系统频域分析2.1
信号与系统教案
信号与系统教案一、引言信号与系统是电子工程及通信工程等专业的重要课程之一。
本教案旨在帮助学生全面了解信号与系统的基本概念和理论，并培养其分析和设计信号与系统的能力。
本教案适用于大学本科阶段的信号与系统课程。
二、教学目标1. 理解信号与系统的基本概念和特性；2. 掌握信号与系统的数学表示和分析方法；3. 学习信号与系统的线性时不变性质和傅里叶变换等重要理论；4. 培养学生分析和设计信号与系统的能力。
三、教学内容本教学按照以下章节安排：1. 信号的基本概念1.1 信号的定义与分类1.2 连续信号和离散信号1.3 周期信号和非周期信号2. 系统的基本概念2.1 系统的定义与分类2.2 线性系统和非线性系统2.3 时变系统和时不变系统3. 时域分析3.1 连续信号的时域描述3.2 离散信号的时域描述3.3 系统的时域描述4. 频域分析4.1 连续信号的频域描述4.2 离散信号的频域描述4.3 线性时不变系统的频域描述5. 傅里叶变换5.1 连续时间傅里叶变换5.2 离散时间傅里叶变换5.3 傅里叶变换的性质和应用6. 课程总结与回顾四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂讲解和演示，系统介绍信号与系统的基本概念和理论。
2. 实例分析：结合实际案例，解析信号与系统在实际应用中的作用和意义。
3. 实验实践：利用仿真软件或实验设备，进行信号与系统方面的实际操作和实验验证，加深学生对理论知识的理解和掌握程度。
五、教学评价1. 平时成绩：包括课堂出勤、课堂参与、作业完成情况等。
2. 课程设计与报告：学生根据指导要求，完成一份信号与系统相关课题的设计和报告。
3. 期末考试：考察学生对信号与系统的整体掌握情况，包括理论知识和实践应用。
六、教材及参考资料1. 主教材：《信号与系统导论》2. 参考资料：2.1 《信号与系统分析》2.2 《信号与系统原理》2.3 信号与系统相关期刊论文七、教学进度安排本教案按照每周4学时的教学进度计划，共计15周。
信号与系统分析
信号与系统分析在现代科学技术领域中，信号与系统分析是一门重要的学科。
它主要研究信号以及信号在系统中的传输和处理过程。
本文将从信号与系统的基本概念、数学模型、频域分析以及实际应用等方面对信号与系统进行分析。
一、信号与系统的基本概念1.1 信号的定义与分类信号是指随时间、空间或其他自变量的变化而变化的物理量。
根据信号的特征和性质，可以将信号分为连续时间信号和离散时间信号。
连续时间信号是在连续时间内取值的信号，例如模拟音频信号；离散时间信号是在离散时间点上取值的信号，例如数字音频信号。
1.2 系统的定义与分类系统是指对信号进行处理或者传输的设备或物理构造。
根据系统的输入和输出形式，可以将系统分为线性系统和非线性系统。
线性系统满足加法性和齐次性的特性，而非线性系统则不满足。
二、信号与系统的数学模型2.1 连续时间信号模型连续时间信号可以用连续函数来描述。
常见的连续时间信号模型有周期函数、指数函数和三角函数等。
在实际应用中，还可以利用微分方程来描述连续时间信号与系统之间的关系。
2.2 离散时间信号模型离散时间信号可以用序列来表示。
序列是由离散的采样点构成的数列。
常见的离散时间信号模型有单位样值序列、周期序列和随机序列等。
在实际应用中，离散时间信号与系统之间可以通过差分方程进行建模。
三、频域分析频域分析是对信号在频域上的特性进行分析的方法。
通过将信号从时域转换到频域，可以更加清晰地观察信号的频率成分及其变化规律。
常见的频域分析方法有傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换等。
3.1 傅里叶变换傅里叶变换是将一个信号在频域上进行表示的方法。
它可以将信号分解成一系列的正弦函数或者复指数函数的组合。
傅里叶变换广泛应用于信号的频谱分析、滤波器设计以及通信系统等领域。
3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换是对信号在复域上的频域表示。
它具有傅里叶变换的扩展性质，可以处理更加一般的信号和系统。
拉普拉斯变换在控制系统分析和设计、电路分析以及信号处理等方面有重要应用。
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
现代通信原理 第2章 确定信号分析
设x1(t)和x2(t)都为功率信号，则它们的互相关函数定义为
(2.38)
式中， T的含义与式(2.14)中相同，为功率信号的截断区间。
44
第2章
确定信号分析
当x1(t)=x2(t)=x(t)时，定义
(2.39)
为功率信号x(t)的自相关函数。
45
第2章
确定信号分析
由式(2.39)可得到周期信号x(t)的自相关函数为
41
第2章
确定信号分析
2.3.2 能量信号的相关定理 若能量信号x1(t)和x2(t)的频谱分别是X1(ω)和X2(ω)，则信号 x1(t)和x2(t)的互相关函数R12(τ)与X1(ω)的共轭乘以X2(ω)是傅立 叶变换对，即
(2.36)
式(2.36)称为能量信号的相关定理。它表明两个能量信号在时 域内相关，对应频域内为一个信号频谱的共轭与另一信号的频 谱相乘。
30
第2章
确定信号分析
2.3 相关函数与功率谱密度函数
2.3.1 能量信号的相关函数
设信号x1(t)和x2(t)都为能量信号，则定义它们的互相关函 数R12(τ)为 (2.32) 若x1(t)=x2(t)=x(t)，则定义 (2.33) 为x(t)的自相关函数。
31
第2章
确定信号分析
【例2.2】
5
第2章
确定信号分析
设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号，即
(2. 6)
而
6
第2章
确定信号分析
则有：
(2. 7)
比较式(2. 5)与式(2. 7)可得:
(2. 8) 由此可见，由于引入了δ(· )函数，对周期信号和非周期信
号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。
2.1连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
取样函数定义为
sin x Sa ( x ) x
这是一个偶函数，且x→0时，Sa(x)=1；当x=kπ时，Sa(kπ)=0。 据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即
E n Fn Sa T 2
连续信号的频域分析
Sa(x) 1
例如，可取 t0=0 ，t0=-T/2等等。显然， an 为 nw的偶函数， bn为nw的奇函数， 即
an a n bn bn
连续信号的频域分析
连续信号的频域分析
例 2.2-1 求图示信号的傅里叶级数展开式。
图 2.2-1
连续信号的频域分析
解 据式(2.2-6)，在本题中我们取t0=0，则有
6
4 5°
n
4 5°
3 0°
3 0° 2 0° 1 0°
1 5°
图 2.3-1 例 2.3-1
3(b )o源自245
6
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
连续信号的频域分析 2
1 .5 1 0 .4 1
|Fn | 1 .5 1 0 .4
4 5 6
0 .2
2
0 .2
3
－ 6－ 5 － 4 － 3－ 2 － o (a )
连续信号的频域分析
A0 1 2
1 0 1 10 2 20
A1 3 A2 2 A3 0.4 A6 0.8
其余
3 45 6 30
0 A n
An 连续信号的频域分析 3 3 2
2
1 0 .4 o
0 .8
2
3
(a )
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
(NEW)吴大正《信号与线性系统分析》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解
目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与系统(郑君里)复习要点
信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。
第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。
2.1连续信号的频域分析
mn mn
式中，T=2π/Ω为指数函数公共周期，m、n为整数。任意函数
x(t)可在区间(t0, t0+T)内用此函数集表示为
x(t ) F0 F1e F2e
j 2 t
jt
F2e
n
j 2 t
F1e
jt
F e
n
jnt
连续信号的频域分析
T
T 2 0
T 2 0
连续信号的频域分析
考虑到上式中w=2π/T，则an=0。同样可得
连续信号的频域分析
据式，有
连续信号的频域分析
在式中，若取t0=-T/2，则有
连续信号的频域分析
当x(t)为t的奇函数时，则有x(t)cosnwt为t的奇函数， x(t)sinnwt为t的偶函数，因而有：
Fn
＝
2 T 2
4
o
图 2.3-7 不同T
(a) T=5τ; (b) T=10 τ连续 Nhomakorabea号的频域分析
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期 矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传 输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失 真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能 将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基 本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之
－3 －2
－
o
2
3
x
图 2.3-4 Sa(x)函数的波形
连续信号的频域分析
Fn E T 2 o 3
4
图 2.3-5 周期矩形脉冲信号的频谱
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
3、 非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是周期的连续函数 4、 离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期又是离散的频谱，即
时域和频域都是离散的、周期的 规律：一个域的离散就必然造成另一个域的周期延拓。 1、如果信号频域是离散的，则该信号在时域就表现为周期性的时间函 数。 2、在时域上是离散的，则该信号在频域必然表现为周期性的频率函 数。 3、如果时域信号离散且是周期的，由于它时域离散，其频谱必是周期 的，又由于时域是周期的，相应的频谱必是离散的， 4、离散周期序列一定具有既是周期又是离散的频谱，即时域和频域都 是离散周期的。
对于，将以为周期进行周期延拓，得到所示的周期序列， 周期为16， 求的DFS。 可以看出，在时，处频谱的幅度和处是一样的。也就是说，点数越多， 频谱越精确。
..2 离散周期序列的傅里叶变换 各种形式的傅里叶变换 1、 非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是一个非周期的连续
函数 2、 周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱是非周期性的离散频率
例：设， f0=50 Hz，以采样频率对进行采样， 得到采样信号和时域离 散信号， 求)、和的傅里叶变换的FT。
2.5 序列的Z变换 双边Z变换的定义：序列x(n)的Z变换定义为： 式中：z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。 注意在定义中，对 n求和是在±∞之间求和，可以称为双边Z变换。
为单边Z变换： 适用于因果序列，如果不特别强调，均用双边Z变换对信号进行分析和 变换。 Z变换成立条件： Z变量取值的域称为收敛域。 一般收敛域用环状域表示
在模拟系统中， 的傅里叶变换为 对于时域离散系统中， ，它的傅立叶变换 对于
（
例：求对进行的周期延拓后的周期序列的傅立叶变换FT 注意：对于同一个周期信号， 其DFS和FT分别取模的形状是一样的， 不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。 因此周期序列 的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数 的画法。 例：设 ，为有理数，求其FT 物理含义：的FT是在处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行 延拓。
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否为无失真传输系统。
解：
1 2 2 H ( j ) j 1 2 1 2
| H ( j ) | 1
( ) 2arctan( )
系统的幅度响应 | H ( j ) | 为常数，但相位响应 ( )不是ω 的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。
三、无失真传输与滤波
信号与系统
第4章 系统的频域分析 （续）
主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. 连续系统的频率响应 利用系统频率响应求响应 无失真传输与滤波 信号的抽样与重建 调制与解调 频分复用与时分复用
三、无失真传输与滤波
系统对于信号的作用大体可分为两类：一类是信号的传输， 一类是滤波。传输要求信号尽量不失真，而滤波则要求滤 去或削弱不需要的成分，必然伴随着失真。
幅频
相频
三、无失真传输与滤波
a) 冲激响应
h(t ) F
1
[G2c ( )e
jtd
c ] Sa[c (t td )]
分析：
① h(t)的波形是一个抽 样函数，不同于输 入信号 (t ) 的波形， 有失真。
原因：理想低通滤波 器是一个带限系统， 而冲激信号 (t ) 的 频带宽度为无穷大。
(B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t)
三、无失真传输与滤波
1 j 例7 已知一LTI系统的频率响应为 H ( j ) 1 j 求系统的幅度响应 | H ( j ) | 和相位响应 ( ) ，并判断系统是
() td
上述是信号无失真传输的理想条件。当传输有 限带宽的信号时，只要在信号占有频带范围内， 系统的幅频、相频特性满足以上条件即可。
三、无失真传输与滤波
例6 系统的幅频特性 和相频特性如图所示，则下列信号通 过该系统时，不产生失真的是： (A) f(t) = cos(t) + cos(8t)
三、无失真传输与滤波 ② 减小失真的方法：增加理想低通截频 c ， h(t)的主瓣
宽度为 2 / c ， c 越小，失真越大，当 c 时， 理想低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激函数。
③ h(t)主峰出现时刻t=td比输入信号δ(t)作用时刻t=0延迟了
一段时间td。td是理想低通滤波器相位特性的斜率。 ④ h(t)在t<0的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一 个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。
三、无失真传输与滤波 b) 无失真传输条件：
H ( j ) 的要求是： 系统要实现无失真传输，对系统h(t)，
•对h(t)的要求：
h(t ) K (t td )
•对 H ( j ) 的要求：
H ( j) Y ( j) / F ( j) Ke jtd
| H ( j ) | K
滤波器是指能使信号的一部分频率通过，而使另一部分频 率通过很少的系统。
理想滤波器的频响特性 低通 高通
带通
带阻
2、理想低通滤波器
三、无失真传输与滤波
具有如图所示幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。
ωc称为截止角频率。理想低通滤波器的频率响应可写为：
jtd e , | | c H ( j ) G2c ( )e jtd | | c 0,
1、无失真传输
a) 定义：信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比， 只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变
出信号应为
y(t ) Kf (t td )
其频谱关系为
（K为常数）
Y ( j) Ke
jtd
F ( j)