竖直平面内圆周运动任意点向心力的计算
竖直方向圆周运动最低点速度公式
竖直方向圆周运动最低点速度公式竖直方向圆周运动是一种物体在竖直平面上绕一个固定点进行的运动。
在这种运动中，物体的速度会随着位置的变化而变化，最低点是速度最大的位置。
本文将介绍竖直方向圆周运动最低点速度的公式及其推导过程。
我们需要了解一些基本概念。
在竖直方向圆周运动中，物体的质量和半径都是固定不变的。
根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上受到重力的作用，其大小等于物体的质量乘以重力加速度。
同时，物体还受到向心力的作用，其大小等于物体的质量乘以向心加速度。
在竖直方向圆周运动的最低点，物体的速度最大。
根据动能定理，物体的动能等于1/2乘以物体的质量乘以速度的平方。
因此，在最低点，物体的动能最大。
由于物体的质量和半径都是固定不变的，所以最低点的动能最大，意味着最低点的速度最大。
下面我们来推导竖直方向圆周运动最低点速度的公式。
根据动能定理，最低点的动能可以表示为：动能= 1/2mv^2，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
最低点的动能最大，意味着最低点的速度最大。
为了求解最低点速度的公式，我们需要将动能表达式中的质量m和速度v用其他已知量表示出来。
根据向心力的定义，向心力Fc等于物体的质量m乘以向心加速度ac。
根据向心加速度的定义，向心加速度ac等于物体的速度v的平方除以物体的半径r。
将向心力Fc代入动能定理中的动能公式，可以得到：动能= 1/2mv^2 = 1/2m(acr) = 1/2m(v^2/r) = 1/2mv^2/r由于最低点的动能最大，所以最低点的速度最大。
将上述动能公式中的动能视为最低点速度的平方，可以得到最低点速度的公式：v = sqrt(2gr)，其中g是重力加速度，r是物体的半径。
这就是竖直方向圆周运动最低点速度的公式。
根据这个公式，我们可以计算出物体在竖直方向圆周运动的最低点的速度。
需要注意的是，该公式只适用于竖直方向圆周运动的最低点。
对于其他位置的速度，需要根据具体情况进行计算。
总结一下，竖直方向圆周运动最低点速度的公式是v = sqrt(2gr)，其中g是重力加速度，r是物体的半径。
圆周运动的向心力计算
圆周运动的向心力计算圆周运动是物体在固定中心点周围绕圆形轨道做匀速运动的一种运动形式。
在圆周运动中，物体受到向心力的作用，使得物体沿着轨道保持运动。
本文将讨论圆周运动的向心力的计算方法。
1. 向心力的定义和方向向心力是指物体在圆周运动中，由于受到轨道中心点的作用力，保持向中心点坠落的力。
它的方向始终指向轨道中心点。
向心力的大小与物体的质量和圆周运动的速度有关。
2. 向心力的计算公式向心力的计算使用公式：F = m * a_c，其中F表示向心力，m表示物体的质量，a_c表示向心加速度。
3. 向心加速度的计算向心加速度是指物体在圆周运动中的加速度，它是因为向心力的作用而产生的。
向心加速度与物体的线速度和轨道半径有关，可以使用以下公式进行计算：a_c = v^2 / r，其中a_c表示向心加速度，v表示物体的线速度，r表示轨道的半径。
4. 向心力的数值计算通过向心加速度的计算公式，我们可以将向心力的计算转化为数值计算。
例如，如果物体的质量为m，线速度为v，轨道半径为r，那么向心力的计算公式可以变为：F = m * (v^2 / r)。
5. 例子分析假设有一个质量为0.5kg的小球以20m/s的线速度在半径为2m的圆形轨道上做匀速圆周运动。
我们可以根据上述公式计算出该小球所受的向心力：F = 0.5 * (20^2 / 2) = 200N。
6. 向心力的意义向心力的作用是保持物体在圆周运动中始终沿着轨道运动，不会脱离轨道飞出。
这是因为向心力提供了足够的向中心点的力量，使得物体能够克服离心力的影响，保持稳定的圆周运动。
总结：通过以上对圆周运动的向心力计算的讨论，我们可以得出以下结论：向心力的计算公式为F = m * a_c，其中m为物体质量，a_c为向心加速度。
向心加速度的计算公式为a_c = v^2 / r，其中v为物体线速度，r为轨道半径。
向心力的计算可以通过将向心加速度的计算结果带入公式得到。
向心力的作用是保持物体在圆周运动中保持稳定的轨道运动。
专题 竖直面内的圆周运动 高一物理 (人教版2019)
专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球 使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。
圆周运动公式
圆周运动和天体运动公式｛公式⑴｝v r ω=，222f n Tπωππ=== （n 为转速） ｛公式⑵｝()()22222222v a r r r f r n r r T πωωππ⎛⎫====== ⎪⎝⎭｛公式⑶｝()()22222222v F m r m m r m r m f r m n r r T πωωππ⎛⎫====== ⎪⎝⎭【可以通过牛顿第二定律F ma =推得】｛公式⑷｝12⎧⎨⎩（）固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同（）不打滑的皮带传动的两轮边缘上各点和皮带上各点的线速度大小相等｛公式⑸｝竖直平面内圆周运动两种模型及规律轻绳模型轻杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高 点的临 界条件由mg ＝m v 2r 得 v 临＝gr由小球能运动即可，得v 临＝0讨论 分析(1)过最高点时，v≥gr ，F N ＋mg ＝m v 2r ，绳、轨道对球产生弹力F N (2)不能过最高点时，v ＜gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v ＝0时，F N ＝mg ，F N 为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v ＜gr 时，－F N ＋mg ＝m v 2r ，F N 背离圆心且随v 的增大而减小 (3)当v ＝gr 时， F N ＝0(4)当v ＞gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r ，F N 指向圆心并随v 的增大而增大｛公式⑹｝32a k T=【由开普勒第三定律可知。
a 代表行星运动的椭圆轨道的半长轴，T 代表公转周期，k 是一个只与被绕星球质量有关的常量】｛公式⑺｝122m m F Gr =【万有引力定律，G是引力常量，数值为11226.6710N m kg -⨯⋅】 ｛公式⑻｝2MmF G r=【若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于地球对物体的引力。
M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离。
】2mMmg G R= 2gR M G = ｛公式⑼｝2324r M GTπ=【由万有引力等于向心力可推导得到，设M 是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是行星与太阳之间的距离，ω是行星公转的角速度。
高中物理：物体在竖直面内的圆周运动
1、轻绳或细杆作用下物体在竖直面内的圆周运动（1）轻杆作用下的运动如图所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，若杆与小球m之间无相互作用力，那么小球做圆周运动的向心力仅由重力提供：得=，由此可得小球在最高点时有以下几种情况：当=0时，杆对球的支持力F N = mg，此为过最高点的临界条件。
②当=时，，=0③当0＜＜时，m g＞＞0且仍为支持力，越大越小④当＞时，＞0，且为指向圆心的拉力，越大越大（2）细绳约束或圆轨道约束下的运动：如图所示为没有支撑的小球（细绳约束、外侧轨道约束下）在竖直平面内做圆周运动过最高点时的情况。
①当，即当==时，为小球恰好过最高点的临界速度。
②当＜，即＞=时（绳、轨道对小球还需产生拉力和压力），小球能过最高点③当＞，即＜=时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了圆周轨道。
竖直面内的圆周运动一般不是匀速圆周运动，而是变速圆周运动，此时由物体受到的合力沿半径方向的分力来提供向心力，一般只研究最高点和最低点，此情况下，经常出现临界状态，应注意：（1）绳模型：临界条件为物体在最高点时拉力为零（2）杆模型：临界条件为物体在最高点时速度为零例1、一根绳子系着一个盛水的杯子，演员抡起绳子，杯子就在竖直面内做圆周运动，到最高点时，杯口朝下，但杯中的水并不流出来，如图所示，为什么呢？解析：对杯中水，当=时，即=时，杯中水恰不流出，若转速增大，＜时，＞时，杯中水还有远离圆心的趋势，水当然不会流出，此时杯底对水有压力，即N+=，N=－；而如果＞，＜时，水会流出。
例2、如图所示，轻杆OA长l=0.5m，在A端固定一小球，小球质量m=0.5kg，以O点为轴使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时，小球的速度大小为=0.4m/s，求在此位置时杆对小球的作用力。
（g取10 m／s 2）解法一：先判断小球在最高位置时，杆对小球有无作用力，若有作用力，判断作用力方向如何小球所需向心力==0.5×=0.16 N小球受重力=0.5×10=5 N重力大于所需向心力，所以杆对小球有竖直向上的作用力F，为支持力以竖直向下为正方向，对小球有－F=解得：F= 4.84 N解法二：设杆对小球有作用力F，并设它的方向竖直向下，对小球则有－F=F=－=－4.84 N“－”表示F方向与假设的方向相反，支持力方向向上。
生活中的向心力之水平面与竖直面内的圆周运动
举一反三
解：（1）汽车受力分析如图所示 分析可得 ）汽车受力分析如图所示,分析可得 mgmg-N= F向，即：
N F牵 F摩
v2 mg − N = m r
∴ v2 N = mg − m r 52 = 1000 × (10 - )N 10 = 7500 N
G
此时，汽车对桥的压力为7500N 此时，汽车对桥的压力为7500N
N F摩
（5）为了使木块能随转盘转动， ）为了使木块能随转盘转动， 转盘的最大线速度是多少？ 转盘的最大线速度是多少？ 提示：外界提供越大的合力充当向心力， 提示：外界提供越大的合力充当向心力， 则物体就能以越大的速度做圆周运动
G
1.4m/s
生活中的向心力
1.汽车转弯问题 1.汽车转弯问题
（1）.汽车在水平路面上转弯
θ
G
θ
2
v mg tan θ = m r
解圆周运动问题的基本步骤
1、确定研究对象。 确定研究对象。 2、确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 确定作圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径。 3、受力分析。 受力分析。 4、运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力F。 运用平行四边形定则或正交分解法求出向心力F 5、根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。 根据向心力公式，选择一种形式列方程求解。
课前五分钟，温故而知新 。 课前五分钟，
向心力定义： 1、向心力定义：沿 沿半径指向圆心 ，始终使物体 维持在圆周轨道上运动的力叫做向心力。 维持在圆周轨道上运动的力叫做向心力。
v2 2、向心力公式： F = m 向心力公式： r
F = m rω a = rω
2
2
v 向心加速度公式： 向心加速度公式： a = r
竖直面内圆周运动
3m/s 6N 方向竖直向下 1.5N 方向竖直向上 2N 方向竖直向上
当堂检测
1. 绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆周 运动，水的质量m=0.5kg，绳长=40cm. 求: （ 1 ）桶在最高点水不流出的最小速率？ （ 2 ）水在最高点速率 =3m/s 时水对桶底 的压力？(g取10m/s2)
2m/s
1.汽车与公路面的动摩擦因数为 μ ＝0.1，公 路某转弯处的圆弧半径为 R＝4 m. (1) 若路面水平，要使汽车转弯时不发生侧 滑， 汽车速度不能超过多少？(设最大静摩擦 力等于滑动摩擦力，取 g＝10 m/s2) (2)当超过 vm 时，将会出现什么现象？
解析 (1)汽车在水平路面上转弯不发生侧滑时，沿圆弧 运动所需向心力由静摩擦力提供．当车速增大时，静摩 擦力也随着增大，当静摩擦力达到最大值 μmg 时，其对 应的车速即为不发生侧滑的最大行驶速度．
答案
(1)10 3 m/s
(2)1×105 N
3. 一 汽 车 通 过 拱 形 桥 顶 点 时 的 速 度 为 3 10 m/s ，车对桥顶的压力为车重的 ，如果 4 要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少 为 (B ) A．15 m/s B．20 m/s C．25 m/s D．30 m/s
v2 v2 3 1 解析 当 FN＝ G 时，因为 G－FN＝m ，所以 G＝m ， 4 r 4 r v′2 当 FN＝0 时，G＝m r ，所以 v′＝2v＝20 m/s.
解析 小球到最高点时刚好不脱离圆环， 重力正好全部用 v2 来提供向心力，即 F 向＝mg＝m ＝ma，所以 v＝ gR，a R ＝g.
2.如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平 轴自由转动，现给小球一初速度使它在竖直平面内做圆周运 动，图中 a、b 分别表示小球运动轨迹的最低点和最高点， 则细杆对小球的作用力可能是 A．a 处为拉力，b 处为拉力 B．a 处为拉力，b 处为支持力 C．a 处为支持力，b 处为拉力 D．a 处为支持力，b 处为支持力 ( )
15.竖直方向上的圆周运动
练习：《新课堂》 练习： 新课堂》 38页例2、39页例3及其变式训练 38页例 页例2 39页例 页例3
例2：l=0.5m、m=0.5kg、到达最高点的速度v=0.4m/s =0.5m、 =0.5kg、到达最高点的速度v 法一： =0时 球的速度为v 法一：设F=0时，球的速度为v0
v0 mg = m l
gR 小球受支持力如右侧所示： v↓→F↑， 小球受支持力如右侧所示：
当v=0时，F=mg ， =0时 所以有支撑力情况下小球能通过最高点的速度为v 所以有支撑力情况下小球能通过最高点的速度为v≥0
线速度不变！！！ 线速度不变！！！ 思考题：绳碰到钉子的瞬间，线速度、角速度、 思考题：绳碰到钉子的瞬间，线速度、角速度、 向心加速度、绳的拉力、向心力怎样变化？ 向心加速度、绳的拉力、向心力怎样变化？
2
mg
v2 mg + F2 = m R
v2 mg − F2 = m R
2
小球通过最高点的条件： v≥0 小球通过最高点的条件： F F
v2 mg + F = m R
v2 mg − F = m R
mg
当F=0时，小球速度为 v 0 = F=0 当v <
mg
gR
当v > gR 小球受拉力如左侧所示：v↓↑→F↓↑ 小球受拉力如左侧所示：
v0 mg = m l
2
v 0 = gl = 6 m/s
2
因为v 因为v > v0 ，所以桶底对水有向下的作用力
v mg + F = m l
v2 F = m − mg = 2.5 N l
v2 mg = m R
4v2 mg + F = m = 4mg R
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竖直平面内圆周运动任意点向心力的计算
徐汇区教师进修学院 张培荣
题：如图所示，质量为M 的圆环，用一根细线悬挂着，另有两个质量为m 的带孔小球，可以穿在环上无摩擦地滑动，当两球同时由圆环顶部放开，并沿相反方向滑下时，小球与圆心连线与竖直方向的夹角为θ。
（1）在圆环不动的条件下，求悬线的张力T 随θ的变化规律，（2）小球与圆环的质量比m M
至少为多大时圆环才能上升？ 分析与解：（1）设圆环半径为R ，由机械能守恒：mgR （1－cos θ）＝12
mv 2，得v 2＝2gR （1－cos θ），
此时小球受到重力和环的支持力N ，将重力分解如右图所示，则
mg cos θ－N ＝m v 2R
，则 N ＝mg cos θ－m v 2R
＝mg cos θ－2mg （1－cos θ）＝3mg cos θ－2mg ， 对圆环，受到重力和两个小球对它斜向下的压力及绳子拉力，所以
T ＝Mg ＋2 N cos θ＝Mg ＋6 mg cos 2θ－4mg cos θ。
（2）因为T 是cos θ的二次函数，所以当cos θ＝4mg 12mg ＝13
时，T 最小，T 的最小值为 T min ＝Mg ＋6 mg ⨯19 －4mg ⨯13 ＝Mg －23
mg ， 要环能升起，必须此最小值小于或等于零，则
Mg －23 mg ≤0，即m M ≥32 。