算法设计第六章答案

解空间：深度为 n 完全 m 叉树 两个部件，三个供应商
A
1
2
3
B 1 23
C 1 23
EF G
HI J
D 1 23
KL M
根据条件可知：剪枝函数，约束函数是总价格不超过 d，界限函数是当前扩展结 点的总质量最小值大于当前最优总重量； 优先队列式分支限界法：优先级定义为结点已知部分的总重量；因而，每一次选 择新的扩展结点都是选择已知部分总重量最小的结点，因而界限函数可以省略； 算法流程： 主函数是一个 while 循环，结束条件是当前扩展结点的深度是 n，因为是优先队 列式分支限界（每一次都选择当前最小重量的结点作为扩展结点），因而第一个 找到的叶结点肯定是最优解； 每一次循环所需要完成的工作包括：1）将扩展结点的所有儿子结点加至活结点 列表中；其中，需要利用约束函数进行剪枝；2）按照“先进先出”原则，选择 下一个扩展结点。
活结点列表
是
为空？
否
是
当前扩展结点 在排列树中的深度
是n-1？
否
将当前扩展结点的儿子结点 分别加至活结点列表
输出最优解 结束
是
所有儿子结点
都已经得到判断？
否
选择下一个儿子结点，并且计 算各连接块的最大长度
各连接块的 当前最大长度小于当前
否
最优长度？
是
将当前儿子结点加至 活结点列表
将儿子结点加至活 结点列表
开始 根结点加入活结点列表，
并作为当前扩展结点
活结点列表
是
为空？
否
将当前扩展结点的儿子结点 分别加至活结点列表
左儿子结点
否
满足容量约束？
是
将左儿子结点加至 活结点列表
右儿子结点的 最大价值大于当前
否
最优价值？
是
将右儿子结点加至 活结点列表
按照“后进先出”，选择下 一个扩展结点
输出最优解 结束
将儿子结点加至活 结点列表
if(ok(r,c,board[r][i])) { Swap(board[r][c],board[r][i]); if(c==n) { if(r==m) count+=1.0; else Backtrace(r+1,2); } else Backtrace(r,c+1)； Swap(board[r][c],board[r][i]); } }
解空间：对于每一行而言，是一个深度为 n 的排列树；因而，整个空间是 m 个 深度为 n 的排列树。 剪枝函数：每一列上的 m 个元素存在重复。 因而，这个问题存在两个有关深度的变量 r（行）和 c（列），即 Backtrace(r,c)
void Backtrace(int r,int c) { for(int i=c;i<=n;i++)
按照“先进先出”原则，选 择下一个扩展结点
开始
根结点加入活结点列表， 并作为当前扩展结点
当前扩展结点在解 是 空间数的深度是n?
否 将当前扩展结点的儿子结点
分别加至活结点列表
是
所有儿子结点
都已经得到判断？
否
选择下一个儿子结点，并且计算 当前儿子结点的总重量和总价格
当前儿子结点的
否
当前总价格小于d？
算法流程： 主函数是一个 while 循环，结束条件是活结点列表为空，表示所有叶结点都已经 遍历完成；此时，应该输出整个问题的最优解。 每一次循环需要完成的工作包括：1）如果当前扩展结点的深度是 n-1计算每一个连接块的长度，并且计算所有连接块的 最大长度；2）如果当前深度小于 n-1，则需要将扩展结点的儿子结点加至活结点 列表；其中，需要利用界限函数进行剪枝（界限函数就是各连接块的当前最大长 度小于当前最优长度）；3）按照“先进先出”原则，选择下一个扩展结点。
设计一个解 01 背包问题的栈式分支限界法，并说明栈式分支限界法与回溯法的 区别。
解空间：子集树
A
1
0
B
1
0
C
1
0
D
E
F
G
1）队列式分支界限法和栈式分支界限法对比： 队列式分支限界法活结点列表变化过程：（先进先出）
1{A} 2{B,C} 3{C,D,E} 4{D,E,F,G} 5{E,F,G} 6{F,G} 7{G} 8{}
1
B
2
3
E
F
3
2
K
L
A 2
C
1
3
3
D
1
2
G
H
I
J
3
1
2
1
M
NO
P
注意：与课本例题最小密度电路板排列问题不同，在每一次将当前扩展结点的儿 子结点加至活结点列表时（当深度加 1 时），应该更新和计算儿子结点的当前最 小长度； 对于每一个结点而言，需要维护两个数组，low[1:m]和 high[1:m]，分别记录着每 一个连接块的当前已知的起点插槽序号和终点插槽序号，当深度增加 1 时，首先 判断连接块 Nj 是否需要跨越 x[i+1]所对应的电路板； 假设 x[1:i]已知，x[i+1]是当前儿子结点所对应的第 i+1 层元素取值，则数组 low 和 high 更新方法是： 1） 如果连接块 Nj 跨越 x[i+1]电路板，而且当前 low[j]大于 i+1，则将 low[j]更新
算法实现题 6-4： 最小重量机器设计问题 问题描述：设某一个机器由 n 个部件组成，每一种部件都可以从 m 个不同的供 应商处购得。设 wij 是从供应商 j 处购得的部件 i 的重量，cij 是相应的价格。 设计一个优先队列式分支限界法，给出总价格不超过 d 的最小重量机器设计。 编程任务： 对于给定的机器部件重量和机器部件价格，设计一个优先队列式分支限界法，计 算总价格不超过 d 的最小机器设计。
是
将当前儿子结点加至 活结点列表
输出最优解 结束
将儿子结点加至活 结点列表
为 i+1； 2） 如果连接块 Nj 跨越 x[i+1]电路板，而且当前 high[j]小于 i+1，则将 high[j]更
新为 i+1； 3） 其余情况，则不需要更新 low[j]和 high[j]。
开始
根结点加入活结点列表， 并作为当前扩展结点
按照“先进先出”，选择下 一个扩展结点
计算各连接块的最小长度， 并且更新当前最优长度
2）程序流程 整个流程与队列式分支限界法的 01 背包问题一样，只是插入活结点的操作：由 insert()改为 push()，重新选择下一个扩展结点的操作：由 delete()改为 pop()。 算法主函数是： 一个 while(1)循环，循环结束条件是活结点列表为空，即当前扩展结点为空，表 示所有可行的结点都已经得到遍历；并且输出最优解。 每一次循环作用是：在当前的扩展结点下，将以当前扩展结点作为父结点的下一 层子结点都加入到活结点列表里，并且选择一个新的扩展结点，进入下一层循环； 其中，剪枝函数包括左结点的容量约束（约束函数）和右结点的最大价值判断（界 限函数）；
算法实现题 6-1：最小长度电路板排列问题 问题描述：最小长度电路板排列问题是大规模电子系统设计中提出的实际问题。 该问题的提法是，将 n 块电路板以最佳排列方案插入带有 n 个插槽的机箱中。n 块电路板的不同排列方式对应与不同的电路板插入方式。 设 B={1,2,···，n}是 n 块电路板的集合。集合 L={N1，N2，···，Nm}是 n 块电 路板的 m 个连接块。其中，每个连接块 Ni 是 B 的一个子集，且 Ni 中的电路板 用同一根导线连接在一起。 在最小长度电路板排列问题中，连接块的长度是指该连接块中第一块电路板到最 后一块电路板之间的距离； 试设计一个队列式分支界限法找出所给 n 个电路板的最佳排列，使得 m 个连接 块中最大长度达到最小。 解空间：排列树
算法实现题 5-9：拉丁矩阵问题 问题描述：现有 n 种不同形状的宝石，每种宝石有足够多颗。欲将这些宝石排列 成 m 行 n 列的一个矩阵，m<=n，使矩阵中每一行和每一列的宝石都没有相同形 状。试设计一个算法，计算出对于给定的 m 和 n，有多少中不同的宝石排列方案。 即，给定一个 m*n 大小的矩阵，每一行 n 个元素是 1~n 的一种排列， 拉丁矩阵要求每一列上的 m 个元素不能够有重复。
栈式分支限界法活结点列表变化过程：（后进先出）
1{A} 2{B,C} 3{B,F,G} 4{B,F} 5{B} 6{D,E} 7{D} 8{} 从各结点的扩展次序来讲，队列式分支限界法是标准的宽度优先，栈式分支限界 则类似于深度优先。 回溯法： 各结点的遍历次序是：
A->B->D->B->E->A->C->F->C->G 回溯法是深度优先，而且结点 A,B,C 都两次成为扩展结点； 但是，栈式分支限界法各结点只有一次机会成为扩展结点。
其中，第一个 for 循环：同一深度上的各子结点扩展；ok 函数是剪枝函数； 如果不考虑“行 r”，并且去掉红色方框中的代码，则整个回溯函数跟排列树形式 的代码框架一样；其中，红色部分主要是针对“行 r”进行递归（深度加 1）。
习题 6.1：01 背包问题的栈式分支限界法 栈式分支限界法将活结点表以后进先出（LIFO）的方式存储于一个栈中。试