mxt0-中学数学函数最值问题的求法Y
高中数学解题技巧之函数最值求解
高中数学解题技巧之函数最值求解函数最值求解是高中数学中常见的题型，也是考试中的重点内容之一。
掌握函数最值求解的方法和技巧，不仅可以帮助学生在考试中取得好成绩，还能提高数学思维能力和解题能力。
一、函数最大值和最小值的定义在解决函数最值问题之前，我们首先要明确函数最大值和最小值的定义。
对于函数f(x)，如果在定义域D上存在一个数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在D上的最大值；如果在定义域D上存在一个数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在D上的最小值。
二、求解函数最值的方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，我们可以大致判断出函数的最值所在的区间。
例如，对于一元二次函数y=ax^2+bx+c，如果a>0，那么函数的图像将开口向上，最小值一定在顶点处取得；如果a<0，那么函数的图像将开口向下，最大值一定在顶点处取得。
举例：求函数f(x)=2x^2+3x-4的最值。
首先，我们可以通过观察函数的图像来判断最值所在的区间。
由于a=2>0，所以函数的图像开口向上，最小值一定在顶点处取得。
根据二次函数的顶点公式，顶点的横坐标为x=-b/2a，代入得到x=-3/4。
将x=-3/4代入函数中求得f(-3/4)=-37/8，所以函数f(x)=2x^2+3x-4的最小值为-37/8。
2. 导数法对于一元函数，我们可以通过求导数来求解函数的最值。
首先，我们求函数的导数，然后求导数为0的点，再通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。
举例：求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的最值。
首先，我们求函数的导数f'(x)=3x^2-6x-9。
然后，令导数f'(x)为0，解方程3x^2-6x-9=0得到x=3或x=-1。
接下来，我们可以通过判断导数的正负性来确定最值所在的区间。
当x<-1时，导数f'(x)为正；当-1<x<3时，导数f'(x)为负；当x>3时，导数f'(x)为正。
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结在高中数学中，求函数的最值问题是经常出现的一类问题，对于这类问题我们可以通过求导数的方法来解决。
下面是一些关于根据导数求函数最值问题的解题技巧的总结。
1. 确定函数的定义域在解决函数的最值问题之前，我们需要确定函数的定义域。
定义域是指函数在实数范围内的取值范围。
确定定义域的同时，我们也要考虑函数是否连续以及是否存在间断点等因素。
2. 求函数的一阶导数为了求函数的最值，我们需要先求出函数的一阶导数。
对于一元函数而言，我们可以使用导数的定义或者常见的求导法则来求出一阶导数。
一阶导数能够反映函数的变化趋势以及函数的增减性质。
3. 找出导数为零的点接下来，我们需要找出函数的一阶导数为零的点，即导数为零的临界点。
这些点也称为函数的驻点。
通过求解导数为零的方程，我们可以得到函数取得极值的可能点。
4. 判断临界点的性质在找出函数的驻点之后，我们需要进一步判断这些点的性质。
根据导数的符号变化，我们可以判断驻点是极大值点还是极小值点。
通常我们可以通过求解导数的二阶导数，来判断驻点的性质。
5. 极值与最值的关系在有限闭区间上，函数的极大值和极小值统称为最值。
通过比较极值点的函数值，我们可以确定函数的最大值和最小值。
同时，我们还需要考虑函数在定义域的两端是否存在最值。
6. 综合应用求解问题除了在抽象的函数图像上求解最值问题，我们还可以将最值问题与实际问题相结合。
通过建立函数模型，并利用导数的知识来解决实际问题。
这样可以提升我们对于求解最值问题的能力和灵活性。
通过以上的技巧，我们能够更加高效地解决高中数学中根据导数求函数最值问题。
同时，在实际应用中，我们也需要不断的进行练习和思考，熟练掌握这些技巧，从而更好地应对各种求解最值问题的场景。
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。
一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。
在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。
1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。
2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。
在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。
将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。
3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。
这个值就是函数的最大值或最小值。
二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。
例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。
解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。
3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。
4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。
当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。
因此，函数的边界点为正负无穷大。
5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。
综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。
求函数最值的题型和方法
求函数最值的题型和方法
求函数的最值是数学中的常见问题，下面列举了几种常见的求函数最值的题型和方法：
1. 单变量函数的最值：对于单变量函数，可以通过求导数的方法来求函数的最值。
首先求出函数的导数，然后将导数等于0的方程求解，得到驻点（即函数取得极值的点）。
接着，通过将
驻点和函数的端点（如果有的话）进行比较，确定函数的最值。
2. 多变量函数的最值：对于多变量函数，求解最值的方法更加复杂。
可以通过求偏导数和二阶导数的方法来求解。
首先求出函数的偏导数，然后将偏导数等于0的方程组求解，得到驻点。
接着，求解雅可比矩阵的特征值，根据特征值的正负来确定驻点的类型（最大值、最小值或鞍点）。
最后，对比驻点和函数的端点（如果有的话），确定函数的最值。
3. 约束条件下的最值：在某些情况下，函数的变量受到一定的约束条件限制。
求解这种情况下函数的最值，可以通过拉格朗日乘数法来实现。
首先，将约束条件转化为方程组，然后定义拉格朗日函数。
接着，求解拉格朗日函数的导数等于0的方程组，得到驻点。
最后，通过对比驻
点和边界点，确定函数的最值。
4. 条件最值：在某些情况下，函数的取值受到一定的条件限制。
求解这种情况下函数的最值，可以通过消元法来实现。
首先，将条件限制转化为方程组，然后将其中的一个方程代入到函数中，得到一个只包含一个变量的函数。
接着，通过求解这个函数的最值，得到函数在满足条件限制下的最值。
需要注意的是，对于非线性函数或复杂函数，求解最值可能涉及到数值计算或近似计算的方法。
在实际应用中，通常会使用数值计算软件来求解函数的最值。
函数的最值的求解方法
函数的最值的求解方法
函数最值的求解方法是一种重要的数学运算方法，这种方法可以
帮助研究人员更好地理解变量之间的关系。
在函数的最值求解中，有
三种主要的方法可以使用：极值定理、极限分析和微积分方法。
1. 极值定理：极值定理可以被用来求解函数的最值。
在使用极
值定理之前，必须先明确函数的特征，包括函数的显式表达式，极点
的位置，以及函数的变化规律。
极值定理的主要思想是，将函数的极
点连接起来，然后根据导数的正负性确定函数的最值。
2. 极限分析：极限分析也可以用于求解函数的最值。
这种方法
利用函数的极限结果，通过观察函数随自变量变化时函数的波动范围
來确定函数在某个特定自变量处的最值。
3. 微积分法：微积分法也可以用来求解函数的最值。
微积分法利
用解导数方程的结论，确定函数的最值。
总的来说，上述三种方法都可以用于求解函数的最值，但每种方
法都有一定的缺点。
例如，极值定理要求函数具有较为复杂的表达式
才能有效；极限分析只适用于函数有限的自变量；而微积分方法也要
求函数具有较为复杂的表达式才能有效。
因此，在求解函数的最值时，应该根据函数的具体表达式，以及所采用的求解方法的优势和劣势，
从而选择最合适的方法。
值得强调的是，无论使用何种方法求解函数
的最值，都要牢记函数的特征和规律，以保证函数最值的准确性。
求函数最值的10种方法
件将函数化为分段函数，再利用数形结合法求解．
解析
由|x＋1|≥|x－2|，
1 | x 1 |, x 2 , 所以f ( x) | x 2 |, x 1 , 2 其图象如图所示.
1 得(x+1) ≥(x-2) ，所以x≥ . 2
2 2
1 由图形易知,当x 时,函数有最小值, 2 1 1 3 3 所以f ( x) min f ( ) 1 .故填 . 2 2 2 2
分析
先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函
数的最值，然后利用条件求得参数a的值．
解析 ∵a>1，∴函数f (x)＝logax在区间[a,2a]上是增
函数，∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为 loga 2a，logaa＝1. 1 1 又∵它们的差为 ，∴loga2＝ ，a＝4.故填4. 2 2
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学）
由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 分析 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a ＋2b ＝6，
2 2
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)． ∴a＋b的最小值是－3.故填－3. 点评 在用换元法时，要特别注意其中间变量的取值
解析
根据函数的最大值的定义知，①是假命题：虽
然满足最大值定义中的任意性，但不满足存在性，故 ①错误．②、③正确：实质上，它们是等价命题，都 ห้องสมุดไป่ตู้足最值定义中的两个条件．故选C. 点评 利用定义解决函数最值的相关问题时，其重要
的一点就是要把握定义的内涵，准确地加以应用．需 要注意的是：函数一定有值域，但不一定有最值，如 1 函数f (x)＝ 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，但它 x 没有最大值，也没有最小值．
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。
首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。
2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。
首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。
3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。
通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。
4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。
5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。
根据极值类型确定最值点。
6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。
平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。
7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。
8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。
9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。
这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。
10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。
以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用最值问题（Maximum and Minimum Problems）是一类数学问题，一般指某个函数在给定的某个“区域”上取得最大值或最小值的问题。
求解最值问题有下述常见的几种方法。
一、极大值与极小值中值定理对于定义在完整的区域上的连续函数，其最大值或最小值必然发生在函数的极大值点或极小值点。
所以相应的问题解就在函数的极大值解或极小值点上取到，即让函数的一阶导数等于零并解出其中的变量值即可求出极大值点或极小值点，从而求出最值。
二、链式求导法就是对函数求几次导数，首先判断其一阶导数的正负性，当正则，则求此时的函数最小值，当其一阶偏导数为负，则说明此时函数达到极大值，通过几次导数的求取来判断以及进行求解。
三、凸性理论凸性理论又称凸函数理论，是数学分析的一个方面，要求最值问题的解决必须符合凸性的条件，只要满足凸性的条件，就能获得最值问题的求解结果。
并且使用凸性理论可以得到准确精确的结果。
四、算法及数值解法首先给出一些值时，大量的计算过程可以有效地进行最值求解，可以运用搜索穷举法，直接计算一组变量，以实现最值问题的求解。
此外还可以运用精确计算技术，用一定的方法计算某一点，每次只移动一小步来求出最值问题的解决方案。
最值问题在许多领域的应用都非常广泛，比如#########：1. 决策模型：很多决策问题可以使用最值理论来分析和研究，比如投资决策、定价问题、途径选择等。
2. 能源优化：随着能源、资源逐渐枯竭，优化资源利用，就需要最值问题的解决，以便在有限的资源状况下取得最优的能源分配方法。
3. 形式化学习：形式化学习是一个研究智能体如何学习的方法，最值问题可以求出在不同学习情境下的学习的最优模型。
4. 优化算法：很多优化算法都需要充分利用最值问题的求解方法，特别是采用机器学习算法的多重优化中，最值理论是一个重要组成部分。
5. 风险管理：通过最值问题可以有效地理清投资组合中所面临的风险，从而分析这样的投资组合是否利可观；或者是否需要进行风险抵御等措施。
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中学数学函数最值问题的求法摘要：关于函数的值域与最值的求法，是高中数学教学中的一个难点，也是一个重点。
在现行高中教材中没有专门安排有关内容作出介绍，但在高中数学教学中、练习、习题中，乃至高中毕业会考题中、高考题中，却处处可遇到求函数值域与最值的问题。
因此，我们有必要对求函数的值域与最值的方法作出充分的归纳与认识。
本文就高中数学的要求，对常见的一些方法作出下列归纳与介绍。
关键词：函数的值域,函数的最值，方法。
Abstract:concerning the domain and the most value function of sapce, is one of the high school mathematics teaching difficulty, is also a key point. In the current senior high school textbook no specific arrangements related content to introduce, but in the high school mathematics teaching, practice and exercises, and even high school graduation will examination question, the university entrance exam questions, everywhere however can encounters with the most value of function domain problem. Therefore, it is necessary for us to ask the domain and the most value function method to make sufficient summed up and understanding. This paper is the high school mathematics, at the request of some common methods to make the following summed up and introduction.Keywords:function domain, the maximum or minimum value of the function,method 引言求函数的函数的最值问题常和求函数的值域紧密相关，函数的值域与最值是两个不同的概念，一般说来，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域，反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。
但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。
最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占有比较重要的位置，是历年高考重点考查的知识点之一，要求高，故而解决这类问题，要。
以便于广大师生系统掌握求函数最值的初等求解方法。
判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法。
1.判别式法若函数()y f x =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程: 2()()a y x b y x + ()0c y +=。
在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,则有2()4()()0b y a y c y ∆=-≥,由此可以求出y 所在的范围,确定函数的最值。
例 1.1 (1987,江苏省初中数学竞赛) 已知332p q +=,其中,p q 是实数,则p q +的最大值为______。
解:设s p q =+,由332p q +=得, 22()()2p q p q pq ++-=2()[()3]2p q p q pq ++-=3()3()2p q pq p q +-+=212()3pq s s ∴=- ∴,p q 是方程2212()03x sx s s-+-=的两个实根. 2242()03s s s∴∆=--≥ 整理化简, 得38s ≤,故2s ≤. 即p q +的最大值为2例 1.2 (1993,全国高中数学联赛) 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22s x y =+,则max min 11s s +的值为_______。
P(2,3)解:由题意知, 415xy s =-,故224()(1)5xy s =- 又22x y s += ∴22,x y 是方程224(1)05t st s -+-=的两个实根. 222439324(1)405255s s s s ∴∆=--=-+-≥ 解得1010133s ≤≤，即min max 101013,3s s == maxmin 1185s s ∴+= 2.函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。
若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。
若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。
例2.1求函数()f x =解：先求定义域，由228014480x x x x ⎧-≥⎨--≥⎩ 得 68x ≤≤又()f x =Q =，[]6,8x ∈ 故当[]6,8x ∈，且x减小.于是()f x 是随着x 的增大而减小，即()f x 在区间[]6,8上是减函数，所以min ()(8)0f x f ==, max ()(6)f x f ==例2.2 求函数2125x y x x -=-+，322x ≤≤的最大值和最小值。
解：1x ≠Q ∴()21141411x y x x x -==-+-+- ， 3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 令4()f t t t =+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当12112t t ≤<≤时，有21212144()()()()f t f t t t t t -=-+-21124()(1)t t t t =--0< 4()f t t t ∴=+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，因此 min ()(1)5f t f == ，max 117()()22f t f == min 217y ∴= ， max 15y = 3.均值不等式法均值不等式:设12,,...,n a a a 是n 个正数,则有12...2n a a a +++≥,其中等号成立的条件是12...n a a a ===。
运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。
“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。
例 3.1（1990,全国高中数学联赛) 设n 为自然数, ,a b 为实数,且满足2a b +=,则1111n n a b+++的最小值是______。
解:,a b Q >0.由均值不等式得, 2()12a b ab +≤= 1n n a b ∴≤ 故 111111111(1)(1)1n n n nn n n n n n n nb a b a a b a b b a b a +++++++==≥+++++++ 当且仅当1a b ==时,上式取等号.故1111n n a b+++的最小值是1 例 3.2 (1997,全国高中数学联赛)设1lg lg[()1]a z x yz -=++，1lg lg(1)b x xyz -=++，lg c y =1lg[()1]xyz -++,记,,a b c 中最大数为M,则M 的最小值为______。
解: 由已知条件得 111lg(),lg(),lg[()]a xy z b yz x c xz y ---=+=+=+设111,,()xy z yz x xz y ---+++中的最小数为A ,则M= lg A由已知条件知, ,,x y z R +∈,于是211()[()]A xy z xz y --≥++11[()]()yz yz x x --=+++224≥+= 所以, 2A ≥,且当1x y z ===时, 2A =,故A 的最小值为2,从而M 的最小值为lg 2注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。
例 3.3 (1994,全国高中数学联赛) 设0θπ<<,则sin (1cos )22θθ+的最大值是_______。
解: 由0θπ<<,有sin 02θ> 又2sin (1cos )2sin cos 2222θθθθ+=Q=≤=其中当222sin cos 22θθ=时,上式等号成立,即2arc θ=时成立,故sin (1cos )2θθ+的最大值为94.换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。
换元法通常有三角代换和代数代换两种。
例4.1 正数,x y 满足1a b x y+=，其中,a b 为不相等的正常数，求x y +的最小值。
解：令,,,0a u b v u v x u v y u v ==>++则 ()()a u v b u v x y u v +++=+av bu a b u v =+++2a b ab ≥++()2a b =+ 当且仅当av bu u v =，即av bu =时上式取等号.故()()2min x y a b +=+ 例4.2（第九届“希望杯”全国数学邀请赛）实数,x y 适合条件2212x y ≤+≤，则函数22232x xy y ++的值域是_______。
解：由已知可设，cos ,sin x k y k θθ==，其中12k ≤≤，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则 22232s x xy y =++222222cos 3sin cos 2k k k sin θθθθ=++2232sin 22k k θ=+ ∴当2k =，sin 21θ=，即,14x y πθ===时，max 7s =；当1k =，sin 21θ=-，即,4πθ=- 22,22x y ==-时，min 12s =.故22232x xy y ++的值域是1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.几何法某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。
根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:5.1可视为直线斜率的函数的最值例5.1.1 求函数()2112x f x x -+=+的最小值。