2.3.2平面与平面垂直的判定
2.3.2面面垂直的判定
A
)
B．它们两两都垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、
平面PAD都不垂直
例2
如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，
CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中 点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
1.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 为长方体，且底
面ABCD为正方形．求证：截面ACB1⊥平面 BDD1B1.
解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.
又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1B1，
又AC⊂平面ACB1，
∴截面ACB1⊥平面BDD1B1.
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_____ 无数 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂直. 2.过一点可作_____ 1 个平面与 3.过平面α的一条斜线，可作____ 平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作____ 1 个平 面与α垂直.
学完一节课或一个内容，
应当及小结，梳理知识
1、证明面面垂直的方法：
（1）证明二面角为直角 （2）用面面垂直的判定定理 2、 线线垂直
线面垂直面面垂直
二面角的计算步骤
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明所作的角就是所求二面角的平面角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
4.如图，P 是边长为 2 2的正方形 ABCD 外 一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且 PC＝5，
2
2
B
1
α
l
A
O
M
β
6.如图，已知A、B是120的二 面角—l—棱l上的两点，线 段AC，BD分别在面，内，且 AC⊥l，BD⊥l ，AC=2，BD=1， B C AB=3，求线段CD的长。
2.3.2平面与平面垂直的判定定理
l
B'
O' B
O
②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱
二面角的平面角
一个平面垂直于二面角
的 棱 ， 并 与 两 半 平
面分别相交于射线 PA 、 PB 垂足为P，则∠APB叫做二面
ι
γ
P A B
β
角 的平面角
二面角记作 l
l
l l二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
D1 A1 D A B B1 C C1
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平 面垂直. 符号语言：
a B a A
a
该定理作用：“线面垂直面面垂直”
应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个面的垂线.
例: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平 面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
回顾：直线和平面所成的角是怎样定义的？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直 线和这个平面所成的角.
思考：那么平面与平面之间能形成角吗？
我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 我们应该怎么刻画这个角的大小？
二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 做二面角 , 这条直线叫做二面角的棱 , 每个半平 面叫做二面角的面,
2.3.2平面与平面垂直的判定
如何确定？
A
B
D
C
课堂练习： 一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的一条直线，则α⊥β.（ ）×
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β
内的两条直线，则α⊥β.（ ）×
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内
的两条相交直线, 则α⊥β.（ ）√ 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( √)
2.3.2平面与平面 垂直的判定
复习回顾
两直线所成角的取值范围： [ 0o, 90o ]
直线和平面所成角的取值范围：[ 0o, 90o ]
平面的斜线和平面
O
所成的角的取值范围：
( 0o, 90o )
1
A
B
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
解决.
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD
A
B
C
E
D
说这个二面角是多少度．
① 二面角的两个面重合： 0o；
B
② 二面角的两个面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]．
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
二 2）角的两边分别在两个面内
面 3）角的边都要垂直于二面角的棱
角
的
平 面 角
A
A B
C E
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC的三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面的二面角的大小？ D
§2.3.2平面与平面垂直的判定
§2.3.2 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1. 理解和掌握二面角和二面角的平面角的相关概念； 2. 掌握平面与平面垂直的判定定理. 【重点难点】 1.二面角的平面角； 2.面面垂直的判定定理. [自主感知] 1. 二面角及其相关定义？ 2. 两个平面互相垂直的判定定理: 文字语言：若一个平面过另一个平面的 ,则这两个 平面 .简称：若线面垂直，则面面垂直 符号语言：若_______________________________，则 . [深入探究] 探究一：二面角大小的表示往往利用二面角的平面角例 2 如图所示，已知三棱锥D ABC -中，满足A B A C D B ==DC == 2,BC DA ==，求二面角A B C D --的大小. 探究二：面面垂直判定定理的考察 例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC PBC ⊥平面.……………………………………装…………………………………订…….…………………………………线……….………………………………...................................…[拓展运用]例3 如图，在正方体''''ABCD A B C D-中，求证：平面''ACC A⊥平面'A BD．【课堂小结】1.二面角的平面角；2.面面垂直的判定定理.【当堂检测】1.已知直线l⊥平面α，则经过l且和平面α垂直的平面有（）A.1个B.2个C.有无数个D.不存在2.正方体A1B1C1D1－ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于()A.33B.22C. 2D. 33.直线l是平面α的斜线，则经过l且和平面α垂直的平面有个.4.四边形ABCD是矩形，P为平面ABCD外一点，P A⊥平面ABCD，且P A=AB，则二面角P—BC—D的大小为.【课下作业】复习导学案，并完成相应学科练.【预习指导】请同学们提前预习下一节课课本内容和导学案.。
第二章 2.3.2 平面与平面垂直的判定
2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直.知识点一二面角的概念1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.相关概念：(1)这条直线叫做二面角的棱；(2)两个半平面叫做二面角的面.3.画法：4.记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA⊂α，OB⊂β；(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)画法：(3)记作：α⊥β.2.平面与平面垂直的判定定理1.二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直.(√)2.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关.(×)3.已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.(√)4.两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)题型一二面角的求法例1(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：①二面角D′－AB－D的大小为________.②二面角A′－AB－D的大小为________.答案①45°②90°解析①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D 的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A－BC－O的大小.解如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a.∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ， ∴AD ⊥BC .∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角. 由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α， 知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a . 在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a ＝233a .在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32.∴∠ADO ＝60°，即二面角A －BC －O 的大小是60°.反思感悟 (1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法. 跟踪训练1 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上的一点，且P A ＝AC ，求二面角P －BC －A 的大小.考点 二面角 题点 求二面角的大小解 由已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，P A，AC⊂平面P AC，∴BC⊥平面P AC.又PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.题型二平面与平面垂直的判定例2在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面P AC.证明∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面P AC.反思感悟(1)证明平面与平面垂直的方法①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.跟踪训练2已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F 为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点.求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.证明 延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN .连接BD .由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，可知AA 1⊥平面ABCD ， 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD . ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . 又∵AC ∩A 1A ＝A ，AC ，A 1A ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.∵BF ∥CC 1，F 为NC 1的中点，∴B 为NC 的中点. 在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA ＝BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形， ∴NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1.又∵NA ⊂平面AFC 1，∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.图形的折叠问题典例 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明 取BE 的中点N ，CD 的中点M ，∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ， 又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交， 又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ， ∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ， ∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .[素养评析] (1)折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.(2)折叠问题要借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，理解所要解决的数学问题，对于平面与平面垂直问题的证明，要有理有据，有逻辑地表达出来，所以，本题充分体现直观想象与逻辑推理的数学核心素养.1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面( ) A.有且只有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有两个 D.有一个或无数个答案 D2.直线l ⊥平面α，l ⊂平面β，则α与β的位置关系是( ) A.平行 B.可能重合 C.相交且垂直D.相交不垂直 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C. 3.下列命题中正确的是( )A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥βC.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥βD.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 考点 平面与平面垂直的判定 题点 判定两平面垂直 答案 C解析 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A 错；由直线与平面垂直的判定定理知，B，D错，C正确.4.在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A.AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB.AO⊥l，BO⊥lC.AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD.AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案 D5.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC 翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，求此时二面角B－AD－C的大小.考点二面角题点看图索角解由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.1.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”.2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直.(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.一、选择题1.下列不能确定两个平面垂直的是()A.两个平面相交，所成二面角是直二面角B.一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C.一个平面经过另一个平面的一条垂线D.平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直.2.已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3考点垂直问题的综合应用题点线线、线面、面面垂直的相互转化答案 C解析①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确.所以正确结论的个数是2.3.如图，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对B.3对C.4对D.5对考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 D解析∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面ABCD，又CD⊥平面P AD，AB⊥平面P AD，BC⊥平面P AB，∴平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD，平面PBC⊥平面P AB，∴共有5对互相垂直的平面.4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中正确的是()A.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案 C解析由m∥α，m∥n得n∥α或n⊂α，由n⊥β，知α⊥β.5.如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案 C解析因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.6.在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于()A.90°B.45°C.60°D.30°考点 二面角 题点 求二面角的大小 答案 A解析 如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 中点F ，连接AF ，CF .由题意可得AF ＝CF ＝22a ，∠AFC ＝90°. 在Rt △AFC 中，可得AC ＝a ， ∴△ACD 为正三角形. ∵E 是CD 的中点， ∴AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°，故选A.7.在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是( )A.平面P AB ⊥平面P ADB.平面P AB ⊥平面PBCC.平面PBC ⊥平面PCDD.平面PCD ⊥平面P AD 答案 C解析 对于A ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥AB ，又AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∴平面P AB ⊥平面P AD ，故A 正确；对于B ，∵P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PBC ，故B 正确；对于D ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥CD ，又CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面P AD ，∴平面PCD ⊥平面P AD ，故D 正确.故选C.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为( ) A.32 B.22C. 2D. 3 考点 二面角题点求二面角的大小答案 C解析如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设AA1＝1，则AO＝2 2.∴tan∠A1OA＝122＝ 2.二、填空题9.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为________. 答案60°解析正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为3，故所求的二面角为60°.10.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)答案①④解析①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.11.α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________. 考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直答案①③④⇒②解析m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，∴α⊥β.故答案为①③④⇒②.三、解答题12.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点.求证：平面EBD⊥平面ABCD.考点平面与平面垂直的判定题点用定义法证明两平面垂直证明连接AC与BD交于O点，连接OE.∵O为AC的中点，E为SA的中点，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又∵EO⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.13.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.证明(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.14.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)考点平面与平面垂直的判定题点判定两平面垂直答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由题意得BD⊥AC，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.15.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝12AA 1.因为BE ＝EB 1，A 1B 1＝CB ，∠A 1B 1E ＝∠CBE ＝90°，所以△A 1B 1E ≌△CBE ，所以A 1E ＝CE .因为F 为A 1C 的中点，所以EF ⊥A 1C .又FG ∥AA 1∥BE ，GF ＝12AA 1＝BE ，且BE ⊥BG ， 所以四边形BEFG 是矩形，所以EF ⊥FG . 因为A 1C ∩FG ＝F ，所以EF ⊥侧面ACC 1A 1. 又因为EF ⊂平面A 1CE ，所以截面A 1CE ⊥侧面ACC 1A 1.。
【高中数学必修二】2.3.2平面与平面垂直的判定
M
A
N
C
线线垂直
O
线面垂直
B
面面垂直 若AM⊥PC，N是PB上一点，
求证：平面PBC⊥平面AMN
课堂小结
1.二面角及其平面角的概念 2.二面角的范围及求二面角的步骤 3.两个平面垂直的定义 4.两个平面垂直的判定定理 5.证明两个平面垂直的方法 （1）定义法（2）判定定理
6.核心思想：
线线垂直 线面垂直 面面垂直
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.在立体几何中,如何度量"异面直线所成的角"？
2.在立体几何中,如何度量"直线和平面所成的角"？
引入课题
既然线线存在角，线面存在角，那么面面是否
也存在角呢？如果面面存在角该如何度量呢？
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每 一部分都叫做射线。
l
A
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的 每一部分都叫做半平面。
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。
Q
二面角的表示
B P
二面角 l 二面角 AB 二面角P l Q 二面角P AB Q
10
求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角;
2、证明找到角就是二面角的平面角;
3、求出此平面角的大小。
一“找”二“证”三“求”
关键：确定二面角的平面角.
两个平面垂直的定义:
一般地，两个平面相交，如果它们所成二面角是直 二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
l
2.3.2用平面与平面垂直的判定定理
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图， OA l , OB l ，则∠AOB成为二面角 l 的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A' A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
补充
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A B B’ O C C’ A
B
E
O
D C
二面角A--BC--D
（定义法）
（垂线法）
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二、平面与平面垂直的判定
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
面面垂直的判定定理
文字语言：如果一个平面经过另一个平面 的一条垂线，那么这两个平面 互相垂直 a 符号语言： a B 图形语言：
由△ABC≌△DBC 可证出△EOC≌△FOC.
所以∠EOC=∠FOC= 即 FO⊥BC.
,
又 EO⊥BC,因此 BC⊥面 EFO. 又 EF⊂面 EFO,所以 EF⊥BC.,
（2）在图 1 中,过 O 作 OG⊥BF,垂足为 G,连 EG.由平面 ABC⊥平面 BDC,从而 EO⊥面 BDC,又 OG⊥BF,由三垂线定理知 EG⊥BF. 因此∠EGO 为二面角 E-BF-C 的平面角.
半 平 面
l
半 平 面
面 面
棱
l
(3) 二面角的画法和记法： 面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
C
l
2.3.2平面与平面垂直的判定
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
面PAC 面PBC
探究1： 如图为正方体,请问哪些平面与 面A1 B 垂直?
D1 A1 面BC1 面A1B 面A1C1
规律总结：1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一 定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法 方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特 殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线． 如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面 角．
方法二：(垂线法)过二面的一个面内一点作 另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利 用线面垂直可找到二面角的平面角或其补 角． 如图所示，∠AFE为二面角A－BC－D的平 面角．
B D A
C
●互动探究
面面垂直的判定
如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1 的中点．证明：平面ABM⊥平 面A1B1M. [探究] 1．证面面垂直关键让 线面垂直，找平面的垂线． 2．平面A1B1M的垂线是谁？
[证明] 由长方体的性质可知 A1B1⊥平面 BCC1B1， 又 BM⊂平面 BCC1B1，所以 A1B1⊥BM. 又 CC1＝2，M 为 CC1 的中点，所以 C1M＝CM＝1.
棱l的射线 OA、OB，则∠AOB 叫做二面角 -l- 的平面角．
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∠AOB的大小一定．
二面角的大小用它的 平面角来度量.
P
5．二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来 度量．即二面角的平面角是多少度，就
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所以 EF 是△ABD 的中位线， 所以 EF∥AD. 因为 EF⊄平面 ACD，AD⊂平面 ACD， 所以直线 EF∥平面 ACD. (2)因为 AD⊥BD，EF∥AD，所以 EF⊥BD.因为 CB ＝CD，F 是 BD 的中点，所以 CF⊥BD. 又 EF∩CF＝F，所以 BD⊥平面 EFC. 因为 BD⊂平面 BCD， 所以平面 EFC⊥平面 BCD.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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[边听边记]
证法一：利用定义证明．
∵∠BSA＝∠CSA＝60° ，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形， 则有 SA＝SB＝SC ＝AB＝AC，令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形． 如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，
画 横边垂直，如图． 法
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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判 文字表述：一个平面过另一个平面的
垂线 定 __________ ，则这两个平面垂直．
定 a⊥ β ⇒ α⊥ β 符号表示： a⊂α _______ 理
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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[规范解答]
如图所示，在平面 α 内，过 O 作 OD⊥
BC，垂足为 D，连接 AD.2 分 设 OC＝a，∵AO⊥α，BCα， ∴AO⊥BC.又 AO∩OD＝O，∴BC⊥平面 AOD.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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而 AD平面 AOD， ∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角 ABCO 的平面角.6 分 由 AO⊥α，OBα，OCα，知 AO⊥OB，AO⊥OC. 又∠ABO＝30° ，∠ACO＝45° ， ∴AO＝a，AC＝ 2a，AB＝2a. 在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ， ∴BC＝ AC2＋AB2＝ 6a，
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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平面与平面垂直的判定 如图，已知∠ BSC ＝ 90° ，∠ BSA ＝∠ CSA ＝ 60° ，又 SA＝SB＝SC，求证：平面 ABC⊥平面 SBC.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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[思路探究] 1．两个平面垂直的定义是什么？由面面垂直是否可 以证明线线垂直？ 2．应用平面与平面垂直的判定定理证明面面垂直的 关键是什么？ 3．要证面面垂直关系首先要分析出什么位置关系？
ABCD垂直的面有( A．1个 C．4个 解析： ) B．3个 D． 5 个 与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面 C
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个． 答案：
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2．有下列说法： ①两个相交平面组成的图形叫作二面角； ②两条异面直线分别和一个二面角的两个半平面垂 直，则这两条异面直线所成的角与二面角的平面角相等 或互补； ③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个 半平面内作射线所成的角；
一平面即可．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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1．理解二面角、面面垂直的概念．
2．掌握二面角的平面角、面面垂直的判定定理．
Hale Waihona Puke 3．能够利用面面垂直的判定定理判断或证明有关
面面垂直的问题．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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二面角
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AB· AC 2a· 2a 2 3 ∴AD＝ BC ＝ ＝ a. 3 6a AO a 3 在 Rt△AOD 中，sin∠ADO＝AD＝ ＝ .10 分 2 2 3 a 3 ∴∠ADO＝60° ，即二面角 ABCO 的大小是 60° .12 分
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求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”．
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2．矩形 ABCD 的两边 AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 4 3 ABCD，且 PA＝ ，则二面角 ABDP 的度数为( 5 A．30° C．60° B．45° D．90° )
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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1.对平面与平面垂直的判定定理的认识 平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直 线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记 为“线面垂直，则面面垂直 ”．因此，处理面面垂直问题 转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直 问题．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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∴BC⊥平面 PAC. 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 PAC⊥平面 ABC. (2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 DAPC 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， BC 2 ∴sin∠BPC＝ ＝ . PB 5
范围 0° ≤θ≤180°
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2.二面角的平面角
在二面角 α－l－β 的棱 l 上任取一点 O， 以点 O
垂直 于棱 文 字 为垂足，在半平面 α 和 β 内分别作______
射线 OA 和 OB， 语言 l 的______ 则射线 OA 和 OB 构成的 ∠AOB 叫做二面角的平面角． _________
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解析： (1)证明：∵D 是 AB 的中点，△PDB 是正三 角形， AB＝20， 1 ∴PD＝ AB＝10，∴AP⊥PB. 2 又 AP⊥PC，PB∩PC＝P， ∴AP⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC， ∴AP⊥BC. 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A，
找到二面角的平面角或其补角．
如图③，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．
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平面与平面垂直
平面与平面垂直 定 义 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是
直角 ，就说这两个平面互相垂直，记作： ______ α⊥ β ______.
通常把直立平面的竖边画成与水平平面的
答案： B
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3．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直 于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝AC，则二面角 PBCA的 大小为________．
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解析： ＝A，
由条件得 PA⊥BC，AC⊥BC，又 PA∩AC
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方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平 面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所 成的角，即为二面角的平面角．
如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．
方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个
平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可
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证法二：利用判定定理． ∵SA＝AB＝AC， ∴点 A 在平面 SBC 上的射影为△SBC 的外心． ∵△BSC 为直角三角形， ∴A 在△BSC 上的射影 D 为斜边 BC 的中点． ∴AD⊥平面 SBC. 又∵平面 ABC 过 AD， ∴平面 ABC⊥平面 SBC.
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1.二面角
二面角
两个半平面 从一条直线出发的 ______________ 所组成的
图形叫做二面角．
这条直线 叫做二面角的棱．_____________ 这两个半平面 __________
定义 叫做二面角的面．
二面角α－l－β 如图，记作：_______________
二面角P－AB－Q 或 或__________________ 二面角P－l－Q __________________.
常用的两个平面互相垂直的判定方法：
(1)定义法，即说明这两个平面所成的二面角是直二
面角；
(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂
线，则这两个平面互相垂直；
(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另 一个也垂直于第三个平面．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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1．长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面
∴BC⊥平面 PAC，∴∠PCA 为二面角 PBCA 的平 面角．在 Rt△PAC 中，由 PA＝AC 得∠PCA＝45° .
答案： 45°
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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4．如图所示，已知三棱锥 PABC，∠ACB＝90° ， CB＝4， AB＝20， D 为 AB 的中点， 且△PDB 是正三角形， PA⊥PC. (1)求证：平面 PAC⊥平面 ABC； (2)求二面角 DAPC 的正弦值．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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二面角 已知 Rt△ABC，斜边 BCα，点 A∉α，AO⊥ α ， O 为垂足，∠ ABO ＝ 30° ，∠ ACO ＝ 45° ，求二面角 ABCO 的大小．