2017年春季新版北师大版八年级数学下学期1.1、等腰三角形教案14

课题：1.1 等腰三角形（3）教学目标：1．能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性．2．初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题.3．体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性．教学重点与难点：重点：等腰三角形的判定定理的证明.难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题.教师准备：多媒体课件.教学过程：一、创设情境，导入新课活动内容：回答下列问题.问题1：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质？（学生口答）（1）等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角” .（2）“三线合一” .（3）等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等.问题2：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？问题3：如果把它的条件和结论反过来，还成立吗？也就是一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？【教师板书课题：1.1等腰三角形（3）】处理方式：学生口答问题1，在此基础上，师特意提出“等腰三角形两底角相等”定理的条件和结论反过来还成立吗？学生对此问题各抒己见，师引导，并引入出新课．设计意图：设计成问题串不但是检测学生对上节课内容掌握的情况，而且也为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔；同时调动了学生学习的兴趣，激发学生学习的热情．二、自主探究，交流展示活动内容1：请同学们探究“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗? 你能完成它证明吗？并与同伴交流．（多媒体出示）（学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法．）已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C ， 求证：AB=AC . 方法预设： 方法一：证明：过点A 作BC 的垂线，垂足为D ． ∵AD ⊥BC ，∴∠BDA =∠CDA = 90°． 在△ABD 和△ACD 中，∵∠B =∠C , ∠BDA =∠CDA , AD=AD ， ∴ △ABD ≌△ACD (AAS)．∴ AB=AC （全等三角形的对应边相等）． 方法二：证明：作∠BAC 的角平分线，交BC 与D ． ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD =∠CAD ． 在△ABD 和△ACD 中，∵∠B =∠C , ∠BAD =∠CAD , AD=AD ， ∴ △ABD ≌△ACD (AAS) ．∴AB=AC （全等三角形的对应边相等）．（师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，规范的写出推理过程，鼓励学生一题多解.）师指出：作△ABC 边BC 的中线，虽然把△ABC 分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA ”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的． （多媒体展示）ABCAB CD处理方式：学生先在练习本上画图，写出已知、求证，在此基础上，学生自主探究，合作交流，小组之间探究讨论多种证明方法．在学生有困难情况下，师引导类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，并让学生亲自书写的解题过程，给予展示，从而得到定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.设计意图：让学生学会类比“等边对等角”的证明方法正确的添加辅助线，明白可以作BC边上的高线，也可以作∠A的角平分线，但不适合作BC边的中线，同时培养了学生一题多解能力.通过学生板书证明过程，培养了学生规范的解题过程及推理能力.活动内容2：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？（多媒体出示）(学生积极动脑思考，小组交流讨论)师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证师出示：“反证法”的定义：处理方式：在学生没有证明思路和方法的情况下，师展示小明同学证明方法，并给出反证法的定义，然后让学生打开课本阅读并理解反证法，明确反证法的步骤．设计意图：让学生明确当用综合法证明命题行不通时，需要探究一种新方法来完成它的证明，结合课本小明的想法初步感受反证法，体会反证法在证明中的作用.三、例题解析，应用新知 （多媒体出示）例1 已知：如图AB =DC ，BD=CA . 求证：△AED 是等腰三角形.（教师引导、点拨） 证明:在△ABD 和△DCA 中， ∵AB=DC, BD=CA ，AD=DA ， ∴ △ABD≌△DCA (SSS) .∴∠ ADB=∠DAC （全等三角形的对应角相等）. ∴AE=DE (等角对等边) . ∴ △AED 是等腰三角形.处理方式：先给学生独立思考，再讨论交流，教师适当引导，在此基础上小组合作完成证明过程．完成后，教师对学生的证明过程进行展示、评价．针对出现的问题，师及时指出，并多媒体出示规范的过程．这样通过小组共同探讨、交流、教师引导解决了本节课的重难点． 设计意图：通过本例题，让学生初步应用“等角对等边” 证明一个三角形是等腰三角形，体会证明的思路与书写的过程，同时也培养了学生推理的严密性．例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：△ABC ．求证：∠A 、∠B 、∠C 中不能有两个角是直角． （教师引导，学生讨论交流）证明：假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A =∠B =90°，则 ∠A +∠B +∠C=90°+90°+∠C ＞180°．这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A =∠B =90°不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会证明过程．） 师生共同总结：用反证法证明的一般步骤：归纳小结：1.假设命题的结论不成立；2.从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3. 由矛盾的结果判断假设不正确，从而肯定命题的结论正确．ADEBC处理方式：反证法是学生刚学的一种新的证明方法，加上这种方法不容易理解，因此对学生来说难度较大，所以教师引导，师生共同完成证明过程．完成后，教师对学生的证明过程进行展示、评价．针对出现的问题，师及时指出，并多媒体出示规范的过程．设计意图：通过本例题，让学生初步感受反证法的证明的思路与书写的过程，体会反证法证明与作用．四、 变式训练，巩固提高（多媒体出示）1.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．解：图中一共有三个等腰三角形．证明：∵∠DBC =36°，∠C =72°， ∴∠BDC =72°（三角形内角和定理）．∴∠BDC =∠C ． ∴BD=BC (等角对等边)． ∴△DBC 是等腰三角形.同理可证：△ABC 与△ABD 也是等腰三角形.2.已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角， AD∥BC 且∠EAD =∠CAD ． 求证：AB=AC ． 证明：∵AD ∥BC ，∴∠EAD =∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠CAD =∠C (两直线平行，内错角相等)． 又∵∠EAD =∠CAD ， ∴∠B=∠C ．∴AB=AC (等角对等边)．3.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于15．证明：假设五个正数每一个都小于15，则五个正数的和小于1．这与五个正数的和等于1矛盾，所以五个正数每一个都小于15不成立．所以这五个数中至少有一个大于或等于15．处理方式：教师引导、点拨后，三名学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，同A BCDABCE D学之间相互进行解题过程评价，教师及时点评、适时表扬．设计意图：前两道题的练习，是对学生应用“等角对等边”定理训练，同时加强对综合法证明过程的理解；第三题是让学生感受反证法的证明的思路与书写的过程．在学生书写或口答的过程中，加强学生书写和语言的规范性．五、 归纳小结，反思提升通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．学生畅谈自己的收获！设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、当堂检测，反馈矫正 试一试，你能成功！（多媒体出示）1．如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（ ）A 、钝角三角形B 、直角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形2．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）A 、6个B 、5个C 、4个D 、3个 3．如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ）A 、5 cmB 、4 cmC 、9 cmD 、1 cm 4.如图，BD 平分∠CBA ，CD 平分∠ACB ，且MN∥BC ，设AB =12，AC =18，求△AMN 的周长.处理方式：留给学生5～6分钟的时间独立做题，教师巡视，学生做完后，教师出示答案，并统计学生答题情况，指导学生校对；学生根据答案及时进行纠错．设计意图：用不同的形式巩固所学知识，不同的梯度来检验学生掌握的程度，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.七、布置作业，延展课堂必做题：课本 第10页 习题1.3 第2、4题．ADMNCB BDCAEEBADC选做题：课本第10页习题1.3 第3题．设计意图：分层设置作业，使不同学生都能够在不同程度上更进一步.必做题巩固了本节课所学，选做题满足个别数学爱好者的需求.。