§2.2 冲激响应和阶跃响应
2-2冲激响应和阶跃响应
6e ) (t ) (t )
3.冲激响应的一般形式： 左边为n阶，右边为m阶的微分方程： 当n >m时： h(t)具有自由响应（齐次解）的形式。
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
h(t ) (e
2t
e ) (t )
3t
当n =m时： h(t)有自然响应的形式并含有冲激 (t)。
f(t)
…… 0
t
……
t
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
f (0) (t ) f ( ) (t ) f (2 ) (t 2 ) f (k ) (t k )
b0 (t ) a0
上的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃 响应的一般形式(n≥m)为
g( t ) ( ci e
i 1
n
i t
b0 ) ( t ) a0
信号的时域分解
一、信号分解为冲激信号的叠加： 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分 解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的 分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问 题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过 程更加清晰。号分解为冲激信号序列就是其中 的一个实例。
y′(t)+3y(t)=2f(t)，t≥0
试求系统的冲激响应h(t)。
解:冲激响应h(t)满足动态方程式
h′(t)+3h(t)=2δ(t)，t≥0
由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左 边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设 ' h ( t ) A ( t ) B ( t ) 因而有 t ) A ( t ) h( 将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有 A ( t ) B ( t ) 3 A ( t ) 2 ( t ) A ( t ) ( B 3 A) ( t ) 2 ( t )
信号与系统2-2冲激响应与阶跃响应课件
8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为
阶跃响应、冲激响应
计算方法
对于线性时不变系统，可以通过求解微分方程或传递函数来 计算阶跃响应。
对于离散系统，可以通过差分方程或Z变换来计算阶跃响应。
阶跃响应的特点
1
阶跃响应具有非周期性和非振荡性。
2
阶跃响应的初始值和终值取决于系统的初始状态 和稳态值。
3
阶跃响应的变化速度取决于系统的动态特性和输 入幅度。
02
CATALOGUE
冲激响应
定义
冲激响应是指在单位冲激函数激励下 系统的输出，它是系统对输入信号的 瞬态响应。
冲激响应描述了系统在单位冲激函数 作用下的动态特性，是分析系统稳定 性和性能的重要依据。
计算方法
01
对于线性时不变系统，冲激响应可以通过系统的传 递函数进行计算。
02
对于离散时间系统，冲激响应可以通过系统的差分 方程进行计算。
阶跃响应、冲激响 应
目 录
• 阶跃响应 • 冲激响应 • 阶跃响应与冲激响应的联系与区别 • 阶跃响应与冲激响应的应用 • 阶跃响应与冲激响应的实验分析
01
CATALOGUE
阶跃响应
定义
阶跃响应是指系统在阶跃信号输入下 ，其输出量随时间的变化情况。
阶跃响应是系统对突然变化输入的响 应，其输出量由初始状态逐渐变化到 稳态值。
CATALOGUE
阶跃响应与冲激响应的联系与区别
联系
01 阶跃响应和冲激响应都是系统对输入信号的响应 方式，用于描述系统的动态特性。
02 阶跃响应和冲激响应都是系统对单位阶跃函数和 单位冲激函数的响应，具有相似性。
03 阶跃响应和冲激响应在一定程度上可以相互转换 ，例如通过积分或微分运算。
区别
定义
信号检测
冲激响应和阶跃响应收敛域
冲激响应和阶跃响应是控制系统中的两种常见的系统响应形式，而收敛域是指系统响应中的一种性质。
下面详细解释这三个概念：1. 冲激响应（Impulse Response ）： 冲激响应是指系统对单位冲激信号（单位冲激函数）的响应。
单位冲激信号通常用 δ(t) 表示，其数学定义为：δ(t )={0,t <0∞,t =00,t >0冲激响应可以通过将系统的输入设置为单位冲激信号，观察系统输出得到。
冲激响应对于分析系统的动态特性和频率响应非常有用。
2. 阶跃响应（Step Response ）：阶跃响应是指系统对单位阶跃信号（单位阶跃函数）的响应。
单位阶跃信号通常用 u (t ) 表示，其数学定义为：u (t )={0,t <01,t ≥0阶跃响应表示系统对于突然变化的输入的反应。
通过将系统的输入设置为单位阶跃信号，观察系统输出的变化，可以得到阶跃响应。
3. 收敛域（Convergence Region ）：收敛域是指系统响应中的一个区域，该区域内系统的响应趋于有限的数值或稳定。
在控制系统中，我们通常关注系统的稳定性，而稳定性可以通过观察系统的收敛域来判断。
•冲激响应的收敛域： 冲激响应通常在 t ≥0 的时间域内观察，系统的冲激响应在 t ≥0 时是否趋于有限的数值，这决定了系统的稳定性。
• 阶跃响应的收敛域： 阶跃响应同样也在 t ≥0 的时间域内观察，系统的阶跃响应是否在 t ≥0 时趋于有限的数值，也是判断系统稳定性的一个重要因素。
在分析控制系统时，特别是在频域中，收敛域的概念有助于评估系统的稳定性和性能。
总体来说，冲激响应和阶跃响应是控制系统分析中常用的工具，而收敛域则提供了有关系统稳定性的关键信息。
这些概念在控制系统设计和分析中都有着重要的作用。
第二章第2讲_冲激响应与阶跃响应
2
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
(k1 k2 ) (t ) (3k1 k2 ) (t ) (t ) 2 (t )
k1 k2 1 3k1 k 2 2
将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端
ke (t ) ke u(t ) ke u(t ) (t )
k e (t ) (t )
t
t
duc (t ) uc (t ) e(t ) dt
t
t
h (t ) e u (t ) rzs (t ) uczs (t ) e(t ) h(t )
d h (t ) t 3t t 3t ( k1e k2e ) (t ) (k1e 9k2e )u(t ) 2 dt t 3t ( k1e 3k2e ) (t )
(k1 k2 ) (t ) ( k1 3k2 ) (t ) (k1et 9k2e3t )u(t )
当n＝m时， h ( t )
ki e
i 1
i t
u (t ) kn 1 (t )
当n<m时，h(t)中还应包含(t)的导数
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
三、确定h(t)中的系数ki 将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各 级导数代入 方程右端，令对应项系数相等。
k 0
n
2、系统的零状态响应
( t ) h ( t )
对于线性时不变系 统 n
k (t t0 ) kh(t t0 )
rzs (t )
k 0
e ( k t ) t h ( t k t )
4卷积积分的性质2冲激响应和阶跃响应.pdf
第二章 连续系统的时域分析
2.1 LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解 二、关于0-和0+初始值 三、零输入响应和零状态响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应 二、阶跃响应
2.3 卷积积分
一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解
2.4 卷积积分的性质
一、卷积代数 二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性
yt
dt
3yt
d
f t
dt
f
t
如果已知：1 f t t2; 2 f t et , 分别求两种情况下此方
程的特解。
解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为
yp t P2t 2 P1t P0
这里P2， P1， P0，是常数。将此式代入方程得到
et[Ar1 cos( t r1) Ar2 cos( t r2) ... A0 cos( t 0)]
第2-3页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
例1 齐次解举例
求
d3 dt3
y
t
7
d2 dt2
y t 16 d
信号与系统 电子教案
2.1 LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+值 (系数匹配法求0+初始值)
例：描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y’(0+)。
冲激响应和阶跃响应的关系和意义
冲激响应和阶跃响应的关系和意义冲激响应和阶跃响应，这两个词听上去可能有点儿高大上，但实际上它们跟我们的生活有着千丝万缕的联系，简直就像是老朋友一样。
想象一下，你在街上走，突然有人从后面推了你一把。
这一下子，就是一个冲击，这个冲击就是冲激响应。
你一瞬间的反应，身体的感觉，那种“哎呀”瞬间传遍全身，反应速度极快。
这就是冲激响应的魅力。
它告诉我们，系统在瞬间受到刺激后是怎么反应的，像一根劲爆的鞭子，啪啪作响，充满力量。
然后，我们再来聊聊阶跃响应。
你可以把它想象成你收到了一份意外的快递。
快递一到，你打开箱子，里面是你期待已久的东西。
那种惊喜、兴奋，这种感受慢慢升温，就像是在烤箱里慢慢加热的蛋糕。
阶跃响应就是在这个快递到来后，系统如何逐步适应这个变化的过程。
最开始的震惊，逐渐转变为开心，再到最后的满足。
这是一种逐步稳定的状态，系统从一个阶段慢慢走向另一个阶段，仿佛是人们在生活中的成长。
有趣的是，冲激响应和阶跃响应之间有一种奇妙的联系，就像一对好搭档。
冲激响应是瞬时的，而阶跃响应则是持续的。
就像一个瞬间的灵感可以引发长久的创作灵感，冲击的那一瞬间会让你进入一种新的状态，阶跃响应就是你在这个新状态中慢慢适应和变化。
很多时候，冲激响应就像是生活中的一次小波动，而阶跃响应则是这波动引发的长远影响。
想想看，当你接到一个突如其来的好消息时，你的内心波澜起伏，之后的日子里，你的生活也因为这个消息而逐渐发生改变，这就是二者之间的关系。
而这两者的意义，简单来说就是帮助我们理解系统的行为。
无论是物理系统还是人类的心理状态，它们都在不同的情境下反映出一种反应模式。
就像我们的生活，总有突发状况，像雷阵雨一样来袭。
冲击过后，生活也许会变得不一样，经过一段时间的调整，慢慢适应新的环境，找回平静。
这就是冲激响应和阶跃响应的双重角色，既有瞬间的冲击，也有持续的变化。
再说说它们在工程和科学中的应用。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，他们需要考虑冲激响应，因为桥梁可能会受到突然的风压、车辆的冲击等。
2.2、冲击响应与阶跃响应
信号与系统电子教案信号与系统西安电子科技大学信号与系统电子教案 2.2 冲激和阶跃响应－概念2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
二、阶跃响应对LTI 系统，当输入为单位阶跃函数时系统的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，记为g(t)。
()t ε(){}()[],0T t g t ε=(){}()[],0T t h t δ=2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。
h(t)=T[{0},δ(t)]例1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
分析：按照定义要求，求解系统的冲激响应，即在下列条件下求系统响应（以h(t)表示）f(t) = δ(t)h(n-1)(0-)=…=h’(0-) = h(0-) = 0例1描述某系统的微分方程为y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。
解根据h(t)的定义有h ”(t) + 5h ’(t) + 6h(t) = δ(t)h ’(0-) = h(0-) = 0因方程右端有δ(t)，故利用奇异函数匹配法。
h ”(t)中含δ(t)，h ’(t)含ε(t)，h ’(0+)≠h’(0-)，h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。
积分得[h ’(0+) -h ’(0-)] + 5[h(0+) -h(0-)] + 6 = 1考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h’(0+) =1 + h ’(0-) = 1⎰+-00)(dt t h a.求初始值h ’(0+)和h(0+)。
()-+∈0,0t对t>0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)=0故系统的冲激响应为一齐次解。
微分方程的特征根为-2，-3。
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n
a n 1
d n 1 y (t ) d t n 1
d y (t ) a1 a0 y (t ) dt b1 d f (t ) b0 f (t ) dt
d m f (t ) dtm
bm 1
d m 1 f (t ) d t m 1
h (t ) C1e t C2 e 3t (t ) C1e t 3C2 e 3t (t )
t 3t 1 2 1 2t3t12
1
2
1
2
将h(t ), h(t ), h(t )代入原方程
C1 C2 (t ) 3C1 C2 (t ) 0 (t ) (t ) 2 (t )
的冲激响应。
y(t)→h(t)
d h( t ) d h( t ) d (t ) 4 3h( t ) 2 ( t ) 2 dt dt dt
求特征根 冲激响应
2 4 3 0 1 1, 2 3
n 2, m 1, n m ht 中不包含冲激项
的冲激响应。
h1 (t ) C1e t C2e 3t (t )
dt2
d h1 (t ) 4 3h1 (t ) (t ) dt
h1 ' 0 1
h1 0 0
将边界条件代入h1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2，
1 t h1 (t ) e e 3t (t ) 2
t
d g (t ) , h(t ) dt
t
阶跃响应是冲激响应的 积分，注意积分限：
－
t
, 对因果系统：
0
▲
■
第 10 页
带ε(t)
h(t ) (C1e t C2e 3t ) (t )
• 奇异函数项相平衡法
■
两种求待定系数方法： •求0+法
第 5页
法一：求0+值确定系数
d 2 ht a t b t r1 t 2 dt d ht a t r2 t dt ht r3 t
设
h0 1 , h' 0 2 代入h(t)，确定系数C1,C2，得
1 t 3t h(t ) (e e ) (t ) 2
▲ ■ 第 6页
法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t ) C1e t C2e 3t (t )
C C (t ) C e 3C e (t ) ht C C t C 3C t C e 9C e t
▲ ■ 第 3页
• h(t)解答的形式
由于(t)及其导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程式右端 的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解 的形式相同。 ①与特征根有关 例:当特征根均为单根时
n i t h(t ) Ci e (t ) i 1
②与n, m相对大小有关 当n m时，ht 不含 t 及其各阶导数；
当n m时，ht 中应包含 t ； 当n m时，ht 应包含 t 及其各阶导数。
▲ ■ 第 4页
冲激响应求解举例3
求系统 dt2 解：将f(t)→(t)，
2
d 2 y (t )
4
d y (t ) d f (t ) 3 y(t ) 2 f (t ) dt dt
根据系数平衡，得
1 C1 C1 C2 1 2 3C1 C2 2 C2 1 2
1 t h(t ) e e 3t (t ) 2
▲
■
第 7页
解法三：线性时不变性质法
求系统 dt2 解： 设h (t)满足简单方程 1
d 2 h1 (t ) d 2 y (t ) 4 d y (t ) d f (t ) 3 y(t ) 2 f (t ) dt dt
d dt
d f (t) dt
∫
t
f ( x) d x
(c) 微分器h(t) =δ '(t)
(d) 微分器h(t) =ε (t)
▲
■
第 9页
二．阶跃响应
g(t)= T [ε(t) ，{0}] 线性时不变系统满足微、积分特性
(t ) (t ) d t
t
g (t ) h( ) d
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)]
t
ht
T {0}
▲
■
第 2页
2．系统冲激响应的求解
•冲激响应的数学模型
对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示
响应及其各 阶导数(最 高阶为n次)
令 f(t)=(t) 则 y(t)=h(t)
激励及其各 阶导数(最 高阶为m次)
h n (t ) an 1h n 1 (t ) a1h 1 (t ) a0 h(t )
bm m (t ) bm1 m1 (t ) b1 1 (t ) b0 (t )
则由系统的线性时不变特性
dh1 (t ) 1 h(t ) 2h1 (t ) e t e 3t (t ) dt 2
▲
■
第 8页
3. 基本单元的冲激响应
f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ (t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ (t-T) f (t)