湖南师范大学二00五年攻读硕士学位研究生入学考试试题

湖南师范大学二00五年攻读硕士学位研究生入学考试试题
一、基础题（每题9分，共63分）
1、求极限22011
lim()sin x x x
→-。

2、求不定积分1cos 2x
dx x
+⎰。

3、求曲线sin (02)1cos x t t
t y t
π=-⎧≤≤⎨
=-⎩的弧长。

4、已知1(1)(0)x y x x =+>，求导数dy
dx。

5、求1
12n n n ∞
=∑。

6、求
2
2
222(,)(0,0)
1
lim [()()sin
]x
y x y x y x y xy
+→+++。

7、设2222
222()()x y z t F t f x y z dxdydz ++≤=
++⎰⎰⎰
，其中()f x 可微，求()F t ''。

二、（10分）设,,,a b p q 都是正数，（1）求()(1)p q f x x x
=-在区间[0,1]上的最大值；（2）求证：()()()p q p q
a b a b p q p q
++≤+。

三、（10分）设()f x 在[,)a +∞上连续，当x →+∞时()f x 以直线y ax b =+为渐近线，求证：()f x 在[,)a +∞上一致连续。

四、（9分）若()f x 在12[,]x x 中可导且120x x >，证明存在12(,)x x ξ∈使得
122112()()[()()]()x f x x f x f f x x ξξξ'-=--。

五、（10分）若对任意,(,)x y ∈-∞+∞都有|()()|||f x f y k x y -≤-（01k <<为常数），任给实数0x ，令1()(1,2,)n n x f x n -= ，（1）求证：{}n x 收敛； 六、（10分）求定积分2
sin 1cos x x
I dx x
π=+⎰。

七、（10分）若()f x 在[,]a b 上连续且1()()x n n a
f x f t dt -=⎰，其中0()()f x f x =，
a x
b ≤≤，证明{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于0。

八、（10分）计算222222()()()C
y x dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中C 为球面三角形
2221,0,0,0x y z x y z ++=>>>的边界线，且沿它的规定方向前进时，球面三角
形总在右方。

九、（10分）若(,)g x y 在域D 内对变量y 连续，且对任意(,),(,)x y x y D '''∈均有
|(,)(,)|||f x y f x y M x x α''''''-≤-，其中,M α均为常数且0M >，01α<≤。

问
(,)g x y 在D 内是否连续，并说明理由。

十、（4
分）证明不等式：
221
612
1655x y ππ+≤≤≤⎰⎰。

十一、（4分）设函数()f x 、()g x 在[,]a b 中可导，且对于任意[,]x a b ∈，
()()()()f x g x f x g x ''≠。

证明
（1）()f x 在[,]a b 中最多有有限个零点；
（2）若()f x 在[,]a b 中至少有两个不同的零点，则在()f x 在任意相邻两个零点之间有且仅有()g x 的一个零点。