定值--向量
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
2022年高考数学专题圆锥曲线中的“三定问题”(定点、定值、定直线)
圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法(原卷版)
圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。
2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。
二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。
三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。
四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。
高二数学选择性必修一重点知识点
高二数学选择性必修一重点知识点1.高二数学选择性必修一重点知识点篇一1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(2)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(3)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ2.高二数学选择性必修一重点知识点篇二反比例函数形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
圆锥曲线定点定值二级结论
圆锥曲线定点定值二级结论圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，它是平面上所有点到两个定点的距离之比等于常数的点的集合。
圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的特例。
在研究圆锥曲线时，我们经常需要考虑定点和定值的问题，而圆锥曲线定点定值二级结论就是一个非常有用的定理。
圆锥曲线定点定值二级结论是指，对于一个圆锥曲线上的点P，以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点，并且该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。
这个定值就是该点到圆锥曲线的直线的距离，也就是该点到该圆锥曲线的切线的距离。
这个定理对于研究圆锥曲线的性质和应用非常重要，下面我们将详细介绍。
首先，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第一个部分，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。
我们可以采用反证法，假设存在一个以该点为焦点的圆锥曲线，它不经过该点。
那么，该圆锥曲线上必然存在一个点Q，它到该点的距离不等于该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离。
这与圆锥曲线的定义矛盾，因此假设不成立，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。
接下来，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第二个部分，即该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。
我们可以采用向量法，设圆锥曲线的方程为F(x,y)=0，其中F(x,y)是一个二次函数。
设该点为P(x0,y0)，该圆锥曲线的另一个焦点为F(xf,yf)，则有：F(x0,y0) = c * PF^2其中PF表示点P到焦点F的距离，c为常数。
我们可以将F(x,y)在点P处进行泰勒展开，得到：F(x,y) = F(x0,y0) + Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) + ...其中Fx和Fy分别表示F(x,y)对x和y的偏导数。
由于点P在圆锥曲线上，所以F(x0,y0) = 0，且Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) = 0。
这意味着点P到圆锥曲线的切线垂直于向量(Fx(x0,y0),Fy(x0,y0))，即该向量是圆锥曲线在点P处的法向量。
双曲线中的向量问题(教师版)
双曲线中的向量问题1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (2,0)，一条渐近线方程为x -3y =0．(1)求双曲线C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 、B ，过F 的直线l 交C 的右支于M ,N 两点，连结MB 交直线x =32于点Q ，求证：A 、Q 、N 三点共线．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)依题意可得a 2+b 2=4，b a =13，解得a 2=3，b 2=1故C 的方程为x 23-y 2=1.(2)易得A (-3,0)，B (3,0)显然，直线l 的斜率不为0，设其方程为x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 联立方程x =my +2x 2-3y 2=3，消去x 整理得m 2-3 y 2+4my +1=0，所以y 1+y 2=-4m m 2-3，y 1y 2=1m 2-3．直线MB :y =y 1x 1-3(x -3)，令x =32得y =y 1(3-23)2x 1-3，故Q 32,y 1(3-23)2x 1-3AN =x 2+3,y 2 ，AQ =32+3,y 1(3-23)2x 1-3，32+3 y 2-y 1(3-23)x 2+3 2x 1-3=(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+32x 1-3，(*)又(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+3 =(3+23)y 2my 1+2-3 -y 1(3-23)my 2+2+3=[(3+23)m -(3-23)m ]y 1y 2+(3+23)(2-3)y 2+(23-3)(2+3)y 1=43my 1y 2+3y 1+y 2 =43m m 2-3+-43mm 2-3=0，即(*)的值为0．所以AN ⎳AQ,故A 、Q 、N 三点共线．﹒2.已知双曲线C ：x 24-y 25=1的左、右顶点分别为A ,B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若PF =3FQ ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k1k 2为定值．【答案】(1)22x -y -62=0；(2)证明见解析.【解析】(1)设点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由PF =3FQ ，F 3,0 可得：3-x 1,-y 1 =3x 2-3,y 2 ，即x 1=12-3x 2y 1=-3y 2 ，将P 12-3x 2,-3y 2 ，Q x 2,y 2 代入双曲线C 方程得12-3x 2 24--3y 2 25=1x 224-y 225=1，消去y 2，解得：x 2=229，又点P 在x 轴上方，∴点Q 在x 轴下方，∴y 2=-1029，∴Q 229,-1029，∴k FQ =22，∴直线l 的方程为22x -y -62=0.(2)∵过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点，F 3,0 ，∴可设直线l 的方程为x =my +3，P my 1+3,y 1 ，Q my 2+3,y 2 ，联立方程x =my +3x 24-y 25=1，消去x 整理得：5m 2-4 y 2+30my +25=0，则5m 2-4≠0Δ=900m 2-4×25×5m 2-4 >0 ，解得：m ≠±255，∴y 1+y 2=-30m 5m 2-4，y 1y 2=255m 2-4，又A -2,0 ，B 2,0 ，∴k AP =k 1=y 1my 1+5，k BQ =k 2=y 2my 2+1，∴k1k 2=y 1my 2+1 y 2my 1+5=my 1y 2+y 1my 1y 2+5y 2，又my 1y 2=25m 5m 2-4=-56y 1+y 2 ，∴k 1k 2=-56y 1+y 2 +y 1-56y 1+y 2 +5y 2=-15，即k 1k 2为定值-15.3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1F 2 =8，P 4,6 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线l :y =3x -12交于点N ．设NA =λAM ，NB =μBM ，求证：λ+μ为定值．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设C 的焦距为2c ，则F 1F 2 =2c =8，即c =4，F 1-4,0 ，F 24,0 ；由双曲线的定义，得2a =PF 1 -PF 2 =4+42+62-4-42+62=4，即a =2，所以b =c 2-a 2=16-4=23，故C 的方程为x 24-y 212=1．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N m ,n ，显然直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y -1=k x -1 ，代入3x 2-y 2=12，得3-k 2 x 2-2k 1-k x +2k -13-k 2=0．由过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，得3-k 2≠0，由韦达定理，得x 1+x 2=2k 1-k 3-k 2，x 1x 2=2k -13-k 23-k 2； ①由N m ,n 在直线l :y =3x -12上，得n =3m -12，即12-3m +n =0； ②由N m ,n 在直线AB 上，得n -1=k m -1 ． ③由NA =λAM ，得x 1-m ,y 1-n =λ1-x 1,1-y 1 ，即x 1-m =λ1-x 1 解得λ=x 1-m1-x 1．同理，由NB =μBM ，得μ=x 2-m 1-x 2，结合①②③，得λ+μ=x 1-m 1-x 1+x 2-m 1-x 2=m +1 x 1+x 2 -2x 1x 2-2m1-x 1 1-x 2=m +1 ⋅2k 1-k 3-k 2-2×2k -13-k 23-k 2-2m 1-x 1 1-x 2 =2k m -1 -6m +261-x 1 1-x 2=2n -1 -6m +261-x 1 1-x 2 =2n -3m +12 1-x 1 1-x 2=0．故λ+μ是定值．4.已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为233，且过点6,1 .(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点C m ,n ，D m ,-n 在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，M -2,0 ，N 2,0 ，求PM ⋅PN的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)-1,1 .【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，联立6a 2-1b 2=1,c 2=a 2+b 2,c a =233, 得a 2=3，b 2=1，所以双曲线的标准方程为x 23-y 2=1.(2)解：已知C m ,n ，D m ,-n ，A -3,0 ，B 3,0 .当m =±3时，动点P 与点A ，B 重合，当m ≠±3时，直线AD :y =n-3-mx +3 ，直线BC :y =nm -3x -3 ，联立两直线方程得y 2=n 23-m2x 2-3 .又因为m 23-n 2=1，即-3n 2=3-m 2，所以y 2=-13x 2-3 ，即x 23+y 2=1.又PM ⋅PN =PO +OM PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-2，且PO ∈1,3 ，所以PM ⋅PN∈-1,1 .5.双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的顶点与椭圆C 1：x 23+y 2=1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y =33x ．(1)求双曲线C 2的方程；(2)过双曲线C 2右焦点F 作直线l 1与C 2分别交于左右两支上的点P ，Q ，又过原点O 作直线l 2，使l 2⎳l 1，且与双曲线C 2分别交于左右两支上的点M ，N ．是否存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)存在；λ=2 3.【解析】(1)由椭圆C 1：x 23+y 2=1得到：a =3，双曲线的渐近线方程为y =33x ，得到：b a =33，解得：b =1.则双曲线C 2的方程x 23-y 2=1．(2)若存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ ，∵MN 与PQ 同向，∴λ=MN2PQ，∵F 2,0 ，设l 1：x =ty +2，由x =ty +2x 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2+4ty +1=0，∴y 1+y 2=-4t t 2-3y 1y 2=1t 2-3，由l 1交C 2左右两支于P 、Q 两点，有t 2-3≠016t 2-4t 2-3 >0x 1x 2<0，即t 2-3≠0ty 1+2 ty 2+2 <0，则t 2-3>0，PQ =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+t 2-4t t 2-3 2-4t 2-3=23t 2+1 t 2-3，由于l 2⎳l 1，可设l 2：x =ty ，由x =tyx 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2=3，∴y 2=3t 2-3，由此MN 2=1+t 2y --y 2=1+t 2 ⋅4y 2=121+t 2 t 2-3，∴λ=MN2PQ=23，故存在定值λ=23，使得MN ⋅MN =λPQ ．6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为52，点P 4,3 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点1,0 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)存在；QM ⋅QN =27364；定点Q 238,0 ．【解析】(1)由题意，16a 2-3b 2=1c a =52,a 2+b 2=c 2，解得a 2=4，b 2=1．∴双曲线方程为x 24-y 2=1；(2)设直线l 的方程为x =my +1，设定点Q t ,0 ，联立x 24-y 2=1x =my +1,，得m 2-4 y 2+2my -3=0．∴m 2-4≠0，且△=4m 2+12m 2-4 >0，解得m 2>3且m 2≠4．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，∴y 1+y 2=-2m m 2-4，y 1y 2=-3m 2-4，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4，x 1x 2=my 1+1 my 2+1 =m 2y 1y 2+m y 1+y 2 +1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4．∴QM ⋅QN=x 1-t ,y 1 ⋅x 2-t ,y 2 =x 1-t x 2-t +y 1y 2=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t 8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4为常数，与m 无关，∴8t -23=0，即t =238，此时QM ⋅QN =27364．∴在x 轴上存在定点Q 238,0 ，使得QM ⋅QN 为常数．7.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点P 2,3 在E上，F 为E 的右焦点.(1)求双曲线E 的方程；(2)设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于A ,B (A ,B 不与Q 重合)两点，点M 是AB 的中点，求证：AB =2MQ .【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由已知可得e =c a =2，∴e 2=c 2a 2=1+b 2a2=4，解得：b 2=3a 2⋯①，又点P 2,3 在E 上，∴4a 2-9b2=1⋯②，由①②可得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线E 的方程为x 2-y 23=1；(2)当l 的斜率为0时，此时A ,B 中有一点与Q 重合，不符合题意.当l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =ty +23x 2-y 2=3得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，则Δ=36t 2+36>03t 2-1≠0 ，解得：t 2≠13.∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1∴QA ⋅QB=x 1+1,y 1 ⋅x 2+1,y 2 =x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=ty 1+3 ty 2+3 +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+13t 2-1+3t -12t3t 2-1+9=0，∴QA ⊥QB ，则△QAB 是直角三角形，AB 是斜边，∵点M 是斜边AB 的中点，∴MQ =12AB ，即AB =2MQ .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．9.已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)为双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点，过点F 2作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°．(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O :x 2+y 2=b 2上任意一点Q x 0,y 0 作圆O 的切线l ，交双曲线C 于A ,B 两个不同的点，AB 的中点为N ，证明：|AB |=2|ON |．【答案】(1)x 2-y 22=1；(2)证明见解析．【解析】(1)由题意，设F 2，M 的坐标分别为(1+b 2，0)，(1+b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1+b 2-y 02b2=1，即y 0=±b 2，所以|MF 2|=b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=30°，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2，由双曲线的定义可知：|MF 1|-|MF 2|=b 2=2，故双曲线C 的方程为：x 2-y 22=1．(2)证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2，①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(2y 20-x 20)x 2+4x 0x -(2y 20+4)=0，所以：x 1+x 2=-4x 02y 02-x 02，x 1x 2=-2y 02+42y 02-x 02，又y 1y 2=8-2x 022y 02-x 02，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=-2y 02+42y 02-x 02+8-2x 022y 02-x 02=0；②当y 0=0时，易知OA =2,2 ,OB =2,-2 ，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0也成立；综上，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0，即OA ⊥OB ，所以AB =2ON ．10.已知双曲线C :x 2-y 22=1，点P 的坐标为0,3 ，过P 的直线l 交双曲线C 于点A ,B .(1)若直线l 又过C 的左焦点F ，求AF ⋅BF 的值；(2)若点M 的坐标为0,-34，求证：MA ⋅MB 为定值.【答案】(1)8；(2)证明见解析.【解析】(1)由双曲线C :x 2-y 22=1可得a =1，b =2，所以c =a 2+b 2=1+2=3，所以F -3,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，k PF =3-00--3 =1，所以直线l 的方程为y =x +3，由y =x +32x 2-y 2=2 联立得：x 2-23x -5=0，所以x 1+x 2=23, x 1x 2=-5，AF ⋅BF =x 1+3 2+y 12x 2+3 2+y 22=2x 1+3 x 2+3=2x 1x 2+3x 1+x 2 +3 =2×-5+3×23+3 =8.(2)由题意知直线l 的斜率存在，不妨设直线l :y =kx +3，由y =kx +32x 2-y 2=2可得：k 2-2 x 2+23kx +5=0，所以x 1+x 2=23k 2-k 2，x 1x 2=5k 2-2，MA =x 1,y 1+34 ，MB =x 2,y 2+34 ，MA ⋅MB =x 1x 2+y 1+34 y 2+34 =x 1x 2+kx 1+534 kx 2+534=1+k 2 x 1x 2+534k x 1+x 2 +7516=1+k 2 5k 2-2+53k 4⋅23k 2-k2+7516=3516.所以MA ⋅MB =3516为定值.11.已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 过点P 3,6 ，且Γ的渐近线方程为y =±3x .(1)求Γ的方程；(2)如图，过原点O 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)若选①，S ≥6；若选②，直线AD 不存在.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y =±3x ，故b a =3，又3a 2-6b2=1，解得a =1,b =3，故双曲线的方程为：x 2-y 23=1.(2)若选①，由题设可知直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为零，设l 1:y =kx ，l 2:y =-1kx ，设l 1:y =kx ，则{y =kx 3x 2-y 2=3可得x 2A =33-k 2，其中-3<k < 3.同理x 2C=3k 23k 2-1，其中-3<-1k <3，故-3<k <-33或33<k <3，故AB 2=121+k 2 x 2A =121+k 23-k 2，同理CD 2=121+1k2 3-1k2=121+k 23k 2-1，故四边形ACBD 的面积S 满足：S 2=14×121+k 2 3-k 2×121+k 2 3k 2-1=36×1+k 2 23-k 2 3k 2-1=36×k +1k 216-3k +1k2=36×116k +1k2-3，令y =k +1k ，则y=k 2-1k 2，当-3<k <-1或1<k <3时，y >0；当-1<k <-33或33<k <1时，y <0；故y =k +1k在-3,-1 ，1,3 上为增函数，在-1,-33 ，33,1 上为减函数，故当-3<k <-33或33<k <3时，2≤k +1k <433或-433<k +1k≤-2，所以4≤k +1k2<163，故S 2≥36即S ≥6.若选②，先考虑A ,D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设M m ,3m ,N n ,-3n ，其中m >0,n <0，若M ，N 为线段AD 的三等分点，则DN =NM可得n -x D ,-3n -y D =m -n ,3m +3n ，故x D =2n -m ,y D =-23n -3m ，同理x A =2m -n ,y A =23m +3n ，所以2n -m 2--23n -3m 23=12m -n2-23m +3n 23=1 ，整理得mn =-18，而OA ⊥OD ，故x A x D +y A y D =0，故(2n -m )×(2m -n )-(23m +3n )×(23n +3m )=0，整理得到m 2+n 2=-54×mn ⇒(m +n )2=34×mn =-332，故无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.12.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且当l 垂直于x 轴时，PQ =6；(1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线l '与双曲线交于M ，N 两点，求MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)-∞,-12【解析】(1)依题意，c =2a ，当l 垂直于x 轴时，PQ =2b 2a=6，即b 2=3a ，即c 2-a 2=3a ，解得a =1，b =3，因此x 2-y 23=1；(2)设l PQ :x =my +2，联立双曲线方程x 2-y 23=1，得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，当m =0时，P 2,3 ,Q 2,-3 ,M 0,-1 ,N 0,1 ，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP=-12，当m ≠0时，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此y 1y 2=93m 2-1<0，即m ∈-33,0 ∪0,33 ，同理可得y 3y 4=9m 23-m 2，依题意MP ⋅NQ =MF +FP ⋅NF +FQ =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，同理可得，MQ ⋅NP =MF +FQ ⋅NF +FP =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，而FP ⋅FQ +MF ⋅NF =1+m 2 y 1y 2+1+1m2 y 3y 4，代入y 1y 2=93m 2-1，y 3y 4=9m 23-m 2，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =91+m 2 3m 2-1+91+m 2 3-m 2=-181+m 2 21-3m 2 3-m 2 =-63m 4+6m 2+3 3m 4-10m 2+3，分离参数得，FP ⋅FQ +MF ⋅NF=-6-96m 23m 4-10m 2+3，因为m ∈-33,0 ∪0,33，当m 2∈0,13 时，由m 2+1m 2∈103,+∞ ，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =6-963m 2+1m2 -10∈-∞,-6 ，所以MP ⋅NQ +MQ ⋅NP =2FP ⋅FQ +MF ⋅NF∈-∞,-12 ，综上可知，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围为-∞,-12 .13.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为4.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知l 为圆O :x 2+y 2=43的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP ⋅OQ .【答案】(1)x 2-y 24=1；(2)0.【解析】(1)设F 1F 2=2c ，由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线，得ba=2①，因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c，由x =a 2c y =2x得y =2a 2c ，所以B a 2c ,2a 2c ，由双曲线的对称性，得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ⋅2a 2c=4a 2，由四边形AF 1BF 2的面积为4，可得4a 2=4，即a =1，结合①得，b =2，所以双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.(2)①当直线l 的不斜率存在时，对于圆O :x 2+y 2=43，不妨考虑l :x =233，则由x =233,x 2-y 24=1,得x =233,y =±233,，所以P 233,233 ，Q 233,-233 ，所以OP ⋅OQ=0.②当直线l 的斜率存在时，设l :y =kx +m ，因为直线l 与C 相交于P ，Q 两点，所以k ≠±2.因为直线PQ 与圆O 相切，所以|m |1+k 2=233，即m 2=431+k 2(*)，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，双曲线中的向量问题第11页由y =kx +m ,x 2-y 24=1,消y 得4-k 2 x 2-2kmx -m 2+4 =0(k ≠±2)，结合(*)，有Δ=(2km )2+44-k 2 m 2+4 =163k 2+16>0，所以x 1+x 2=2km 4-k 2，x 1x 2=-m 2+44-k 2，所以OP ⋅OQ=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m ，=1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=-1+k 2m 2+44-k 2+2k 2m 24-k2+m 2=3m 2-4k 2+1 k 2-4.结合(*)，得OP ⋅OQ =3×431+k 2 -4k 2+1k 2-4=0.综上，OP ⋅OQ =0.14.已知双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 ，离心率e =52,顶点到渐近线的距离为255(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A ,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP =λPB ,λ∈13,2,求△AOB 面积的取值范围.【答案】(1)y 24-x 2=1;(2)2,83【解析】(1)由题,一条渐近线方程y =bax ⇒bx -ay =0, 可知c a =52ab -0 a 2+b 2=255 ⇒c a =52ab c =255 ,两式相乘有b =1,又c 2=a 2+b 2.故c a =52⇒a 2+1a2=54⇒a 2=4,c 2=5.故双曲线C 的方程：y 24-x 2=1(2)由题,渐近线方程为y =±2x ,故设P (x 0,y 0),A (x 1,2x 1),B (x 2,-2x 2)因为AP =λPB ,故x 0-x 1=λ(x 2-x 0)y 0-2x 1=λ(-2x 2-y 0) ⇒x 0=x 1+λx 21+λy 0=2x 1-λx 21+λ,将点P (x 0,y 0)代入双曲线方程有x 1-λx 21+λ 2-x 1+λx 21+λ 2=1.化简得x 1x 2=-1+λ24λ.故S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 =12x 1(-2x 2)-x 2×2x 1 =2x 1x 2 =1+λ 22λ=12λ+1λ+2 .双曲线中的向量问题第12页因为λ∈13,2,由对勾函数性质得λ+1λ∈2,103,故S △AOB =12λ+1λ+2 ∈2,83 15.已知椭圆C 1：x 24+y 2=1，F 1,F 2为C 1的左、右焦点.(1)求椭圆C 1的焦距；(2)点Q 2,22为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；(3)已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M (x M ,y M )，椭圆C 1和双曲线C 2上满足x ≥x N 的所有点(x ,y )组成曲线C .若点N 是曲线C 上一动点，求NF 1 ⋅NF 2的取值范围.【答案】(1)23；(2)y =12x ±1；(3)-45,+∞ .【解析】(1)由椭圆C 1：x 24+y 2=1可得：a =2，b =1，c =a 2-b 2=3，则椭圆C 1的焦距为2c =23；(2)由k OQ =12，设l :y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2-2=0，由Δ=4m 2-8(m 2-1)=8-4m 2>0，得m <2，x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以AB =1+14⋅(-2m )2-4(2m 2-2)=5⋅2-m 2，又Q 到直线l 的距离为d =m5，由S △QAB =12⋅d ⋅AB =m ⋅2-m 2=1,m =±1，所以l :y =12x ±1；(3)由x 2+4y 2=4x 2-y 2=1 ，解得x M =2105y M =155，设N (x ,y )是曲线C 上一点，则F 1(-3,0),F 2(3,0)，NF 1 =(-3-x ,-y )，NF 2=(3-x ,-y )，所以NF 1 ⋅NF 2=x 2+y 2-3；当点N 在曲线x 2+4y 2=4x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=1-3y 2，当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，当y =0时，(NF 1 ⋅NF 2)max =1，所以NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,1 ；当点N 在曲线x 2-y 2=1x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=2y 2-2；当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ ；综上，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ .双曲线中的向量问题第13页。
高二数学课件：专题六 第三讲 定点、定值、最值问题
上,设三条边(AB,BC,AC)的中点分别为M,N,P.
(1)求椭圆T的方程.
(2)设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3,且 ki≠0,i=1,2,3.若直线OM,ON,OP的斜率之和为0.求证:
1 1 1 为定值.
(2)曲线Ax2+By2+Dx+Ey=0过定点_(_0_，__0_)_. (3)直线A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(λ 为参数)过直线 A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0的交点. 提醒：直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0不可能表示直线 A2x+B2y+C2=0.
(4)函数y=ax2+bx+c(a>0)，当 x b 时，取得最大值为
4ac b2
2a
_____4_a_____.
(5)函数 y ax b (a 0,b 0, x 0) 当且仅当 x b 时有
x
a
最小值__2__a_b__.
热点考向 一 圆锥曲线中的定值问题
【典例】(2013·北京模拟)椭圆T的中心为坐标原点O,右焦点
1 2
s1 t1
.
以下同方法一.
【拓展提升】 求解定值问题的方法 1.由特例求出定值，再证明，然后得结论. 2.直接求出代数式的值，一般是设法消去代数式中的参数，说 明与参数无关. 提醒：解决此类问题一定要分清哪些是变量，哪些是常量.圆锥 曲线中的最值问题
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定值——向量
【经典例题1】过点B （2,0）的直线l 与曲线C ：15
22
=+y x 交于M,N 两点，与y 轴交于
E 点，若NB EN MB EM 21,λλ==，求证：21λλ+
证：设),(),,(),,0(2211y x N y x M m E
则：⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)
,2(),(11111y x m y x EM λ………①
⎪⎩⎪⎨
⎧--=-=)
,2()
,(22222y x m y x λ………..② 由①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+=+=111
11112λλλm y x 且点M 在曲线C 上
∴0
55105
)1(5)12(
212
121211=-++⇒=+++m m λλλλλ 同理由②得：055102
222=-++m λλ
所以21,λλ为方程：055102
2
=-++m x x 的两个根 ∴1021-=+λλ
参考习题：
1.（2011·广东经典模拟）如图,弧ADB 为半圆，AB 为半圆的直径，O 为半圆的圆心 ，且 OD ⊥AB,Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(I)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
(II)过点B 的直线l 与曲线C 交于M,N 两点，与OD 所在直线交于E 点，若MB EM 1λ=
NB EN 2λ=，求证：21λλ+为定值.
2.(2010·深圳一模)已知点A 、B 分别是直线x y 33=和x y 3
3-=上的两个动点，线段AB 长为32，P 是AB 的中点.
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点Q （1,0）任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与（1）中的轨迹C 交于M,N 两点，与y 轴交于R 点，若NQ RN MQ RM μλ==,，证明：μλ+为定值.
3.（2011·肇庆二模）已知焦点在x 轴上，离心率为
5
52的椭圆的一个顶点是抛物线y x 42
=的焦点，过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于点M ，且,1λ=
2λ=.
（1）求椭圆的方程； （2）证明：21λλ+为定值.
【经典例题2】过点)0,1(F 的任意一条直线与圆锥曲线C ：13
42
2=+y x 相交于A 、B 两点.
证明：在x 轴上存在一个定点P ，使PB PA ∙
证：设直线的斜率为k ，)0,(),,(),,(2211m P y x B y x A 由⎩⎨⎧=+-=12
43)
1(2
2y x x k y 得：01248)43(2
2
2
2
=-+-+k x k x k 由韦达定理得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+=+22
212
22143124438k k x x k k x x …..① 且212
21212121)())((y y m x x m x x y y m x m x +++-=+--=∙…② 由⎩⎨
⎧-=-=)
1()
1(2211x k y x k y ]1)([2121221++-=⇒x x x x k y y
故②式可化为：2
2
212
212
))(()1(m k x x m k x x k ++++-+=∙ 将①式带代上式得：
2
22
22222
438)(43124)1(m k k
k m k k k k ++++-+-+=∙ 222243)
584(123k m m k m +--+-=
即：
8
11
4584312322=⇒--=-m m m m （1）当R k ∈时：得PB PA ∙64
135
-= (2)当k 不存在时：即AB ⊥x 轴，
)23,1(),23,1(-B A ⇒49)1(2--=∙m
811=m 代入上式得：64
135
49)1(2-
=--=∙m PB PA 故：在x 轴上存在一个定点P )0,811(，使PB PA ∙的值是常数64
135
-.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 参考习题：
1.（2012·惠州二模）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>，椭圆短轴的一
个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3
（１）求椭圆C 的方程；
（２）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.
①若线段AB 中点的横坐标为1
2
-，求斜率k 的值； ②已知点7
(,0)3
M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.
2.（2011·深圳一模）已知点F 是椭圆)0(1122
2
>=++a y a
x 的右焦点，点),0(),0,(n N m M 分别是x 轴，y 轴上的动点，且满足0=∙NF MN .若点P 满足PO ON OM +=2. （I ）求点P 的轨迹C 的方程；
（II ）过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A,B 两点，直线OA ，OB 与直线a x -=分别交于点S,T （O 为坐标原点），是判断∙是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
3.（2011·四川）椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ．
(I)当|CD | =
l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ
为定值。