机械振动(单自由度系统-理论)

第二章单自由度系统——理论
2-1引言
单自由度系统是更进一步研究振动的基础。

一些单自由度系统的例子表示在图2-1中。

虽然这些系统在外表上不同，但它们都可以用图1-1所示的一般模型表示。

这里我们使用四种方法：（1）能量法；（2）牛顿第二定律；（3）频率响应法；（4）叠加原理。

由于振动是一种能量交换现象，所以首先介绍简单的能量法。

应用牛顿第二定律，单自由度系统由一个二阶运动微分方程描述。

如果激振是一解析表达式，那么，方程能够用“经典”的方法求解。

如果激振是任意函数，可用叠加原理求得系统的运动。

频率响应法假定激振是正弦的，而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质。

注意，一个系统以它自己的方式振动，而与分析方法无关。

应用不同方法的目的是为了寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质。

我们把牛二和叠加原理作为时间域分析来对待，轩为一质量的运动是时间的函数，例如以时间作为独立变量的微分方程的解。

频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率，因此，它是一种频率域分析。

时间响应是直观的，但是在频率域内描述一个系统更方便。

值得注意的是，时间域分析和频率域分析肯定是相关的，因为它们是考虑同一问题的不同方法。

事实上，被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础。

由叠加原理导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域。

我们在这里仅仅介绍这个非常重要的原理的一个方面，而不讨论相关的方法。

时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西。

然而，直
到最近几年来，电子计算机、测试设备和试验技术的进步，它才在实际中得到应用。

2-2自由度
一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数。

我们定义状态为这个系统的所有质量的几何位置。

如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完全确定，那么就说这个系统具有一个自由度。

对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标，即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋转运动的坐标。

然而，通常一系统中的质量受约束仅仅以一定的方式运动，因此，约束限制了系统自由度的个数。

另一方面，一个系统的自由度数也可以定义为确定系统状态所需要的空间坐标个数减去约束方程的个数。

我们用一些例子来说明这些定义。

对图2-1中表示的单自由度系统简单讨论如下：
1.弹簧-质量系统，如图2-1（a ）所示，质量m 悬挂在具有弹簧常数k 的螺旋弹簧上。

若m 受到约束，只能沿垂直方向在它的平衡点O 附近上下运动，那么，一个空间坐标x(t)就能确定系统状态，因此，我们可以说，这种系统具有一个自由度。

2.扭转摆，如图2-1（b ）所示，由一个重圆盘J 和一个具有扭转弹簧常数t k 且质量可忽略不计的轴组成。

若系统受到约束，盘只能绕着此轴的纵向轴线振荡。

这种系统状态可以用一个单一坐标)(t θ确定。

3.质量-弹簧-悬臂梁系统，如图2-1（c ）所示。

如果悬臂梁的质量可忽略不计，质量m 限制在垂直方向运动，那么，这种系统是一个自由度系统。

由于略去了悬臂梁的惯性影响而仅考虑它的弹性，悬臂梁就变成了一个弹簧元件。

从而，由给定的质量m 和一个等效弹簧得到了一个简单的质量-弹簧系统。

等效弹簧由弹簧k 和悬臂梁联合构成。

4.质量-滑轮-弹簧系统，如图2-1（d ）所示。

如果假定绳和滑轮J 之间无滑动以及绳不可伸长，则这种系统是一单自由度系统。

虽然这个系统具有两个质量元件m 和J ，但m 的线位移)(t x 和J 的角位移)(t θ相互不独立。

因此，)(t x 或)(t θ都可以用来确定系统的状态。

5.常以角速度Ω旋转的简单弹簧-受载飞球调节器，如图2-1（e ）所示。

若在调节器上作用一干扰，那么，系统的振动运动可用角坐标)(t θ表示。

6.限制在xy 平面内运动的单摆，如图2-1（f ）所示。

它的状态可用笛卡尔直角坐标)(t x 和)(t y 或转动用)(t θ确定。

然而（x,y ）坐标是互相不独立的，(x,y)之间满足约束方程
2
22L y x =+式中假定摆长L 为常量。

因此，若任意待定)(t x ，则)(t y 由上式确定。

图2-2表示了几个两自由度系统。

1.两质量-两弹簧系统，如图2-2（a ）所示。

若限制质量仅在垂直方向运动，则系统具有两个自由度。

确定系统状态的两个空间坐标是)(1t x 和)(2t x 。

2.弹簧-质量系统，如图2-2（b ）所示。

在前面，这个系统作为单自由度系统。

若允许质量沿螺旋弹簧的轴线振荡，也允许在一个平面内从一边到另一边，则这时系统有两个自由
度。

3.空间摆，如图2-2（c ）所示，它的状态可用坐标)(t θ和)(t φ或用坐标)(t x 、)(t y 和)(t z 来描述。

)(t x 、)(t y 和)(t z 满足约束方程2222L z y x =++。

因此，这个押只有两个自由度。

2-3运动方程——能量法
一保守系统的运动方程可用能量法建立。

若图2-3中的保守系统处于运动状态，则系统的总机械能是动能和势能的总和。

动能T 是由于质量作运动而产生的运动能，势能U 是由于弹簧变形所产生的应变能。

由于系统是保守的，所以总机械能是常数，因此，它对时间的层数是零。

这可表示为T+U=（总机械能）=常数（2-2）
为了寻出2-3中弹簧-质量系统的运动方程，假定质量m 的位移)(t x 是由它的静平衡位置量起。

)(t x 向下为正。

由于弹簧的质量可忽略不计，所以，系统的动能T 为
对应整个系统的势能是（1）弹簧的应变能；（2）由于质量的高度的变化引起的位能的代数和。

系统相对于静平衡位置的净势能为
方式无关。

显而易见，仅仅振幅A和相位角ϕ取决于初始条件。

（三个例题）。