第七章 分支限界法

{ if(count==array.Length()) throw domain_error(“priority queue is full”); ++count; unsigned int i=count; while((i>1)&&(array[i/2]>object) { array[i]=array[i/2]; i=i/2; } array[i]=&object; }
x2=1
(15,35)
C
x2=1
(5,15)
(0,0)
x2=0
D
x3=0
E
x3= 0
F
x3=0
(5,15)
G
x3=1
(15,25)
(0,0)
x3=1
x3=1
x3=1
x3=0
(0,0)
H
I
(15,35)
J
(10,20)
K
(15,35)
L
(20,40)
M
(20,40)
N
(20,40)
O
(20,40)
当前最优解
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3. 最小堆的插入和删除 1)插入
3
4 7 5
插入2
3
6 7 4 5 6
2
4
7 5 6
3
4 3
7
5
6
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void MinHeap::EnQueue(Object &object)
s
6
1
5
30
2
4 10
3
20
4
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2.算法思想 单源最短路径问题可用分支限界法求解。由于要找的是 从源到各顶点的最短路径，所以选用最小堆来表示优先队列。 其优先级是结点所对应的当前路长。从图G的源s和空优先队 列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点依次被插入堆中。此 后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展 结点，并依次检查与当前扩展结点邻接的所有顶点。如果从 当前扩展顶点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再 到顶点j所相应的路径长度小于当前最优路径长度,则将该顶 点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点扩展过程 一直重复到活结点优先队列为空时为止。 在具体实现算法时，用邻接矩阵表示所给的图G。用数 组dist记录从源到各顶点的距离；用数组prev记录从源到各 顶点的路径上的前驱顶点。
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分支限界法的搜索策略：
分支限界法以广度优先或最小耗费优先的方式 搜索问题的解空间树。在搜索问题的解空间树时， 每一个活结点只有一次机会称为扩展结点。活结点 一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有的儿子结 点。在这些儿子结点中，那些导致不可行解或非最 优解的儿子结点被舍弃，其余的儿子结点被加入活 结点表中。此后，从活结点表中选择下一个结点成 为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个 过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为 止。
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计算机算法设计与分析
Computer Algorithms Design & Analysis
华北电力大学计算机科学与工程系
Dept. of Computer Science&Engineering of North China Electric Power University
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2.单源最短路径问题
1.问题描述 给定一个带权有向图G=(V,E)，其中每条边的权是一个非 负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。计算从源 到所有其他各顶点的最短路径长度。这里路径的长度是指路 上各边权之和。这个问题称为单源最短路径问题。 例：下图为一包含4个顶点的无向图，其中顶点1为源，求 顶点1到其它各顶点的最短路径及其长度。
优先队列式分支限界法
当我们找最优解时，我们可以像回溯法一样，用 剪枝函数来加速搜索。比如我们给出每一个可行结点 相应的子树可能获得的最大价值的上界。如果这个上 界不会比当前最优值大，则说明相应的子树不含问题 的解,可以剪去。当然我们也可以把这个上限作为每 个结点在优先队列式分支限界法中的优先级。这种方 法可能会更快找到最优解。
B
1
0
C
(0,0)
0
(15,35)
D
0
(10,20)
E
0
(5,15)
F
0
1G M(0,0)110
H
10
I
0
J
15 10 5
K
0
L
N
15 0
O
15 10 20 5
B C D E F G I K L M N O
20 0 35 20 15 0 35 20 40 15 25 0 当前最优解 当前最优解
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第七章 分支限界法
★ 分支限界法的基本思想 ★ 单源最短路径问题 ★ 布线问题 ★ 方格调整问题
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§1 分支限界法的基本思想
分支限界法类似于回溯算法，也是一种在问题的解空间 树T上搜索问题的解的算法。 和回溯法的区别： 1.求解目标不同：回溯法的求解目标是找出T中满足约束条件 的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件 的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数 值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。 2.结点的扩展方式不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间 树，而分支限界法则以广度优先或最小耗费优先的方式搜索 解空间树，在扩展结点处，先生成所有的儿子结点，然后再 从当前的扩展结点表中选择下一个扩展结点。 3.活结点成为扩展结点的机会不同：在回溯法中每个结点可能 有多次机会成为扩展结点，而分支限界法中每个活结点只有 一次机会成为扩展结点。
dist[1]=∞ ,0 dist[2]=∞,30,14,11 dist[3]=∞ ,6 dist[4]=∞ ,4 prev[1]=0 prev[2]=1, 4 ,3 prev[3]=1 prev[4]=1
4, 1, 4
3, 1, 6
2, 1, 30
3, 1, 6 2, 1, 30 2, 3, 11
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2. 最小堆的C++描述 template <class Object> class MinHeap { Array<Object *> array; int count; public: MinHeap(unsigned int n); ~MinHeap(); EnQueue(Object & object); Object & DeleteMin(); }
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2)删除
2 3 4 3 4 3 4 7 5 6
7
5
6
7
5
6
删除2
3 5 7 6 4 7 5
3
4 6
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Object & MinHeap::DeleteMin() { if(count==0) throw domain_error(“priority queue is emtpy”); Object & result=*array[1]; Object & last=*array[count]; --count; unsigned int i=1; while(2*i<count+1) { unsigned int child=2*i; if((child+1<count+1)&&(*array[child+1]<*array[child])) child+=1; if(last<=*array[child]) break; array[i]=array[child]; i=child; } array[i]=&last; return result; }
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3.算法描述 template <class Type> class Graph { friend void main(void); public: void ShortestPaths(int); private: int n; //图G的顶点数 int *prev; //前驱顶点数组 Type **c; //图G的邻接矩阵 Type *dist; //最短距离数组 }; template <class Type> class MinHeapNode { friend Graph<Type>; public: operator int() const { return length} ; private: int i; //顶点编号 Type length; //当前路长 };
2, 4, 14
2, 4, 14 2, 1, 30
2, 4, 14
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