函数最值求法
函数最值的求法
函数最值的求法求函数最值在中学数学中占有重要地位,作为一名即将成为中学数学教师的我,有必要将函数最值的种种求法作一归纳和总结,以便自己今后能更好的胜任中学数学教学。
首先,可以用初等数学的方法求函数最值。
1.利用二次函数求最值利用二次函数求最值是一种应用甚广的基本方法,其基本思路是将将问题转化为某个变量的二次函数,通过配方,利用二次函数性质求出最值。
例1设某1,某2是关于某的一元二次方程某2+a某+a=2的两个实数根,(某2-2某2)(某2-2某1)的最大值是什么解:因为△=a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0, 所以(某1-2某2)(某2-2某1) =-2某12+5某1某2-2某22 =-2(某1+某2)2+9某1某2 因为某1,某2是方程某2+a某+a=2的两个实数根, 所以某1+某2=-a,某1・某2=a-2代入配方可得: (某1-2某2)(某2-2某1) =-2a2+9a-18= 根据平方的非负性知:当a=时,(某1-2某2)(某2-2某1)的最大值为- 2.利用换元求最值一些函数,特别是在函数表达式中含有三角函数的情形,往往可利用三角函数的有关性质来求函数的最值,这就是三角换元求最值;其他的换元就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁为简,从而使问题得解。
(1)三角换元例2已知某,y均是正数,某2+y2=1,求某+y的最值。
解:令, 则所以某+y的最大值为√2,最小值为-√2。
(2)其他换元例3已知的最大值。
解:当且仅当某=y=时取等号,所以的最大值为2。
3.利用数形结合求最值运用数形结合的思想,将函数的最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识来解决。
这种方法对于最值的解法显得更直观、易懂、简洁,这对于开拓思路,提高和培养分析能力,解决问题的能力有裨益。
例4求函数y=√某4-某2+1+√某4+7某2-4某+13的最小值。
解:因为y=√某4-某2+1+√某4+7某2-4某+13 =√某2+(某2-1)2+√(某-2)2+(某2+3)2, 所以y可以看作点P(某,某2)到点A(0,1)及点B(2,3)的距离之和。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求函数最值的10种方法
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
x 没有最大值，也没有最小值．
二、配方法 配方法是求二次函数最值的基本方法，如 F (x)＝ af2(x)＋bf(x)＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配 方法．
【例 2】 已知函数 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R， a≠0)，求函数 y 的最小值．
分析 将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量 ex＋e－x的二次函数．
六、导数法（以后学） 设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例 6】 函数 f(x)＝x3－3x＋1 在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
【例 3】 设 a，b∈R，a2＋2b2＝6，则 a＋b 的最小值 是______． （以后学） 分析 由条件a2＋2b2＝6的形式知，可利用三角换元法 求a＋b的最值． 解析 ∵a，b∈R，a2＋2b2＝6，
∴令a＝ 6cos α， 2b＝ 6sin α，α∈R. ∴a＋b＝ 6cos α＋ 3sin α＝3sin(α＋φ)．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y2 xz
指数函数最值的4种解法
指数函数最值的4种解法
指数函数是一类在数学中非常常见的函数，求其最值是一个经典的问题。
以下是4种解法：
1. 导数法
通过对指数函数求导，得到其上升（或下降）的那一段区间，以及端点处是否取极值，判断最大值和最小值。
该方法简单直接，适用于初学者。
2. 对数法
对于底数为 $a > 0$ ($a\ne 1$) 的指数函数 $y = a^x$，可以将其转化为以 $e$ 为底的指数函数 $y = e^{\ln a \cdot x}$。
由于
$e^x$ 的最大值为 $e^1$，因此 $a^x$ 的最大值为 $e^{\ln a}$。
同理可以判断最小值。
该方法需要一定的对数知识。
3. 利用不等式
由于指数函数满足 $a^x > 0$，因此可以结合一些基本的不等式，求解其最值。
有时候，也可以将指数函数转化为其他函数，比如和
式或积式，在此基础上利用不等式求解。
4. 完全平方法
该方法常用于证明一些数学恒等式，不过也可以用来求解指数
函数最值。
具体方法是，将指数函数表示为完全平方后的形式，利
用完全平方公式，求解最值。
无论采用哪种方法，都需要掌握基本的指数函数性质，理解函
数图像，特别是对数函数的图像。
熟练掌握这些知识，才能准确地
判断并解决指数函数求最值的问题。
求最值的方法
求最值的方法在数学和实际生活中，我们经常会遇到求最值的问题，比如求函数的最大值最小值，求某个物体的最佳尺寸，求最优的方案等等。
那么，如何有效地求出这些最值呢？本文将介绍几种常见的求最值的方法，希望能够帮助大家更好地解决这类问题。
一、导数法。
在数学中，我们经常使用导数来求函数的最值。
具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断这些驻点是极大值还是极小值，从而得到函数的最值点。
导数法的优点是在数学中应用广泛，可以求解各种类型的函数的最值问题。
但是，对于一些复杂的函数，求导的过程可能会比较繁琐，需要一定的数学功底和技巧。
二、拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种用于求解带约束条件的最值问题的方法。
具体来说，对于函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=c下的最值问题，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L对x、y和λ的偏导数为0的方程组来找到最值点。
拉格朗日乘数法的优点是可以很好地处理带约束条件的最值问题，适用范围广泛。
但是，对于多变量函数，求解偏导数为0的方程组可能比较复杂，需要一定的数学技巧和计算能力。
三、穷举法。
在实际生活中，有时候我们无法通过数学方法精确地求解最值问题，这时可以考虑使用穷举法。
具体来说，我们可以列举出所有可能的解，然后逐一计算它们的函数值，最终找到最大值或最小值。
穷举法的优点是简单直观，适用范围广泛。
但是，对于复杂的问题，穷举法可能会耗费大量的时间和精力，不适合大规模的最值求解问题。
四、优化算法。
除了上述方法外，还有一些专门用于求解最值问题的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法通常适用于复杂的非线性、非凸函数的最值求解问题，能够在较短的时间内找到较好的解。
优化算法的优点是适用范围广泛，可以处理各种类型的最值问题。
但是，对于一些特定的问题，算法的选择和参数调整可能会比较困难，需要一定的专业知识和经验。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
求函数最值的12种方法
求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。
解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例3求函数12x y x +=+的值域。
解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。
求函数最值的10种方法
求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。
首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。
2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。
首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。
3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。
通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。
4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。
5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。
根据极值类型确定最值点。
6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。
平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。
7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。
8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。
9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。
这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。
10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。
以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。
在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。
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函数最值求法1.判别式法若函数()y f x =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程: 2()()a y x b y x + ()0c y +=。
在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,则有2()4()()0b y a y c y ∆=-≥,由此可以求出y 所在的范围,确定函数的最值。
例1.1 已知332p q +=,其中,p q 是实数,则p q +的最大值为______。
解:设sp q =+,由332p q +=得, 22()()2p q p q pq ++-=2()[()3]2p q p q pq ++-=3()3()2p q pq p q +-+=212()3pq s s ∴=- ∴,p q 是方程2212()03x sx s s -+-=的两个实根.2242()03s s s∴∆=--≥整理化简, 得38s≤,故2s ≤. 即p q +的最大值为2例1.2 实数,x y 满足224545xxy y -+=,设22s x y =+,则maxmin11s s +的值为_______。
解:由题意知, 415xys =-,故224()(1)5xy s =- 又22x y s += ∴22,x y 是方程224(1)05t st s -+-=的两个实根.222439324(1)405255s s s s ∴∆=--=-+-≥解得1010133s ≤≤，即min max 101013,3s s == maxmin1185s s ∴+= 2.函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。
若函数在整个区间上是单调的,则该函数在区间端点上取到最大值或最小值。
若函数在整个区间上不是单调的 ，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值。
例2.1求函数()f x =解：先求定义域，由228014480x x x x ⎧-≥⎨--≥⎩ 得 68x ≤≤又()f x ==，[]6,8x ∈故当[]6,8x ∈，且x+减小.于是()f x 是随着x 的增大而减小，即()f x 在区间[]6,8上是减函数，所以min ()(8)0f x f ==, max ()(6)f x f ==例2.2 求函数2125x y x x -=-+，322x ≤≤的最大值和最小值。
解：1x ≠ ∴()21141411x y x x x -==-+-+- ， 3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 令4()f t t t =+，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.当12112t t ≤<≤时，有21212144()()()()f t f t t t t t -=-+-21124()(1)t t t t =--0< 4()f t t t ∴=+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，因此 min ()(1)5f t f == ，max 117()()22f t f == min 217y ∴=， max 15y = 3.均值不等式法均值不等式:设12,,...,n a a a 是n 个正数,则有12 (2)n a a a +++≥,其中等号成立的条件是12...n a a a ===。
运用均值不等式求最值,必须具备三个必要条件,即一正二定三等,缺一不可。
“正”是指各项均为正数,这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件。
例3.1 设n 为自然数, ,a b 为实数,且满足2a b +=,则1111n na b +++的最小值是______。
解:,a b >0.由均值不等式得, 2()12a b ab +≤= 1n n a b ∴≤故111111111(1)(1)1n n n nn n n n n n n nb a b a a b a b b a b a +++++++==≥+++++++ 当且仅当1ab ==时,上式取等号.故1111n na b +++的最小值是1例 3.2 设1lg lg[()1]az x yz -=++，1lg lg(1)b x xyz -=++，lg c y =1lg[()1]xyz -++,记,,a b c 中最大数为M,则M 的最小值为______。
解: 由已知条件得 111lg(),lg(),lg[()]a xy z b yz x c xz y ---=+=+=+设111,,()xyz yz x xz y ---+++中的最小数为A ,则M= lg A由已知条件知, ,,x y z R +∈,于是 211()[()]A xy z xz y --≥++11[()]()yz yz x x --=+++224≥+=所以,2A ≥,且当1x y z ===时, 2A =,故A 的最小值为2,从而M 的最小值为lg 2注:在用均值不等式求函数的最值时,往往需要配合一定的变形技巧,才可以把问题转化成求不等式的问题。
例3.3 设0θπ<<,则sin(1cos )22θθ+的最大值是_______。
解: 由0θπ<<,有sin02θ>又2sin (1cos )2sin cos 2222θθθθ+==≤9=其中当222sincos 22θθ=时,上式等号成立,即2arc θ=,故sin (1cos )2θθ+的最大4.换元法用换元法求函数最值,就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁难为简易,化陌生为熟悉,从而使原问题得解。
换元法通常有三角代换和代数代换两种。
例4.1 正数,x y 满足1a bx y+=，其中,a b 为不相等的正常数，求x y +的最小值。
解：令,,,0a u b v u v x u v y u v==>++ 则 ()()a u v b u v x y u v +++=+av bua b u v=+++2a b ab ≥++()2a b =+当且仅当av buu v=，即av bu =时上式取等号.故()()2min x y a b +=+ 例4.2实数,x y 适合条件2212x y ≤+≤，则函数22232x xy y ++的值域是_______。
解：由已知可设，cos ,sin x k y k θθ==，其中12k ≤≤，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则 22232sx xy y =++222222cos 3sin cos 2k k k sin θθθθ=++2232sin 22k k θ=+∴当2k =，sin 21θ=，即,14x y πθ===时，max 7s =；当1k =，sin 21θ=-，即,4πθ=-22,22x y ==-时，min12s =.故22232x xy y ++的值域是1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.几何法某些二元函数最值问题具有图形背景,这时我们可以将所给函数表达式化为具有一定几何意义的代数表达式,再利用几何图形,对函数最值作出直观的说明和解释。
根据函数所表示的几何意义,我们可以将函数分为以下几种:5.1可视为直线斜率的函数的最值例5.1.1 求函数()2112x f x x -+=+的最小值。
解:令21x y -=,则()()1,2y f x g x y x +==+且()2210x y y +=≥，于是问题转化为: 当点(),Px y 在上半个单位圆()2210x y y +=≥上运动时,求()2,1A --与(),P x y 的连线AP的斜率的最值(如图).显然,当点P 与点()1,0B 重合时,直线AP 的斜率最小,此时13AB K =.当直线AP 与上半个单位圆()2210x y y +=≥相切时,直线AP 的斜率最大.设APK K =,则直线AP 的方程为()12y K x +=+直线AP 与上半个单位圆()2210x y y +=≥相切()222111OP K d K -∴==+- 解得 0K =(舍去)或43K =综上可得,直线AP 的斜率的最值为: min 13AB K K ==， max 43AP K K == ()min 13f x ∴=⎡⎤⎣⎦ ， ()max 43f x =⎡⎤⎣⎦5.2可视为距离的函数的最值 例5.2.1 函数()424236131f x x x x x x =--+--+的最大值是_______。
解：将函数式变形,得 ()222222(3)(2)(0)(1)f x x x x x =-+---+-可知函数()y f x =的几何意义是：在抛物线2y x =上的点()2,P x x 分别到点()3,2A 和点()0,1B 的距离之差,现求其最大值. 由PA PB AB -≤知，当P 在AB 的延长线上'P 处时，()f x 取得最大值AB()()()22max 302110f x AB ∴==-+-=⎡⎤⎣⎦5.3可视为曲线截距的函数的最值例5.3.1 求函数sin cos sin cos v u u u u =++的最大值。
解: 令cos ,sin u x u y ==,则v xy x y =++,且221x y +=.则问题转化为:当点(),x y 在单位圆221x y +=上运动时,求双曲线族0xy x y v ++-= (视v 为常数)在y 轴上的截距v 的最大值.当1v ≠-时,由方程0xy x y v ++-=得1y v x y -+=+ , 1x v y x -+=+由此可知:当1y →-时, x →∞;当1x →-时, y →∞∴此双曲线族有公共的渐进线1x =-和1y =-,有公共的中心()'1,1O --由此不难得出,当双曲线族0xy x y v ++-=与单位圆221x y +=切于点,22T 时,纵截距v 取得极大值12，而112+>,故所求纵截距v 的极大值就是最大值.因此,所求函数v 的最大值为126.构造方差法设n 个数据12,,,n X X X 的平均数为X,则其方差为()()()2222121...ns X X X X X X n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()2222121211......n n X X X X X X n n ⎡⎤=+++-+++⎢⎥⎣⎦显然20s≥（当且仅当12...n X X X X====时取等号）。
应用这一公式，可简捷、巧妙地解决一些试题的最值问题。
这种方法适用的范围很广，可以用来求函数的最值，也可以用来求某一字母的最值以及求某一代数式的最值。
例6.1求函数y =解：1sin x +22221122s ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦211(2)022y =-≥解得24y ≤.故max 2y =例6.2确定最大的实数z ，使得实数,x y 满足：5x y z ++= , 3xy yz zx ++=解：由已知得 , 5x y z +=- , ()()233553xy z x y z z z z =-+=--=-+,x y 的方差 ()()22221122s x y x y ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦()211222x y xy ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()22115253022z z z ⎡⎤=---+≥⎢⎥⎣⎦2310130z z ∴--≤解得 1313z -≤≤.故z 的最大值为133注：对于例1，我们也可以用构造方差法来求解，解题过程如下：解法2：不妨设p q k +=，则由已知332p q +=,即 ()()222p q p q pq ++-=得 ()232kkpq -= 2123pq k k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭又,p q 的方差是()()22221122s p q p q ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦()211222p q pq ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦221122()0223k k k ⎡⎤=--≥⎢⎥⎣⎦即22834kk k≥-,由此判定0k >,解得308k <≤,即02k <≤,亦即02p q <+≤.故p q +的最大值为27.导数法设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ，()f b 中的最大值与最小值。