算法设计与_第6章_分支限界法
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第六章 分支限界法.ppt
得到的解 继续搜索
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
26
装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
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单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下 图所给的有向图G中，每一边都有一个非负边权。要 求图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路径。
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单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的 单源最短路径问题产生的解空间树。其中，每一个结 点旁边的数字表示该结点所对应的当前路长。
// 取下一扩展结点
i++;}
// 进入下一层
}
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装载问题
3. 算法的改进
结点的左子树表示将此集装箱装上船，右子树 表示不将此集装箱装上船。设bestw是当前最优解； ew是当前扩展结点所相应的重量；r是剩余集装箱 的重量。则当ew+rbestw时，可将其右子树剪去， 因为此时若要船装最多集装箱，就应该把此箱装 上船。
（2）回溯求解TSP也是盲目的（虽有目标函数，也 只有找到一个可行解后才有意义）
7
解空间树的动态搜索
分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限 界函数确定目标函数的界[down, up]； 然后按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在某一 分支上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算 这些孩子结点的目标函数的可能取值（对最小化问题， 估算结点的down，对最大化问题，估算结点的up）。 如果某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则 将其丢弃（从此结点生成的解不会比目前已得的更 好），否则入待处理表。
A->E->Q->M
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单源最短路径问题
Dijakstra算法和分支限法在解决该问题的异同：
优先队列式分支限界法的搜索方式是根据活结点的优先级确 定下一个扩展结点。结点的优先级常用一个与该结点有关的 数值p来表示。最大优先队列规定p值较大的结点点的优先级 较高。在算法实现时通常用一个最大堆来实现最大优先队列， 体现最大效益优先的原则。类似地，最小优先队列规定p值 较小的结点的优先级较高。在算法实现时，常用一个最小堆 来实现，体现最小优先的原则。采用优先队列式分支定界算 法解决具体问题时，应根据问题的特点选用最大优先或最小 优先队列，确定各个结点点的p值。
算法分析与设计分支限界法
算法分析与设计分支限界法分支限界法是一种常用的优化算法，它通过剪枝和分支的方式在空间中找到最优解。
在算法设计与分析中，分支限界法在求解组合优化问题和图论问题中有广泛应用。
分支限界法的基本思想是将问题划分为一个个子问题，并对每个子问题进行求解，同时通过剪枝操作减少空间。
算法从一个初始状态开始，通过扩展子节点来生成树。
在每个节点上，先判断该节点是否需要剪枝操作。
如果需要剪枝，则舍弃该节点及其子节点；如果不需要剪枝，则继续扩展该节点为新的可能解。
通过不断扩展和剪枝操作，最终找到最优解。
分支限界法的核心是选择一个合适的策略来确定节点的扩展顺序。
常用的策略包括优先级队列、最小堆、最大堆等。
这些策略可以根据问题的性质和特点来选择，以保证效率。
同时，剪枝操作也是分支限界法中关键的一环。
剪枝操作有多种方式，如上界和下界剪枝、可行剪枝、标杆剪枝等。
通过剪枝操作，可以减少空间，提高算法的效率。
分支限界法的时间复杂度通常是指数级别的，因为每个节点需要根据策略进行扩展，并进行剪枝操作。
然而，通过合理选择策略和剪枝操作，可以显著减少空间，降低时间复杂度。
此外，分支限界法还可以通过并行计算等技术进一步提高效率。
分支限界法在求解组合优化问题中有广泛应用。
组合优化问题是在有限的资源条件下，通过组合和选择来达到最优解的问题。
例如，旅行商问题、背包问题等都是经典的组合优化问题，而分支限界法可以在有限的时间内找到最优解。
在图论问题中，分支限界法也有重要的应用。
例如，最短路径问题、图着色问题等都可以通过分支限界法求解。
总之，分支限界法是一种基于和剪枝的优化算法，通过合理选择策略和剪枝操作，在有限的时间内找到最优解。
该算法在组合优化问题和图论问题中有广泛应用，可以有效提高问题求解的效率。
在实际应用中，可以根据问题性质和特点选择合适的策略和剪枝操作，以达到最佳的求解效果。
算法设计与分析(第6章 分支限界法)
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2014-8-27
西安邮电学院
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西安邮电学院Leabharlann 192014-8-27
两种方法的搜索方式比较：
回溯法：深度优先
分支限界法：广度优先或最小费用优先
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西安邮电学院
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分支限界法的搜索策略：
在扩展节点处，先生成其所有的儿子节点（分支的过 程），在从当前的活节点表中选择下一个扩展节点。为了有 效选择下一个扩展节点，以加速搜索进程，在每一个活节点 处，计算一个函数值（限界的过程），并根据这些已计算出 的函数值，从当前活节点表中选择一个最有利的活节点作为 扩展节点，使得搜索向解空间树上有最优解的分支进行，以 尽快找出一个最优解。
第六章 分支限界法 Branch and Bound
2014-8-27
西安邮电学院
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分支限界法也是一种在问题解空间上进行尝试搜索算法。 它类似于回溯法，但分支限界法和回溯法的求解目标不同。 回溯法的求解目标是找出满足约束条件的所有解，而分支限 界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或者是在 满足约束条件的解中找出使得某一目标函数值达到某种意义 下的最优解。
优先队列： （1）最大优先队列：数值大则优先级高 实现方式：最大堆 （2）最小优先队列：数值小则优先级高 实现方式：最小堆
算法设计与分析 分支限界
…
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纲要
一、分支限界的基本思想
二、背包问题
三、P和NP
14
问题定义
0-1背包问题
给定n个物品，商品i有两个属性i 和i ，分别代表重量和价格，
背包所承受的物品重量为W
0-1背包问题的目的是要选择一个物品的子集，使其总重量≤W，而价值最大。
解空间
假设解可以有向量（ , ,…, ）表示， ∈{0,1}， =1表示物品i被放进
（成为死节点），把剩下来的节点加到活节点的表中，然后，从这个
表中选一个节点作为下一个扩展节点。
7
分支限界法
从活节点的表中选一个节点并扩展它。这个扩展操作持续到找到解或这
个表为空为止。
选择下一个扩展节点的方法∶
1)先进先出(FIFO)
这个方法是按节点放进表中的次序从活节点表中选择节点。这个活节点
表可被看作一个队列。使用广度优先来搜索这个棵树。
在这个节点上我们得到的下界大于或等于上界，那么就没有必要在扩
展这个节点既不需在延伸这个分支。
·对于最大化问题规则正好相反:一旦上界小于或等于先前确定的下界，
那么就剪掉这个枝。
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分支限界法
·首先，分支限界是对最优化问题可行解进行剪枝的一个方法。
·将搜索集中在有希望得到解的分支上。也就是说，在基于上下界和可
时，活节点表可用一个最大堆来表示。下一个扩展节点为最大收益的节点。
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解空间树
扩展节点
死节点
活节点
success
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分支限界法
使用分支限界法至少需要注意以下几点：
1．怎么样计算上界，极大值问题；
第6章 分支限界法
6.3 装载问题
1. 问题描述
• 有一批共个集装箱要装上 2 艘载重量分别为 C1 和C2的轮船，其中集装箱i的重量为wi，且
w
i 1
n
i
c1 c2
• 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案 可将这个集装箱装上这2艘轮船。如果有，找出 一种装载方案。 • 如果一个给定装载问题有解，则采用装载策略
最短路径问题关键部分算法
while (true){ // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++) if(c[E.i][j] <max && E.length+cE.i][j] < dist[j]) { // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束 dist[j]=E.length+c[E.i][j]; //修正数值
bestx[j] = (bestE.LChild) ? 1 : 0; bestE = bestE.parent; }
学习要点
理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架，会描述队列变化
（1）队列式(FIFO)分支限界法
（2）优先队列式分支限界法 ：会确定优先级
通过应用范例学习分支限界法的设计策略
掌握两类例子每类2个例子：子集树、排列树
分支限界法与回溯法
（1）求解目标：基本相同 回溯法：通过回溯找出满足约束条件的所有解或最 优解 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在 满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解 （2）搜索方式：不同
3. 约束条件 1）显式约束：对分量xi的取值限定。
2）隐式约束：为满足问题的解而对不同分量之 间施加的约束。 4. 解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式 约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
第六部分 分支限界法
Ki ≤ K2i 或 Ki ≤ K2i+1 Ki ≥ K2i+1 Ki ≥ K2i i=1,2,…,n/2
单源最短路经
• 有向图G中，每一边都有一个非负边权。求 图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路 径。
2
9
12
14>8 9>8
5>3
12>4
10>7
0
3
4
7
8>7
8
4
5
6>5
6
• 剪枝：结点间的控制关系。从s出发，经过两条不同路径 到达同一顶点，这两条路径相应于解空间树的2个不同的 结点A和B，如果结点A所相应的路长小于结点B所相应的路 长，则可以将结点B为根的子树剪去，称结点A控制了结点 B。 • 优先队列中结点的优先级：结点所对应的当前路长。
• 在使用分支限界法解具体问题时，可以采 用下面两种典型方式实现活结点表
– 队列式分支限界（先进先出） – 优先队列式分支限界
1 1
2
3
4
2
3
4
队列式： 活结点表L=(2,3,4)
优先队列式： 活结点表L=(2,3,4按限界函数值确定 优先级)，即哪个分支能够花最小 代价 E.length c[E.i][j] dist[j]是否更新？
j
i
j
最大团问题
• 给定一个无向图G=(V,E)。如果U包含于V，且对任 意u,v属于U有(u,v)属于E，则称U是G的一个完全子 图。G的完全子图U是G的一个团当且仅当U不包含 在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所 含顶点数最多的团。
• （当前扩展结点）顶点数上界=已确定的顶点数+未确定的顶点 数的上界
单源最短路经
• 有向图G中，每一边都有一个非负边权。求 图G的从源顶点s到目标顶点t之间的最短路 径。
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14>8 9>8
5>3
12>4
10>7
0
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8>7
8
4
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6>5
6
• 剪枝：结点间的控制关系。从s出发，经过两条不同路径 到达同一顶点，这两条路径相应于解空间树的2个不同的 结点A和B，如果结点A所相应的路长小于结点B所相应的路 长，则可以将结点B为根的子树剪去，称结点A控制了结点 B。 • 优先队列中结点的优先级：结点所对应的当前路长。
• 在使用分支限界法解具体问题时，可以采 用下面两种典型方式实现活结点表
– 队列式分支限界（先进先出） – 优先队列式分支限界
1 1
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2
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队列式： 活结点表L=(2,3,4)
优先队列式： 活结点表L=(2,3,4按限界函数值确定 优先级)，即哪个分支能够花最小 代价 E.length c[E.i][j] dist[j]是否更新？
j
i
j
最大团问题
• 给定一个无向图G=(V,E)。如果U包含于V，且对任 意u,v属于U有(u,v)属于E，则称U是G的一个完全子 图。G的完全子图U是G的一个团当且仅当U不包含 在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所 含顶点数最多的团。
• （当前扩展结点）顶点数上界=已确定的顶点数+未确定的顶点 数的上界
算法分析与设计分枝限界法ppt课件
14
FIFO分枝－限界法 例7.1（4-皇后问题）
39
55
15
4-皇后问题— 回溯 vs FIFO分枝-限界
回溯 Win！
16
LC-检索（Least Cost）
分枝-限界失败的原因
– 对下一个E-结点的选择规则过于死板。
如何解决？
– 排序，让答案结点排在前面！ – 寻找一种“有智力”的排序函数C(·)，该函数能够
分枝-限界方法
– 一个E-结点一直保持到变成死结点为止。
限界函数
– 以上两种方法都使用限界函数杀死还没有 全部生成其儿子结点的那些活结点。
10
4-皇后问题的限界函数
如果(x1, x2, …, xi)是到当前E-结点的路径， 那么具有父-子标记xi+1的所有儿子结点是 一些这样的结点，它们使得(x1, x2, …, xi+1)表示没有两个皇后正在互相攻击的一 种棋盘格局。
20
LC-检索（成本估计函数）
从前面的两个成本度量标准看， 计算C(·) 的工作量与原问题的解具有相同复杂度。 这是因为计算一个结点的代价通常要检索 包含一个答案结点的子树才能确定，而这 正是解决此问题所要作的检索工作，因此 要得到精确的成本函数一般是不现实的。
因此需要成本估计函数g^(X) 出现的新问题
27
15-谜问题(宽度优先)
28
15-谜问题(宽度优先前十步)
29
例：15-谜问题
按照FIFO检索方法不管开始格局如何，总是采 取由根开始的那条最左路径，因而检索是呆板 而盲目的。
我们所期望的是：
– 有一个具有一定“智能”的检索方法。这就需给 状态空间树的每个结点X赋予一定的成本值c(X)， 可将由根出发到最近目标结点路径上的每个结点 X赋予这条路径长度作为他们的成本值。
FIFO分枝－限界法 例7.1（4-皇后问题）
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4-皇后问题— 回溯 vs FIFO分枝-限界
回溯 Win！
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LC-检索（Least Cost）
分枝-限界失败的原因
– 对下一个E-结点的选择规则过于死板。
如何解决？
– 排序，让答案结点排在前面！ – 寻找一种“有智力”的排序函数C(·)，该函数能够
分枝-限界方法
– 一个E-结点一直保持到变成死结点为止。
限界函数
– 以上两种方法都使用限界函数杀死还没有 全部生成其儿子结点的那些活结点。
10
4-皇后问题的限界函数
如果(x1, x2, …, xi)是到当前E-结点的路径， 那么具有父-子标记xi+1的所有儿子结点是 一些这样的结点，它们使得(x1, x2, …, xi+1)表示没有两个皇后正在互相攻击的一 种棋盘格局。
20
LC-检索（成本估计函数）
从前面的两个成本度量标准看， 计算C(·) 的工作量与原问题的解具有相同复杂度。 这是因为计算一个结点的代价通常要检索 包含一个答案结点的子树才能确定，而这 正是解决此问题所要作的检索工作，因此 要得到精确的成本函数一般是不现实的。
因此需要成本估计函数g^(X) 出现的新问题
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15-谜问题(宽度优先)
28
15-谜问题(宽度优先前十步)
29
例：15-谜问题
按照FIFO检索方法不管开始格局如何，总是采 取由根开始的那条最左路径，因而检索是呆板 而盲目的。
我们所期望的是：
– 有一个具有一定“智能”的检索方法。这就需给 状态空间树的每个结点X赋予一定的成本值c(X)， 可将由根出发到最近目标结点路径上的每个结点 X赋予这条路径长度作为他们的成本值。
算法 第6章 分枝限界法
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分支限界法的基本思想
堆的补充知识
堆的定义
满足下列性质的数列{R1, R2, …, Rn}被称为堆
Ri R2i (1) Ri R2i 1
或
(2)
Ri R2i Ri R2i 1
i 1, 2,,[n 2]
若满足条件(1)则称最小堆； 若满足条件(2)则称最大堆。
解空间树：
9
0-1背包问题
设有n个物体和一个背包, 物体i的重量为wi , 价值为vi, 背包的承 重量为c, 若将物体i (1 i n)装入背包, 则有价值为vi . 目标是找到一个方案, 使得能放入背包的物体总价值最高。
当n=3时, 问题的解空间树：
10
0-1背包问题
例：n=3，w=[16,15,15]，v=[45,25,25]，c=30 队列式分支限界法：
6
分支限界法的基本思想
堆对应一棵完全二叉树，如
最小堆
最大堆
7
分支限界法的基本设有n个物体和一个背包, 物体i的重量为wi , 价值为vi, 背包的承 重量为c, 若将物体i (1 i n)装入背包, 则有价值为vi . 目标是找到一个方案, 使得能放入背包的物体总价值最高。
此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重 复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解 或活结点表为空时为止。
3
分支限界法的基本思想
从活结点表中选择下一扩展结点的不同方式导致不同的分支 限界法。
常见的两种分支限界法：
（1）队列式(FIFO)分支限界法 将活结点表组织成一个队列，并按队列先进先出（FIFO）原 则选取下一个结点为当前扩展结点。 （2）优先队列式分支限界法 将活结点表组织成一个优先队列，并按照优先队列中规定的 优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
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两个比较值
பைடு நூலகம்
对于一棵解空间树上的每一个节点所代表的部分解, 要计算出通过这个部分解繁衍出的任何解在目标函 数上的最佳值边界 目前求得的最佳解的值
算法会为每一节点x计算一个界,任何可能在以x 为根的子树中生成的结点所给出的解,其值都不 可能超出这个界. 分支限界法的主要思想
如果边界值不能超越最佳解,这个节点就是一个没有 希望的节点.
8
分支限界法的基本思想
实例——8-拼块游戏问题
输入: 具有8 个编号小方块的魔方
输出: 移动系列, 经过这些移动, 魔方达到目标状态
2 1 7
8 6
3 4 5
1 8 7
2 6
3 4 5
初始状态
目标状态
9
分支限界法的基本思想
FIFO队列式分支限界法
. 2 3 1 8 4 7 6 5 2 . 3 1 8 4 7 6 5 1 2 3 . 8 4 7 6 5 2 8 3 1 . 4 7 6 5 1 2 3 7 8 4 . 6 5
2
6
2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 1 4 7 6 5
3
4
L=(3,2,4)
5
5
6
5
7
6
L=(5,6,2,4,7)
8
6
8 3 2 1 4 7 6 5
9
7
2 8 3 10 2 3 7 1 4 1 8 4 6 5 5 7 6 5 12 1 2 3 8 4 5 7 6 5
11 2 3 1 8 4 7 7 6 5
Queue Q; Q.add(-1); while (i != n+1) {
可行性约束
将一个新的活结 点插入到子集树 和优先队列中 i+1: 层数
输入：C>0, wi>0, vi>0, 1≤ i≤n
输出：(x1, x2, …, xn), xi∈{0, 1}, 满足
13
0-1背包问题
-FIFO队列式
实例
n=3，C=30，w={16，15，15}，p={45，25，25} 可行性约束函数：
FIFO队列式分支限界法的基本思想
A
L=(6,2,4,7,8,9) L=(10,2,4,7,8,9,11) L=(12,2,4,7,8,9,11)
13 1 2 3 8 4 C’(X)= C’(13) =5+0=5 7 6 5
L=(2,4,7,8,9,11)
12
0-1背包问题
给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi， 其价值为vi，背包的容量为C。问应如何 选择装入背包的物品，使得装入背包中 物品的总价值最大?
算法设计与分析
第 6章 分支限界法
1
学习要点
理解分支限界法的剪枝搜索策略 掌握分支限界法的算法框架
队列式(FIFO)分支限界法 优先队列式分支限界法 0-1背包问题； 旅行售货员问题 装载问题； 单源最短路径问题 最大团问题； 批处理作业调度问题
通过应用范例学习分支限界法的设计策略
B,C E,F K,L
P=45 P=50
P=25 P=25
P=0
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0-1背包问题
-FIFO队列式
扩展结点生成顺序
ABCEFKL
实际生成的子集树
15
0-1背包问题
-FIFO队列式
cw:当前装包重量 cp: 当前装包价值
分支限界搜索过程
// 非叶结点 // 检查当前扩展结点的左儿子结点 Typew wt = cw + w[i]; if (wt <= c) { // 左儿子结点为可行结点 if (cp+p[i] > bestp) bestp = cp+p[i]; Q.add(cp+p[i], cw+w[i], i+1);}//加入活结点队列
5
分支限界法的基本思想
常见的两种分支限界法
根据从活结点表中获取下一 扩展结点的不同方式
（1）队列式分支限界法 （2）优先队列式分支限界法
6
分支限界法的基本思想
（1）队列式分支限界法
按照队列先进先出（FIFO）或者后进先出 （LIFO）原则选取下一个结点为扩展结点。 不足:对结点的选择规则相当死板，具有一 定的 “盲目”性。这种选择规则不利于快 速检索到一个能够到达答案的结点。
1 8 7
2 6
3 4 5
目标状态
2 3 . 1 8 4 7 6 5
1 2 3 8 . 4 7 6 5
10
分支限界法的基本思想
优先队列式分支限界法
“有智能”的排序函数C( )—最小代价估计 函数： C’(X)＝从初始状态到X所移动的次数＋还未 到位的数字方块数。 从初始状态到X所移动的次数是实际耗费的 代价，还未到位的数字方块数表示至少还要 移动的次数。 2 8 3 1 2 3
7
分支限界法的基本思想
（2）优先队列式分支限界法
按照优先队列中规定的优先级选取优先级最 高的结点成为当前扩展结点。常用方法是 LC(Least Cost)方法。
最大优先队列：使用最大堆，体现最大效益优先
最小优先队列：使用最小堆，体现最小费用优先
对活结点使用一个“有智能”的排序函数来 选取下一个结点，往往可以加快获取答案的 速度。
2
分支限界法的基本思想
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大 效益）优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会 成为扩展结点。
活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿 子结点。 在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解 的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表 中。 此后，从活结点表中取下一结点(最有利的)成为当 前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程 一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
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分支限界法的基本思想
分支限界方法找最优解的效率比回溯法 高。 原因在于
采用了最小代价估值函数指导搜索，在活节 点表中，选择有最小代价估值的节点作为扩 展节点。即总是向最有可能获得最优解的子 树上扩展。 并且采用限界函数U杀死活节点表中不可能 成为最优解的节点，提高算法的效率。
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分支限界法的基本思想
1 7 6 4 5 8 7 6 4 5
11
初始状态 C’(X)=C’(1)=0+4=4
目标状态 C’(X)=s+0=s
1
4
2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 1 4 7 6 5 2 3 1 8 4 7 6 5 4
6
优先队列
L=(1)
2 8 3 1 6 4 7 5 2 8 3 1 4 7 6 5