分支限界法 ppt课件
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第六章 分支限界法.ppt
得到的解 继续搜索
13
单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
14
单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
26
装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
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单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
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装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
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解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
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单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
分支限界法 ppt课件
17 45 78 87
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53 17 65 9 45 78 87 23
53 9 65 17 45 78 87 23
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i
53 09 65
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此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩
展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一
直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
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4
6.1 分支限界法的基本思想
两类常用的方法选择下一个E-结点：
（1）先进先出(FIFO)：从活结点表中取出结点 的顺序与加入结点的顺序相同。
后进先出(LIFO)：从活结点表中取出结点 的顺序与加入结点的顺序相反。
6
3
30 2
5
10
4 4
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X
X X
(1,3,2,4,1)
(1,4,2,3,1)
V=25
pVpt=课2件5
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6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的 有向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点 s到目标顶点t之间的最短路径。
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E-结点和活结点 死结点
FIFO队列 CEG BCF E
X X
20 30 40 50
15 15 25 25
0
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例1： n=3时的0-1背包问题，w=[20,15,15] p=[40,25,25] c=30
分支限界法(课堂PPT)
与回溯法不同的是，分支限界法首先扩展解空间树 中的上层结点，并采用限界函数，有利于实行大范围 剪枝，同时，根据限界函数不断调整搜索方向，选择 最有可能取得最优解的子树优先进行搜索。所以，如 果选择了结点的合理扩展顺序以及设计了一个好的限 界函数，分支界限法可以快速得到问题的解。
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
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Hale Waihona Puke 101011 12
分支限界法的较高效率是以付出一定代价为基础的，其 工作方式也造成了算法设计的复杂性。首先，一个更好的限 界函数通常需要花费更多的时间计算相应的目标函数值，而 且对于具体的问题实例，通常需要进行大量实验，才能确定 一个好的限界函数；其次，由于分支限界法对解空间树中结 点的处理是跳跃式的，因此，在搜索到某个叶子结点得到最 优值时，为了从该叶子结点求出对应的最优解中的各个分量， 需要对每个扩展结点保存该结点到根结点的路径，或者在搜 索过程中构建搜索经过的树结构，这使得算法的设计较为复 杂；再次，算法要维护一个待处理结点表PT，并且需要在表 PT中快速查找取得极值的结点，等等。这都需要较大的存储 空间，在最坏情况下，分支限界法需要的空间复杂性是指数 阶。
➢ 依次从表PT中选取使目标函数取得极值的结点成为 当前扩展结点，重复上述过程，直至找到最优解。
分支限界法需要解决的关键问题
➢ 如何确定合适的限界函数。（提示：计算简单，减 少搜索空间，不丢解）
➢ 如何组织待处理结点表。（提示：表PT可以采用 堆的形式，也可以采用优先队列的形式存储。各有什 么特点？）
例如：对于n=3的0/1背包问题解空间树
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《计算机算法设计与分析》分支限界法PPT83页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《计算机算法设计与分析》 分支限界法
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功定 。
分支限界法 ppt
2. 分支限界法基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益） 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先 的方式搜索问题的解空间树。 的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中， 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。 点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。 在这些儿子结点中， 在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点 被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点， 此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重 复上述结点扩展过程。 复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活 结点表为空时为止。 结点表为空时为止。 由此可见，两种算法的最主要区别在于它们对当前扩展节 由此可见， 点所采用的扩展方式不同。在分支限界法中， 点所采用的扩展方式不同。在分支限界法中，每个或结点只有 一次机会成为扩展节点。 一次机会成为扩展节点。
3. 常见的两种分支限界法 从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的 分支界限法。最常见的有以下两种方式： 分支界限法。最常见的有以下两种方式： 队列式(FIFO) (FIFO)分支限界法 （1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO） 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展 节点。 节点。 （2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成 为当前扩展节点。 为当前扩展节点。 优先队列中规定的节点优先级通常用一个与该节点相关 的数值p来表示。结点优先级的高低与p值的大小有关。 的数值p来表示。结点优先级的高低与p值的大小有关。最大优 先队列规定p值较大的结点优先级高。 先队列规定p值较大的结点优先级高。在算法实现是通常采用 最大堆来实现最大优先队列，用最大堆的Deletemax Deletemax运算抽取 最大堆来实现最大优先队列，用最大堆的Deletemax运算抽取 堆中下一结点成为当前扩展节点，体现最大利益优先的原则。 堆中下一结点成为当前扩展节点，体现最大利益优先的原则。 类似的，最小优先队列用最小堆实现。 类似的，最小优先队列用最小堆实现。
《分支限界法》课件
《分支限界法》PPT课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
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分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
算法分析与设计分枝限界法ppt课件
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3 9 10 11
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13 14 15 12
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例：15-谜问题
^c(2)=1+4， ^c(3)=1+4， ^c(4)=1+2， ^c(5)=1+4，所以结点4成为E-结点。
答案状态(solution states)是这样一些解状态S，由根 到S的路径确定了问题的一个解（满足隐式约束）
解空间的树结构为状态空间树(state space tree)
7
利用状态空间树解题
1 设想状态空间树 2 生成问题状态 3 确定问题状态中哪些是解状态 4 哪些解状态是答案状态 生成问题状态 构造状态空间树
第七章 分枝-限界法
上章知识回顾
问题状态 解状态 状态空间 答案状态
状态空间树 活结点 E-结点 死结点
通过对n-皇后问题的分析，复习以 上概念和回溯法
2
n-皇后问题描述
将n个皇后放置在一个n×n的棋盘上， 要求没有两个皇后可以互相攻击。
– 攻击的定义：两个皇后出现在同一行、或 同一列、或者同一条斜线上都视为出现了 攻击。
20
LC-检索（成本估计函数）
从前面的两个成本度量标准看， 计算C(·) 的工作量与原问题的解具有相同复杂度。 这是因为计算一个结点的代价通常要检索 包含一个答案结点的子树才能确定，而这 正是解决此问题所要作的检索工作，因此 要得到精确的成本函数一般是不现实的。
第六章 分支限界法 优质课件
16
首先要确定如何定问题的下界。设将每人 只教一门课变成一人可以教多门课，这样一来 得到的总备课时间最小值肯定不会比实际情况 还大，可作为问题的下界。而且在这种假定下 最小值的计算非常方便，只需将表中各列的最 小值加起来即可。例如整个问题的下界为（A 教I、III、IV课，B教II课）2+4+9+7=22。
39
综合以上几个例子，可以看到分支限界法 的基本思想是采用DFS策略，并对每个结点估计 一权值（在求极小值问题中对应于从该结点出 发能得到的解的下界，若是最大值问题则反 之），在搜索时利用权值来决定下一搜索结点 的优先顺序（对于最小值问题，权值越小越优 先），一旦搜索到一个解，利用这个解的权值 可剪去那些不可能得到更优解的结点，直至所 有结点均被搜索或剪去，从而大大节省搜索的 结点数。
36
利用分枝限界方法求解的过程如下图
37
图中每个节点都有两个数，其中（）里的数表 示搜索顺序的序号。最优的加工顺序是：
J1→J4→J3→J2 总时数为38单位，相应安排如下图所示：
38
依估计的时间最短优先搜索为原则，最先找到 的最优结果为40单位，若估计的界不小于 38，就无搜索的必要。从图中可知剪去的搜索 树枝是非常可观。分支限界的效果是很理想的。
10
11
图2
12
因为从所有失败的方案返回时该部分子树即不 必保留，所以最终内存中只保留成功方案的几 条单链分支，比图中所示之树还要简单。如果 每试出一个成功方案就立即输出而不必存储， 或只试出一个方案就可以了，则只需一个单链， 更可以节约存储量。
13
在用这种方法解决优化问题时（以下以最小化 问题来说明，最大化问题也与此类似），如果 能事先估计出每个分支的下界值，当某分支的 下界值比已试过的方案的值还要高时，这整个 子树即不必再考虑，因此常常可以大大节约运 算时间。下面再以一个例子说明
首先要确定如何定问题的下界。设将每人 只教一门课变成一人可以教多门课，这样一来 得到的总备课时间最小值肯定不会比实际情况 还大，可作为问题的下界。而且在这种假定下 最小值的计算非常方便，只需将表中各列的最 小值加起来即可。例如整个问题的下界为（A 教I、III、IV课，B教II课）2+4+9+7=22。
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综合以上几个例子，可以看到分支限界法 的基本思想是采用DFS策略，并对每个结点估计 一权值（在求极小值问题中对应于从该结点出 发能得到的解的下界，若是最大值问题则反 之），在搜索时利用权值来决定下一搜索结点 的优先顺序（对于最小值问题，权值越小越优 先），一旦搜索到一个解，利用这个解的权值 可剪去那些不可能得到更优解的结点，直至所 有结点均被搜索或剪去，从而大大节省搜索的 结点数。
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利用分枝限界方法求解的过程如下图
37
图中每个节点都有两个数，其中（）里的数表 示搜索顺序的序号。最优的加工顺序是：
J1→J4→J3→J2 总时数为38单位，相应安排如下图所示：
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依估计的时间最短优先搜索为原则，最先找到 的最优结果为40单位，若估计的界不小于 38，就无搜索的必要。从图中可知剪去的搜索 树枝是非常可观。分支限界的效果是很理想的。
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图2
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因为从所有失败的方案返回时该部分子树即不 必保留，所以最终内存中只保留成功方案的几 条单链分支，比图中所示之树还要简单。如果 每试出一个成功方案就立即输出而不必存储， 或只试出一个方案就可以了，则只需一个单链， 更可以节约存储量。
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在用这种方法解决优化问题时（以下以最小化 问题来说明，最大化问题也与此类似），如果 能事先估计出每个分支的下界值，当某分支的 下界值比已试过的方案的值还要高时，这整个 子树即不必再考虑，因此常常可以大大节约运 算时间。下面再以一个例子说明
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分支限界法的基本思想
分支限界法通常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问 题的解空间树。
问题的解空间树是表示问题解空间的一棵有序树，常见的有子集树和排列 树。
分支限界法的基本思想
两种典型的解空间树：
子集树（Subset Trees）：当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性 质的子集时，相应的解空间树称为子集树。在子集树中，|S0|=|S1|=…=|Sn1|=c，即每个结点有相同数目的子树，通常情况下c=2，所以，子集树中共有 2n个叶子结点，因此，遍历子集树需要O(2n)时间。
上限。求出一种方案使得背包中存放物品的价值最高。 分析：0-1背包问题的解空间树是一棵子集树，所要求的解具有
最优性质。
分支限界法的基本思想
采用回溯法解决0-1背包问题的搜索策略
1
1 B0
A
0
1 C0
D
1
0
E
1
0
F
1
0
G
1
0
H I J KL MN O
• 只要一个结点的左孩子结点是一个可行结点就搜索其左子树； • 而对于右子树，需要构造一个上界函数，只在这个上界函数的值超过当前最
分支限界法引言
分支限界法与回溯法的不同搜索方式：
回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以 最小耗费优先的方式搜索解空间树。
分支限界法的搜索策略：在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分 支），然后再从当前的活结点表中选择下一个扩展对点。为了有效地选择 下一扩展结点，以加速搜索的进程，在每一活结点处，计算一个函数值 （限界），并根据这些已计算出的函数值，从当前活结点表中选择一个最 有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进， 以便尽快地找出一个最优解。
分支限界法
第六章
分支限界法
学习要点
理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架
队列式（FIFO）分支限界法 优先队列式分支限界法 通过应用范例学习分支限界法的设计策略 0-1背包问题
图的广度优先遍历
对于图G=(V,E), 从任意一点r开始，依次检查所有与r有关联的边(r,a1),(r, a2),…,(r,ak),当上面k条边检查完毕后，再依次检查所有与a1,a2,…,ak相 关联的(a1,a11),(a1,a12),…,(a1,a1m),(a2,a21),(a2,a22),…, (a2,a2m)，……，(ak,ak1),(ak,ak2),…,(ak,akm)。依次类推，直到所有的边 被检查，即所有顶点均被访问为止。
为避免重复访问，需要一个辅助数组 visited [ ]，给被访问过的顶 点加标记。
分支限界法引言
分支限界法与回溯法的不同求解目标：
回溯法的求解目标：找出解空间树中满足约束条件的所有解； 分支限界法的求解目标：找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条
件的解中找出使用某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下 的最优解。
排列树（Permutation Trees）：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排 列时，相应的解空间树称为排列树。在排列树中，通常情况下，|S0|=n， |S1|=n-1，…，|Sn-1|=1，所以，排列树中共有n!个叶子结点，因此，遍历排 列树需要O(n!)时间。
分支限界法的基本思想
在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。 活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点
图的广度优先遍历
广度优先搜索过程
广度优先生成树
广度优先遍历序列：ABCDEFGHI
图的广度优先遍历
广度优先搜索是一种分层的搜索过程，每向前走一步可能访问一 批顶点。因此，广度优先搜索不是一个递归的过程，其算法也不 是递归的。
为了实现逐层访问，算法中使用了一个队列，以记忆正在访问的 这一层和上一层的顶点，以便于向下一层访问。
分析： ➢ n后问题的解空间树是一棵排列树，解与解之间不存在优劣的分别。直到搜 索到叶结点时才能确定出一组解。 ➢ 采用回溯法可以系统地搜索问题的全部解。 ➢ 考虑使用分支限界法？
分支限界法的基本思— 0-1背包 问题 问题定义：给定若干物品的重量和价值，以及一个背包的容量
分支限 广度优先或最 队列、优先队列 每个结点只有一次成 找出满足约束条件的一
界法 小消耗优先搜
为扩展结点的机会 个解或特定意义下的最
索
优解
分支限界法的基本思想
适合采用回溯法解决的问题 — n后问题
问题定义：在n×n的国际象棋棋盘上摆下n个皇后，使所有的皇后都不能攻击 到对方，找出所有符合要求的情况。
优解时才进入搜索。
• 随着搜索进程的推进，最优解不断得到加强，对搜索的限制就越来越严格。
分支限界法的基本思想
分支限界法两种方式：
从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支限界法。 最常见的有以下两种方式：
➢ 队列式（FIFO）分支限界法：队列式分支限界法将活结点表组织成一个 队列，并按队列的先进先出原则选取下一个结点为当前扩展结点。
分支限界法的基本思想
分支限界法的适用范围：
分支限界法类似于回溯法，有一些问题其实无论用回溯法还是分支限界法都 可以得到很好的解决，但是另外一些则不然。
下表列出了回溯法和分支限界法的一些区别：
方法
对解空间树的 存储结点的常用
搜索方式
数据结构
结点存储特性
常用应用
回溯法 深度优先搜索 栈
活结点的所有可行子 找出满足约束条件的所 结点被遍历后才被从 有解 栈中弹出
中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入 活结点表中。 从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程 这个过程一直持续到找到所求的解或活结点表为空时为止。
活结点表：具有先进先出的性质，是队列。 两个重要机制：产生分支（解空间树）
产生一个界限，能够终止许多分支（剪枝）
➢ 优先队列式分支限界法：优先队列式分支限界法将活结点表组织成一个 优先队列，按优先队列中规定的结点优先级选取优先级最高的下一个结 点成为当前扩展结点。常用堆来实现优先队列
分支限界法的基本思想
算法实现时，通常用极大（小）堆来实现最大（小）优先队列，提取堆中下一