2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
一元二次方程、不等式(经典导学案及练习答案详解)
§1.5一元二次方程、不等式学习目标1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅2.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)f(x)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(×)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(√)(3)若ax 2＋bx ＋c >0恒成立，则a >0且Δ<0.( × ) (4)不等式x －ax －b ≥0等价于(x －a )(x －b )≥0.( × )教材改编题1．若集合A ＝{x |x 2－9x >0}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A ．R B ．{x |x >－1} C ．{x |x <3或x >9} D ．{x |x <－1或x >3} 答案 C解析 A ＝{x |x >9或x <0}，B ＝{x |－1<x <3}， ∴A ∪B ＝{x |x <3或x >9}．2．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 依题意知⎩⎨⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝⎛⎭⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3．一元二次不等式ax 2＋ax －1<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－4,0)解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2＋4a <0，∴－4<a <0.题型一 一元二次不等式的解法 命题点1 不含参的不等式例1 (1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1<x <32 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －32<x <1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－32或x >1 答案 C解析 －2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0， 即(x ＋1)(2x －3)>0， ∴x <－1或x >32.(2)(多选)已知集合M ＝{}x ||x －1|≤2，x ∈R ，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪5x ＋1≥1，x ∈R ，则( ) A ．M ＝{}x |－1≤x ≤3 B ．N ＝{}x |－1≤x ≤4 C ．M ∪N ＝{}x |－1≤x ≤4 D ．M ∩N ＝{}x |－1<x ≤3 答案 ACD解析 由题设可得M ＝[－1,3]，N ＝(－1,4]， 故A 正确，B 错误；M ∪N ＝{x |－1≤x ≤4}，故C 正确； 而M ∩N ＝{x |－1<x ≤3}，故D 正确． 命题点2 含参的不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 延伸探究 在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式． 解 当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1， 当a <0时，1a<1，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x >1或x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1， 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a或x >1. 教师备选解关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0. 解 由题意知，Δ＝a 2－4， ①当a 2－4>0，即a >2或a <－2时，方程x 2－ax ＋1＝0的两根为x ＝a ±a 2－42，∴原不等式的解为a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42.②若Δ＝a 2－4＝0，则a ＝±2.当a ＝2时，原不等式可化为x 2－2x ＋1≤0， 即(x －1)2≤0，∴x ＝1；当a ＝－2时，原不等式可化为x 2＋2x ＋1≤0， 即(x ＋1)2≤0，∴x ＝－1.③当Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2时， 原不等式的解集为∅.综上，当a >2或a <－2时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a －a 2－42≤x ≤a ＋a 2－42； 当a ＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <2时，原不等式的解集为∅.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(多选)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥4}，则下列说法正确的是( ) A ．a >0B ．不等式bx ＋c >0的解集为{x |x <－4}C ．不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13 D ．a ＋b ＋c >0 答案 AC解析 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)， 所以二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口方向向上，即a >0，故A 正确； 对于B ，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为－3,4，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－ba＝－3＋4，ca ＝－3×4，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .bx ＋c >0⇔－ax －12a >0， 由于a >0，所以x <－12，所以不等式bx ＋c >0的解集为{}x |x <－12， 故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以cx 2－bx ＋a <0⇔－12ax 2＋ax ＋a <0⇔12x 2－x －1>0⇔x <－14或x >13，所以不等式cx 2－bx ＋a <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－14或x >13，故C 正确； 对于D ，a ＋b ＋c ＝a －a －12a ＝－12a <0，故D 不正确． (2)解关于x 的不等式(x －1)(ax －a ＋1)>0.解 ①当a ＝0时，原不等式可化为x －1>0，即x >1； 当a ≠0时，(x －1)(ax －a ＋1)＝0的两根分别为1,1－1a .②当a >0时，1－1a<1，∴原不等式的解为x >1或x <1－1a .③当a <0时，1－1a >1，∴原不等式的解为1<x <1－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当a >0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1或x <1－1a ； 当a <0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1－1a . 题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题 命题点1 在R 上恒成立问题例3 (2022·漳州模拟)对∀x ∈R ，不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－2<a ≤2 B ．－2≤a ≤2 C ．a <－2或a ≥2 D ．a ≤－2或a ≥2答案 A解析 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0恒成立，满足题意；当a －2≠0时，要使不等式恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ<0，即有⎩⎪⎨⎪⎧a <2，4(a －2)2＋16(a －2)<0，解得－2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(－2,2]． 命题点2 在给定区间上恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，67 解析 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法： 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6， x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上单调递增，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0在x ∈[1,3]上恒成立， 所以m <6x 2－x ＋1在x ∈[1,3]上恒成立．令y ＝6x 2－x ＋1，因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3，当0≤p ≤4时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－∞，－1] C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析 不等式x 2＋px >4x ＋p －3 可化为(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，由已知可得[(x －1)p ＋x 2－4x ＋3]min >0(0≤p ≤4)， 令f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3(0≤p ≤4)，可得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝x 2－4x ＋3>0，f (4)＝4(x －1)＋x 2－4x ＋3>0，∴x <－1或x >3.教师备选函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，则实数x 的取值范围是________________． 答案 [－7,2](－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)解析 若x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则有①Δ≤0或②⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2<－2，g (－2)＝7－3a ≥0.或③⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－a2>2，g (2)＝7＋a ≥0，解①得－6≤a ≤2，解②得a ∈∅， 解③得－7≤a <－6.综上可得，满足条件的实数a 的取值范围是[－7,2]． 令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)． 思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．跟踪训练2 (1)已知关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1}答案 A解析 因为关于x 的不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，即x 2－4x ＋a 2－3a ≤0在R 上有解，只需y ＝x 2－4x ＋a 2－3a 的图象与x 轴有公共点， 所以Δ＝(－4)2－4×(a 2－3a )≥0， 即a 2－3a －4≤0，所以(a －4)(a ＋1)≤0， 解得－1≤a ≤4，所以实数a 的取值范围是{a |－1≤a ≤4}．(2)当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，－5) C ．(－∞，－5] D ．(－5，－4)答案 C解析 令f (x )＝x 2＋mx ＋4， ∴当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0， 解得m ≤－5.课时精练1．不等式9－12x ≤－4x 2的解集为( ) A ．RB ．∅C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠32 答案 C解析 原不等式可化为4x 2－12x ＋9≤0， 即(2x －3)2≤0， ∴2x －3＝0，∴x ＝32，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝32. 2．(2022·揭阳质检)已知p ：|2x －3|<1，q ：x (x －3)<0，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．必要不充分条件 答案 B解析 ∵p ：|2x －3|<1，则－1<2x －3<1， 可得p ：1<x <2，又∵q ：x (x －3)<0，由x (x －3)<0，可得q ：0<x <3， 可得p 是q 的充分不必要条件．3．(2022·南通模拟)不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅，则m 的取值范围是( ) A ．m <－1 B ．m ≥233C ．m ≤－233D ．m ≥233或m ≤－233答案 B解析 ∵不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1<0的解集为∅， ∴不等式(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0恒成立．①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式化为x －2≥0， 解得x ≥2，不是对任意x ∈R 恒成立，舍去； ②当m ＋1≠0，即m ≠－1时，对任意x ∈R ， 要使(m ＋1)x 2－mx ＋m －1≥0，只需m ＋1>0且Δ＝(－m )2－4(m ＋1)(m －1)≤0， 解得m ≥233.综上，实数m 的取值范围是m ≥233.4．(2022·合肥模拟)不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈[1,3]恒成立，则a 的最小值是( ) A ．－5 B ．－133 C ．－4 D ．－3答案 C解析 ∵x ∈[1,3]时，x 2＋ax ＋4≥0恒成立， 则a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 恒成立， 又x ∈[1,3]时，x ＋4x ≥24＝4，当且仅当x ＝2时取等号．∴－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≤－4， ∴a ≥－4.故a 的最小值为－4.5．(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A ．(－2，－1)B ．(－3，－6)C ．(2,4)D.⎝⎛⎭⎫－3，－32 答案 AD解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2， 且⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD. 6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x 2＋ax ＋b >0(a >0)的解集是{x |x ≠d }，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 2＝4bB ．a 2＋1b≥4 C ．若不等式x 2＋ax －b <0的解集为(x 1，x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2＋ax ＋b <c 的解集为(x 1，x 2)，且|x 1－x 2|＝4，则c ＝4答案 ABD解析 由题意，知Δ＝a 2－4b ＝0，所以a 2＝4b ，所以A 正确；对于B ，a 2＋1b ＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当a 2＝4a 2，即a ＝2时等号成立， 所以B 正确；对于C ，由根与系数的关系，知x 1x 2＝－b ＝－a 24<0，所以C 错误； 对于D ，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b －c ＝a 24－c ， 则|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝a 2－4⎝⎛⎭⎫a 24－c ＝2c ＝4， 解得c ＝4，所以D 正确．7．不等式3x －1>1的解集为________．答案 (1,4)解析 ∵3x －1>1， ∴3x －1－1>0，即4－x x －1>0， 即1<x <4.∴原不等式的解集为(1,4)．8．一元二次方程kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 kx 2－kx ＋1＝0有一正一负根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝k 2－4k >0，1k<0，解得k <0. 9．已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值；(2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×(－4)＝－b ， 解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0，即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅；当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅； 当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．10．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (x ＋2)－f (x )＝16x 且f (0)＝2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由f (0)＝2，得c ＝2，所以f (x )＝ax 2＋bx ＋2(a ≠0)，由f (x ＋2)－f (x )＝[a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋2]－(ax 2＋bx ＋2)＝4ax ＋4a ＋2b ，又f (x ＋2)－f (x )＝16x ，得4ax ＋4a ＋2b ＝16x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝16，4a ＋2b ＝0，故a ＝4，b ＝－8， 所以f (x )＝4x 2－8x ＋2.(2)因为存在x ∈[1,2]，使不等式f (x )>2x ＋m 成立，即存在x ∈[1,2]，使不等式m <4x 2－10x ＋2成立，令g (x )＝4x 2－10x ＋2，x ∈[1,2]，故g (x )max ＝g (2)＝－2，所以m <－2，即m 的取值范围为(－∞，－2)．11．(多选)已知函数f (x )＝4ax 2＋4x －1，∀x ∈(－1,1)，f (x )<0恒成立，则实数a 的取值可能是( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案 CD解析 因为f (x )＝4ax 2＋4x －1，所以f (0)＝－1<0成立．当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，由f (x )<0可得4ax 2<－4x ＋1，所以4a <⎝⎛⎭⎫1x 2－4x min ，当x ∈(－1,0)∪(0,1)时，1x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以1x 2－4x ＝⎝⎛⎭⎫1x－22－4≥－4， 当且仅当x ＝12时，等号成立， 所以4a <－4，解得a <－1.12．(2022·南京质检)函数y ＝lg(c ＋2x －x 2)的定义域是(m ，m ＋4)，则实数c 的值为________． 答案 3解析 依题意得，一元二次不等式－x 2＋2x ＋c >0，即x 2－2x －c <0的解集为(m ，m ＋4)，所以m ，m ＋4是方程x 2－2x －c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋m ＋4＝2，m (m ＋4)＝－c ，解得m ＝－1，c ＝3. 13．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________．答案 [－4,3]解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.14．若不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 对于方程x 2＋ax －2＝0，∵Δ＝a 2＋8>0，∴方程x 2＋ax －2＝0有两个不相等的实数根，又∵两根之积为负，∴必有一正根一负根，设f (x )＝x 2＋ax －2，于是不等式x 2＋ax －2>0在[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，即5a ＋23>0，解得a >－235. 故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞.15．(2022·湖南多校联考)若关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0恰有两个整数解，则a 的取值范围是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ 32<a ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1<a ≤－12或32≤a <2 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪ －1≤a <－12或32<a ≤2 答案 D解析 令x 2－(2a ＋1)x ＋2a ＝0，解得x ＝1或x ＝2a .当2a >1，即a >12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |1<x <2a }，则3<2a ≤4，解得32<a ≤2； 当2a ＝1，即a ＝12时， 不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0无解，所以a ＝12不符合题意； 当2a <1，即a <12时，不等式x 2－(2a ＋1)x ＋2a <0的解集为{x |2a <x <1}， 则－2≤2a <－1，解得－1≤a <－12. 综上，a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪－1≤a <－12或32<a ≤2. 16．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)因为不等式f (x )<0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根，可得⎩⎨⎧ 0＋5＝－b 2，0×5＝c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10，c ＝0. 所以f (x )＝2x 2－10x .不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－10x >0，2(x 2＋2kx ＋k 2)－10(x ＋k )<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x <0或x >5，－k <x <5－k ， 因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得6<5－k ≤7，解得－2≤k <－1，所以k 的取值范围是[－2，－1)．(2)tf (x )≤2，即t (2x 2－10x )≤2，即tx 2－5tx －1≤0，当t ＝0时显然成立，当t >0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ t ·1－5t ·(－1)－1≤0，t ·1－5t ·1－1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t ＋5t －1≤0，t －5t －1≤0， 解得－14≤t ≤16， 所以0<t ≤16； 当t <0时，函数y ＝tx 2－5tx －1在[－1,1]上单调递增， 所以只要其最大值满足条件即可，所以t －5t －1≤0，解得t ≥－14， 即－14≤t <0， 综上，t 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，16.。
二次函数与一元二次方程不等式(第1课时)导学案(原卷版)
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）导学案【学习目标】1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).【自主学习】一．一元二次不等式的概念一般地，我们把只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是或，其中a，b，c均为常数，a≠0.二．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的叫做二次函数y＝ax2＋bx ＋c的零点．解读：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．(2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三．“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．【当堂达标基础练】4、求下列不等式的解集（1）(x+2)(x−3)>0；（2）3x2−7x≤10；（3）−x 2+4x−4<0（4）x2−x+14=05.当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？【当堂达标提升练】6.解下列不等式：(1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0. 7．解下列不等式(1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0； (4)－3x 2＋5x －2>0. 8.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. 9．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)．10.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【当堂达标素养练】11.已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集． 点拨：由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，可知1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，可求出a ，b 的值，从而得解．12.关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2.求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集． 13 .解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0(a ∈R )．14.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.15．已知函数()()()2111f x m x m x m =+--+-．(1)若不等式()1f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1f x m x ≥+；(3)若不等式()0f x ≥对一切11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求m 的取值范围．16．已知二次函数2()22f x x ax =++．(1)若15x 时，不等式()3f x ax >恒成立，求实数a 的取值范围． (2)解关于x 的不等式2(1)()a x x f x ++>（其中R)a ∈． 17．已知函数2()(31)(,)f x x a x b a b R =-++∈．(1)当5b =-时，关于x 的不等式2(31)0x a x b -++>的解集为(,1)(5,)-∞-+∞，求实数a 的值；(2)当22b a a =+时，求关于x 的不等式2(31)0x a x b -++<的解集（结果用a 表示）．。
_2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时教案- 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时教案一、内容和内容解析1.内容一元二次不等式的定义、解法，二次函数与一元二次方程、不等式的联系.2.内容解析函数、方程和不等式都是中学数学中非常重要的内容，用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法.用二次函数函数观点看一元二次方程、一元二次不等式，可以让学生在初中的相关内容的基础上，进一步理解函数、方程与不等式之间的联系，逐步形成用函数统领方程和不等式的意识，进而体会数学的整体性.从函数的观点来看一元二次方程，当二次函数值为0时就得到一个一元二次方程，解方程就是求“自变量为何值时，函数值为0”.如果二次函数y=a x2+bx+c的图象与x轴有交点，从函数的角度来看，交点的横坐标就是函数的零点，从方程的角度来看，交点的横坐标就是一元二次方程a x2+bx+c=0的根.同时，函数图象与x轴的交点又将x轴分成几部分，每一部分（不含交点）对应的函数图象都在x轴同侧，也就是函数值都为正或者都为负，即a x2+bx+c>0或者a x2+bx+c<0. 因此，从函数的观点看一元二次不等式，当二次函数值大于0（或者小于0）就得到一个一元二次不等式，不等式的解集就是使得函数值大于0（或者小于0）的自变量x的取值范围.因此，可以利用二次函数的图象来判断一元二次方程根的存在性和根的个数，以及求解一元二次不等式.借助二次函数的图象研究一元二次方程与一元二次不等式，使研究方程和不等式的方法更具一般性和代表性.因此，从函数的角度来研究方程和不等式，体现数学的整体性，凸显函数的重要地位，其中涉及的数形结合、函数思想等都是数学中重要的思想方法.基于以上分析，得到本节课的教学重点：用二次函数的观点统一认识一元二次方程和一元二次不等式，根据三者的联系，利用数形结合推导出求解一元二次不等式的方法.二、目标和目标解析1.目标（1）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义；（2）借助二次函数的图象，探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性；（3）对于给定的一元二次不等式，能够借助二次函数，准确求解一元二次不等式，提升数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，能说出一元二次不等式的定义.（2）能类比“一次函数与一次方程、一次不等式”的研究经验，得到二次函数与一元二次方程、不等式的关系，体会运动变化、特殊与一般，以及数形结合等数学思想方法，体会数学的整体性.（3）能通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程.三、教学问题诊断分析本节用二次函数的观点看一元二次方程、不等式，需要借助二次函数图象，数形结合地理解二次函数与一元二次方程、不等式的联系。
教学设计1：2.3 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式（一）
2.3第1课时二次函数与一元二次方程、不等式（一）教学知识总结[教学引导问题]观察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.问题1：以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？提示：它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c为常数，且a≠0.[导入新知]1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.[化解疑难]1．定义的简单应用：判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.[教学引导问题]已知：一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.问题1：试求二次函数与x轴交点坐标．提示：(0,0)，(2,0)．问题2：一元二次方程的根是什么？提示：x1＝0，x2＝2.问题3：问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？提示：交点的横坐标为方程的根．问题4：观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？提示：x＞2或x＜0.问题5：能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？提示：能，不等式的解集为{x |x ＞2或x ＜0}，{x |0＜x ＜2}． [教学引导问题]一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表一元二次方程的根对应于二次函数图象与x 轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x 轴上方(下方)，或在x 轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．教学案例[例1] (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－2x 2＋3x －2＜0.解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞－12，或x ＜－3.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}． (3)原不等式可化为⎝⎛⎭⎫2x －922≤0， 所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ＝94.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0， 所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R . [类题通法]解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集． [活学活用]解下列不等式：(1)x 2－5x －6>0；(2)－x 2＋7x >6；(3)(2－x )(x ＋3)<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )． 解：(1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为x 2－7x ＋6<0. 解方程x 2－7x ＋6＝0，得x 1＝1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为{x |1<x <6}． (3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2， ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠23.[例2] 解关于解：方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式的解集为{x |a ＜x ＜－1}； 当a ＝－1时，原不等式的解集为∅；当a ＞－1时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜a }． [类题通法]解含参数的一元二次不等式时(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根的情况，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． [活学活用]设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解：①m ＝0时，－3<0恒成立，所以x ∈R . ②当m >0时，不等式变为(mx ＋3)(mx －1)<0， 即⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0，解得－3m <x <1m. ③当m <0时，原不等式变为⎝⎛⎭⎫x ＋3m ⎝⎛⎭⎫x －1m <0， 解得1m <x <－3m.综上，m ＝0时，解集为R ； m >0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－3m <x <1m ；m <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|1m <x <－3m .[例2＋ax ＋1＞0的解集．解：∵x 2＋ax ＋b ＜0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴1,2是x 2＋ax ＋b ＝0的两根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1＞0.由2x 2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx 2＋ax ＋1＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)．[类题通法]1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． [活学活用]已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1＞0可变为－2x 2＋3x －1＞0， 即2x 2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax 2＋bx －1＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12＜x ＜1.有关三个“二次”关系的不等式的解法[典例] 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－2或x ＞－12，求ax 2－bx ＋c ＞0的解集．[解题流程][规范解答]由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a ＜0，故⎩⎨⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－12＝－b a，(－2)×⎝⎛⎭⎫－12＝c a.[名师批注]不注意判断a 的符号，误认为a ＞0. 解得a ＝c ，b ＝52c .所以不等式ax 2－bx ＋c ＞0即2x 2－5x ＋2＜0， 解得12＜x ＜2.即不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2. [名师批注]学生常出现解集不用集合表示的失误. [活学活用]已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧13－12＝－p ，13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，解得⎩⎨⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0， 即－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．[随堂即时演练]1．不等式x (2－x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＞0}B ．{x |x ＜2}C ．{x |x ＞2或x ＜0}D ．{x |0＜x ＜2}【解析】选D 原不等式化为x (x －2)＜0，故0＜x ＜2.2．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )A ．{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x |－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x |x ≤－2或x ＞3}D ．{x |x ＜－2或x ≥3}【解析】选A ∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x |－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．【解析】由y ＜0得x 2－4x ＋3＜0，∴1＜x ＜3. 【答案】(1,3)4．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________.【解析】由x 2－2ax －8a 2<0(a >0) 得(x ＋2a )(x －4a )<0(a >0)，即－2a <x <4a ，故原不等式的解集为(－2a,4a )． 由x 2－x 1＝15得4a －(－2a )＝15， 即6a ＝15，所以a ＝52.【答案】525．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12； (2)x 2＞2(x －1)； (3)x 2－4ax －5a 2<0(a <0)．解：(1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4， 所以原不等式的解集为{x |3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x 2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x 2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .(3)方程x 2－4ax －5a 2＝0的两个根为x 1＝－a ，x 2＝5a ， ∵a <0，x 1>x 2，∴原不等式的解集为{x |5a <x <－a }．。
2.3+二次函数与一元二次方程不等式(共2课时)(教学课件)高一数学必修第一册(人教A版2019)
(1)若此不等式的解集是 1,2 ，求a 的值；
(2)讨论此不等式的解集．
详解
(2) x2 x a2 a 0 就是 x2 x aa 1 0 ，即 x a 1 x a 0 ．
方程 x a 1 x a 0 的两根是 x1 a 1， x2 a ．
(①1)当由a题意1知a，，即1，a2是 1时x2 ， x此 a不2 等a式 0的的解两集根是，a 1, a ．
能力提升
题型一：不含参一元二次不等式的解法 【练习 1】解下列不等式：
(1)－2x2＋x－6<0；(2)－x2＋6x－9≥0；(3)x2－2x－3>0.
解 (3)方程 x2－2x－3＝0 的两根是 x1＝－1，x2＝3. 函数 y＝x2－2x－3 的图象是开口向上的抛物线， 与 x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示． 结合图象可得不等式的解集为{x|x<－1 或 x>3}．
函数的零点
ax2＋bx＋c＞0；ax2＋bx＋c＜0 ax2＋bx＋c≥0；ax2＋bx＋c≤0
其中a、b、c为常数，a≠0．
方程的根
2.使一元二次不等式成立的的所有解 x 组成的集合叫做 一元二次不等式的解集(用集合的描述法表示).
函数图象与x 轴交点横坐标
3.方程ax2＋bx＋c=0的实数解x叫做二次函数y=ax2＋bx＋c的零点.
注：使得 ax2 bx c 0 成立的实数x（方程 ax2 bx c 0 的解）即为二次函 数 y ax2 bx c 的零点．
学习新知
观察一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20间有何关系？
二次函数y=x2－12x+20 的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段．
二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式2.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）教材分析本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第3节《二次函数与一元二次方程、不等式》第１课时。
从内容上看它是我们初中学过的一元一次不等式的延伸，同时它也与一元二次方程、二次函数之间联系紧密，涉及的知识面较多。
从思想层面看，本节课突出体现了数形结合思想。
同时一元二次不等式是解决函数定义域、值域等问题的重要工具，因此本节课在整个中学数学中具有较重要的地位和作用。
学情分析学生在初中已经学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的相关知识，对不等式的性质有了初步了解，但因我校学生基础普遍较差，逻辑推理和抽象思维能力仍需提高，还需依赖具体形象的内容理解抽象的逻辑关系。
教学目的1. 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3.培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重点一元二次不等式的解法教学难点理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系教学过程一、情境导入问题园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得:（１２－x）x＞２０（０＜x＜１２）整理得x２－１２x＋２０＜０（０＜x＜１２）。
①求得不等式①的解集，就得到了问题的答案。
思考：类比一元一次不等式，这个不等式有什么特点？能否给这类不等式起个名字，并写出它的一般形式？由此导出课题。
一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0 或ax2+bx+c<0 ，其中a，b，c均为常数，a≠0.思考：为什么要规定a≠0？二、探索新知探究1：回顾一次函数与一元一次方程、不等式的关系请学生画出一次函数y=2x-6的图象，并回答下列问题：1.函数y=2x-6与x轴的交点为；2.方程2x-6=0的根为；3.不等式2x-6>0的解为；4.不等式2x-6<0的解为；师生完成上述问题后小结：三个“一次”的关系。
《二次函数与一元二次方程、不等式》课件与导学案
{|50 < < 60}
一元二次不等式的应用
例题② 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:米)和汽车刹车前的速度(单位:
1
1
km/h)之间有如下关系: = 180 2 + 20 .再一次交通
事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么
下方时，对应的的取值范围的集合；
【例题】求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【分析】因为方程 2 − 5 + 6 = 0的根是函数 = 2 − 5 + 6的零点，所以先求
出 2 − 5 + 6 = 0的根，再根据图像求 2 − 5 + 6 > 0的解集.
【解】对于方程 2 − 5 + 6 = 0，因为Δ > 0，所以它有
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米和 12 − 米，则：
12 − > 20，其中 ∈ ȁ0 < < 12 ，
整理得 2 − 12 + 20 < 0， ∈ ȁ0 < < 12 ，
即 − 2 − 10 < 0，ቊ
的图像全部在轴下方.
当 = 0时，−2 − 2 < 0，显然对任意不能恒成立；
当 ≠ 0时，由二次函数图像可知有ቊ
＜0,
△= 4 − 4( − 2)＜0
解得 < 1 − 2
综上可知，解得的取值范围是{| < 1 − 2}
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成 + + > > 的形式
二次函数与一元二次方程导学案
备课时刻：2017、8、28 讲课时刻：2017、9、4备课人：郭艳玲（主备）母东文课型：新讲课 教具:多媒体课件 教法：启发式 学法：自主合作探讨二次函数与一元二次方程导学目标：1、明白得二次函数与一元二次方程的关系，把握方程与函数间的转化。
2、会利用数形结合的方式判定抛物线与x 轴的交点个数。
3、培育合作意识和探讨数学知识间联系的好适应，体验二次函数的应用。
导学重点：探讨一次函数图象与一元二次方程的关系，明白得抛物线与x 轴交点情形。
难点：函数→方程→x 轴交点，三者之间的关系的明白得与运用。
导学方式:先由学生自学讲义，经历自主探讨总结的进程，并独立完成自主学习部份，然后学习小组交流讨论，形成知能，最后完成当堂训练题。
导学进程:一、创设情境，引入新课二次函数的223y x x =--的图象如图所示。
依照图象回答：（1）x 为何值时, 0y =？（2）你能依照图象，求方程2230x x --=的根吗？（3）二次函数223y x x =--与方程2230x x --=之间有何关系呢？二、自主学习，固知提能1、二次函数与一元二次方程之间的关系【探讨】教材P43问题：如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行线路将是一条抛物线。
若是不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时刻t （单位：s ）之间具有关系：2205h t t =-。
考虑以下问题：（1）球的飞行高度可否达到15m ？如能，需要多少飞行时刻？（2）球的飞行高度可否达到20m ？如能，需要多少飞行时刻？（3）球的飞行高度可否达到20.5m ？什么缘故？（4）球从飞出到落地需要多少时刻？【归纳】二次函数与一元二次方程有如下关系：二次函数与一元二次方程之间有如下关系①函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确信值m 时,对应自变量x 的值确实是方程2ax bx c m ++=的根.②专门是0y =时，对应自变量x 的值确实是方程20ax bx c ++=的根。
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§2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）导学目标：1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系．（预习教材P 51~ P 53，回答下列问题）情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么?【知识点一】一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式.其一般形式可表示为：20ax bx c ++>或20ax bx c ++<()0a ≠自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( )A ．2220a x x +≥ B ．213x < C ．20x x m -+-≤ D ．32410x x x +-+>【知识点二】一元二次不等式的解法下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答：（1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y <当x 取 时，0y >由上面可知：（2）一元二次不等式2760x x --<的解集为一元二次不等式2760x x --<的解集为有何发现：第二章 一元二次函数、方程和不等式- 2 -（3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()200ax bx c ++><的解集的步骤？自我检测2：一元二次不等式220x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠、一元二次不等式()200ax bx c a ++>≠与其对应的一元二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的关系？（1）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ．（2）一元二次方程()200ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的 ．（3）一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ．自我检测3：不等式250ax x c ++>的解集为1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则a ，c 的值分别为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－6 【知识点四】一元二次不等式恒成立问题（1）20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是：0a >且240()b ac x -<∈R ． （2）20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且240()b ac x -<∈R ．自我检测4：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围？题型一 一元二次不等式的解法 【例1】求解下列一元二次不等式 (1)求不等式2560x x -+>的解集． (2)求不等式29610x x -+>的解集． (3)求不等式2230x x -+->的解集．题型二 三个“二次”之间的关系【例2】已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，求关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集．题型三 一元二次不等式恒成立问题【例3-1】要使函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，求m 的取值范围．【例3-2】当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．第二章 一元二次函数、方程和不等式- 4 -1．一元二次不等式2230x x -++<的解集是（ ）A ．{x |x <−1}B ．3{|}2x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x <->或 2．若不等式202mx mx ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D ．(0,2) 3．求解下列一元二次不等式(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 22320x x -+-<4．一元二次不等式20x px q ++<的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求不等式210qx px ++>的解集．【参考答案】情景：设花卉带的宽为()03x x <<，则依题意可得：()()18262862x x -->⨯⨯，整理得2760x x -+>． 【自我检测1】答案：C（1）1x =或6x =； 16x <<；1x <或6x > （2）{}16x x <<；{}16x x x <>或函数位于x 轴上方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式大于0的解集； 函数位于x 轴下方的图像对应的x 的取值即为该函数所对应的不等式小于0的解集； （3）{}1,6函数图像与x 轴交点的横坐标即为该函数所对应的方程的解；解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．第二章一元二次函数、方程和不等式- 6 -【自我检测2】答案：{}02x x<<（1）一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根为21,xx是一元二次函数()20y ax bx c a=++≠图像与x轴交点的横坐标．（2）一元二次方程()200ax bx c a++>≠的解集的端点是一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根21,xx．（3）一元二次方程()200ax bx c a++=≠的两根为21,xx，则acxxabxx=-=+2121,．【自我检测3】答案：B（1）20(0)ax bx c a++>≠恒成立的充要条件是：0a>且240()b ac x-<∈R．（2）20(0)ax bx c a++<≠恒成立的充要条件是：0a<且240()b ac x-<∈R．【自我检测4】答案：{}30k k-<<【例1】答案：（1）{x|x<2，或x>3}；（2）⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫x≠13；（3）∅．ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a<0知c<0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bc x＋ac>0，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x＜13或x＞12．【例3-1】函数2(1)y mx mx m =++-的值恒为负值，即不等式2(1)0mx mx m ++-<对一切实数x 都成立，于是 ①当0m =时，10-<恒成立；②当0m ≠时，要使其恒成立，则有204(1)0m m m m ∆<⎧⎨=--<⎩，解得0m <. 综上，m 的取值范围为(,0]-∞.【例3-2】解法一：∵不等式x 2＋mx ＋4<0对x ∈(1,2)恒成立，∴mx <−x 2−4对x ∈(1,2)恒成立，即m <−4()x x +对x ∈(1,2)恒成立，令y =4x x +，∵函数y =4x x+在x ∈(1,2)上是减函数，∴4<y <5，∴−5<−4()x x+<−4，∴m ≤−5.解法二：设 f (x )=x 2＋mx ＋4，当x ∈(1,2)时，f (x )<0恒成立⇔(1)055(2)04f m m f m ≤≤-⎧⎧⇒⇒≤-⎨⎨≤≤-⎩⎩.1．一元二次不等式−2x 2＋x ＋3<0的解集是（ ）A ．{x |x <−1}B ．3{|}2x x > C ．3{|1}2x x -<< D ．3{|1}2x x x <->或 答案：D2．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(0,2) 答案：D3．求解下列一元二次不等式(1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.- 8 -。