磁场-4 磁场中的高斯定理
§8-4-磁场的高斯定理和安培环路定理-(2)
由叠加原理，整个电流回路的磁
场中任意闭合曲面的磁通量必定都
等于零，这就是磁场的高斯定理。
S B dS = 0
Idl
B
1
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述：
恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路
的积分等于此环路所包围的电流代数和的
2π
围绕单根载流导线的任一回路 L：
L2
对L，每个 线元
dl
以过垂直导线平面作参考，分
解为分量dl//和垂直于 该平面的分 量 dl，有
L B dl
L//
B dl//
L
B
dl
dl B 0
B dl
L
L// B dl//
0I
证明步骤同上 4
围绕多根载流导线的任一回路 L：
设
I1,
I
§8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对
称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线
的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
在围绕单根载流导线的
垂直平面内的任一回路：
Ldl dBFra bibliotekB dl Brd
I
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
r d
3
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：
磁场的高斯定理的物理意义
磁场的高斯定理的物理意义
磁场的高斯定理的物理意义
磁场是指物体对磁性物质的影响，也就是电子、介子或离子在磁场中
运动时受到的作用力。
磁场的高斯定理是研究磁场的基本公式，主要
描述的是在空间某一点处，通过计算磁场的积分而可以得到磁场的大小。
这个定理是由德国数学家卡尔·费希尔于1835年发现的，他要解
决的是电流的分布，但他的结果也同样适用于磁场的研究。
磁场的高斯定理的基本物理意义就是，如果在空间某一点处做一个磁
场测量，那么就可以把这个空间分割成围绕这一点的若干虚拟的球体，并把它们的磁场值从内到外依此减小，如果可以计算出每个球体的磁
场值，那么就能用简单的数学公式计算出空间某一点处的磁场值，这
就是磁场的高斯定理。
磁场的高斯定理也可以用来解释磁场为什么会有一定的局部结构。
因
为它可以用来计算距离某一点的磁场强度，所以可以解释为什么磁场
会随着距离而减弱，以及为什么某个磁场中会有一些区域强度比较强，而其他区域强度比较弱。
此外，由于磁场的高斯定理可以计算出磁场的强度，因此它还可以用
来研究磁场的动态变化，比如某一磁体缩小后，周围磁场的变化，或
者磁体转动时，磁场的变化等。
因此，磁场的高斯定理也可以用来研
究磁场源和一些磁性物体间的相互作用，从而更好地理解磁场的性质。
总之，磁场的高斯定理的物理意义即可以用于计算空间某一点处的磁
场值，以及解释磁场的局部结构，还可以用来研究磁场的动态变化，以及磁场源和磁性物体的相互作用，从而更好地理解磁场的特征。
高斯磁场定理
高斯磁场定理
高斯磁场定理是电磁学中的一个重要定理，也被称为安培定理或闭合回路定理。
该定理描述了一个闭合曲面内的磁场通量与该曲面所包围的电流的关系。
具体来说，高斯磁场定理表明，一个任意形状的闭合曲面所包围的磁场通量等于该曲面所包围的电流的代数和的某个常数倍。
这个常数倍就是磁场常数μ0，其值为约4π×10^-7
H/m。
高斯磁场定理的公式表达式为：∮B·dA = μ0·I，其中，∮B·dA表示对曲面S的
磁场通量积分，μ0表示磁场常数，I表示曲面S所包围的电流。
高斯磁场定理在电磁学中应用广泛，可以用于求解各种电磁场问题，如电磁感应、电磁波、电磁场强度等。
此外，高斯磁场定理还可以用于研究磁场的性质和规律，对于深入了解磁场的本质和特性具有重要意义。
总之，高斯磁场定理是电磁学中的一项基本定理，它描述了磁场通量与电流之间的关系，为解决各种电磁场问题提供了重要的理论工具。
磁场的高斯定理课件
磁力线
磁场中磁力方向相同的闭 合曲线，表示磁力作用的 路径。
磁感应强度
描述磁场强弱的物理量， 与磁力线密度和方向有关 。
高斯定理的背景与重要性
高斯定理的起源
高斯定理是电磁学中的基本定理之一 ，由德国物理学家卡尔·高斯提出。
定理的重要性
高斯定理在电磁学中具有重要地位， 它揭示了磁场分布与电荷之间的内在 关系，是解决磁场问题的重要工具。
05
磁场的高斯定理的实验验证
实验设计思路与原理
设计思路
01
利用磁场的高斯定理，推导实验中需要测 量的物理量，并设计合适的实验装置。
03
02
通过磁场的高斯定理实验，验证磁场在封闭 曲面上的通量守恒性质。
04
实验原理
磁场的高斯定理指出，穿过任意封闭曲面 的磁场通量等于零，即磁场是无源场。
05
06
通过测量封闭曲面内的磁场强度，可以验 证高斯定理的正确性。
实验操作过程与注意事项
01
操作过程
02
搭建实验装置，包括磁场发生器、测量线圈和数据采集系统。
将测量线圈放置在封闭曲面上，并确保测量过程中线圈与曲面
03
保持相对静止。
实验操作过程与注意事项
01
启动磁场发生器，记录测量线圈 中的感应电动势。
02
重复实验，改变封闭曲面的形状 和大小，以验证高斯定理的普遍 性。
高斯定理的证明过程
总结词
高斯定理的证明过程涉及矢量场的基本性质和微积分的知识，通过一系列严密的数学推导，最终得出高斯定理的 结论。
详细描述
证明高斯定理通常从矢量场的闭合曲面积分等于其内部区域散度的积分这一基本性质出发。通过选取适当的坐标 系和参考系，利用矢量运算和微积分的基本定理，逐步推导出穿过封闭曲面的磁通量等于该曲面所包围区域内磁 场强度的积分，从而证明了高斯定理。
什么是磁场中的高斯定理
什么是磁场中的高斯定理
在物理学中，磁场中的高斯定理是描述了闭合曲面内的磁场的总通量与该曲面内的电荷的数量之间的关系。
高斯定理的数学表达式为：
∮B · dA = μ₀ · ΣQ
其中，∮B · dA表示闭合曲面S内磁场的通量，B表示磁场的矢量，dA表示曲面元素，μ₀表示真空中的磁导率，ΣQ表示闭合曲面内的电荷总和。
换句话说，磁场中的高斯定理表明，磁场的总通量等于该闭合曲面内所有电荷的代数和。
这个定理可以帮助我们计算磁场的分布，并研究磁场与电荷之间的相互作用。
磁场中的高斯定理
一、磁力线 1、磁力线
磁通量
r 曲线上各点切线方向为该点 B 的方向，用磁力
线的疏密来表示磁场的强弱。
性质：(I) 磁力线不会相交。 (II) 磁力线为闭合线。 电力线和磁力线的不同反映了电场和磁场基本性质的 不同。 电场－－有源场 磁场－－涡旋场
2、磁力线密度 v v 在与B 垂直的平面上取单位面积的磁力线数等于该点 B 的量值： N B= N = BS ⊥ = Φ m (单位：T m 2－－Wb韦伯） S ⊥ 3、磁通量 通过一给定曲面的磁力线数称为通过该曲面的磁 通量。
v ds
v B
v v dΦ = BdS cos θ = B dS
v v Φ = ∫ dΦ = ∫∫ B dS
S
三、磁场中的高斯面的磁力线数目等于 穿出曲面的磁力线数 目，即通过任意闭曲面 的磁通量恒等于零。
v B
v B 线为闭合线，进入
S
S
v v ∫∫ B dS = 0
上式称为磁场中的高斯定律。它反映了自然界中没有 单一磁极存在。磁场是无源场（涡旋场）。
dr
I
例：如图，无限长导体通有电流 I， 求通过矩形线圈的磁通量。
l
a
0 I l 解：dΦ = BdS = dr 2πr
Φ = ∫ dΦ =
a +b
b
r
∫
a
0 I l dr 2πr
0 I l a + b = ln 2πr a
磁场的高斯定理
磁场的高斯定理摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。
1. 磁场的高斯定理在静电场中，高斯定理有01i SE S q ε⋅=∑⎰ ，所以静电场是有源场。
那么在磁场中，SB S ⋅⎰ 又得到什么呢？ 首先看一下磁感应强度B 。
B 的方向为磁力线的切线方向，大小为垂直B 的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥=。
而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是m d B dS Φ=⋅ 。
对于有限曲面m B d S Φ=⋅⎰ ，对于闭合曲面m S B d S Φ=⋅⎰ 。
对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。
而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S B d S Φ=⋅=⎰ ，这就是磁场的高斯定理，也叫磁通连续性定理。
可以看出磁场是一个无源场。
2. 磁场的边界条件磁场的高斯定理（0S B d S ⋅=⎰ ）与安培环路定理（l H dl I ⋅=⎰ ）表征了恒定磁场的基本性质。
不论媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称为恒定磁场的基本方程。
在两种不同媒质分界面上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20l ∆→，根据lH dl I ⋅=⎰ ，如果分界面上存在面自由电流，则有11211t t H l H l K l ∆-∆=∆即 12t t H H K -=根据B H μ= ，还可以写成1212t t B B K μμ-= 电流线密度Ｋ的正负要看它的方向与沿1t H 绕行方向是否符合右手螺旋关系而定。
写成矢量形式则为12()n H H e K -⨯= 。
其中n e 为分界面上从媒质１指向媒质２的法线方向单位矢量。
如果分界面上无电流，则12t t H H =说明在这种情况下磁场强度的切线分量是连续的，但磁感应强度切线分量是不连续的。
大学物理 磁场的高斯定理
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
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思考问题！！
求穿过旋转曲面的磁通量， 是否可以通过求穿过平面圆的
磁通量来求呢？
m BS cos B r 2cos
S
n
B
上页
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dS
对于闭合曲面 SB dS
（2）磁通量是标量，其正负由角确定。与电场中一样，
对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。
这样：
磁力线穿入： 0 磁力线穿出： 0
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二、.磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲 面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即
sB dS 0
典型载流体磁场分布
磁力线的特征:
1）无头无尾的闭合曲线 2）与电流相互套合，服从右手螺旋定则
3）磁力线不相交
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2. 磁通量
磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过
Байду номын сангаас
该曲面的磁通量。
m
B dS
s
BdS cos
s
dS
B
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
说明
（1）对于有限曲面 B dS
为什么？
BB
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例1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S 边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
,如图所示，则通过半球面S的磁通量为
-B r2cos
将半球面和圆面组成一个闭 合面，则由磁场的高斯定理知， 通过此闭合面的磁通量为零。
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恒定磁场
第4讲 磁场中的高斯定理
一、磁感应线
磁场中的高斯定理
磁感应线（B线）：为形象描绘磁场的空间分布而人为 绘制出的一系列曲线
1.磁感应线上任一点的切线方向都与该点的磁感应强
度的方向一致。
v
2.垂直通过单位面积的磁
B
感应线条数等于该处磁感
应强度的大小。
条形磁铁周围的磁感应线
直线电流的磁感应线
解: 建立如图所示的坐标系
x处磁场: B = μ0I
2πx
rr
元通量: dΦm = B ⋅ dS = Bldx
= μ0I ldx
O x +dx
x
2πx
∫ ∫ Φm =
SdΦm
=
μ0 Il
2π
a+b 1 dx = μ0 Il ln a + b
ax
2π b
三、磁场中的高斯定理
磁场中的高斯定理
对封闭曲面，规定外法向为正
进入封闭曲面的磁通量 Φ < 0 m
穿出封闭曲面的磁通量 Φ > 0 m
磁场中高斯定理：
磁场中通过任意闭合曲面的磁感应强度通量等于
∫ ∫ 零。
v B
⋅
v dS
=
B cosθ dS = 0
S
S
磁场是“无源场”
磁场中的高斯定理
例题1. 如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一 半径为R的半球面S，S的边线所在平面法线方向n与B的 夹角为α ，求通过半球面S 的磁通量。
磁场中的高斯定理
磁感应线为一组环绕电流的闭合曲线。
圆电流的磁感应线
磁场中的高斯定理
I
磁感应线为一组环绕电流Leabharlann 闭合曲线。磁场中的高斯定理
通电螺线管的磁感应线
磁场中的高斯定理
通电螺绕环的磁感应线
磁感应线的特点： 1.磁感应线是连续的，不会相交。
2.磁感应线是围绕电流的一组闭合曲线，没有起点，没 有终点。 3.磁感应线的方向和电流方向满足右手螺旋法则。
二、 磁通量
磁场中的高斯定理
磁通量Φm：通过磁场中某一曲面的磁感应线条数。
1.均匀磁场的通量计算
Φm
=
BS⊥
=
BS
cosθ
=
rr B⋅S
2.非均匀磁场的通量计算
dΦ m
=
BdS
cosθ
=
rr B ⋅ dS
∫ ∫ Φm =
v B
⋅
v dS
=
S
B cosθ dS
S
nr
θv
θS
B
S⊥
nv v
B
θ
dS
S
单位：“韦伯”（Wb）
解: 作一半径为R的园面S1，与半
S
球面S构成一个闭合曲面。
R
由高斯定理：
v B
⋅
v dS
=
0
∫S + v B
S1 v ⋅ dS
+
v B
⋅
v dS
=
0
S1
α
n
B
∫ ∫ S
v B
⋅
v dS
=
S1
−
v B
⋅
v dS
=
−BScosα
= −πR2B cosα
∫ ∫ S
S1
磁场中的高斯定理
例题2. 无限长直导线通以电流I，求通过如图所示的矩形面 积的磁通量（尺寸如图）.