广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选36
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选31
圆锥曲线311．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．114⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(12)，D ．(12)-，解析：点P 到抛物线焦点距离等于点P 到抛物线准线距离，如图PF PQ PS PQ +=+,故最小值在,,S P Q 三点共线时取得，此时,P Q 的纵坐标都是1-，所以选A 。
（点P 坐标为1(,1)4-） 答案：A2．设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为26．若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x3．已知圆的方程为X 2+Y 2-6X -8Y ＝0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406 解析：本题考查直线与圆的位置关系。
22(3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦为10,AC =最短弦为2225146,BD =-=120 6.2S AC BD =⋅= 答案：B4．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线 方程是 ．5．在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程： 。
6．在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2(,0)ac 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =▲ 。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选33
圆锥曲线331、过双曲线2222x y a b -=1(a >0,b >0)的左焦点F ，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为 .2、设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点PA⊥l ，A 为垂足，如果AF 的PF ｜＝＿＿＿＿3、设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，316λμ=，则该双曲线的离心率为A ．2 B ．5 C ．3D ．98答案：C解析：双曲线的渐近线为：y ＝bx a±，设焦点F （c ，0），则 A （c ，bc a ），B （c ，－bc a ），P （c ，2b a ），因为OP OA OB λμ=+所以，（c ，2b a）＝（()c λμ+，()bc a λμ-），所以，λμ+＝1，λμ-＝bc ，解得：,22c b c b c c λμ+-==，又由316λμ=，得：32216c b c b c c +-⨯=，解得：2234a c =，所以，e ＝3，选C 。
4、设斜率为1的直线l 过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF（O 为坐标原点）的面积为8，则a 的值为 。
5、已知抛物线240y px(p )=>与双曲线2222100x y (a ,b )a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为( )A ．12 B 1 C 1 D ．12答案：B解析：依题意，得F （p ，0），因为AF x ⊥轴，设A （p ，y ），224y p =，所以y ＝2p ，所以，A （p ，2p ），又A 点在双曲线上，所以，22224p p a b-＝1，又因为c ＝p ，所以，222224c c a c a--＝1，化简，得：42246c a c a -+＝0，即：42610c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以23e =+e 1，选B 。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线试题精选20
圆锥曲线20选择题:1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B（C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab 又3122=+=ab e ，故选B.2.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由2225A y x x a x y =⎧⇒=⎨+⎩,15x a ∴=y =52(,)a在椭圆上,2222()()15151a a b∴+=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C3.双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x =【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒=5.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45-【答案】D 【解析】：24(1,0)y x F =得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y x A B y x ⎧=-⎨=-⎩得则AB ==2,5AF BF ==由余弦定理得222524cos 2555AFB +-∠==-⨯⨯ 故选D6.设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2 D ．2332或 【答案】A 填空题:1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y += 【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为2。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线3520. 已知椭圆的焦点坐标为1F （-1,0），2F （1,0），过2F 垂直于长轴的直线交椭圆于P 、Q 两点，且|PQ |=3，（1） 求椭圆的方程；（2） 过2F 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，则△1F MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1） 设椭圆方程为2222x y a b +=1（a>b >0）,由焦点坐标可得c =1………1分由PQ |=3，可得22b a=3， (2)分解得a =2，b ，…………………………………………………３分故椭圆方程为2243x y +=1……………………………………………4分则12AMNS =V AB （12y y -）=12y y -分令则t≥1,则212121313AMNt S t t t===++V ,………………………10分令f （t ）=3t +1t，则f ′(t ) =3-21t， 当t ≥1时，f ′(t )≥0,f (t)在1,+∞)上单调递增，有f (t )≥f (1)=4, AMN S V ≤123=3, 即当t =1,m =0时，AMN S V ≤123=3, AMN S V =4R ，∴max R =34，这时所求内切圆面积的最大值为916π.故直线l :x =1，△AMN 内切圆面积的最大值为916π………………12分21.已知直线1:+=x y l ，23:22=+y x O 圆,直线l 被圆截得的弦长与椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的短轴长相等,椭圆的离心率23=e(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 过点M (0，13-)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以A B 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．(Ⅱ)解法一：假设存在点T （u, v ）. 若直线l 的斜率存在，设其方程为13y kx =-，将它代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160k x kx +--=．设点A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则 12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,),(,)TA x u y v TB x u y v =--=--u u r u u r 及112211,,33y kx y kx =-=-所以1212()()()()TA TB x u x u y v y v =--+--u u r u u rg2221212121(1)()()339v k x x u k kv x x u v =+-+++++++222222(666)4(3325)62u v k ku u v v k +--+++-=+ 当且仅当0=⋅TB TA 恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以2222618180,0,33250.u v u u v v ⎧+-=⎪=⎨⎪++-=⎩解得0, 1.u v ==此时以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.当直线l 的斜率不存在，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为221x y +=也过点T （0，1）. 综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1），满足条件.当直线l 的斜率存在，设直线方程为13y kx =-，代入椭圆方程，并整理，得22(189)12160.k x kx +--=8分设点A 、B 的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则12212212,18916.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为1122(,1),(,1)TA x y TB x y =-=-u u r u u r，21212121212416()1(1)()39TA TA x x y y y y k x x k x x =+-++=+-++u u r u u r g222216161632160.189k k k k ---++==+ 所以TA TB ⊥u u r u u r，即以AB 为直径的圆恒过定点T （0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.22.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足211F F BF =，且2AF AB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）D 是过2F B A 、、三点的圆上的点，D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程；（Ⅲ）在（2）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于N M 、两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P 使得以PN PM ,为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明理由.（Ⅱ）由（1）知,21=a c 得a c 21=于是2F （21a ，0）, B )0,23(a -，△ABF 的外接圆圆心为（21-a ，0），半径r =21|FB |=a ,D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以a a =--2|321|，解得a =2，∴c =1，b =3， 所求椭圆方程为13422=+y x . ------------------8分由已知条件知0≠k 且R k ∈43143222+=+=∴k kk m 410<<∴m故存在满足题意的点P 且m的取值范围是410<<m ． ------------------12分23.已知椭圆1C 、抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：（Ⅰ）求12C C 、的标准方程；x32- 4 2 y23-4-22（Ⅱ）请问是否存在直线l 同时满足条件：(ⅰ)过2C 的焦点F ；(ⅱ)与1C 交于不同两点Q 、R ，且满足OQ OR ⊥u u u r u u u r？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．（Ⅲ）已知椭圆1C 的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM 、AN 分别另交椭圆于M 、N 两点．当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由．（Ⅱ）容易验证直线l 的斜率不存在时，不满足题意；当直线l 斜率存在时，假设存在直线l 过抛物线焦点(1,0)F ，设其方程为(1)y k x =-，与1C 的交点坐标为()11,Q x y ,()22,R x y所以存在直线l 满足条件，且l 的方程为：22y x =-或22y x =-+…………………9分（Ⅲ）设直线AM 的斜率为k ()0k ≠，则AM ：(2)y k x =+，AN ：1(2)y x k=-+ 则22(2),1,4y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 化简得：2222(14)161640k x k x k +++-=． ∵此方程有一根为2-，∴222814M k x k -=+⇒2414M k y k=+ 同理可得22284N k x k -=+⇒244N ky k =-+………………………………………………11分 则222222244541428284(1)414MNk k kk k k k k k k k --++==-----++ 所以MN 的直线方程为22224528()144(1)14k k k y x k k k --=--+-+ 令0y =，则222216(1)2865(14)145k k k x k k k --=+=-++.所以直线MN 过x 轴上的一定点6(,0)5- ………………………………………………14分。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试题精选23【含答案】
圆锥曲线2310.（本小题共14分）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=的切线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ） 求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.322--=b a c所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(- 离心率为.23==a c e设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418k m k x x k m k x x +-=+=+又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切 所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2.3||342+=m m由于当3±=m 时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB . 因为,2||3||343||34||2≤+=+=m m m m AB 且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.11.（本小题满分13分）已知直线l ：y=x+m ，m ∈R 。
（I ）若以点M （2,0）为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；（II ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线C ：x 2=4y 是否相切？说明理由。
解析：本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。
满分13分。
解法一：（I ）依题意，点P 的坐标为（0，m ）因为MP l ⊥，所以01120m -⨯=--， 解得m=2，即点P 的坐标为（0，2）从而圆的半径||r MP ===故所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）因为直线l 的方程为,y x m =+（I ）设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为22(2).x y r 2-+= 依题意，所求圆与直线:0l x y m -+=相切于点P （0，m ），则224,,m r r ⎧+=⎪=解得2,m r=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以所求圆的方程为22(2)8.x y -+=（II ）同解法一。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线3026．（本小题满分14分）以知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，过点2(,0)a E c的直线与椭圆相交与,A B 两点，且1212//,2F A F B F A F B =。
（1） 求椭圆的离心率；（2） 求直线AB 的斜率；（3） 设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点(,)(0)H m n m ≠在∆1AF C的外接圆上，求nm的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算能力和推理能力，满分14分（I ）解：由1F A //2F B 且12FA 2F B =，得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+ 整理，得223a c =，故离心率c e a ==由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c cx k -=+，2229223k c c x k +=+将12,x x 代入②中，解得23k =±． (III)解法一：由（II ）可知1230,2cx x ==当23k =-时，得(0,2)A c ，由已知得(0,2)C c -． 线段1AF 的垂直平分线l 的方程为22222c y x ⎫-=-+ ⎪⎝⎭直线l 与x 轴 的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．直线2F B 的方程为2()y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组Ay xOBGFF12229242()c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩ ， 由0,m ≠解得53223m c n c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故225n m = 当23k =时，同理可得22n m =-．27．设0b >，椭圆方程为222212x y b b +=，抛物线方程为28()x y b =-．如图所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F ．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．（2）Q 过A 作x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,∴以PAB ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个，同理∴ 以PBA ∠为直角的Rt ABP ∆只有一个；若以APB ∠为直角，则点P 在以AB 为直径的圆上，而以AB 为直径的圆与抛物线有两个交点。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习圆锥曲线试
圆锥曲线0753.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l 过点P(0,2)且与椭圆相交于A 、B 两点，当ΔAOB 面积取得最大值时，求直线l 的方程.解：设椭圆方程为22221()x y a b c a b+=>>（Ⅰ）由已知得222224b c ac a b c=⎧⎪⎪=⇒⎨⎪⎪=+⎩222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ ∴所求椭圆方程为2212x y +=.解法1：对212S k=+两边平方整理得：2422244(4)240S k S k S +-++=（*）∵0S ≠，2222222216(4)44(24)0,402404S S S SS S S ⎧⎪--⨯+≥⎪-⎪>⎨⎪⎪+>⎪⎩整理得：212S ≤又0S >，0S ∴<≤从而AOB S的最大值为2S =， 此时代入方程（*）得 42428490k k -+=2k ∴=±所以，所求直线方程为：240y -+=.解法2：令0)m m =>， 则2223k m =+S m m∴==≤+当且仅当4m m=即2m =时，max 2S =此时k =所以，所求直线方程为240y +=54. 如图,三定点A(2,1),B(0,－1),C(－2,1); 三动点D,E,M 满足AD →=tAB →, BE → = t BC →, DM →=t DE →, t∈[0,1]. (Ⅰ) 求动直线DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点M 的轨迹方程.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →, 知(x D －2,y D －1)=t(－2,－2).∴⎩⎨⎧x D =－2t+2y D =－2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =－2t y E =2t －1. ∴k DE = y E －y D x E －x D = 2t －1－(－2t+1)－2t －(－2t+2) = 1－2t.∴t∈[0,1] , ∴k DE ∈[－1,1]. (Ⅱ) ∵DM →=t DE →∴(x+2t－2,y+2t －1)=t(－2t+2t －2,2t －1+2t －1)=t(－2,4t －2)=(－2t,4t 2－2t).∴⎩⎨⎧x=2(1－2t)y=(1－2t)2 , ∴y=x 24 , 即x 2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].即所求轨迹方程为: x 2=4y, x∈[－2,2]55.在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴⋅=3；当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)y xy k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=-又 ∵ 22112211,22x y x y ==，∴2121212121()34OA OB x x y y y y y y =+=+=，综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么OB OA ⋅=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果OB OA ⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OA OB =3,直线AB 的方程为：2(1)y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足⋅=3，可得y 1y 2=－6， 或y 1y 2=2，如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).56.已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求该椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；（3）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值。
广东省广州市重点学校备战高考数学一轮复习 圆锥曲线
圆锥曲线1316．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程； （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a e a -设M 的坐标是),,(),(),,(0000a ea y e a x AB AM y x λλ=+=得由 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ 因为点M 在椭圆上，所以 ,1220220=+b y a x 即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e a λλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e 解得.1122e e -=-=λλ即 （Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a 所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x（Ⅲ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形.17．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a ea ab e ac λλ=+-=得 即221e a a b e a c e a -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-== 得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是 即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，设点P 的坐标是),(00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+-.1)1(2,13.220102202200000e a e y c e e x a c x e y e c x y 解得 由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ. 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形.18.设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A.0))(())((33,32121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ .04),1(3).,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+⨯>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ （II ）解法1：.02,13,=---=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根， ).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+∴M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 ).3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ⋅=⇔ ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边=.212-λ由④和⑦知，⑧式右边=)2232)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2122923-=--=λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆锥曲线36
24.已知椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点)0,5(1-F ，若椭圆上存在一点D ，满足
以椭圆短轴为直径的圆与线段1DF 相切于线段1DF 的中点F ．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）已知两点)1,0(),0,2(M Q -及椭圆G :1922
22=+b
y a x ,过点Q 作斜率为k 的直线l 交
椭圆G 于K H ,两点,设线段HK 的中点为N ,连结MN ,试问当k 为何值时,直线MN 过椭圆G 的顶点?
(Ⅲ) 过坐标原点O 的直线交椭圆W :142922
22=+b
y a x 于P 、A 两点，其中P 在第一象限，
过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连结AC 并延长交椭圆W 于B ，求证：PB PA ⊥.
(Ⅱ) 由（Ⅰ）得椭圆G :14
2
2
=+y x
①当0=k 时,有)0,0(N ,直线MN 显然过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; ②当0≠k 时,则00≠x ,直线MN 的方程为11
0+-=
x x y y 此时直线MN 显然不能过椭圆G 的两个顶点)2,0(),2,0(-; 若直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(,则11
00
0+-=
x y 即100=+y x 所以1484222
2=+++-k k k k ,解得:2,3
2
==k k (舍去) . 若直线MN 过椭圆G 的顶点)0,1(-,则11
00
0+--
=x y 即100-=-y x 所以14
84222
2-=+-+-k k
k k ,解得:524,524--=+-=k k (舍去) , 综上,当0=k 或3
2
=
k 或524+-=k 时, 直线MN 过椭圆G 的顶点. （Ⅲ）法一：由（Ⅰ）得椭圆W 的方程为12
22
=+y x , 根据题意可设),(n m P ，则)0,(),,(m C n m A --
则直线AC 的方程为)(2m x m
n
n y +=
+…① 过点P 且与AP 垂直的直线方程为)(m x n
m
n y --=-…②
①⨯②并整理得：2
22222n m y x +=+,又P 在椭圆W 上，所以1222=+n m 所以1222
=+y x ,即①、②两直线的交点B 在椭圆W 上,所以PB PA ⊥． 法二：由（Ⅰ）得椭圆W 的方程为12
22
=+y x 根据题意可设),(n m P ，则)0,(),,(m C n m A --，PA n k m ∴=
，2AC n k m
=
25.已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为36
，且过点)1,2(过点C （-1，0）且斜率
为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使25
MA MB 3K 1
⋅++是与k 无关的常数？若存在，求出点
M 的坐标；若不存在，请说明理由.
解：6，22c 6b 1
a 3a
∴=∴=.
又21），代入椭圆方程，得
22211a b +=.所以22
5a 5,b 3
==
.
∴椭圆方程为22
x y 155
+=，即22x 3y 5+=. ……………………………………4分
是与k 无关的常数，
设常数为t ，则22222
2k 6mk 3m k m t 3k 1
-+++=+. ……………………10分
整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，
223m 6m 13t 0,m t 0.⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩
解得1m 6=，即在x 轴上存在点M （1,06），
使25MA MB 3k 1
⋅++是与K 无关的常数. ……………………………12分
26.如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点()0,F p （0p >），
直线l :y p =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与x
, 过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥ 12l l Q =.
(Ⅰ)求动点Q 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）在直线l 上任取一点M 做曲线C 的两条切线，设切点为A 、B ，求证：直线AB 恒过一定点；
(Ⅲ)对（Ⅱ）求证：当直线,,MA MF MB 的斜率存在时，直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列.
对于方程①，代入点(,)M m p -得，1111()2p y x m x p --=
-，又2
1114y x p
= ∴211111
()42p x x m x p p
--
=-整理得：2211240x mx p --= 同理对方程②有22
22240x mx p --=
x
y l
F Ｏ ． Ｐ
Ｑ
Ｒ
1
l
2l ⌝
即12,x x 为方程22
240x mx p --=的两根.
∴
2
12122,4x x m x x p +==- ③
-----------------------8分
设直线AB 的斜率为k ，2
22121122
1211
()4()4y y x x k x x x x p x x p
--===+--
所以直线AB 的方程为211211()()44x y x x x x p p
-
=+-，展开得：
12121()44x x y x x x p p =
+-，代入③得：2m
y x p p
=+ ∴
直
线
恒
过
定
点
(0,)
p .
-------------------------------------10分。