初中数学九年级下册第一章 本章小结与复习
九年级数学第一章-知识点总结
九年级数学第一章-知识点总结数学是一门抽象而又具有逻辑性的学科，它无处不在，无时不在。
在学习数学的过程中，我们要逐渐掌握各个知识点，并能够熟练运用。
九年级数学第一章是关于函数的学习，下面我将对本章的各个知识点进行总结。
一、函数的概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
在函数中，自变量的取值唯一对应一个确定的因变量的值。
我们可以用来表达一个函数的形式，函数的定义域、值域以及一些基本的性质。
二、一次函数一次函数是一个常见的函数类型，其定义域为全体实数集。
一次函数的图像是一条直线，可以用y=ax+b的形式来表示。
其中，a称为斜率，b称为截距。
我们可以通过斜率和截距来确定一次函数的性质，比如判断其单调性、奇偶性等。
三、二次函数二次函数是由x的二次多项式表达的函数，其中x的最高次数为2。
它的定义域为全体实数集，图像为抛物线。
二次函数的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
我们可以通过二次函数的a值来判断其图像的开口方向，通过判别式b²-4ac来确定其图像与x轴的交点个数。
四、反比例函数反比例函数是由x的分式表达的函数，其中x和y的乘积为一个常数k。
反比例函数的一般式为y=k/x，其中k为常数。
反比例函数的图像是一个双曲线，它有一个特殊的性质，即随着自变量的增大，函数值越来越小，反之亦然。
五、复合函数复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。
在复合函数中，一个函数的输出值作为另一个函数的输入值，两个函数之间有着清晰的顺序关系。
我们可以通过复合函数来描述更加复杂的数学关系，应用于实际问题的求解中。
六、函数的图像与性质每种函数都有其特定的图像和性质。
根据函数的类型，我们可以判断出函数的单调性、奇偶性、最值等。
通过函数图像的变化，我们可以直观地理解函数的性质，并且可以进行更多的推理和应用。
七、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如利用一次函数来描述速度与时间的关系，利用二次函数来建模抛物线的运动，利用反比例函数来计算比例关系等等。
九年级下数学第一章知识点
九年级下数学第一章知识点数学作为一门基础学科，对于学生的思维能力和逻辑思维能力有着重要的培养作用。
九年级下学期，数学的第一章内容围绕着数的整除性展开。
下面将介绍该章节的一些重要知识点和应用。
一、质数与合数在九年级下学期数学中，质数与合数是一个非常重要的概念。
质数指的是只能被1和它本身整除的自然数，比如2、3、5等。
而合数则是除了1和自身之外，还能被其他自然数整除的数，比如4、6、8等。
理解质数与合数的概念对于后面的学习很有帮助。
二、最大公因数与最小公倍数在九年级下学期数学中，最大公因数和最小公倍数是一个重要的概念。
最大公因数是指两个或多个数公有的约数中最大的那个数，最小公倍数则是指两个或多个数公有的倍数中最小的那个数。
最大公因数和最小公倍数在实际生活中有着广泛的应用，比如在分数化简、解方程等问题中都需要用到这两个概念。
三、素因数分解素因数分解也是九年级下学期数学中的重要内容。
素因数分解是将一个合数分解成几个质数的乘积的过程。
通过素因数分解，我们可以更好地理解一个数的因数结构，也可以应用到小数的化简、解方程等问题中。
四、公因式与公倍式在九年级下学期数学中，公因式与公倍式是一个需要掌握的重要知识点。
公因式指的是两个或多个数都能整除的因数，公倍式则是指两个或多个数都是其倍数的数。
通过找到两个或多个数的公因式或公倍式，可以更好地简化问题，化简分数、解方程等问题中经常会遇到。
五、约分与通分在九年级下学期数学中，约分与通分是一个非常基础的知识点。
约分是指将一个分数化简成最简形式的过程，通分则是指将多个分数的分母改成相同的公倍数的过程。
掌握约分和通分的技巧可以帮助我们更好地进行计算和化简。
六、有理数的整除性有理数的整除性也是九年级下学期数学中的一个重要知识点。
有理数是指可以表示为两个整数的比的数，包括正整数、负整数和分数。
在解方程、比大小等运算中，有理数的整除性对于帮助我们准确计算和判断有着重要的作用。
通过对九年级下数学第一章知识点的介绍，我们可以看到这些概念和技巧对于我们的数学学习和实际应用非常重要。
九年级全册数学每一章知识点总结
九年级全册数学每一章知识点总结数学是一门重要的学科，它不仅培养学生的逻辑思维能力，也为他们以后的学习和工作打下坚实的基础。
九年级的数学知识内容广泛，涉及到代数、几何、概率等多个方面。
在这篇文章中，我将对九年级全册数学每一章的知识点进行总结和归纳，希望能够对学习者有所帮助。
第一章：图形的认识与初步判断这一章主要介绍了图形的基本概念和性质，包括点、线、面等概念的理解和认识。
同时，还介绍了各种图形的特点和判定方法，比如直角三角形的判定、平行四边形的判定等。
这些知识点对于后续几何的学习非常重要，需要学生掌握牢固。
第二章：数与式的初步认识这一章主要介绍了数与式的概念与运算，包括整数、有理数、整式等的概念和性质。
同时，还介绍了数的运算法则和整式的运算法则，培养了学生的计算能力和逻辑思维能力。
这些知识点是数学学习的基础，需要学生多加练习，熟练掌握。
第三章：方程与不等式这一章主要介绍了方程与不等式的概念和性质，包括一元一次方程、一元一次不等式、一次函数等的解法和性质。
同时，还介绍了二元一次方程组的解法和应用等。
学生通过学习这些知识，不仅可以锻炼自己的逻辑思维能力，还可以在实际问题中运用数学方法解决问题。
第四章：圆这一章主要介绍了圆的概念和性质，包括圆的直径、半径、弦、弧等的定义和性质。
同时，还介绍了圆的切线、切点等相关概念和性质。
学生通过学习这些知识，不仅可以理解圆的相关概念，还可以通过圆的性质解决实际问题。
第五章：实数这一章主要介绍了实数的概念和性质，包括有理数、无理数等的定义和性质。
同时，还介绍了实数的大小比较、实数的运算等相关知识。
学生通过学习这些知识，可以对实数有更深入的了解，并能够灵活运用实数进行计算和推理。
第六章：统计与概率这一章主要介绍了统计与概率的概念和方法，包括数据的收集、整理、分析等方法，以及事件、样本空间、概率等的概念和计算方法。
学生通过学习这些知识，可以对实际数据进行分析和统计，并能够基于概率进行推理和决策。
九年级数学下册各章知识点
九年级数学下册各章知识点第一章：有理数1. 有理数的概念：有理数是整数和分数的统称，包括正数、零和负数。
2. 整数的加减法：同号两数相加、异号两数相减。
3. 分数的加减法：通分后相加减。
4. 有理数的乘除法：同号异号相乘、除法转化为乘法求解。
5. 有理数的乘方：正数与负数的幂的性质。
第二章：代数式与方程1. 代数式的概念：包含有常数和变量，并且包含加减乘除等运算符号的式子。
2. 代数式的运算：常数与变量的运算、代数式的合并与展开。
3. 简单方程的解法：等式的转化与解方程。
4. 一元一次方程：含有一个未知数的一次方程的解法与应用。
5. 实际问题中的应用：运用方程进行实际问题的解答。
第三章：函数与图像1. 函数的概念：函数是自变量与因变量之间的关系，每个自变量对应唯一一个因变量。
2. 函数的表示：函数关系可以通过表格、图像、公式等形式表示。
3. 线性函数：函数图像为直线的函数。
4. 平方函数：函数图像为抛物线的函数。
5. 函数的最值：函数图像的最大值和最小值。
第四章：全等与相似1. 图形的基本概念：点、线、面及其性质。
2. 直线、射线、线段的比较：长度比较和角度比较。
3. 全等三角形：全等三角形的判定条件与性质。
4. 相似三角形：相似三角形的判定条件与性质。
5. 相似三角形的应用：运用相似三角形进行实际问题的解答。
第五章：平面图形的性质1. 四边形的性质：平行四边形、矩形、正方形、菱形等四边形的特殊性质。
2. 三角形的性质：等腰三角形、等边三角形等三角形的特殊性质。
3. 圆的性质：圆心角、圆内外切等与圆相关的性质。
4. 圆的应用：运用圆的性质解答实际问题。
5. 长方体与棱柱：长方体、正方体、棱柱的性质及计算表面积和体积。
第六章：统计与概率1. 统计调查：设计统计调查方案、收集数据、整理数据等。
2. 统计图表：直方图、折线图、饼图等图表的绘制与分析。
3. 概率的概念：事件发生的可能性。
4. 事件与概率：事件的概率计算、相互独立事件的概率计算等。
九年级下册第一章知识点
九年级下册第一章知识点在九年级下册数学课本的第一章中，我们学习了一些重要的数学知识点。
这些知识点不仅是学习数学的基础，还在我们日常生活中起着重要的作用。
在这篇文章中，我将简要介绍并解释其中的一些知识点。
一、有理数的乘方在九年级下册第一章中，我们学习了有理数的乘方。
有理数的乘方运算是指一个有理数自乘若干次，其结果仍然是有理数。
例如，对于2的立方，即2³，可以表示为2 × 2 × 2，结果为8。
类似地，对于-2的平方，即(-2)²，可以表示为(-2) × (-2)，结果也为4。
有理数的乘方运算可以用来简化大数的表示和计算。
二、二次根式的化简在本章中，我们还学习了如何化简二次根式。
对于一个二次根式，我们可以将其化简为一个有理数。
例如，对于√12，我们可以将其分解为√(4 × 3)，然后进一步化简为2√3。
化简二次根式的方法可以帮助我们更好地理解和计算数学问题。
三、整式的加减第一章的另一个重要内容是整式的加减运算。
整式是由常数、变量和它们的乘积、幂次的和与差的代数式。
我们通过合并同类项来进行整式的加减运算。
合并同类项是指将具有相同的字母和指数的项进行合并。
例如，对于3x² + 2x² - 5x²，我们可以将其合并为(3 + 2 - 5)x²，即0x²，结果为0。
整式的加减运算可以帮助我们处理复杂的代数式，以便更好地解决数学问题。
四、一元二次方程的解法在本章中，我们还学习了一元二次方程的解法。
一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知的实数，且a 不等于0。
解一元二次方程的关键是求出方程的根。
我们通过配方法、公式法和因式分解法等不同的方法来解一元二次方程。
解一元二次方程可以帮助我们求解与二次函数相关的问题。
五、平方根的性质在第一章中，我们还学习了平方根的性质。
九年级数学下册第1章二次函数小结与复习版湘教版
二次函数y＝ax2 一元二次方程
＋bx＋c的图象和 ax2＋bx＋c=0的
x轴交点
根
有两个交点
有两个相异的 实数根
有两个重合 的交点
有两个相等的 实数根
一元二次方程 ax2＋bx＋c=0根的 判别式（b2-4ac）
b2-4ac > 0
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
6.二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最 大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
针对训练
1.对于y＝2(x－3)2＋2的图象，下列叙述正确的是( C ) A．顶点坐标为(－3,2) B．对称轴为y＝3 C．当x≥3时，y随x的增大而增大 D．当x≥3时，y随x的增大而减小
2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是
（ D） A. y= x2
2.二次函数的图象与性质：
二次函数
y=a(x-h)2+k
y＝ax2＋bx＋c
开口
a＞0 开口向上
方向
a ＜ 0 开口向下
对称轴
顶点坐标
最 a＞0 值 a＜0
x=h (h , k) y最小=k y最大=k
x b
2a
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
y最小=44aacc4a
b2 b2
y最大= 4a
25m
解：（1）由题意，得羊圈的长为25m,宽为(4025)÷2=7.5(m).
【北师版九年级数学下册教案】第一章本章小结与复习
第一章直角三角形的边角关系一、本章知识重点：1、锐角三角函数的看法；2、解直角三角形。
二、本章教材解析：（一） .使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的互相关系，从而才能利用直角三角形的边与角的互相关系去解直角三角形，所以三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的重点 ,并且也是本章知识的难点。
如何解决这一重点问题，教材采纳了以下的教课步骤：1.从本质中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归纳为已知 Rt 的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
明显用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系没法解出了，所以需要进一步来研究直角三角形中边与角的互相关系。
2.教材又采纳了从特别到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭穿了直角三角形中一个锐角确立为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确立比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确立为 45°时，其对边与斜边之比就确立为, 同时也说了然锐角的度数变化了 , 由 30°变成 45°后 , 其对边与斜边的比值也随之变化了, 由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的互相关系。
3.从特别角的例子获取的结论能否也适用于一般角度的状况呢？教材中应用了相似三角形的性质证了然 : 当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值还是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法增强练习，使学生熟练掌握。
同时要重申三角函数的本质是比值。
防范学生产生sin X=60°,sinX= 等错误，要讲清 sinA 不是 sin*A 而是一个整体。
假如学生产生近似的错误，应指引学生重新复习三角函数定义。
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第一章直角三角形的边角关系
一、本章知识要点：
1、锐角三角函数的概念；
2、解直角三角形。
二、本章教材分析：
（一）.使学生正确理解和掌握三角函数的定义，才能正确理解和掌握直角三角形中边与角的相互关系，进而才能利用直角三角形的边与角的相互关系去解直角三角形，因此三角形函数定义既是本章的重点又是理解本章知识的关键,而且也是本章知识的难点。
如何解决这一关键问题，教材采取了以下的教学步骤：
1.从实际中提出问题，如修建扬水站的实例，这一实例可归结为已知RtΔ的一个锐角和斜边求已知角的对边的问题。
显然用勾股定理和直角三角形两个锐角互余中的边与边或角与角的关系无法解出了，因此需要进一步来研究直角三角形中边与角的相互关系。
2.教材又采取了从特殊到一般的研究方法利用学生的旧知识，以含30°、45°的直角三角形为例：揭示了直角三角形中一个锐角确定为30°时，那么这角的对边与斜边之比就确定比值为1：2，接着以等腰直角三角形为例，说明当一个锐角确定为45°时，其对边与斜边之比就确定为,同时也说明了锐角的度数
变化了,由30°变为45°后,其对边与斜边的比值也随之变化了,由到。
这样就突出了直角三角形中边与角之间的相互关系。
3.从特殊角的例子得到的结论是否也适用于一般角度的情况呢？教材中应用了相似三角形的性质证明了:当直角三角形的一个锐角取任意一个固定值时，那么这个角的对边与斜边之比的值仍是一个固定的值，从而得出了正弦函数和余弦函数的定义，同理也可得出正切、余切函数的定义。
4.在最开始给出三角函数符号时，应该把正确的读法和写法加强练习，使学生熟练掌握。
同时要强调三角函数的实质是比值。
防止学生产生
sin X=60°,sinX=等错误，要讲清sinA不是sin*A而是一个整体。
如果学生产生类似的错误，应引导学生重新复习三角函数定义。
5.在总结规律的基础上，要求学生对特殊角的函数值要记准、记牢,再通过有关的练习加以巩固。
在解三角形的过程中，需要会求一般锐角的三角函数值，并会由已知的三角函数值求对应的角度。
为此，教材中安排介绍了查三角函数表的方法，学生在查表过程中容易出错，尤其是在查余弦、余切表时，特别是在查表前，应适当讲一下锐角三角函数值的变化规律。
6.从定义总结同角三角函数关系式：在学生熟练掌握定义的基础上，师生共同来发现如下的同角三角函数关系式，培养学生分析问题、总结规律、发现问题的习惯和能力。
例如：
sinA=sinB=
cosA=cosB=
tanA= tanB=
cotA= cotB=
有哪些函数的值相等呢？如下：
sinA=cosB
∵∠A+∠B=90° cos(90°-B)=sinB
∠A=90°-∠B tan(90°-B)=cotB
∴sin(90°-∠B)=cosB cot(90°-B)=tanB
关于∠A可由学生自己推出。
又有: tanA·cotA= tanA= cotA=
∵ sinA=
cosA=
∴
四个三角函数的基本性质：根据特殊角的三角函数值和查三角函数可以得出：
①正弦、正切的函数值是随着角度的增大而增大，正弦函数（在0°90°）
sin0°=0, sin90°=1,正切函数(在0°90°)tan0°, tan90°不存在。
②余弦、余切的函数值是随角度的增大而减小，余弦函数(0°90°)
cos0°=1,
cos90°=0，cos0°不存在，cot90°=1.
为了巩固这一部分知识，应该通过一些基本练习题使学生达到熟练掌握的目的。
练习题如下：
填空：
（1）知：α+β=90°，sinα=则cosβ=——.
（2）已知：sin27=a,则cos63°=___.
（3）已知：tan42°=c, 则cot48°=__.
（4）计算：tan48°+——.
（5）已知A为锐角，化简：——.
（6）已知O°<α<45°，化简= ——.
（7）化简：= ——.
（8）已知：cosα=0.1756,sinβ=0.1756 则锐角α与β之间的关系是__。
（9）在ΔABC中，∠C=90°，如果45°<A<90°，0°<B<45°，那么sin A与 cos A较大的是，sin B与cos B中较小的是。
（10）已知ΔABC中∠C=90°，0°<∠B<45°，那么(sin A–cos A)与 (sin B-cos B)中是正数的是。
（11）ΔABC中，∠C=90°，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，当b=10时,sinA=m(m为常数),当b=100时,a、b、c各扩大10倍， sinA=___.
（12）ΔABC中,∠B=30°，∠C=45°,AB=8cm,则AC=___,
判断下列各题是否正确（α角为锐角）
（1）sinα=cos42°,则α=42° （）
（2）cotα=tan17°，则α=83° （）
（3）cos(90°-α)=sin36°,α=36° ( )
（4）tan(90°-α)=cot53°,α=37° ( )
（5）sin40°+sin30°=sin70° ( )
（6）( )
不查表判断下列各式的正负：
(1)cot75° ( ) (2)cos42°-cos46° ( )
(3)cos46°-cos47° ( ) (4)tan75°-cot14° ( )
(5)sin50°-cos50° ( ) (6)tan50°-sin50° ( )
（二）、解直角三角形
1、解直角三角形是本章重点，正确地选择关系式，先将已知和未知联系起来，然后进行正确地计算是解直角三角形的关键。
2、解直角三角形的依据有如下公式：
① 三边之间关系：
② 角之间关系：∠A+∠B=90°
③ 边角之间关系：sinA=cosB=；cosA=sinB=；
tanA=cotB=； cotA=tanB=。
3、直角三角形可解的条件：在两个锐角和三边这五个条件中，必须已知两个独立的条件且两个条件中至少有一个条件是边。
根据可解的条件的分类，可有如下类型及其解法：
a已知两边：两条直角边（a , b ）解法：c=
tanA=求∠A
∠B=90°-∠A
斜边和一条直角边( a , c ) 解法： b=
用sinA=求A
∠B=90°-∠A
b一边和一锐角一条直角边和锐角A: ∠B=90°-∠A
b=
c=
斜边C和锐角A: ∠B=90°-∠A
a=c sinA
b=
4、解直角三角形的应用
（1）、解决实际中提出的问题：如测量、航海、工程技术和物理
学中的有关距离、高度、角度的计算，应用中要根据题意，准确画
出图形，从图中确定要解的直角三角形，解直角三角形时，充分使
用原始数据，正确选择关系式，使运算尽可能简便、准确。
（2）、在解决实际问题中，仰角俯角；坡度坡角水平距离，垂直
距离等概念，一定要在弄清概念的含意的基础上，辨别出图中这些
概念的位置。
（3）、如果图中无直角三角形，可适当地作垂线，转化为直角三
角形，间接地解出。
（4）、在解一些较复杂图形时，注意借助于几何图形的性质，可
使得问题得到解决。
练习题如下：
1、填空：
（1）等腰三角形腰长为10cm，顶角为120°，则三角形底边长为，
高为，面积为。
（2）正三角形边长为2a，则一边上的高线长为。
（3）正三角形一边上中线长为3，则边长为。
（4）正三角形一边长为6，则正三角形外接圆半径R= 。
（5）RtΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为A、B、C的对边，a+c=4+，∠A=60°，则R= ，C= 。
2、梯形的两底边分别为15cm，5cm，两底角分别为60°，30°。
求梯形的周长。
3、如图电视塔建立在20米高的小山顶上，从水面上一点D测得塔
顶A的仰角为60°，测得塔基B的仰角为30°，求塔高AB。
4、在ΔABC中，∠C=90°，a=10，ΔABC的面积S
=，求角A
Δ
及边长C。
5、如图，ΔABC中CD⊥AB于D，AD=BC=4，cotA=，
求：（1）AC与BD的长；（2）∠B的度数。
6、在ΔABC中，∠C=90°，如果cotA=，
求的值。
7、在ΔABC中，∠C=90°，如果AB=2，tanA=，求的
值。