(ξ＝k)＝C p k q n－k(其中k＝0,1,2，…，n，q＝1－p)．
显然P(ξ＝k)≥0(k＝0,1,2，…，n)，C p k q n－k＝1.
称这样的随机变量ξ服从参数n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)．7．离散型随机变量的期望与方差
若离散型随机变量ξ的概率分布表为
ξx1x2…x n…
P p1p2…p n…
则称E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n＋…为ξ的数学期望，简称期望．
V(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋…＋(x n－E(ξ))2·p n＋…叫做随机变量ξ的方差．
预习练习
1． (2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．2． (2012·广东改编)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是________．
3． (2013·广东改编)已知离散型随机变量X的概率分布为
X123
P
则X的数学期望E(X)＝________.
4．(2013·课标全国Ⅱ)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________. 5．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为______．
典型例题
题型一 古典概型与几何概型
例1
(1)(2013·上海)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中
任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________．
(结果用最简分数表示)
(2)(2012·湖北改编)如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以
OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取
自阴影部分的概率是________．
变式训练1 (1)(2012·辽宁改编)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32
cm2的概率为________．
题型二 互斥事件和相互独立事件的概率
例2
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．
已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不
影响．
(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．
变式训练2 甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛．三
人各自独立闯关，其中甲闯关成功
的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙都闯关成功的概率为，每人闯关成功记2分，三人得
分之和记为小组团体总分．
(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；
(2)求团体总分为4分的概率；
(3)若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛．求该小组参加复赛
的概率．
题型三 离散型随机变量的概率分布
例3
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如
下：
办理业务所需的时
12345
间(分)
频 率0.10.40.30.10.1从第一个顾客开始办理业务时计时．
(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的概率分布及
数学期望．
变式训练3 (2013·天津)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4
张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量
X的概率分布和数学期望．
课后练习
一、填空题
1．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是________．
2．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为
________．
3．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．
4．某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为______．
5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．
6．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为
________．
7． (2012·上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是
________．(结果用最简分数表示)
8．在日前举行的全国大学生智能汽车总决赛中，某高校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率为，则该机器人移动6次恰好移动到点(3,3)的概率为
________．
9．(2013·福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－
1>0”发生的概率为________．
10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量X ＝“|a－b|的取值”，则X的数学期望E(X)为________．
二、解答题
11．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
12．(2013·陕西)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．。