第21章小结与复习

x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，用交点式较方便．
6.反比例函数的性质特征： 形 状 图象是双曲线
位置
当k>0时,双曲线分别位于第一,三象限内 当k<0时, 双曲线分别位于第二,四象限内
当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大
增减性
变化趋势 双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5 下列函数：①y＝ 2x －1 ；②y＝－ ；③y＝x 2＋8x － 2； x ④y＝ 3 1 a ；⑤ y ＝ ；⑥ y ＝ 中， y 是 x 的反比 例函数的有 x2 2x x
_______(填序号)．
②⑤
8.k 值与面积问题 在反比例函数图象上，任意取一点向两坐标轴作垂线段， 与两坐标轴所围成的四边形的面积为|k|.
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解：（1）开口向上，对称轴为直线x=-1,顶点M(-1，-2);
3 2 C 0 , , A 3, 0 ,B 1, 0 2
(3)当x＜-1时，y随x的增大而减小，当x=-1时，y值
最小，为y=-2；
(4)当x＜-3或x＞1时，y＞0，当-3＜x＜1时，y＜0.
(3)当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，x≥1. 即服药 1 小时后；当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克，
8 即x ≥2，x≤4.即 2<x≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时间是
1＋2＝3(小时)．
注意:不要忽略自变量的取值范围．
当堂练习
k 1．已知反比例函数 y＝x的图象经过(1，－2)，则 k＝ ________. －2
第21章 二次函数与反比例函数
本章小结与复习
知识构架
考点分类
当堂练习
复习归纳
知识构架
实际问题
归纳 抽象
二次函数 y=ax2+bx+c
图象
性质
目标
实际问题 的答案
利用二次函数的图 象和性质求解
考点分类
1.二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数，叫做二次函数.特别地，当b=0,c=0时，y=ax2；当
1440 =24 2 30
时，
P为最大值：(-30×24+960)(24-16)=1920（元） 答：当销售价格为每件24元时，每月利润最大，最大利润为 1920元.
复习归纳
y = a( x +h )2 + k 左右 平移 y = ax2 + k 上下 平移 y= ax2 左右 平移 上下 平移 y = a(x + h )2
（-1，8） 对称轴是 x = -1. 是由抛物线 y = -2x 2 向左 x 平移 1 个单位，向上平移 8 个单位得到的．
1 2 3 已知二次函数 y x x 6. 2 2 （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标;
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点求C，A， B的坐标; （3）x为何值时，y随x的增大而减小，x为何值时,y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？
1 x≠3 2．函数 y＝ 中自变量 x 的取值范围是__________ ． x－3 k 3．如图，点 A 在双曲线 y＝ 上，AB⊥x 轴于 B，且 x
－4－4 △AOB 的面积 S△AOB＝2，则 k＝__________.
3 4．如图，点 A，B 是双曲线 y＝x 上的点，分别经过 A、 4 B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1，则S1＋S2＝_____.
一元二次方程 ax2+bx+c= 0的根 有两个不等的实 数根 有两个相等的实 数根 没有实数根
没有交点
5.求二次函数 y＝ax2＋bx＋c的解析式.
a，b，c 的值． (1)关键是求出待定系数____________
(2)设解析式的三种形式： y＝ax2＋bx＋c ，当已知抛物线上三个点时，用 ①一般式：______________ 一般式比较简便； y＝a(x－h)2＋k ，当已知抛物线的顶点时，用 ②顶点式：________________ 顶点式较方便； y＝a(x－x1)(x－x2) ，当已知抛物线与 ③交点式(两根式)：__________________
反比例函数: 等价形式：(k ≠0)
k y x
y=kx-1
xy=k
在反比例函数图象上，任意取一点向两坐标轴作垂线段， 与两坐标轴所围成的四边形的面积为|k|.
解析：由k的几何意义知，S1＋S阴影＝3，所以S1＝3－1
＝2.同理，得S2＝2.
5. 用配方法求出函数 y = -2x 2 - 4x + 6 的图象的对称轴、顶 点坐标，画出函数图象，并说明图象是由抛物线y = -2x 2 经
过怎样的平移得到的． y
8 6 4 -4 -2 2 O -2 2 4
2 +8 y = -2（x + 1）
b=0时，y=ax2+c. 2.各种形式的二次函数的关系 y = a( x +h )2 + k 左右 平移 y = ax2 + k 上下 平移 y= ax2 左右 平移 上下 平移 y = a(x +h )2
3.二次函数的图象和性质 y=a(x+h)2+k (a≠0) 图象 开口 对称轴 向上 直线x=-h 向下 直线x=-h a>0 a<0
9.实际问题与反比例函数 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克．已知服药 后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y(单位：毫克)与时间 x(单 位：小时)成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例(如图 )．根
据以上信息解答下列问题：
(1)求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数关系式；
顶点
最值 增减性
(-h,k) 当x=-h时, y最小值=k
当x<-h时，y随着x增 大而减小；…
(-h,k) 当x=-h时, y最大值=k
当x<-h时，y随着x增 大而增大；…
抛物线 开口 对称轴 顶点 最值
y=ax2+bx+c(a>0) 向上
b 直线 x 2a
y=ax2+bx+c(a<0) 向下
7 . 根据下列条件，求出二次函数的解析式．
(1)图象经过（-1，1）,（1，3）,（0，1）三点；
2 y x x 1
(2)图象的顶点为（-1，-8），且过点（0，-6）；
2 -8 y = 2 （x + 1）
8. 某商场购进一批单价为16元的日用品,经实验发现若按
每件20元的价格销售时,每月能卖360件,若按每件25元的价
(2)求当 x>2 时，y 与 x 的函数关系式；
(3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则 服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：(1)当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系． 设 y＝kx，由于点(2,4)在直线上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
k (2)当 x >2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设 y＝ . x k 由于点(2,4)在图象上，所以 4＝ ， k ＝8. 2 8 即 y＝ . x
在对称轴的左侧,y随着x 的增大而减小. 在对称轴 增减性 的右侧, y随着x的增大而 增大.
在对称轴的左侧,y随着x 的增大而增大. 在对称轴 的右侧, y随着x的增大而 减小.
4.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元
二次方程根的关系：
二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点 有两个交点 只有一个交点 （顶点） 一元二次方程 ax2+bx+c= 0根的判 别式Δ=b2-4ac b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0 b2 – 4ac < 0
直线 x b 2a
b 4acb2 2a , 4a
b 4acb2 2a , 4a
2 2 b 4 ac b b 4 ac b 当 x 时 , y 最小 值 当 x 时 , y 最大值 2 a 4 a 2 a 4 a
对称性
双曲线是中心对称图形.又是轴对称图形，y=x与y=-x
是它的两条对称轴，原点是它的对称中心.
7.反比例函数的定义和解析式 1．反比例函数通常有以下三种形式(k≠0)：
k － ①y＝x；②xy＝k；③y＝kx 1.
2．反比例函数自变量的取值范围：x≠0. 3．求反比例函数的解析式，一般采用待定系数法．
1 如图，点 A 在双曲线 y＝x上，点 B 在双曲 3 线 y＝x上，且 AB∥x 轴，C，D 在 x 轴上，若四边形 ABCD
2 为矩形，则它的面积为________ ．
பைடு நூலகம்
解析：延长 BA 与 y 轴相交于点E，则矩形OCBE 的面 积为3，同理矩形 ODAE 的面积为 1，所以矩形 ABCD 的面 积为2.
格销售时,每月能卖210件,假设每月销售件数为y(件)是价格 x(元/件)的一次函数. (1)试求y与x之间的函数关系式； (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下, 问:销售价格定为每件多少时,才能使每月获得最大 利润?每月的最大利润是多少?
解: (1)设 y=kx+b， 把x=20时,y=360;x=25时,y=210分别代入上式 , 360=20k+b 210=25k+b 解得 k=-30,b=960 故 y=-30x+960； （2）设每月利润为P元, P=y(x-16)=(-30x+960)(x-16) =-30x² +1440x-15360 得 ∴当 x