置换群与对称群
群论中的群作用和置换群
群论是数学中研究群结构和性质的一个分支，而群作用和置换群是群论中的两个重要概念。
群作用是指群的元素在某个集合上的一种作用方式，而置换群则是指一种特殊的群作用，其中群的元素排列集合中的元素。
首先，让我们来探讨群作用。
群作用定义了群的元素是如何作用于某个集合上的。
具体来说，给定一个群G和一个集合S，如果对于群G的每个元素g和集合S的每个元素s，都存在一个新的元素gs满足群的封闭性（即乘法运算仍然属于群G），并且满足以下条件：对于群G的单位元素e，有es=s，以及对于群G的任意元素g1和g2，以及集合S的任意元素s，有(g1g2)s=g1(g2s)，那么我们称此为群G在集合S上的一个作用。
群作用的一个重要特点是同一元素的不同群作用结果不相同。
也就是说，对于群G的元素g和集合S的元素s1和s2，如果g(s1)=s2，则必然有g(s2)≠s1。
这反映了群作用的可逆性，即通过群的元素作用可以互相转换集合S中的元素。
接下来，我们来了解置换群。
置换群是一种特殊的群作用，其中群的元素是对一个集合进行排列的操作。
换句话说，置换群是由对集合中元素的排列所生成的群。
设集合S={1,2,...,n}，我们可以定义任意一个对集合S的排列为一个置换。
举个例子，对于集合S={1,2,3}，可以有置换（1,2,3），表示将元素1映射到2，元素2映射到3，元素3映射到1。
而置换群则是由所有这样的置换所生成的群。
置换群具有很多重要的性质。
首先，置换群是有限群，其元素的个数是n的阶乘n!。
其次，置换群是可逆的，每个置换都有一个逆置换。
此外，置换群的运算是可交换的和可结合的。
通过群论中的群作用和置换群的研究，我们可以探索很多有趣的数学问题。
例如，通过群作用，我们可以研究对称群和平凡群等抽象代数结构，从而深入探讨集合、函数和变换等数学概念之间的联系。
而通过置换群的研究，我们可以解决排列和组合等数学问题，为深入理解对称性和对称性破缺提供理论基础。
第十四章Polya计数法置换群于对称群-精品
求：f 。g 和g 。f :
(g 。f) (1)= g (f(1))=g (3)=3；1 3 3
(g 。f) (4)= g (f(4))=g (1)=2；4 1 2
gf
13
2 2
3 4
4112
2 4
3 3
4113
2 4
3 1
2 4
围绕直线1C翻转得: {2,1,3};得置换如下：
p2
1
2
2 1
3
3
( 绕 3 C 翻转
)
p3
1
3
2 2
3
1
( 绕 2 B 翻转
)
p4
1
1
2 3
3
2
( 绕 1 A 翻转 )
20
正三角形的旋转和翻转在合成运算下可构
成群, 〈S3, ◇〉就代表这个群。
a-1*a=a* a-1=e， 则称(G，*)为群。 为醒目起见，群中特别元素e及其逆元也常特
别写出，如(G，*)又可记为(G，*，e )。
2
又若仅有(1)成立时, 称代数系统(G，*)为半群; 若有(2)，(3)同时成立，称(G，*)为幺半群、
或者独异点。 此外，因结合律能保证左逆元就是右逆元，
从而 ({n 0,n 1,n 2,..n n .1 .}.,)是置换群，也是循环群。
23
例(二面体群) 考虑正n边形(各顶点依次标以 1,2.…, n)上的两类运算:
第一类是绕重心O(逆时针)旋转(2π)/n弧度可产 生n种不同的图案，对应于X的n个不同的置换。
第二类是当n为奇数时绕各边的中垂线翻转 180°，或当n为偶数时绕各对角线及各对边中垂 线(共n条)翻转180°。从而无论n是奇数还是
置换群
设G是Ω上一个置换群。若对任意α,β∈Ω，都可找到g∈G,使得αg=β,则称G在Ω上是传递的；否则，称G是非传递的。G是传递群当且仅当Ω是 G的一个轨道。因此，若G是传递群,则｜Ω｜是｜G｜的一个因子。若G是传递群，且｜Ω｜=｜G｜,则称G是一个正则群。正则群就是传递的半正则群。 若在一个非正则传递群G中,每个非单位元素最多保持一个文字不变，则G 称为弗罗贝尼乌斯群。在弗罗贝尼乌斯群G中,没有不变文字的置换与恒等置换一起构成一个正则群R，R是G 的一个特征子群。 若对于Ω中任意两个k元有序点组α1，α2,…,αk及β1,β2,…,βk,都有G中一个置换g使，则称G是一个 k重传递群或 k传递群。k重传递群一定是(k-1)重传递的。如果k≥2，那么k重传递群称为多重传递群，否则称为单传递群。如果G是Ω上一个传递群,那么当且仅当Gα在Ω-{α}上(K-1)重传递群时,G是k重传递的。k重传递的n元置换群G 的阶可被n(n-1)…(n-k+1)整除。若G 的阶恰等于n(n-1)…(n-k+1),则称G是一个精确 k重传递群。此时，对于Ω中任意两个k元点组α1,α2,…,αk;β1,β2,…,βk,在G中恰有一个g使α=βi,i=1，2，…，k。 对称群Sn是 n重传递的，交错群An是n-2重传递的。除去Sn及An外，有无穷多个3重传递群，但是只知道4个4重传递群，它们是法国数学家 É.L.马蒂厄在1861年及1873年先后发现的次数分别为11，12，23及24的马蒂厄群M11,M12,M23,M24，其中M12及M24是5重传递的,而且M11是M12的稳定子群，M23是M24的稳定子群，它们的阶分别是 。 M11及M12都是精确传递群。 在1981年有限单群分类的问题解决以后，所有双重传递群已被决定,并且知道没有传递重数大于或等于6的传递单群，而交错群与上述4个马蒂厄群是仅有的4重传递的单置换群。M23的稳定子群是M22,也是一个单群,这5 个马蒂厄群是最早发现的不属于有限单群的无穷系列的5个零散单群。
第6节置换群
定义
, ik 和 j1 , j2 , , js 都是循环置换,如果 与 不含相同元素，
设 i1 , i2 ,
则称 与 定理3
ik
是不相连（交）的.
每个置换都可表成不相连循环置换之积.
j1 j2 js a js a i1 j1 j2 b b
（i1 i2 i3 ik )，（i2 i3 ik i1 )， ，或（ik i1 i2 ik 1 )
注：循环置换的表示一般也不是唯一的。 习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为
(1) (2) (3)
( n)
S3 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 例 三次对称群为：
, 2 , 3 ,求A的全体置换. 例1 设 A 1
2 3 1 0 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2
2 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 3 1 2
1 p1 2 p2 n p1 1 pn 1
p2 2 pn n
注意：置换乘法没有交换律。如
2 3 2 3 1 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 5 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 5 1 3 2 1 1 3 2 2 3 1
二、置换的矩阵表示
考虑任意有限集合，不妨设 A 置换
1, 2,
n pn
, n
: 1 p1 , 2 p2 ,
, n pn
可表示为
置换群全同粒子系统的对称群
目 录
• 置换群基础概念 • 全同粒子系统基础概念 • 对称群基础概念 • 置换群全同粒子系统的对称群 • 对称群在置换群全同粒子系统中的应用
01 置换群基础概念
置换群定义
置换群定义
置换群是集合元素之间的置换所构成的群。具 体来说，设 $G$ 是集合 $S$ 的一个子集，如 果对于任意元素 $a in G$，都存在一个元素 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$，则称 $G$ 为一个置换群。
置换群的表示
置换群可以用矩阵或置换图来表示， 其中矩阵表示法更为常用。
置换群的性质
封闭性
置换群中的元素之间经过置换后仍属于该集 合。
结合性
置换群中的元素之间经过多次置换后仍属于 该集合。
单位元存在性
置换群中存在一个单位元，即不进行任何置 换的元素。
逆元存在性
对于任意元素 $a in G$，存在一个逆元 $b in G$，使得 $a$ 和 $b$ 交换后仍属于 $G$。
对称群在科学技术进步中发挥了重要作用，通过对称群的研究，可以推 动新材料、新能源等领域的发展，为科学技术进步做出贡献。
对称群在置换群全同粒子系统中的未来发展
深入研究新型态物质的对称性
随着科学技术的不断发展，将会有更多新型态的物质被发现，深入研究这些新型态物质的对称性，将有助于揭示物质 的基本性质和推动物理学的发展。
全同粒子系统的基本特征是粒子的不 可分辨性，即无法区分系统中的任何 一个粒子与其他粒子。
全同粒子系统的性质
全同粒子系统具有平移对称性， 即在空间中移动整个系统不会改
变系统的性质。
全同粒子系统还具有旋转对称性， 即旋转整个系统也不会改变系统
离散数学中的置换群和对称多项式
在离散数学中，置换群和对称多项式是两个重要的概念。
置换群是代数学中的一个重要概念，用来描述对某个集合进行置换操作的全部可能。
对称多项式则是数学中重要的一类多项式，具有对称性质。
在研究多项式的性质和解的时候，对称多项式起到了重要的作用。
首先，我们来了解一下置换群。
置换群是指对一个集合进行重新排列的所有可能形成的群结构。
例如，对于集合{1, 2, 3}，可以得到六个不同的置换：(1, 2, 3)，(2, 1, 3)，(3, 2, 1)，(1, 3, 2)，(3, 1, 2)，(2, 3, 1)。
这六个置换将集合中的元素重新排列，形成新的集合。
将这些置换操作进行组合，就可以形成一个群结构，称为置换群。
置换群中的操作可以进行组合，形成新的置换。
例如，将置换(1, 2, 3)与(2, 1, 3)进行组合，可以得到(2, 1, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2)，即先进行置换(1, 2, 3)，再进行置换(2, 1, 3)。
同样地，置换群还满足封闭性、结合律、单位元和逆元等群的性质。
对称多项式是指对于多项式中的变量进行任意置换操作后，多项式的值保持不变的多项式。
例如，对于多项式f(x, y) = xy + x + y + 1，可以将x和y进行置换，得到f(y, x) = xy + y + x + 1。
可以看到，无论对x和y如何置换，多项式f(x, y)的值都保持不变。
对称多项式是研究代数学中一个重要的问题。
它们在很多领域中都有广泛的应用。
例如，对称多项式在组合数学中有着重要的作用，可以用来计算组合数、排列数等。
对称多项式还在代数几何、群论、多元函数论等领域中有着深入的研究和应用。
对称多项式的研究还涉及到一些基本的概念和定理。
例如，斯奈克列 (Schur functions) 是一类重要的对称多项式，它们由杨图 (Young Diagram) 来定义。
斯奈克列具有一些重要的性质，例如完全正性、具有幂级数展开等。
置换群2——精选推荐
置换群2接着上⼀节，为了研究置换群的结构,我们来考虑对称群S n和交错群A n的的⽣成元系.定理1 对称群S n可以由(12),(13),⋯,(1n)⽣成，即S n=<(12),(13),⋯,(1n)>.证明⾸先<(12),⋯,(1n)>⊂S n,同时注意到每个置换都可以分解成⼀些对换的乘积,⽽对换(i j),(i≠j)可以被表⽰成(i j)=(1 i)(1 j)(1 i)这说明S n⊂<(12),⋯,(1n)>,从⽽S n=<(12),⋯,(1n)>.定理2 交错群A n可以由全体3−轮换⽣成.证明注意到任意的3−轮换(i j k)=(1 k)(1 j)(1 i),这说明3−轮换必然是偶置换,从⽽乘积也是.另⼀⽅⾯两个对换的乘积σ=(ij)(st)可被⼀些3−轮换表⽰即可.1)若i=s,j=t,那么σ=(1)=(123)(123)(123),结论成⽴;2）若i=s,j≠t,则σ=(i t j),结论也成⽴;3)若i≠j,s≠t,那么σ=(i j)(s t)=(1 i s)(1 i j)(1 s t)注意此处默认i,i,s,t均不为1.这说明偶置换可被表⽰成3−轮换的乘积.所以定理成⽴.即A n可由全体3−轮换⽣成.要注意的是群的⽣成元并不唯⼀,例如我们还有S n=<(12),(23),⋯,(n−1,n)>=<(12),(12⋯n)>以及A n=<(123),(124),⋯,(12n)>,n≥3另⼀个问题,S n中任意的置换σ=(a b⋯c)⋯(αβ⋯γ),我们考虑与之共轭的置换δ=τστ−1,注意到δ(τ(a))=τσ(a)=τ(b)同理δ(τ(b))=τ(c),不难看出δ=τστ−1=(τ(a) τ(b) ⋯τ(c))⋯(τ(α) τ(β) ⋯τ(γ))可以看出σ与δ具有相同的形式,这⾥的形式指的是分解成不相交的轮换的结果中,轮换的长度以及轮换的个数对应相等,某些书中也将这个称为置换的型：例如在S13中的置换(1234)(567)(89)(10,11),那么称他的型为1222314150⋯130,其原理就是置换分解成不相交轮换在不考虑次序情况下是唯⼀的.⼀般的在S n中如果某个置换的型为1r12r2⋯n r n,那么必然有n∑i=1ir i=n借助于型的概念,我们可以说S n中置换σ的共轭置换⼀定与之具有相同的型,那么反之是否成⽴呢？答案是肯定的,我们有定理S n中两个置换σ,δ共轭的充要条件是他们的型相同.证明必要性已然说明,再证充分性,设σ=(a b⋯c)⋯(αβ⋯γ),δ=(a′b′⋯c′)⋯(α′β′⋯γ′),那么取置换τ=a b⋯γa′b′⋯γ′可以验证δ=τστ−1,说明σ,δ是共轭的.按照置换的型可以很容易写出对称群S n中的全部共轭类,以S5为例,我们知道|S5|=5!=120,其全部的共轭类如下: 15型:仅有⼀个,即为(1);1321型:共\binom{5}{2}=10个;1^23^1型:共A_{5}^{3}/3=20个,即在5个元素中选取3个元素的圆排列(轮换对称性);1^14^1型:共A_{5}^{4}/4=30个;1^12^2型:共\binom{5}{1}\binom{4}{2}/2=15个;()2^13^1型:共\binom{5}{2}A_{3}^{3}/3=20个;5^1型:共A_{5}^{5}/5=24个.⼀般的我们有,在对称群S_n中,型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换的个数为\frac{n!}{\prod\limits_{i=1}^{n}r_i!i^{r_i}}(在数字较⼤时⽤词结论计算是⽅便的,但是在数字较⼩时⽤前⾯排列组合的思路更快捷)⽤数学归纳法来证明是可⾏的,我们更希望给出如下的直接求法.记集合A:=表⽰n个元素1,2,\cdots,n的所有重排的集合,⽽集合B:=表⽰型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换的全体.作映射\pi:A\to B,具体⽅式如下:对于重排a_1,a_2,\cdots,a_n,将前r_1个当做r_1个1-轮换,接下来的2r_2个每2个⼀组作为r_2个2-轮换,接下来的3r_3个每3个⼀组作为r_3个3-轮换……这样就构造出了型为1^{r_1}2^{r_2}\cdots n^{r_n}的置换,显然\pi是个满射但是并⾮单射.对于任意的\sigma\in B,那么\pi^{-1}(\sigma)便是n个元素的⼀个重排.我们把\sigma写成按照轮换长度递增的顺序的形式,显然这种表⽰并不唯⼀,因为每个r-轮换(a_1~a_2~\cdots~a_r)有r种不同的表⽰,并且每⼀种表⽰对应的在\pi下的原象均不同.另⼀⽅⾯不相交轮换是可换的,因此在保持长度递增情况下,r_i个i-轮换可以有r_{i}!种表⽰,结合起来可以看出\pi^{-1}(\sigma)共有\prod_{i=1}^{n}r_{i}!i^{r_i}种不同情况.⽽|A|=n!,因此|B|=\frac{n!} {\prod\limits_{i=1}^{n}r_i!i^{r_i}}利⽤置换的型,我们可以确定对称群的正规⼦群,例如我们考虑S_4的共轭类：1^5型:仅1个,即为(1)；1^22^1型:\binom{4}{2}=6个,分别是(12),(13),(14),(23),(24),(34)；1^13^1型:A_{4}^{3}/3=8个,分别是(123),(124),(132),(134),(142),(143),(213),(234)；2^2型:\binom{4}{2}/2=3个,分别是(12)(34),(13)(24),(14)(23)；4^1型:仅⼀个,即为(1234).设H是S_4的正规⼦群,根据Lagrange定理|H|只能是1,2,3,4,6,8,12,24,如果H是⾮平凡的,那么|H|只能是2,3,4,6,8,12,注意正规⼦群是⼀些共轭类组成的⼦群:1)显然|H|\neq 2,3,6,8,因为这些元素不可能是完整的若⼲共轭类;2)⽽|H|=4是可能的,此时H中的元素为:(1),(12)(34),(13)(24),显然此时H同构于Kelin四元群\mathbb K_4=\{1,a,b,ab\},其中a^2=b^2=(ab)^2=1;3)同样的|H|=12也是可以的,此时H由⼳元,8个1^13^1型置换以及3个2^2型置换构成,即为全体偶置换,此时H同构于A_4.以上分析说明S_4只有4个正规⼦群\{1\},K_4,A_4,S_4.类似的分析可以得到A_4的正规⼦群只有\{1\},K_4,A_4.更进⼀步的我们还有S_4/K_4\simeq S_3证明我们可以将S_3视作S_4的⼦群,将\sigma\in S_3看成\sigma(4)=4即可.由前⾯的结论K_4\triangleleft S_4,从⽽K_4S_3\leq S_4,注意到K_4\cap S_3=\{1\},那么|K_4S_3|=\frac{|S_3|\cdot|k_4|}{|K_4\cap S_3|}=24=|S_4|这说明S_4=K_4S_3,根据第⼀同构定理S_3/K_4\cap S_3\simeq S_4/K_4,即S_4/K_4\simeq S_3另⼀种证法是直接分析6阶群S_4/K_4的结构,事实上6阶群仅有2个,他们是\mathbb Z_6和S_3\simeq D_3.Loading [MathJax]/extensions/TeX/mathchoice.js。
离散数学中的置换群与对称性
离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们
在许多数学领域都有着重要的应用。
置换群是一类结构，它由一组元素和一组置换操作组成，它们满足一定的结构性质。
置换群的元素可以是任何类型的对象，比如数字、字母、图形等。
置换操作是一种操作，它可以把一组元素中的一个元素替换成另一个元素，从而改变置换群中的元素的排列顺序。
对称性是一种特殊的置换群，它满足一定的对称性质。
对称性的定义是：如果一个置换群中的元素满足某种特定的对称性，那么这个置换群就是对称的。
比如，如果一个置换群中的元素满足“任何两个元素之间的距离都是相等的”，那么这个置换群就是对称的。
置换群和对称性在许多数学领域都有着重要的应用，比
如在几何学中，它们可以用来描述图形的对称性；在抽象代数中，它们可以用来描述群的结构；在组合学中，它们可以用来描述排列的结构；在统计学中，它们可以用来描述数据的分布。
总之，离散数学中的置换群与对称性是一个重要的概念，它们在许多数学领域都有着重要的应用。
它们可以用来描述图形的对称性，也可以用来描述群的结构，排列的结构，以及数据的分布。
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1 2 3 4 5 6 7 (1365)(247) 3 4 7 1 5 2
1.6.2 置换的对换分解 (Transposition Resolving of Permutation)
Def：长度为2的循环 称为对换， =(a b)。 Th 2 任一个n次置换 都可以分解为对换的乘积， = 1 1 … s 而且的个数 s 的奇偶性由 唯一确定，与分解方法 无关。 证明：由于每一个循环 = (i1i2… ir )都可以写成 对换的乘积 (i1i2… ir )= (i1i2) (i1i3)…(i1 ir ) 它是r-1个对换的乘积。因此，任一个n次置换 都 可以分解为对换的乘积。
由于上述两个等式，若 (a b)右乘，且a，b在的 同一个循环中出现，则N( (a b))=N( )-1 ；
若 a，b在的不同循环中出现，则N( (a b))=N( )+1。 总之， N( (a b))=N( ) ±1。 今设有一个表示成 m 个对换的乘积的表示式 = (a b) (cd) …(pq) 由于(a b) -1= (a b),从而 (pq) … (cd) (a b) = e。但 是， N(e)=0 ，故N( ) ±1 ±1 … ±1＝0,因此 m 与 N( )有相同的奇偶性。 证毕 例： 1 2 3 4 5 6 7 (1365)(247) (13)(16)(15)(24)(27)
1.6.1 置换的循环分解 (Cyclic Resolving of Permutation)
在前面我们知道，一个置换, 可以表示成如下的形式,
1, 2...n i i ... i n 1, 2
其中i1i2 … in 是 1，2，…，n的一个排列。
Def：设 是一个n次置换，满足 (1) (i1)=i2, (i2)=i3, … (ir)=i1; (2) 保留1，2，…，n 中的其余元素不变。 则称为长度为r的循环，或称r阶循环。记为
1.6 置换群
(1.6 Permutation Group)
群G的全体置换作成的群叫n次对称群Sn ，置换群是n 次对称群Sn 的子群. 由Cayley定理，任一个有限群必与 一个置换群同构．因此，需要对置换群作进一步的详细 讨论。本节，我们将把置换群分解为循环的乘积，并得 到置换群的一些初步性质。
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置换 如果可以分解为偶数个(奇数个)对换的乘积, 则它表示为对换乘积的任一个表达式中所含对换的个 数都是偶数(奇数),此时,称置换 为偶置换(奇置换). 置换 的乘积的性质: 1. 两个偶置换的乘积是偶置换; 2. 两个奇置换的乘积是偶置换; 3. 一个偶置换与一个奇置换的乘积是奇置换. 例 令 An={ ︱∈Sn, 是偶置换} 则恒等置换 e∈An ，又 , ∈An ∈An (封闭性)。 注意到 -1 =e，从而和 -1有相同的奇偶性。 因此， ∈An -1 ∈An (有逆元)。 可见n次对称群Sn 中的全体偶置换An构成Sn的一个子 群，称为n次交代群(n次交错群)。 End
再证明分解式中对换个数的奇偶性的唯一性： 证明的基本思想是用一对对换 =(a b)右乘，令 N( )表示分解式中所含对换的个数，则N( (a b))与 N( ) 有相反奇偶性，并注意到N()=0 （这里是恒等变 换）即可。 为了证明 N( (a b))与N( )有相反奇偶性，我们注 意有下述等式： (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) (a b) = (ac1…ch bd1…dk) (ac1…ch bd1…dk)(a b)= (ac1c2…ch) (bd1d2 …dk) 事实上，由于(a b) -1= (a b),从而第一个等式可由第 二个等式右乘(a b)得到。对于第二个等式，可以从它们 作用到1，2，…，n 的每一个数码上的像来验证。
Th 1 任一个n次置换 都可以分解为两两不相交的 循环的乘积，而且这种分解式除因子的次序不同外是 唯一的。 证明:先证明分解式的存在性：从{1,2, …,n}中 任选一个数作为i1 ，依次求出 (i1)=i2, (i2)=i3, … 直至这个序列中第一次出现重复，这个第一次出现 重复的数必然是i1 ，即存在ir ，使 (ir)= i1 ，于是得 到循环 1 = (i1i2… ir ) 。 然后再取 j1 (i1i2… ir )，重复以上步骤可得 2 = (j1j2… js )，并且由映射的定义知 1与 2无公 共元素。 如此下去，直至每一个元素都在某一个循环中， 因而得到的分解式 = 1 2 … k
再证明分解式的唯一性： 若 有两个不同的分解式，则一定出现两个数码 i≠j，在一个分解式中 j 紧接着 i 出现，而在另一个分 解式中紧接着 i 的不是 j 。这表明，从第一个分解式 得 (i)= j ，而从第二个分解式得 (i) ≠ j ，矛盾。 例：
1 2 3 4 5 6 7 8 (15)(236)(47)(8) 5 3 6 7 1 2 4 8
例如
= (i1i2… ir )
1 2 3 4 5 6 (1345) 3 2 4 5 1 6
是一个长度为4的循环，或称4阶循环。 两个循环 = (i1i2… ir ), = (j1j2… js ) 称为不相交的， 如果对任何的k, l，都有 i k ≠ jl 两个置换的乘积一般是不可交换的，但是可以证明， 两个不相交的循环的乘积是可交换的。