第9章 分支限界法
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分支限界法解题算法框架
分支限界法解题算法框架分支限界法是一种建模和求解复杂优化问题的有效算法，它源于笛卡尔的科学思想，被认为是能够解决复杂优化问题的革命性工具。
它的基本思想是：分支限界法以树状结构的方式求解优化问题，不断的分割搜索空间，找到最优解。
1、分支限界法的基本概念分支限界法是求解优化问题的一种方法，它将解空间划分为若干个子空间，在每个子空间中评估优化指标，根据分支限界准则，搜索最优解。
它主要分为以下几个步骤：（1）定义一个有限的决策空间，并设置目标函数的优化指标；（2）将决策空间划分为若干个子空间，并设置有效限界和分裂标准；（3）在每个子空间中进行搜索，并进行评价；（4）根据评价结果，重复（2）、（3）步骤，直至满足停止条件，搜索得到最优解。
2、分支限界法的优势分支限界法是一种求解优化问题的有效算法，它在优化技术中占有很重要的地位。
其优势在于：（1）分支限界法可以使用更少的计算量，求解复杂的优化问题；（2）分支限界法采用分支和分割的方式，可以更好的避免搜索局部最优，获得更可靠的最优解；（3）分支限界法可以认为是一种智能化、自适应的搜索技术，它可以有效提高计算效率；（4）分支限界法易于理解，实现比较容易，可以节省程序员的工作量和计算时间。
3、案例应用分支限界法在很多领域有广泛的应用，其中最常见的应用是解决资源分配问题。
可以将需要分配的资源划分为若干个变量，然后使用分支限界法寻找该资源分配问题的最优解。
在运输问题中，如果要在有限的时间内最大限度地利用车辆从一个汽车站点出发，向其他若干个目的地发送货物，可以使用分支限界法来求解，以便在有限的时间内找到最优解。
在装配线调度问题中，如果要解决多个工序同时进行的装配线调度问题，则可以使用分支限界法来求解。
4、总结分支限界法解题算法是一种求解优化问题的有效算法，它将求解空间划分为若干个子空间，采用分支和分割的方式，找到最优解。
该算法具有计算量小、避免搜索局部最优、易于实现等优点，可以用于解决复杂优化问题，在资源分配、运输、装配线调度等领域都有广泛的应用。
第9章_分支限界法资料
目标函数的界[down, up]的确定
2018/10/24
Branch and Bound Method
7
分支限界法的设计思想
例： 0/1 背包问题。假设有 4 个物品，其重量分别 为(4, 7, 5, 3)，价值分别为(40, 42, 25, 12)，背包容 量W=10。首先，将给定物品按单位重量价值从大 到小排序，结果如下：
学习目标
教学重点 教学难点 分支限界法的设计思想，各种经典问题的限界函数 各种经典问题的限界函数以及限界算法
教学内容及目 标
知识点
了解 分支限界法的设计思想 分支限界法的时空性能 TSP问题 √
教学要求
理解 掌握 √ √ 熟练掌握
多段图的最短路径问题
0/1背包问题 任务分配问题 批处理作业调度问题
物品 重量(w) 价值(v) 价值/重量(v/w)
1
4
40
10
2
3 4
2018/10/24
7
5 3
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25 12
6
5 4
8
Branch and Bound Method
分支限界法的设计思想
确定上下界
down：应用贪心法求得近似解为(1, 0, 1, 0)，获得的价值 为65，这可以作为0/1背包问题的下界。 up：考虑最好情况，背包中全部装入第1个物品且可以 将背包装满，则可得到一个简单上界的计算方法： up=W×(v1/w1)=10×10=100 则目标函数的界：[65, 100]
基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中， 每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一 旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在 这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿 子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此 后，从活结点表中取下一结点（ 使目标函数取得极值 的结点 ）成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过 程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为 空时为止。
第9章分支限界法
第9章 分支限界法 章
9.1 概 述 9.2 图问题中的分支限界法 9.3 组合问题中的分支限界法
9.1 概 述
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（2） 9.1.2 分支限界法的设计思想 9.1.3 分支限界法的时间性能
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（ ）
9.1.2 分支限界法的设计思想
假设求解最大化问题， 假设求解最大化问题 ， 问题的解向量为 X=(x1, x2, …, , xn) ， 其 中 ， xi 的 取 值 范 围 为 某 个 有 穷 集 合 Si ， |Si|=ri 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时， （ 1≤i≤n ） 。 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时 ， 首 先根据限界函数估算目标函数的界[ 先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]，然后从根结 点出发， 个孩子结点， 点出发 ， 扩展根结点的 r1 个孩子结点 ， 从而构成分量 x1 的 r1 种可能的取值方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的 种可能的取值方式。 目标函数值 bound(x1) ， 其含义是以该孩子结点为根的子树 所可能取得的目标函数值不大于 bound(x1) ， 也就是部分解 应满足： 应满足：
限界函数确定目标函数的下界down，目标函数的上界up可以用 ，目标函数的上界 可以用 限界函数确定目标函数的下界 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题， 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题，根据限 界函数确定目标函数的上界up，目标函数的下界down可以用某 界函数确定目标函数的上界 ，目标函数的下界 可以用某 种启发式方法得到）。然后， ）。然后 种启发式方法得到）。然后，按照广度优先策略遍历问题的解 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（ 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对于最小化问题 估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界）， ），如 ，估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界），如 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界， 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则 将其丢弃， 将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT） 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表 ）中。依 次从表PT中选取使目标函数的值取得极值 对于最小化问题， 中选取使目标函数的值取得极值（ 次从表 中选取使目标函数的值取得极值（对于最小化问题， 是极小值；对于最大化问题，是极大值） 是极小值；对于最大化问题，是极大值）的结点成为当前扩展 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 随着这个遍历过程的不断深入， 随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函数 中所估算的目标函数 的界越来越接近问题的最优解。 的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时
9.1 概 述 9.2 图问题中的分支限界法 9.3 组合问题中的分支限界法
9.1 概 述
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（2） 9.1.2 分支限界法的设计思想 9.1.3 分支限界法的时间性能
9.1.1 解空间树的动态搜索（2） 解空间树的动态搜索（ ）
9.1.2 分支限界法的设计思想
假设求解最大化问题， 假设求解最大化问题 ， 问题的解向量为 X=(x1, x2, …, , xn) ， 其 中 ， xi 的 取 值 范 围 为 某 个 有 穷 集 合 Si ， |Si|=ri 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时， （ 1≤i≤n ） 。 在使用分支限界法搜索问题的解空间树时 ， 首 先根据限界函数估算目标函数的界[ 先根据限界函数估算目标函数的界[down, up]，然后从根结 点出发， 个孩子结点， 点出发 ， 扩展根结点的 r1 个孩子结点 ， 从而构成分量 x1 的 r1 种可能的取值方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的 种可能的取值方式。 目标函数值 bound(x1) ， 其含义是以该孩子结点为根的子树 所可能取得的目标函数值不大于 bound(x1) ， 也就是部分解 应满足： 应满足：
限界函数确定目标函数的下界down，目标函数的上界up可以用 ，目标函数的上界 可以用 限界函数确定目标函数的下界 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题， 某种启发式方法得到。例如贪心法，对于最大化问题，根据限 界函数确定目标函数的上界up，目标函数的下界down可以用某 界函数确定目标函数的上界 ，目标函数的下界 可以用某 种启发式方法得到）。然后， ）。然后 种启发式方法得到）。然后，按照广度优先策略遍历问题的解 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点， 空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（ 别估算这些孩子结点的目标函数的可能取值（对于最小化问题 估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界）， ），如 ，估算结点的下界；对于最大化问题，估算结点的上界），如 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界， 果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则 将其丢弃， 将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表PT） 更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表 ）中。依 次从表PT中选取使目标函数的值取得极值 对于最小化问题， 中选取使目标函数的值取得极值（ 次从表 中选取使目标函数的值取得极值（对于最小化问题， 是极小值；对于最大化问题，是极大值） 是极小值；对于最大化问题，是极大值）的结点成为当前扩展 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 结点，重复上述过程，直到找到最优解。 随着这个遍历过程的不断深入， 随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函数 中所估算的目标函数 的界越来越接近问题的最优解。 的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时
9——分支限界法
14
2 例9.1-限界
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
x2=0
x3=1 x3=0
x3=0 x3=1
x3=0 x3=1 x3=0
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15
W={50,10,10},C1=60。 在此例中，结点3所在分支的所有子树中，装载货物的最 大可能是多少？ 20。
20
2 例9.1-算法2 FIFO分支限界
AddLiveNode(folat wt,int i, QNode *E, int ch) { Qnode *b; if (i=n) //叶子 { if (wt>bestw) //目前的最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch;} //bestx[n]取值为ch return; } b = new QNode; // 不是叶子, 添加到队列中 b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; add (Q,b) ; }
3 7 14 15
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。 所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成E-结点所 有分支，也就是所有的儿子结点。 和回溯法一样，可以在生成的结点中，抛弃那些不满足约 束条件的结点，其余结点加入活结点表。然后从表中选择 一个结点作为下一个E-结点。 选择下一个E-结点方式的不同导致几种分支搜索方式：
8
2 例9.1 装载问题
子集树
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
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2 例9.1-限界
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
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x2=0
x3=1 x3=0
x3=0 x3=1
x3=0 x3=1 x3=0
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W={50,10,10},C1=60。 在此例中，结点3所在分支的所有子树中，装载货物的最 大可能是多少？ 20。
20
2 例9.1-算法2 FIFO分支限界
AddLiveNode(folat wt,int i, QNode *E, int ch) { Qnode *b; if (i=n) //叶子 { if (wt>bestw) //目前的最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch;} //bestx[n]取值为ch return; } b = new QNode; // 不是叶子, 添加到队列中 b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; add (Q,b) ; }
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分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。 所谓“分支”是采用广度优先的策略，依次生成E-结点所 有分支，也就是所有的儿子结点。 和回溯法一样，可以在生成的结点中，抛弃那些不满足约 束条件的结点，其余结点加入活结点表。然后从表中选择 一个结点作为下一个E-结点。 选择下一个E-结点方式的不同导致几种分支搜索方式：
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2 例9.1 装载问题
子集树
x3=1
x2=1 4
x1=1 2 x2=0 5
1
x1=0 3 x2=1 6
第九章 分支限界法
1 8 4
7 6 5
右 2+4=6 左 2+2=4
7 6 5 8 3
2 1 4 7 6 5
2 8 3 2+4=6
7 1 4 6 5
2 6 3 4 4+0=4 5
2 3 1 8 4 7 6 5
2 3 1 8 4 7 6 5
下 3+1=4 1 2 8 7 6 3 4 5
右
1 8 7
9.2 求最优解的分枝限界法
子树X上具有最小搜索代价的答案结点的代价
9.1 一般方法
一个答案结点X的搜索代价cost(X)定义为:从根结点开始，直到搜索 到X为止所耗费的搜索时间.
(2)相对代价函数g(.)
衡量一个结点X的相对代价一般有两种标准: (1),在生成一个答案结点之前，子树X上需要生成的结点数目 (2),在子树X上，离X最近的答案结点到X的路径长度 假设T2中有三个答案结点，A,B,C 采用标准(1), g(X)=4,g(Y)=3,g(Z)=2先找到答 案结点C 采用标准(2), g(X)=1,g(Y)=g(Z)=2先找到答案 结点A
c( X ) U
) U
则X子树可剪去.在搜索到一个答案结
的子树X都可以剪去.
U U
注意：在搜索到一个答案结点之前以 c ( X )
作为剪枝条件，会 作为剪枝条件，又
将最小答案结点误剪除掉，为了既能运用 c ( X ) 作为该子树的最小代价上界值， ε是一个小量
不至于误剪去包含最小答案结点的子树，可对所有结点X，使用u(X)+ε
9.4 0/1背包
9.4.1问题描述
形式化描述: 给定C>0, wi>0，pi>0，要求X=(x0,x1…xn-1) 使得
分支限界法概述_计算机常用算法与程序设计教程（第2版）_[共2页]
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185
第8
章
分支限界法
分支限界法（branch and bound method ）是一种按层次遍历（广度优先）次序搜索解空间树求解最优化的搜索算法。
本章简要介绍分支限界法，并应用分支限界设计求解迷宫的最短通道、装载问题、0-1背包问题与8数码游戏等典型案例。
8.1 分支限界法概述
分支限界法与回溯法类似，是在问题的解空间树上搜索问题解的算法。
这两个算法在求解目标上不同：回溯法的求解目标是找出解空间树上满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标是找出满足条件的一个解，或是在满足约束条件下找出某一函数值达到极大或极小的解，即某种意义下的最优解。
由于求解目标不同，导致这两个算法在搜索次序不同：回溯法按前序遍历（深度优先）次序搜索解空间树，而分支限界法按层次遍历（广度优先）次序或以最优条件优先方式搜索解空间树。
广度优先与深度优先搜索示意如图8-1所示。
图8-1 广度优先与深度优先搜索示意图
1．分支限界策略组成
分支限界法由“分支”策略与“限界”策略两部分组成。
（1）“分支”策略体现在对问题解空间按广度优先的策略进行搜索。
“分支”是采用广度优先的策略，依次搜索活结点的所有分支，也就是所有相邻结点。
在生成的结点中，抛弃那些不满足约束条件或不可能导出可行解的结点，其余结点加入活结点表。
然后。
9第九章分支限界法
2 3
1
4
5
6
7
8
9
10 11
12 13 14
15 16 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 1617
4
例9.1 4-皇后问题
2 3
1
分支-限界法 生成31个结点
4 5
6
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10 11
12 13 14
15 16 17 B
B
B
B
B
B
18 19 20 21 B B B B 30
12
9.2.1 LC-检索的基本思想
因此： 不仅考虑结点X到一个答案结点的估计成本值ĝ(.)， 还应考虑由根结点到结点X的成本h(X) 即：ĉ(X)=f(h(X))+ ĝ(X) f(.)是一个非降函数，使f(.)不等于0，可以减少算 法作偏向于纵深检查的可能性，使算法优先检索 更靠近答案结点且又离根较近的结点。
1 3 4 15 5 12 6 11 14 9 10 13 7 8 1 3 2 6 9 4 5 15 12
16
相当 庞大
2 7 8
11 14 10 13
9.2.2 15-谜问题
LESS (1)=0 LESS (4)=1 LESS (12)=6 在具体求解问题之前判定：目标状态是否在 这个初始状态的状态空间中。
8
9.1 一般方法(FIFO和LIFO分支限界)
9.2 LC-分支限界检索
9.2.1 LC检索的基本思想 9.2.2 LC检索例：15-谜 9.2.3 LC-检索的抽象化控制 9.2.4 LC-检索的特性
9.3 分支-限界算法
9
1
4
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6
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例9.1 4-皇后问题
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分支-限界法 生成31个结点
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B
B
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9.2.1 LC-检索的基本思想
因此： 不仅考虑结点X到一个答案结点的估计成本值ĝ(.)， 还应考虑由根结点到结点X的成本h(X) 即：ĉ(X)=f(h(X))+ ĝ(X) f(.)是一个非降函数，使f(.)不等于0，可以减少算 法作偏向于纵深检查的可能性，使算法优先检索 更靠近答案结点且又离根较近的结点。
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相当 庞大
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9.2.2 15-谜问题
LESS (1)=0 LESS (4)=1 LESS (12)=6 在具体求解问题之前判定：目标状态是否在 这个初始状态的状态空间中。
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9.1 一般方法(FIFO和LIFO分支限界)
9.2 LC-分支限界检索
9.2.1 LC检索的基本思想 9.2.2 LC检索例：15-谜 9.2.3 LC-检索的抽象化控制 9.2.4 LC-检索的特性
9.3 分支-限界算法
9
分支限界法
11
6.2 单源最短路径问题
2. 算法思想
用最大堆还是最小堆存储活结点表？ 其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展 后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出 具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与 当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶 点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应 的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结 点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续 到活结点优先队列为空时为止。 12
分支限界法
1
6.1 分支限界法的基本思想
1. 分支限界法与回溯法的不同
（1）求解目标： 回溯法：找出解空间树中满足约束条件的所有解； 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在满足约 束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：
回溯法：深度优先的方式搜索解空间树；
分支限界法则：广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解 空间树。
2
为何称为分支限界法？ ※ 分支 在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然 后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。 ※ 限界 为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索进程，在每个 活结点处，计算一个函数值（限界），并根据函数值，从 当 前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜 索 朝着解空间树上有最优解的分支推进，一遍尽快找出一个 最 优解。
优先队列式分支限界法：用最大堆实现优先队列，优先级 为活结点所获得的价值。（197页）
A入堆→B,C入堆（并且舍弃A）→E入堆（D不可行，舍弃）→J不可行， 舍弃，K是可行的叶结点，是一个可行解→ F,G入堆→ L,M均为可行叶结 点，得到相应的可行解→N,O可行叶结点，得相应可行解→活结点堆空
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(c) 扩展结点5后
(d) 扩展结点6后，最优解为(1,0,1,0)65
说明：ST中记录的就是得到最优解的搜索路径上的各个结点！
分支限界法与回溯法的区别： 求解目标不同：
回溯法——找出满足约束条件的所有解 分支限界法——找出满足条件的一个解，或某种意 义下的最优解
搜索方式不同：
回溯法——深度优先 分支限界法——广度优先或最小耗费优先
函数取得极值的结点优先进行广度优先搜索，从而 不断调整搜索方向，尽快找到问题的解。
适用于求解最优化问题。
9.1.2 分支限界法的设计思想
首先，确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确 定问题的目标函数的界[down, up](具体问题可以只有 下界down，或上界up)； 然后，按照广度优先策略遍历问题的解空间树：
上限界函数：
ub v (W w) (vi 1 wi 1 )
前i个物品获得的价值 剩余容量全部装入物品i+1， 最多能够获得的价值
(式9.1)
wi=(4, 7, 5, 3) vi= (40, 42, 25, 12) vi/wi=(10, 6, 5, 4) PT={2, 3} 4 × w=11 无效解
例如，上例0/1背包问题，采用最大优先队列式分支限 界法。
应用分支限界法的其他关键问题：
如何确定最优解中的各个分量？
对每个扩展结点保存根结点到该结点的路径； 例如，0/1背包问题。将部分解(x1, …, xi)和该部分解 的目标函数的上界值都存储在待处理结点表PT中， 在搜索过程中表PT的状态如下：
x2=1
分支限界法求解0/1背包问题： 目标函数范围：[40, 100]
2 w=4, v=40 ub=76
x1=1
ub v (W w) (vi 1 wi 1 )
1 w=0, v=0 ub=100
x1=0
3 w=0, v=0 ub=60
x2=0
5 w=4, v=40 ub=70
PT={5, 3}
PT ST
(0,<1,1>76)
(0,<1,0>60)
PT ST
(0,<1,0>60) (0,<1,1>76)
(1,<2,0>70)
(a) 扩展根结点后 PT ST (0,<1,0>60) (0,<1,1>76) (0,<3,1>69) (1,<2,0>70) (0,<3,0>64) PT ST
(b) 扩展结点2后 (0,<1,0>60) (0,<3,0>64) (0,<1,1>76) (1,<2,0>70) (1,<4,0>65) (0,<3,1>69)
∞ 3 1 3 ∞ 6 1 6 ∞ 5 7 4 8 9 2
5 7 4 ∞ 3
8 9 2 3 ∞
2 PT={2, 3, 4} 1→2 db=14
6 2 →3 db=16
PT={6, 7, 3, 4} 7 8 × 9 2 →4 2→5 3→2 db=16 db=19 db=16
4 1→4 db=16 11 3→5 db=14
..., xn)
显式约束：xi=1, 2, ..., n (i=1, 2, ..., n) 隐式约束：(xi≠xj) ∧(cij≠∞)
cik 目标函数：d (i,V ' ) min{
d (k ,V '{k})} (k∈V’)
目标函数的界： [14, 16]
下界：ddb= ((1+3)+(3+6)+(1+2)+ (3+4)+(2+3))/2=14 上界：dub=16(1→3→5→4→2→1)
5 4 2
5
6
2 7
r j U
9
3
4
∞ 3 1 5 3 ∞ 6 7 C= 1 6 ∞ 4 5 7 4 ∞ 8 9 2 3
(a) 一个无向图
(b) 无向图的代价矩阵
优先队列式分支限界法求解TSP问题:
1 start db=14
3 1→3 db=14 10 3→4 db=15
C=
目标函数范围：[14, 16]
5 × 1→5 db=19
PT={6, 7 , 9, 10, 11, 4}
15 × PT={6, 7, 9, 16, 14, 4} 4→2 db=18
16 4→5 db=15
12 × 13PT={6, 7, 9, 10, 13, 4} 5→2 5→4 db=14 db=19 14 PT={6, 7, 9, 10, 14, 4} 4→2 db=16
2．将待处理结点表PT初始化为空； 3．对根结点的每个孩子结点x执行下列操作 3.1 估算结点x的目标函数值value; 3.2 若(value>=down)，则将结点x加入表PT中； 4．循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大 4.1 i=表PT中值最大的结点； 4.2 对结点i的每个孩子结点x执行下列操作 4.2.1 估算结点x的目标函数值value; 4.2.2 若(value>=down)，则将结点x加入表PT中； 4.2.3 若(结点x是叶子结点且结点x的value值在表PT中最大)， 则将结点x对应的解输出，算法结束； 4.2.4 若 ( 结点 x 是叶子结点但结点 x 的 value 值在表 PT 中不是最 大)，则令down=value，并且将表PT中所有小于value的结点删除；
此外，在分支限界法中，每一个活结点只有一次机
会成为扩展结点。
9.2 广度优先分支限界法应用举例
9.2.1 TSP问题
例9-2：TSP问题。
问题描述：略。 各个城市间的距离用代价矩阵来表示, 如果(i,j)E， 则cij=∞。 分析：设城市按自然数1, 2, ..., n编号
解向量：(x1, x2, 约束条件：
k 1 i 1 i
下限界函数：设已确定的顶点集合U=(r1, r2,
..., rk)
db (2 c[ri ][ri 1 ]
ri U
素 r 行不在路径上的最小元 )/2 r 行最小的两个元素
j
从集合U中出来的边
8 9 2 3 ∞
1 8 1 3
3
(式9.2)
一条进边，一条出边
(g) 扩展结点16后的状态，最优解为1→3→5→4→2→1
TSP问题算法的伪代码描述：
1．根据限界函数计算目标函数的下界down；采用贪心法得到上界up； 2．将待处理结点表PT初始化为空； 3．for (i=1; i<=n; i++) x[i]=0; 4．k=1; x[1]=1; //从顶点1出发求解TSP问题 5．while (k>=1) 5.1 i=k+1; 5.2 x[i]=1; 5.3 while (x[i]<=n) 5.3.1 如果路径上顶点不重复，则 5.3.1.1 根据式7.2计算目标函数值db； 5.3.1.2 if (db<=up) 将路径上的顶点和db值存储在表PT中； 5.3.2 x[i]=x[i]+1; 5.4 若i=n且叶子结点的目标函数值在表PT中最小，则将该叶子结点对应的最 优解输出； 5.5否则，若i=n，则在表PT中取叶子结点的目标函数值最小的结点db， 令up=db，将表PT中目标函数值db超出up的结点删除； 5.6 k=表PT中db最小的路径上顶点个数；
(1, 2)14
(1, 4)16 (1, 4)16
(1, 2, 3)16 (1, 2, 3)16
(1, 2, 4)16 (1, 2, 4)16
(c) 扩展结点3后的状态 (d) 扩展结点11后的状态 (1, 4)16 (1, 2, 3)16 (1, 2, 4)16 (1, 3, 2)16 (1, 3, 4)15 (1, 3, 5, 4, 2)16
结点2
(1)76
结点3
(0)60
结点3
(0)60
结点5
(1,0)70
(a) 扩展根结点后表PT状态
(b) 扩展结点2后表PT状态
结点3
(0)60
结点6
(1,0,
结点3
(0)60
结点7
(1,0,0)64
结点9
(1,0,1,0)65
(c) 扩展结点5后表PT状态
(d) 扩展结点6后表PT状态，最优解为(1,0,1,0)65
第9章 分支限界法
学习要点:
理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架
队列式(FIFO)分支限界法
优先队列式分支限界法
通过应用范例学习分支限界算法设计策略
9.1 概述
9.1.1 分支限界法
分支限界法类似于回溯法，也是一种在问题的解 空间树T中搜索问题解的算法。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费(LC)优先 的方式搜索问题的解空间树。 在遍历过程中，对已经扩展出的每一个结点根据限 界函数估算目标函数的可能取值，从中选取使目标
6 w=9, v=65 ub=69 8 w=12 无效解
x4=1
x3=1
7 w=4, v=40 ub=64 9 w=9, v=65 ub=65
x4=0
x3=0
PT={6, 7, 3}
×
PT={9, 7, 3}
V=65 X=(1, 0, 1, 0)
分支限界法的一般过程：
1．根据限界函数确定目标函数的界[down, up]；