年浙江省高考数学理科试卷含复习资料
浙江近五年高考理科数学试题及参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“1x >”是“2x x >”的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分不必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126ωϕπ==， B ．123ωϕπ==， C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==，（3）直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线方程是（ ） Ａ．210x y +-= Ｂ．210x y +-= Ｃ．230x y +-=Ｄ．230x y +-=（4）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是关径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ） Ａ．3Ｂ．4Ｃ．5Ｄ．6（5）已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ，0.84（6）若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 （7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（ ） Ａ．2>2+a a b Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a bＤ． 22<+b a b（8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）（9）已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =，则双曲线的离心率是（ ） Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3（10）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ） A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． （11）已知复数11i z =-，121i z z =+，则复数2z = ． （12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ． （13）不等式211x x --<的解集是 ．（14）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． （15）随机变量ξ的分布列如下：ξ 1-0 1Pabc其中a b c ，，成等差数列，若13E ξ=，则D ξ的值是 ． （16）已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=．若对于β内异于y x O y x O y x O yxO A ． B ． C ． D．O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥，则二面角AB αβ--的大小是．（17）设m 为实数，若{}22250()30()250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+⎧⎪⎪⎪-⊆+⎨⎨⎬⎪⎪⎪+⎩⎩⎭≥，≥，≤≥，则m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （18）（本题14分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点． （I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．（20）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．（21）（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项212k ka a -，是关于x 的方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根，且212(123)k k a a k -=≤，，，．（I ）求1a ，2a ，3a ，7a ； （II ）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（Ⅲ）记sin 1()32sin nf n n ⎛⎫=+⎪⎝⎭， EDCMA（第19题）BAyxO B（第20题）(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++…， 求证：15()624n T n ∈*N ≤≤． （22）（本题15分）设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．（I ）求函数()()t y f x g x =-的单调区间；（II ）求证：（ⅰ）当0x >时，()f x g ()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立； （ⅱ）有且仅有一个正实数0x ，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2007年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理工类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．（1）A （2）D （3）D （4）B （5）A （6）B （7）C （8）D （9）B （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． （11）1 （12）725-（13）{}02x x << （14）266（15）59（16）90（17）403m ≤≤三、解答题（18）解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=，两式相减，得1AB =． （II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==， 所以60C =．（19）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（I ）证明：因为AC BC =，M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥． 又EA ⊥平面ABC ， 所以CM EM ⊥．（II ）解：过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足是H ，连结CH 交延长交ED 于点F ，连结MF ，MD ．FCM ∠是直线CM 和平面CDE 所成的角． 因为MH ⊥平面CDE ，所以MH ED ⊥， 又因为CM ⊥平面EDM ， 所以CM ED ⊥，则ED ⊥平面CMF ，因此ED MF ⊥．设EA a =，2BD BC AC a ===，在直角梯形ABDE 中，22AB a =，M 是AB 的中点， 所以3DE a =，3EM a =，6MD a =，得EMD △是直角三角形，其中90EMD =∠， 所以2EM MDMF a DE==．在Rt CMF △中，tan 1MFFCM MC==∠， 所以45FCM =∠，故CM 与平面CDE 所成的角是45． 方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CA ，CB 分别为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系C xyz -，设EA a =，则(2)A a 00，，，(020)B a ，，，(20)E a a ，，．(022)D a a ，，，(0)M a a ，，． （I ）证明：因为()EM a a a =--，，，(0)CM a a =，，，所以0EM CM =， 故EM CM ⊥．（II ）解：设向量001y z ()，，n =与平面CDE 垂直，则CE ⊥n ，CD ⊥n ，EDC MABE H即0CE =n ，0CD =n ．因为(20)CE a a =，，，(022)CD a a =，，，所以02y =，02x =-， 即(122)=-，，n ，2cos 2CM CM CM ==，n n n， 直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM 夹角的余角， 所以45θ=，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45．（20）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分．（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2214x b +=，解得21221x b =±-，， 所以1212S b x x =- 221b b =-2211b b +-=≤．当且仅当22b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2241k b ∆=-+，EDCMAByzx211||1||AB k x x =+-2222411214k b kk -+=+=+． ②设O 到AB 的距离为d ，则21||Sd AB ==， 又因为2||1b d k=+，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=， 解得212k =，232b =，代入①式检验，0∆>，故直线AB 的方程是 2622y x =+或2622y x =-或2622y x =-+，或2622y x =--．21．本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．满分15分．（I ）解：方程2(32)320k kx k x k -++=的两个根为13x k =，22k x =，当1k =时，1232x x ==，， 所以12a =；当2k =时，16x =，24x =， 所以34a =；当3k =时，19x =，28x =， 所以58a =时；当4k =时，112x =，216x =， 所以712a =．（II ）解：2122n n S a a a =+++2(363)(222)n n =+++++++2133222n n n ++=+-．（III ）证明：(1)123456212111(1)f n n n nT a a a a a a a a +--=+-++， 所以112116T a a ==， 2123411524T a a a a =+=． 当3n ≥时，(1)3456212111(1)6f n n n n T a a a a a a +--=+-++， 345621211116n n a a a a a a -⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥2311111662622n⎛⎫+-++⎪⎝⎭≥ 1116626n=+>， 同时，(1)5678212511(1)24f n n n n T a a a a a a +--=--++5612212511124n n a a a a a a -⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤31511112492922n ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤ 515249224n =-<． 综上，当n ∈N*时，15624n T ≤≤． 22．本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．满分15分．（I ）解：316433x y x =-+．由240y x '=-=，得2x =±．因为当(2)x ∈-∞-，时，y '>0， 当(22)x ∈-，时，0y '<， 当(2)x ∈+∞，时，0y '>，故所求函数的单调递增区间是(2)-∞-，，(2)+∞，， 单调递减区间是(22)-，． （II ）证明：（i ）方法一：令2332()()()(0)33t x h x f x g x t x t x =-=-+>，则 223()h x x t '=-，当0t >时，由()0h x '=，得13x t =，当13()x x ∈+∞，时，()0h x '>， 所以()h x 在(0)+∞，内的最小值是13()0h t =． 故当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意固定的0x >，令232()()(0)3t h t g x t x t t ==->，则 11332()()3h t t x t -'=-，由()0h t '=，得3t x =． 当30t x <<时，()0h t '>． 当3t x >时，()0h t '<，所以当3t x =时，()h t 取得最大值331()3h x x =． 因此当0x >时，()()f x g x ≥对任意正实数t 成立．（ii ）方法一：8(2)(2)3t f g ==． 由（i ）得，(2)(2)t t g g ≥对任意正实数t 成立．即存在正实数02x =，使得(2)(2)x t g g ≥对任意正实数t 成立． 下面证明0x 的唯一性： 当02x ≠，00x >，8t =时，300()3x f x =，0016()43x g x x =-，由（i ）得，30016433x x >-， 再取30t x =，得30300()3x x g x =，所以303000016()4()33x x x g x x g x =-<=， 即02x ≠时，不满足00()()x t g x g x ≥对任意0t >都成立． 故有且仅有一个正实数02x =，使得00()0()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立． 方法二：对任意00x >，0016()43x g x x =-， 因为0()t g x 关于t 的最大值是3013x ，所以要使00()()x t g x g x ≥对任意正实数成立的充分必要条件是：300161433x x -≥， 即200(2)(4)0x x -+≤，①又因为00x >，不等式①成立的充分必要条件是02x =，所以有且仅有一个正实数02x =，使得00()()x t g x g x ≥对任意正实数t 成立．2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R =()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a =（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =-≤，则()()UUA B BA =（ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >-或≤3．已知a b ，都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A ．15-B ．85C ．120-D ．2745．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =的交点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．46．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．16(14)n--B ．16(12)n-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n --7．若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．5C ．3D ．58．若cos 2sin 5αα+=-，则tan α=（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--=a c b c ，则c 的最大值是（ ） A ．1B ．2C ．2D ．2210．如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：A B P α（第10题）1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = ． 12．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．13．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若(3)cos cos b c A a C -=，则cos A = ．14．如图，已知球O 的面上四点A B C D ，，，，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，3DA AB BC ===，则球O 的体积等于 ．15．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t = ． 16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）17．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=，3AD =，2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （Ⅰ）若袋中共有10个球，ABCD （第14题）D A BEF C（第18题）（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．（本题15分） 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．21．（本题15分）已知a 是实数，函数()()f x x x a =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[02]，上的最小值． （ⅰ）写出()g a 的表达式；（ⅱ）求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．22．（本题14分）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．记：12n n S a a a =+++，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++．AB OQyxlM （第20题）求证：当*n ∈N 时， （Ⅰ）1n n a a +<； （Ⅱ）2n S n >-； （Ⅲ）3n T <2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．12+ 12．8 13．33 14． 9π215．1 16．40 17．1 三、解答题18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ．D A B EFCHG由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．在Rt EFG △中，因为3EG AD ==，2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．于是33sin 2BH BE BEH =∠=．因为tan AB BH AHB =∠，所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -．设AB a BE b CF c ===，，，则(000)C ，，，(30)A a ，，，(300)B ，，，(30)E b ，，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(300)CB =，，，(00)BE b =，，，所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：因为(30)EF c b =--，，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而23()03()2b c b c b -+-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，，解得34b c ==，．所以(330)E ，，，(040)F ，，． 设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，DA BEFCyz x解得33(13)n a=，，． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，， 所以2||331|cos |2||||427BA n a n BA BA n a a <>===+，，得到92a =． 所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60． 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ 0 1 2 3P112 512 512 112ξ的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故112y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则23()551y P B n =+⨯- 231755210+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则2213||28NP x y ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，N 到直线58y =-的距离为58y +．由题设得22135288x y y ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+． 所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++ . 2|1||2|||21x kx QA k++=+，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+．当2k =时，2||55||QB QA =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．AB OQ y xl M解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而2||1|1|QB k x =++．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k=-+． 因为||||QA MH =，所以2|1||2|||21x kx QA k++=+，222||2(1)112||||QB k k x QA k x k+++=+．当2k =时，2||55||QB QA =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，3()22x a x af x x x x--'=+=（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．若0a >，令()0f x '=，得3ax =， 当03ax <<时，()0f x '<， 当3ax >时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．AB OQ yxl M Hl 1若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增， 所以2()333a a a g a f ⎛⎫==-⎪⎝⎭． 若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减， 所以()(2)2(2)g a f a ==-．综上所述，002()06332(2)6a a ag a a a a ⎧⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-⎩，≤，，，，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥，解得6232a +≤≤． 故a 的取值范围为3232a +≤≤．22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <．②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得111(2313)12k k ka k n n a a ++=-+≤，，，，≥所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++≤≥，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥， 故当3n ≥时，21111322n n T -<++++<，又因为123T T T <<， 所以3n T <．绝密★考试结束前2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
浙江高考理科数学试题及答案(Word版)
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.、在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 .若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +==（1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。
高考真题——理科数学(浙江卷)解析版(1) Word版含答案
数学理试题（浙江卷）一．选择题1、已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA. i +-3B. i 31+-C. i 33+-D.i +-12、设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=⋃T S C R )( A. ]1,2(- B. ]4,(--∞ C. ]1,(-∞ D.),1[+∞ 答案：C 解析：如图1所示，由已知得到考点定位：此题考查集合的使用之补集和并集体，考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 3、已知y x ,为正实数，则 A.y x yx lg lg lg lg 222+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x yx lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=答案：D解析：此题中，由考点定位：此题考查对数的运算法则和同底数幂的乘法的运算法则；4、已知函数),0,0)(cos()(R A x A x f ∈>>+=ϕωϕω，则“)(x f 是奇函数”是2πϕ=的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：考点定位：充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点；5、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则 A.4=a B.5=a C. 6=a D.7=a 答案：A解析：由图可知考点定位：此题考查算法及数列的列项相消求和的方法；6、已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34- 答案：C解析：由已知得到：考点定位：此题考查同角三角函数商数关系和平方关系的灵活应用，考查二倍角正切公式的应用，考查学生的运算求解水平；7、设0,P ABC ∆是边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于边AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00•≥•。
年高考浙江卷理科数学试题及详细解答
普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）浙江卷本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 满分150分，考试时间120钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共 50 分）注意事项：1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2. 每小题选出正确答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑.叁考正式：如果事件 A ， B 互斥，那么P （ A+ B ） = P( A)+ P( B) S=24R πP( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概念是p 球的体积公式V=234R π 那么n 次独立重复试验中恰好发生 其中R 表示球的半径 k 次的概率：k n kn n p p C k P +-=)1()(4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（１） 设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］ （２） 已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11 (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I (3)已知0＜a ＜1，log 1m ＜log 1n ＜0，则(A)1＜n ＜m (B) 1＜m ＜n (C)m ＜n ＜1 (D) n ＜m ＜1(4)在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(A) (B)4(C) (D)2（5）双曲线122=-y m x 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的31，则m=（ ） (A)21 (B)23 (C)81 (D)89（6）函数y=21sin2x+sin 2x,x R ∈的值域是 (A)［-21,23］ (B)［-23,21］ (C)［2122,2122++-］ (D)［2122,2122---］ (7)“a ＞b ＞c ”是“ab ＜222b a +”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件（8）若多项式=+-+++++=+911102910012a ,)1(a )1(a )1(则x x x a a x x(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10（9）如图，O 是半径为l 的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧AB 与AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是(A)4π (B)3π (C)2π(D)42π（10）函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
浙江高考数学(理科) 2
普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．设集合{}|14A x x =<<，集合{}2|230B x x x =--≤，则()R A C B ⋂= A ．(14)， B ．(34)， C ．(13)， D ．(12)(34)⋃，，2．已知i 是虚数单位，则31i i+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存有实数λ，使得λ=b aD ．若存有实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7．设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >D ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列8．如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>，的左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若112||||MF F F =，则C 的离心率是A ．33B ．62C 2D 3 9．设0a >，0b >A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．2223a b a b +=+若，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b <10．已知矩形ABCD ，1AB =，2BC =ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线实行翻折，在翻折过程中，A ．存有某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存有某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存有某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
全国高考理科数学考试卷浙江试卷参考答案
高考理科数学考试真题（浙江卷）参考答案1．B 【解析】(1)(2)13i i i -+-=-+2．C 【解析】因为( R S )={x |x ≤−2}，T ={x |−4≤x ≤1}，所以( R S )∪T =(−∞，1]. 3．D 【解析】取特殊值即可，如取lg lg lg lg 10,1,22,223,x y x y x y +===+=()lg lg11lg lg 22,21x yx y +⋅==．4．B 【解析】由f (x )是奇函数可知f (0)=0，即cos φ=0，解出φ=π2+k π，k ∈Z ，所以选项B 正确5．A 【解析】13151,11;2,11;2233k s k s ==+-===+-= 17193,11;4,114455k s k s ==+-===+-=；输出的结果为59，此时5k a =>，故4a =．6．C 【解析】由(sin α+2cos α)2=⎝⎛⎭⎫1022可得sin 2α+4cos 2α+4sin αcos α sin 2α+cos 2α=104，进一步整理可得3tan 2α−8tan α−3=0，解得tan α=3或tan α=−13，于是tan2α=2tan α1−tan 2α=−34.7．D 【解析】由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB |−(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC8．C 【解析】当k =1时，方程f (x )=0有两个解，x 1=0，x 2=1，由标根法可得f (x )的大致图象，于是选项A ，B 错误；当k =2时，方程f (x )=0有三个解，x 1=0，x 2=x 3=1，其中1是二重根，由标根法可得f (x )的大致图象，易知选项C 正确。
年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ） A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位 5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ） （ ）D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b r r 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i i ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =.则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99Λ==i i a i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-=Λ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I <<二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______ 16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a n b n 221Λ. 若{}n a 为 等比数列，且.6,2231b b a +== （1）求n a 与n b ；（2）设()*∈-=N n b a c n n n 11。
高考理科数学(浙江卷)试题及答案
高考理科数学浙江卷试题及答案第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1．limn →∞2123nn ++++L ＝( )(A) 2 (B) 4 (C) 21(D)02．点(1, －1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)21 (B) 32(C) 2(D)23．设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩, 则f [f (21)]＝( )(A)21 (B)413 (C)－95 (D) 25414．在复平面内, 复数1i i+＋(1＋3i )2对应的点位于( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中, 含x 3的项的系数是( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －1216．设α、β 为两个不同的平面, l 、m 为两条不同的直线, 且l ⊂α, m ⊂β, 有如下的两个命题：①若α∥β, 则l ∥m ；②若l ⊥m , 则α⊥β．那么 (A) ①是真命题, ②是假命题 (B) ①是假命题, ②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题7．设集合{}(,)|,,1A x y x y x y --＝是三角形的三边长, 则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )(A) (B) (C) (D)8．已知k ＜－4, 则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( )(A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋19．设f (n )＝2n ＋1(n ∈N ), P ＝{1, 2, 3, 4, 5}, Q ＝{3, 4, 5, 6, 7}, 记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }, Q ∧＝{n ∈N |f (n )∈Q }, 则(P ∧∩N ðQ ∧)∪(Q ∧∩N ðP ∧)＝( )(A) {0, 3} (B){1, 2} (C) (3, 4, 5} (D){1, 2, 6, 7}10．已知向量a r ≠e r , |e r |＝1, 对任意t ∈R , 恒有|a r －t e r |≥|a r －e r|, 则 (A) a r ⊥e r (B) a r ⊥(a r －e r ) (C) e r ⊥(a r －e r ) (D) (a r ＋e r )⊥(a r －e r )第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分, 共16分把答案填在答题卡的相应位置11．函数y ＝2xx +(x ∈R , 且x ≠－2)的反函数是_________． , 此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B , 则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．13．过双曲线22221x y a b -=(a ＞0, b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点, 以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点, 则双曲线的离心率等于_________． 14．从集合{O , P , Q , R , S }与{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O , Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题, 每小题14分, 共84分解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤15．已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ． (Ⅰ) 求f (256π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0, π), f (2α)＝41－2, 求sin α的值．16．已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称, 且f (x )＝x 2＝2x ．N(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|．17．如图, 已知椭圆的中心在坐标原点, 焦点12,F F 在x 轴上, 长轴12A A 的长为4, 左准线l 与x 轴的交点为M , |MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若直线1l ：x ＝m (|m |＞1), P 为1l 上的动点使12F PF 最大的点P 记为Q , 求点Q 的坐标(用m 表示)．18．如图, 在三棱锥P －ABC 中, AB ⊥BC , AB ＝BC ＝kPA , 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点, OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时, 求直线PA 与平面PBC 所成角的大小；(Ⅱ) 当k 取何值时, O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？19．袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球, 从A 中摸出一个红球的概率是31, 从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有3次摸到红球即停止．(i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ, 求随机变量ξ的分布率及数学期望E ξ．(Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为12, 将A 、B 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是25, 求p 的值．20．设点n A (n x , 0), 1(,2)n n n P x -和抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n (n ∈N *), 其中a n ＝－2－4n －112n -, n x 由以下方法得到： x 1＝1, 点P 2(x 2, 2)在抛物线C 1：y ＝x 2＋a 1x ＋b 1上, 点A 1(x 1, 0)到P 2的距离是A 1到C 1上点的最短距离, …, 点11(,2)nn n P x ++在抛物线n C ：y ＝x 2＋a n x ＋b n 上,点n A (n x , 0)到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离． (Ⅰ)求x 2及C 1的方程． (Ⅱ)证明{n x }是等差数列．2005浙江卷试题及答案参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分, 满分50分（1）C （2）D （3）B （4）B （5）D （6）D （7）A （8）A （9）A （10）C 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题4分, 满分16分（11）()2,11xy x R x x=∈≠-且；（12）90︒；（13）2；（14）8424 三、解答题：（15）本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式等基础知识和基本的运算能力满分14分解：（1）25125sin,cos 6262ππ==Q ,225252525sin cos 6666f ππππ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭（2）()1cos 2sin 2222f x x x =-+11sin 222242f ααα⎛⎫∴=+-=-⎪⎝⎭ 216sin 4sin 110αα--=,解得sin α=()0,,sin 0απα∈∴>Q故sin α=（16）本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识, 以及运算和推理能力满分14分解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y , 则0000,,2.0,2x xx x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故 (Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得 当1x ≥时, 2210x x -+≤, 此时不等式无解当1x <时, 2210x x +-≤, 解得12x -≤≤ 因此, 原不等式的解集为11,2⎡-⎢⎣（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角, 点的坐标等基础知识, 考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分14分解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>, 半焦距为c , 则2111,a MA a A F a c c =-=-()2222224a a a c c a abc ⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩由题意,得2,1a b c ∴=== 221.43x y +=故椭圆方程为(Ⅱ) 设()0,,||1P m y m >, 当00y >时, 120F PF ∠=；当00y ≠时, 22102F PF PF M π<∠<∠<,∴只需求22tan F PF ∠的最大值即可设直线1PF 的斜率011y k m =+, 直线2PF 的斜率021y k m =-,021********||tan 11y k k F PF k k m y -∴∠==≤=+-+0||y =时, 12F PF ∠最大,(,,||1Q m m ∴>（18）本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识, 同时考查空间想象能力和推理运算能力满分14分解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点, OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面, OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，， OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥Q 又 平面, .PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面 OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥,∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠,sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，PBC ∴ PA 与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知, OF PBC ⊥平面, ∴F 是O 在平面PBC 内的射影∵D 是PC 的中点,若点F 是PBC ∆的重心, 则B, F, D 三点共线, ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD,,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q , 即k =反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心A方法二：OP ABC ⊥Q 平面, ,OA OC AB BC ==,,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点, 射线OP 为非负z 轴, 建立空间直角坐标系O xyz -（如图）设,AB a =则,0,0,0,,0,,0,0222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 设OP h =, 则()0,0,P h (Ⅰ)Q D 为PC 的中点,1,0,2OD h ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,又1,0,,,//2PA h OD PA OD PA ⎫=-∴=-∴⎪⎪⎝⎭u u u r u u u r u uu r u u u r ,OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =Q ,即2,,,0,PA a h PA ⎫=∴=∴=⎪⎪⎝⎭u u u r , 可求得平面PBC的法向量1,1,n ⎛=- ⎝r ,cos ,30||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅u u u r ru u u r r u uu r r , 设PA 与平面PBC 所成的角为θ, 则sin |cos ,|PA n θ=〈〉=u u u r r, （Ⅲ）PBC ∆的重心1,3G h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,1,,663OG a a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u rQ 平面,又22110,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,PA a ∴==, 即1k =,反之, 当1k =时, 三棱锥O PBC -为正三棱锥, ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心（20）本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识, 以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力满分14分解：（Ⅰ）由题意得()21111,0,:7A C y x x b =-+, 设点(),P x y 是1C 上任意一点, 则1||A P ==令()()()222117f x x x x b =-+-+则()()()()21212727f x x x x b x '=-+-+-由题意得()20f x '=, 即()()()222122127270x x x b x-+-+-=又()22,2P x 在1C 上,222127x x b ∴=-+ 解得213,14x b ==故1C 的方程为2714y x x =-+ (Ⅱ)设点(),P x y 是n C 上任意一点,则||n A P ==令()()()222n n ng x x x x a x b =-+++则()()()()2222n n nng x x x x a x b x a '=-++++由题意得()10n g x +'=即()()()21112220n n n n nn n x x x a x b xa +++-++++=又1212n n n n n x a x b ++=++Q ,()()()112201n n n n n x x x a n ++∴-++=≥,即()()111220*n n n n n x x a +++-+=下面用数学归纳法证明21n x n =-, ①当1n =时, 11x =, 等式成立；②假设当n k =时, 等式成立, 即21k x k =-,则当1n k =+时, 由()*知()111220k k k k k x x a +++-+=,又11242k k a k -=---, 1122112k k k k k x a x k ++-∴==++, 即1n k =+时, 等式成立由①②知, 等式对*n N ∈成立, 故{}n x 是等差数列（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念, 同时考查学生的逻辑思维能力14分解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(ii)随机变量ξ的取值为0, 1, 2, 3, ； 由n 次独立重复试验概率公式()()1n kkkn n P k C p p -=-, 得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()323511173133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是ξ的数学期望是32808017131012324324324324381Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯= (Ⅱ)设袋子A中有m个球, 则袋子B中有2m个球由122335m mpm+=, 得1330p=。
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2012年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1．设集合{}|14A x x =<<，集合{}2|230B x x x =--≤，则()R A C B ⋂=A ．(14)，B ．(34)，C ．(13)，D ．(12)(34)⋃，， 2．已知i 是虚数单位，则31i i+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i + 3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7．设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >D ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列8．如图，1F ，2F 分别是双曲线C ：22221(0)x y a b a b-=>，的左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若112||||MF F F =，则C 的离心率是A 23B 6C 2D 3 9．设0a >，0b >A ．若2223a b a b +=+，则a b >B ．2223a ba b +=+若，则a b <C ．若2223a b a b -=-，则a b >D ．若2223a b a b -=-，则a b <10．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ABD ∆沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积等于 3cm ．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2232S a =+，4432S a =+，则q = ．14．若将函数5()f x x =表示为 2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x a x =++++++++++++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ．15．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB BC ⋅= ．16．定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线l的距离．已知曲线1C ：2y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线 2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离，则实数a = ．17．设a R ∈，若0x >时均有()()21110a x x ax ----≥⎡⎤⎣⎦， 则a = ．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2cos 3A =，sin B C =．（Ⅰ）求tan C 的值； （Ⅱ）若2a =，求ABC ∆的面积．19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求X 的数学期望()E X ．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为23的菱形，120BAD ∠=︒，且PA ⊥平面ABCD ，26PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）过点A 作AQ PC ⊥，垂足为点Q ，求二面角A MN Q --的平面角的余弦值．21．（本题满分15分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的 离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 的距离为10，不过原点．．．．O 的 直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求ABP ∆面积取最大值时直线l 的方程．22．（本题满分14分）已知0a >，b R ∈，函数3()42f x ax bx a b =--+．（Ⅰ）证明：当01x ≤≤时，（i ）函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；（ii ）()|2|0f x a b a +-+≥；（Ⅱ）若1()1f x -≤≤对[01]x ∈，恒成立，求a b +的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
1．B 2．D 3．A 4．A 5．C6．D 7．C 8．B 9．A 10．B二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。
每小题4分，满分28分。
11．1 12．1120 13．3214．10 15．-16 16．94 17．32 三、解答题：本题共小题，满分72分。
18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（Ⅰ）因为0A π<<，2cos 3A =，得sin 3A ==又 sin sin()C B A C ==+sin cos cos sin A C A C =+2sin 3C C =+所以tan C =（Ⅱ）由tan C =，得sinC =，cos C =， 于是sin B C ==．由a =sin sin a c A C=，得c =设ABC ∆的面积为S ，则1sin 22S ac B ==． 19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
满分14分。
（Ⅰ）由题意得X 取3，4，5，6，且35395(3)42C P X C ===， 12453910(4)21C C P X C ⋅===， 2245395(5)14C C P X C ⋅===， 44391(6)21C P X C ===． 所以X（Ⅱ）由（Ⅰ）知13()3(3)4(4)5(5)6(6)3E X P X P X P X P X =⋅=+⋅=+⋅=+⋅==． 20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。
满分15分。
（Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ∆的中位线，所以 //MM BD又因为MN ⊄平面ABCD ，所以//MM 平面ABCD ．（Ⅱ）方法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，得AC AB ==6BD ==．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AC ⊥．在直角PAC ∆中，AC =PA =AQ PC ⊥，得2QC =，4PQ =．由此知各点坐标如下，(,0,0)A ，(0,3,0)B -，,0,0)C ，(0,3,0)D ，(,0,P，3(,,22M --，3(,,22N -，(,0,33Q ． 设(,,)x y z =m 为平面AMN 的法向量．由33(,,22AM =-，33(,,22AN =知30223022x y x y -=⎪⎪⎪++=⎪⎩ 取1x =-，得,0,1)=-m设(,,)x y z =n 为平面QMN 的法向量．由3(,,623QM =--，3(,,623QN =-知30230623x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ 取5z =，得0,5)=n于是cos ,|||33⋅<>==⋅m n m n m n |．所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值为33．方法二：在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，得AC AB BC DA ===，BD =，有因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥，PA AD ⊥，所以PB PC PD ==．所以PBC PDC ∆≅∆．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ NQ =，且1122AM PB PD AN ===． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE MN ⊥，QE MN ⊥，所以AEQ ∠为二面角A MN Q --的平面角．由AB =PA =在AMN ∆中，3AM AN ==，132MN BD ==，得2AE =． 在直角PAC ∆中，AQ PC ⊥，得AQ =2QG =，4PQ =，在PBC ∆中，2225cos 26PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，得MQ ==在等腰MQN ∆中，MQ NQ ==3MN =，得2QE ==．在AEQ ∆中，2AE =，2QE =，AQ =222cos 233AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==⋅．所以二面角A MN Q --的平面角的余弦值为33． 21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。