二次函数与圆综合强化
二次函数和圆综合(压轴题+例题+巩固+答案解析)
【例1】.如图，点()40M ，，以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A B ，．已知抛物216y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．⑴ 求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．⑵ 点()8Q m ，在抛物线216y x bx c =++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ PB + 最小值． ⑶ CE 是过点C 的M ⊙的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．【巩固】已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式2y x =-+并且线段CM 的长为（1）求抛物线的解析式。
（2）设抛物线与x 轴有两个交点A （X 1 ，0）、B （X 2 ，0），且点A 在B 的左侧，求线段AB 的长。
（3）若以AB 为直径作⊙N ，请你判断直线CM 与⊙N 的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ，AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ；⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使NP NQ +最小，求出点N 的坐标并说明理由．提示：（1）先求出t=1时，AP 和OQ 的长，即可求得P 1，Q 1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l 的解析式．（2）当直线PQ 与圆C 相切时，连接CP ，CQ 则有Rt △CMP ∽Rt △QMC （M 为PG 与圆的切点），因此可设当t=a 秒时，PQ 与圆相切，然后用a 表示出AP ，OQ 的长即PM ，QM 的长（切线长定理）．由此可求出a 的值．（3）本题的关键是确定N 的位置，先找出与P 点关于直线l 对称的点P ′的坐标，连接P ′Q ，那么P ′Q 与直线l 的交点即为所求的N 点，可先求出直线P ′Q 的解析式，进而可求出N 点的坐标．【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴．一次函数1y kx =+的图象与 二次函数的图象交于A B ，两点(A 在B 的左侧)，且A 点坐标为()44-，．平行于x 轴的直线l 过()01-，点．⑴ 求一次函数与二次函数的解析式；⑵ 判断以线段AB 为直径的圆与直线l 的位置关系，并给出证明；⑶ 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t 个单位()0t >，二次函数的图象与x轴交于M N，，三点的圆的，两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F M N面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1,⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为()，，顶点D在⊙O上运动．50⑴当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与⊙O相切；⑵当直线CD与⊙O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．【巩固】如图，已知点A 从()10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向正方向运动，以O A ，为顶点作菱形OABC ，使点B C ，在第一象限，且60AOC ∠=︒；以()03P ，为圆心，PC 为半径作圆．设点A 运动了t 秒，求： ⑴ 点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；⑵ 当点A 在运动过程中，所有使P 与菱形OABC 的边所在直线相切的t 的值．【例4】已知：如图，抛物线213y x m =+与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒⑴ 求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A B C ，，的三点的M ⊙交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交M ⊙于点E ，过E 点的M ⊙的切线分别交x 轴、y 轴于点F G ，，求直线FG 的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C D ，重合)，连结PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．【巩固】如图，已知点A的坐标是()，，以AB为直径作O'，90-，，点B的坐标是()10交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线．⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，BCE∠的平分线CD交O'于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDB CBD∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．DCEA yxBO O'课后作业：1.如图，直角坐标系中，已知两点()A，，点B在第一象限且OAB2000O，，()∆为正三角形，OAB∆的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．⑴求B C，两点的坐标；⑵求直线CD的函数解析式；⑶设E F，分别是线段AB AD，上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长．试探究：AEF∆的最大面积？参考答案例1【巩固】例2分析：（1）先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式．进而可求出对称轴l的解析式．（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长（切线长定理）．由此可求出a的值．（3）本题的关键是确定N的位置，先找出与P点关于直线l对称的点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，可先求出直线P′Q的解析式，进而可求出N点的坐标．【巩固】例3【巩固】例4【巩固】作业。
中考数学总复习《二次函数与圆综合压轴题》专项提升练习题(附答案)
中考数学总复习《二次函数与圆综合压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -，顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点． 以AB 为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线表达式及点D 的坐标；(2)试判定直线CM 与D 的位置关系，并说明理由；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，连接CP ，将线段CP 绕点P 旋转90︒，点C 的对应点为点C '，是否存在点C '恰好落在抛物线上？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．2．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C ．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图（1），点P 是线段BC 上的一动点，过点P 作PQ y ∥轴交抛物线于点Q ，连接CQ ，若CQ 平分OCB ∠，求点P 的坐标；(3)如图（2），过A ，B ，C 三点作I ，直线()3y t t =>交I 于点M ，N ，交抛物线于点E ，F ． 若EM FN MN +=，求t 的值3．如图，在平面直角坐标系中，M 交x 轴于点()()1,04,0A B -、，交y 轴负半轴于点C AB ，为M 的直径．(1)求图象经过点A 、B 、C 的二次函数的解析式；(2)设点D 为（1）中二次函数图象的顶点，求直线CD 的函数解析式； (3)判断直线CD 与M 的位置关系，并说明理由．4．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()1222y x x m =+-与x 轴交于()2,0A -、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．(1)连接BC ，则OCB ∠=______︒；(2)如图2，若P 经过A 、B 、C 三点，连接PA 、PC ，若OBC △与PAC △的周长之比为3:5，求该抛物线的函数表达式；(3)如图3，在（2）的条件下，连接OP ，抛物线对称轴上是否存在一点Q ，使得以O 、P 、Q 为顶点的三角形与OAP △相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．5．已知二次函数22y x ax c =+-的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B 、C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，求点D 的坐标；(3)如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 有怎样的位置关系，并给出证明．8．如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()0,4C -．顶点为253,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点．以AB为直径作圆，记作D ．(1)求抛物线解析式及点D 的坐标；(2)猜测直线CM 与D 的位置关系，并证明你的猜想；(3)抛物线对称轴上是否存在点P ，若将线段CP 绕点P 逆时针旋转90︒，使点C 的对应点C '恰好落在抛物线上？若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．为半径作圆，请判断P是不是二次函数轴于点C，则该二次函数的坐标圆的圆心为求POA周长最小值．．如图，抛物线作C的切线切点为点11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点，且4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使ABC BCM ∠=∠，如果存在，求M 点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D 是抛物线第二象限上一动点，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，过点A 、B 、D 的圆与DF 交于E 点，求ABE 的面积．12．如图，二次函数()20y x bx c a =-++≠的图像经过点()1,0A -和()3,0B ，交y 轴于点C ，点E 为该二次函数图象上第一象限内一动点．(1)b =__________，c =__________；PBEPACSS-的值最大时，求点交直线BC 于点F ，为直径的M 与BC 当EFR 周(1)如图1，若1OH =，求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P 是线段HD 上一点，当113AH AD AP+=时，求点P 的坐标（用含b 的代数式表示）； (3)如图2，在（1）的条件下，设抛物线交y 轴于点C ，过A ，B ，C 三点作Q ，经过点Q 的直线y hx q =+交Q 于点F ，I ，交抛物线于点E ，G ．当EI GI FI =+时，求22h 的值．15．二次函数2225y x mx m m =-++-．(1)当1m =时，函数图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． ①写出函数的一个性质；①如图1，点P 是第四象限内函数图象上一动点，求出点P 坐标，使得BCP 的面积最大；①如图2，点Q 为第一象限内函数图象上一动点，过点Q 作QF x ⊥.轴，垂足为F ，ABQ 的外接圆与QF 交于点D ，求DF 的长度；(2)点()11,M x y 、()22,N x y 为函数图象上任意两点，且12x x <.若对于123x x +>时，都有12y y <，求m 的取值范围．参考答案是D 的切线152738t +=(3)直线CD 与M 相切()24-， 0a =；BN 32S ⎧-⎪⎪=⎨与D 相切(3))3-或45⎛- ⎝4)-(3)ABE S △的坐标315,⎛⎫与C 相切第 11 页 共 11 页 15．【答案】(1)①函数图象的顶点坐标为()1,4-；①278；①1DF =(2)32m <。
二次函数与圆综合(压轴题+例题+巩固+答案)
【例1】.如图，点M 4 , 0，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A , B •已知抛物1 2 y x bx c过点A和B，与y轴交于点C •6⑴ 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象.【巩固】已知抛物线y =ax2，bx c与y轴的交点为C,顶点为M，直线CM的解析式y - -x • 2并且线段CM的长为2 2(1)求抛物线的解析式。
(2)设抛物线与x轴有两个交点 A (X i , 0)、B (X2 , 0)，且点A在B的左侧，求线段AB的长。
(3)若以AB为直径作O N，请你判断直线CM与O N的位置关系，并说明理由。
【例2】如图，在平面直角坐标系中，以点C（0, 4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是O C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从0 点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点0同时出发，设运动时间为t （秒）.⑴当t=1时，得到p、Q!两点，求经过A、P、Q!三点的抛物线解析式及对称轴I ;⑵当t为何值时，直线PQ与O C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴I上存在一点N，使NP • NQ最小，求出点N的坐标并说明理由.⑵点Q 8, m在抛物线PQ PB最小值.bx c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求⑶CE是过点C的O M的切线，点E是切点，求0E所在直线的解析式.提示：（1）先求出t=1时，AP和0Q的长，即可求得P i, Q i的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式•进而可求出对称轴I的解析式.（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP , CQ则有Rt△ CMP s Rt △ QMC （M为PG与圆的切点），因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，0Q的长即PM，QM的长（切线长定理）.由此可求出a的值. （3）本题的关键是确定N的位置，先找岀与P点关于直线I对称的点P'的坐标，连接P'Q,那么P' Q与直线I的交点即为所求的N点，可先求出直线P' Q的解析式，进而可求出N点的坐标.【巩固】已知二次函数图象的顶点在原点0,对称轴为y轴•一次函数y=kx・1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为-4，4 •平行于x轴的直线I过0, -1点.⑴求一次函数与二次函数的解析式；⑵判断以线段AB为直径的圆与直线I的位置关系，并给出证明；⑶把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位t 0 ,二次函数的图象与x 轴交于M , N两点，一次函数图象交y轴于F点.当t为何值时，过F, M , N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？【例3】如图1, O O的半径为1 ,正方形ABCD顶点B坐标为5 , 0 ,顶点D在O O上运动.⑴ 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O O相切；⑵ 当直线CD与O O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式；⑶ 设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值.【巩固】如图，已知点A从1, 0出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O , A 为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且.AOC=60 ；以P 0,3为圆心, PC为半径作圆•设点A运动了t秒，求：⑴点C的坐标（用含t的代数式表示）；⑵ 当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的【例4】已知：如图，抛物线yjx—2 3 x m与x轴交于A , B两点，与y轴交于C点，3 3.ACB =90⑴ 求m的值及抛物线顶点坐标；⑵ 过A，B , C的三点的O M交y轴于另一点D，连结DM并延长交O M于点E，过E点的O M的切线分别交x轴、y轴于点F , G ,求直线FG的解析式；⑶ 在条件⑵下，设P为CBD上的动点（P不与C , D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH -AP二k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.【巩固】如图，已知点A的坐标是-1, 0，点B的坐标是9, 0，以AB为直径作［J O , 交y轴的负半轴于点C ,连接AC、BC ,过A、B、C三点作抛物线.⑴求抛物线的解析式；⑵点E是AC延长线上一点，.BCE的平分线CD交L| O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；⑶ 在⑵的条件下，抛物线上是否存在点P，使得ZPDB ZCBD ?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.课后作业:1•如图，直角坐标系中，已知两点 0 0,0 , A 2 , 0，点B 在第一象限且；OAB 为正三角 形，.QAB 的外接圆交y 轴的正半轴于点 C ，过点C 的圆的切线交x 轴于点D .⑴求B , C 两点的坐标；⑵ 求直线CD 的函数解析式；⑶设E , F 分别是线段AB , AD 上的两个动点，且 EF 平分四边形 ABCD 的周长.试探究： AEF 的最大面积？参考答案解:(1)宙已知，得A (2, 0) , B (6, 0)■/抛物加+总过点対口比则1 ? —x6" 4-c = 0 6故 C (0, 2) j-x23 += 0 c = 2.D7A x则抛物线的解折式为:(2)如图①，抛物线对称轴I是：X=4•- Q(8, m)抛物线上.\m=2过点Q作QK丄x轴于点K,则K (8, 0) , QK=2, AK=6••AQ=Jg+Q疋2 = 2 伍又TB (6, 0)与A (2, 0)关于对称轴I对称• PQ+PB 的最小值=AQ=2VW(3)如图②，连结EM和CM由已输得EM=0C = 2, CE>GM的切线；zDEM-90o,贝>]zDEM = zDOCy\zODC=zEDM 古戈虫DEM贸虫DOC,.OD = DE, CD=MD又在A ODE^口A MDC中，zODE^zMDC, zDOE = zDEO = zDCM = zDMC WJOEICM设61所在直线的解析式为y=kx+b, 61过点匸（0, 2） , M （4, 0）1 2b = 2r直线CM的解析式为八-} + 2 又直线OE过原点6且OEICM 则OE的解析式为戶-+心■Li【巩固】解:⑴由题意得匚（0「2）r设点胡的坐标为（X , y）・••烷M在直銭y二-x+2±,:沪* x+2 .由勾股左理得CM二JCCy-乔r即JC&-沪=1^2-H-工晋2毋二2忑得血kl二2近r■'H=2「JK二±2即y=4或0 ./.M（「2 r4）或M（2 r0）.当kl为（- 2「4）时，牠物曲忻式为y= - ^^2x42当M土］（2 r 0）时f抛物銭解析式为尸ix J-2x+2 .2二所赖牛勿銭为y二一ix^-2x+2B£y=liL5-2x+2 ・（2）AB=|I1-J^|-4^2(3)-. AB^0N的直径，g 血r N( - 2 . 0),XvMf-2r4) r二MN=4 .设直线疔- x+2与潜由交于熄D，则D(2 ’ 0)「.'.DN=4 f可得MN= DN(/.zMDN- 45■作NG丄CM于G f在Rt—NGD中f NG=DN sin45*=2J5 .即圜心到直钱CM的距离等于g N的半径.BiSCM与® N相切.例2分析：(1)先求出t=1时，AP和OQ的长，即可求得Pi, Qi的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式•进而可求出对称轴I的解析式.(2)当直线PQ与圆C相切时，连接CP , CQ则有Rt△ CMP s Rt △ QMC ( M为PG与圆的切点)，因此可设当t=a秒时，PQ与圆相切，然后用a表示出AP，OQ的长即PM，QM的长(切线长定理).由此可求出a的值. (3)本题的关键是确定N的位置，先找岀与P点关于直线I对称的点P'的坐标，连接P'Q,那么P' Q与直线I的交点即为所求的N点，可先求出直线P' Q的解析式，进而可求出N点的坐标.鯛：(1＞由题意得A、P：、的坐标分别为A (0，8八片门，8八斫(「0)设所求抛物线解析式为7=ax:-bx+C!!?]] 8 —a+b+c[Q=\6a^4b-c心令舟c=82 2儿所求抛物线为戸-肆耳彳尤世对称轴為克线1："牯■^1(2)设详且时，PQ与X相切于点H 连接CP、CH、CQ，JHllPA=PM=ai Q0=QM=4a 又・・・CP、CQ分别平分ZAPQft ZOQP.而ZAPQ+ZOQP=1SO°•■・ZPCQ=90°・*・PC丄CQ/.RtACM?«RtAQMC.CA/_0J/ 4_4a"W7_CA7即厂 N/■ a=±2由于时闾aR能取正数，所以a=2即当运动时间时，PQ与®C相切此时：P (2T 8) 1 Q (8，0)；(3)VA(0P8)T P(2I8)»Q(8»0)>「•抛物线餡析式为：y~~7s2+l x*s*D 3此时对称袖1：沪1，点P关于直线】的对称点为P' W，S)，则直线P飞的解析式为:y=-i+8»当x=104 > y=-1+8=7.因肚N点的坐标为(1，7).【巩固】(1)把人(一4,4)(弋2 二上x+1得"-务43二一次函数的解析式为F =-^A+l；•. •二)欠厨数圏象的顶点在原点对称5由为y轴,・•.设二次函数解析式为y = "3 把(-4.4}(弋入y = ax2 得心4二二次函数解析式为斗过&B庶分别作直线/的垂线,垂足为才妙则= 4+1= 5,BB‘ =- + l = -・4 4二直角梯形A A! B f〃的中位线长为廿2过B作B H垂直于直线人川于点乩二初的长等于AB中点到直红/的距离的2倍, .•.以朋为直径的圆与直线/相切.则BH*办5加卜学25一8-5-4-(3)平移后二^函数解析式为y =(x-2)a-t令y二o彳款-f = O,Xi = 2-2Vt t x2 =2 + 2^逋FMN三点的圜的圆心一走在平移后拋物红的对称轴上点C为走点〃要使圆面积最小圆半径应等于点F到直线A= 2的距离.此时「半径为N面积为4臥设圆心为GAfN中点为瓦连匸匕匸虬则匸£=1「在三角形CEM中加E=俗二1 = V Z3r/.MN =而M/V = |x2-x)| = 4V733.1当r二：时，过F,AfrN二点的圆宜积最CJ■最＜h面积为4九4例3解：(1) T四边形A BCD为正方形『.-.AD丄CD「\ 0、D在同上「.-.zODC=90°r，直线CD与£0相切。
二次函数与圆的综合压轴题
二次函数与圆的综合压轴题
一、题目描述
本题是一道综合性的数学题，涉及到二次函数和圆的相关知识。
具体要求如下：
给定一个二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，其中 $a,b,c,r$ 均为已知常数，且 $a\neq0$。
请编写一个函数，判断该二次函数与圆是否有交点，并输出交点的坐标。
二、解题思路
1. 二次函数与圆的关系
首先，我们需要了解二次函数和圆之间的关系。
对于一个二次函数$y=ax^2+bx+c$ 和一个圆 $x^2+y^2=r^2$，它们之间可能存在以下三种情况：
（1）没有交点：当二次函数和圆分离时，它们没有交点。
（2）相切：当二次函数和圆相切时，它们只有一个交点。
（3）相交：当二次函数和圆相交时，它们有两个交点。
接下来，我们需要确定如何求出这些交点的坐标。
2. 求解交点坐标
对于一条直线和一个圆之间的交点坐标可以通过联立直线方程和圆方程求解。
但是对于一个二次函数而言，并不存在明确的直线方程。
因此，在本题中，我们可以通过以下步骤求解交点坐标：
（1）将二次函数和圆的方程联立，得到一个关于 $x$ 的二次方程。
（2）解出该二次方程的根，即为交点的横坐标。
（3）将横坐标代入二次函数或圆的方程中，求出相应的纵坐标。
最后，我们需要根据交点个数输出不同的结果。
如果没有交点，则输出“无交点”；如果有一个交点，则输出该交点坐标；如果有两个交点，则输出两个交点坐标。
三、代码实现
下面是本题的完整代码实现：。
二次函数与圆综合训练(含解析)
二次函数与圆综合提高（压轴题）1、如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE 翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．2、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（﹣4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=﹣1，则直线AB的函数解析式为y=﹣x+4；（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，又∵OD=OD，∴△BOD≌△COD，∴∠BOD=∠CDO，∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，②连结PE，∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，OD=43， ∴点D 的坐标为（0，﹣43）， 直线CD 的解析式为：y=﹣13x ﹣43， 由得：，∴点P 的坐标为（8，﹣4），综上所述，点P 的坐标为（2，2）或（8，﹣4）．3、抛物线y=x ²-bx-3b+3过A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.解析：（1）把点（b －2，2b 2－5b －1）代入解析式，得2b 2－5b －1=（b －2）2+b （b －2）－3b +3， ……………1′解得b =2.∴抛物线的解析式为y =x 2+2x －3. ……………2′（2）由x 2+2x －3=0，得x =－3或x=1.∴A （－3，0）、B （1，0）、C （0，－3）.抛物线的对称轴是直线x =－1，圆心M 在直线x =－1上. ……………3′∴设M （－1，n ），作MG ⊥x 轴于G ，MH ⊥y 轴于H ，连接MC 、MB .∴MH =1，BG =2. ……………4′∵MB =MC ，∴BG 2+MG 2=MH 2+CH 2，即4+n 2=1+（3+n ）2，解得n=－1，∴点M （－1，－1） ……………5′（3）如图，由M （－1，－1），得MG =MH .∵MA =MD ，∴Rt △AMG ≌RtDMH ，∴∠1=∠2.由旋转可知∠3=∠4. ∴△AME ≌△DMF .若△DMF 为等腰三角形，则△AME 为等腰三角形. ……………6′设E （x ，0），△AME 为等腰三角形，分三种情况：①AE =AM =5，则x=5－3，∴E （5－3，0）；②∵M 在AB 的垂直平分线上，∴MA =ME =MB ，∴E （1，0） ……………7′③点E 在AM 的垂直平分线上，则AE =ME .AE =x +3，ME 2=MG 2+EG 2=1+（－1－x ）2，∴（x +3）2=1+（－1－x ）2，解得x =47-，∴E （47-，0）. ∴所求点E 的坐标为（5－3，0），（1，0），（47-，0） ……………8′4、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．：解：（1）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=3，OE=2．∵tan∠DBA==，∴BE=6，∴OB=BE﹣OE=4，∴B（﹣4，0）．∵点B（﹣4，0）、D（2，3）在抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2．（2）抛物线的解析式为：y=x2+x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴C（0，﹣2），令y=0，得x=﹣4或1，∴A（1，0）．设点M坐标为（m，n）（m＜0，n＜0），如答图1所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=﹣n，OF=﹣m，BF=4+m．S四边形BMCA=S△BMF+S梯形MFOC+S△AOC=BF•MF+（MF+OC）•OF+OA•OC=（4+m）×（﹣n）+（﹣n+2）×（﹣m）+×1×2=﹣2n﹣m+1∵点M（m，n）在抛物线y=x2+x﹣2上，∴n=m2+m﹣2，代入上式得：S四边形BMCA=﹣m2﹣4m+5=﹣（m+2）2+9，∴当m=﹣2时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为9．（3）假设存在这样的⊙Q．如答图2所示，设直线x=﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：k=2，b=﹣2，∴直线AC解析式为：y=2x﹣2，令x=﹣2，得y=﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF=6．在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF===3．设Q（﹣2，n），则在Rt△AGF中，由勾股定理得：OQ==．设⊙Q与直线AC相切于点E，则QE=OQ=．坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；∴MC与⊙P的位置关系是相切．6、（2013•压轴题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A，B，与x轴分别交于点E，F，且点E的坐标为（﹣23，0），以0C为直径作半圆，圆心为D．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：直线BE是⊙D的切线；（3）若直线BE与抛物线的对称轴交点为P，M是线段CB上的一个动点（点M与点B，C 不重合），过点M作MN∥BE交x轴与点N，连结PM，PN，设CM的长为t，△PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值围．S是否存在着最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意，得A（0，2），B（2，2），E的坐标为（﹣23，0），则，解得，，∴该二次函数的解析式为：y=﹣98x2+94x+2；（2）如图，过点D作DG⊥BE于点G．由题意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，∴BE==．∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，∴△EGD∽△ECB，∴=，∴DG=1．∵⊙D的半径是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切线；（3）由题意，得E（﹣23，0），B（2，2）．设直线BE为y=kx+h（k≠0）．则，解得，，∴直线BE为：y=34x+12．∵直线BE与抛物线的对称轴交点为P，对称轴直线为x=1，∴点P的纵坐标y=54，即P（1，54）．∵MN∥BE， ∴∠MNC=∠BEC．∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC，∴=，∴=2t ，则CN=43t ， ∴DN=t﹣1，∴S △PND =12DN•PD=5568t -． S △MNC =12CN•CM=23t 2． S 梯形PDCM =（12PD+CM ）•CD=5182t +． ∵S=S △PND +S 梯形PDCM ﹣S △MNC =﹣+t （0＜t ＜2）．∵抛物线S=﹣+t （0＜t ＜2）的开口方向向下，∴S 存在最大值．当t=1时，S 最大=23． 7、（2013•）已知：一元二次方程x +kx+k ﹣=0．（1）求证：不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）设k ＜0，当二次函数y=x 2+kx+k ﹣的图象与x 轴的两个交点A 、B 间的距离为4时，求此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为C ，过y 轴上一点M （0，m ）作y 轴的垂线l ，当m 为何值时，直线l 与△ABC 的外接圆有公共点？（1）证明：∵△=k 2﹣4××（k ﹣）=k 2﹣2k+1=（k ﹣1）2≥0，∴关于x 的一元二次方程x 2+kx+k ﹣=0，不论k 为何实数时，此方程总有两个实数根；（2）令y=0，则x 2+kx+k ﹣=0．∵x A +x B =﹣2k ，x A •x B =2k ﹣1，∴|x A ﹣x B |===2|k ﹣1|=4，即|k ﹣1|=2，解得k=3（不合题意，舍去），或k=﹣1．∴此二次函数的解析式是y=x 2﹣x ﹣；（3）由（2）知，抛物线的解析式是y=x 2﹣x ﹣．易求A （﹣1，0），B （3，0），C （1，﹣2），∴AB=4，AC=2，BC=2．显然AC 2+BC 2=AB 2，得△ABC 是等腰直角三角形．AB 为斜边，∴外接圆的直径为AB=4，∴﹣2≤m≤2．8、（2013•压轴题）如图，已知抛物线y=ax +bx+c （a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C （0，2），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求抛物线的解析式及A ，B 两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由；（3）在以AB为直径的⊙M相切于点E，CE交x轴于点D，求直线CE的解析式．解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣（a≠0）∵抛物线经过（0，2）∴a（0﹣4）2﹣=2解得：a=∴y=（x﹣4）2﹣即：y=x2﹣x+2当y=0时，x2﹣x+2=0解得：x=2或x=6∴A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）∴OB=6，OC=2∴BC=2，∴AP+CP=BC=2∴AP+CP的最小值为2；（3）如图3，连接ME∵CE是⊙M的切线∴ME⊥CE，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE∵在△COD与△MED中∴△COD≌△MED（AAS），∴OD=DE，DC=DM设OD=x则CD=DM=OM﹣OD=4﹣x则RT△COD中，OD2+OC2=CD2，∴x2+22=（4﹣x）2∴x=∴D（，0）设直线CE的解析式为y=kx+b∵直线CE过C（0，2），D（，0）两点，则解得：∴直线CE的解析式为y=﹣+2；圆的圆心坐标为C （2，0），B 是第一象限圆弧上的一点，且BC ⊥AC ，抛物线c bx x y ++-=221经过C 、B 两点，与x 轴的另一交点为D 。
压轴题11二次函数与圆综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(原卷版)
2023年中考数学压轴题专项训练 压轴题11二次函数与圆综合问题解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有： 1. 直线与圆的位置关系：平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：（1） 利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题 （2） 利用勾股定理解决问题 （3） 利用相似列出比例式解决问题2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位置”.考向一、二次函数与圆的胡不归最值问题例1．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点C （2，﹣3），且与x 轴交于原点及点B （8，0），点A 为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是等腰三角形？如果存在，请求出点M 的坐标．如果不存在，请说明理由；（3）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为2√2，求12AP +PB 的最小值．例2．如图1，已知圆O 的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A ，C ，D ，E 四点，B 为OD 中点． （1）求过A ，B ，C 三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC ，AC ．点P 在第一象限且为圆O 上一动点，连接BP ，交AC 于点M ，交OC 于点N ，当MC 2＝MN •MB 时，求M 点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O 的另外两个交点分别为H ，F ，请判断四边形CFEH 的形状，并说明理由．考向三、二次函数与圆的位置关系问题例3．二次函数y =34x 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0）和点C （0，﹣3）与x 轴的另一交点为点B ． （1）求b ，c 的值；（2）定义：在平面直角坐标系xOy 中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q ，以点Q 为圆心，56√10为半径作⊙Q ，使⊙Q是二次函数y =34x 2+bx +c 的坐标圆？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，点M 是线段BC 上一点，过点M 作MP ∥y 轴，交二次函数的图象于点P ，以M 为圆心，MP 为半径作⊙M ，当⊙M 与坐标轴相切时，求出CM MB的值．例4．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦CD的长；（2）已知点E是“蛋圆”上的一点（不与点A，点B重合），点E关于x轴的对称点是点F，若点F也在“蛋圆”上，求点E坐标；（3）点P是“蛋圆”外一点，满足∠BPC＝60°，当BP最大时，直接写出点P的坐标．1．在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．（1）求二次函数的解析式；（2）如图甲，连接AC，P A，PC，若S△P AC=152，求点P的坐标；（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．2．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r=√2，OC⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求PM的长．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2√2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，√2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．6．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =12x 2﹣bx +c 交x 轴于点A ，B ，点B 的坐标为（4，0），与y 轴于交于点C （0，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点D ，若点D 的横坐标为5，求点D 的坐标及∠ADB 的度数；（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l 交x 轴于点H ，△ABD 的外接圆圆心为M （如图1）， ①求点M 的坐标及⊙M 的半径；②过点B 作⊙M 的切线交于点P （如图2），设Q 为⊙M 上一动点，则在点运动过程中QH QP的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），与x 轴交于A （4，0）、O 两点，点D （2，﹣2）为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的解析式；（2）点E 为AO 的中点，以点E 为圆心、以1为半径作⊙E ，交x 轴于B 、C 两点，点M 为⊙E 上一点． ①射线BM 交抛物线于点P ，设点P 的横坐标为m ，当tan ∠MBC ＝2时，求m 的值；②如图2，连接OM ，取OM 的中点N ，连接DN ，则线段DN 的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN 的最值；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y 轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．（1）求圆心M的坐标；（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝4√5时，求点P的坐标．11．如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．（1）求二次函数的表达式；（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．13．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．（1）已知点P（2，2），以P为圆心，√5为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；（2）如图1，已知二次函数y＝x2﹣4x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，求△POA周长的最小值；（3）如图2，已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．14．如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．15．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，抛物线与y轴正半轴交于点C，连接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO=√2 2．（1）求抛物线的对称轴与抛物线的解析式；（2）设D为抛物线对称轴上一点，①当△BCD的外接圆的圆心在△BCD的边上时，求点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D纵坐标的取值范围．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+√55DB的最小值17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，经过C（1，1），且与x轴正半轴交于A，B两点．（1）如图1，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转，使得C落在y轴的负半轴上，求点C的路径长；（2）如图2，延长线段OC至N，使得ON=√3，若∠OBN＝∠ONA，且tan∠ABM=√132，求抛物线的解析式；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=52，与y轴交于（0，5），经过点C的直线l：y＝kx+m（k＞0）与抛物线交于点C、D，若在x轴上存在P1、P2，使∠CP1D＝∠CP2D＝90°，求k的取值范围．19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型
综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。
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例1、抛物线
2y ax bx c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称
轴为1x =，(3,0)B ,(0,3)C -， ⑴求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⑶平行于x 轴的一条直线交抛物线于M N 、两点，若以MN 为直径的圆恰好与x
轴相切，求此圆的半径．
解：（1）将(0,3)C -代入c bx ax y ++=2，得 3-=c ．将3-=c ，(3,0)B 代入
c bx ax y ++=2，得 039=++c b a ．∵1x =是对称轴，∴12=-
a
b
．将（2）代入（1）得1=a ， 2-=b ．二次函数得解析式是322--=x x y ．（2）AC 与对称轴的交点P 即为到B C 、的距离之差最大的点．∵C 点的坐标为(0,3)-，A 点的坐标为(1,0)-，∴ 直线AC 的解析式是33--=x y ，又对称轴为1x =，∴ 点P 的坐标(1,6)-． （3）设
1(,)M x y 、2(,)N x y ，所求圆的半径为r ，则 r x x 212=-，.(1) ∵ 对称轴为1x =，∴
212=+x x ． .(2)由（1）、（2）得：12+=r x ．.(3) 将(1,)N r y +代入解析式
322--=x x y ，得 3)1(2)1(2-+-+=r r y ，.(4)整理得： 42-=r y ．由于 r=±y ，
当0>y 时，042
=--r r ，解得，21711+=
r ， 2
17
12-=r （舍去），当0<y 时，042=-+r r ，解得，21711+-=
r ， 21712--=r （舍去）．所以圆的半径是2
17
1+或
2
17
1+-． 例2、如图，在直角坐标系中，⊙C 过原点O ，交x 轴于点A （2，0），交y 轴于点B （0
，。
⑴求圆心的坐标； ⑵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过O 、A 两点，且顶点在正比例函数 y
的图象上，求抛物线的解析式； ⑶过圆心C 作平行于x 轴的直线DE ，交⊙C 于D 、E 两点，试判断D 、E 两点是否在⑵中的抛物线上； ⑷若⑵中的抛物线上存在点P （x 0，y 0），满足∠APB 为钝角，求x 0的取值范围。
解：（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。
∴C为AB的中点。
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝1
2
OB
OH＝
1
2
OA＝1。
∴圆心C的坐标为（1
，。
（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。
∵抛物线的顶点在直线y
＝－上，∴顶点坐标为（1
y＝ax2＋bx＋c，得
420
c
a b c
a b c
⎧
⎪=
⎪⎪
++=
⎨
⎪
⎪++=
⎪⎩
解得
a
b
c
⎧
⎪
⎪
⎪⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎪⎩
2
y x x
=。
（3）∵OA＝2，OB＝
4
AB==.即⊙C的半径r＝2。
∴D（3
，，E（－1
，
2
y x x
=检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB
为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。
∴－1＜x
＜0，或2＜x
0＜3。
例3、如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两
点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。
⑴求抛物线的解
析式及点A、B、C的坐标；⑵若直线y=kx+t经过C、M两
点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方
是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，
并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由抛物线的顶点是M （1，4），设解析式为2y a x 1 4 a 0＝（－）＋（＜）
又抛物线经过点N （2，3），所以23a 214＝（－）＋ 解得a ＝－1 所以所求抛物线的解析式为y ＝
22x 14x 2x 3.－（－）＋＝－＋＋令y ＝0，得2
x 2x 30－＋＋＝，解得：12x 1 x 3.＝－，＝得A
（－1，0） B （3，0） ；令x ＝0，得y ＝3，所以 C （0，3）.
（2）直线y=kx+t 经过C 、M 两点，所以t 3
k t 4
⎧⎨
⎩＝＋＝即k ＝1，t ＝3 直线解析式为y ＝x
＋3. 令y ＝0，得x ＝－3，故D （－3，0） CD
＝连接AN ，过N 做x 轴的垂线，垂
足为F. 设过A 、N 两点的直线的解析式为y ＝mx ＋n ， 则m n 0
2m n 3⎧⎨⎩
－＋＝＋＝解得m ＝1，n ＝1
所以过A 、N 两点的直线的解析式为y ＝x ＋1 所以DC ∥AN. 在Rt △ANF 中，AN ＝3，NF ＝3，所以AN
＝所以DC ＝AN 。
因此四边形CDAN 是平行四边形.
（3）假设在x 轴上方存在这样的P 点，使以P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，设P （1，u ） 其中u ＞0，则PA 是圆的半径且2
2
2PA u
2＝＋过P 做直线CD 的垂线，垂足
为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。
由第（2）小题易得：△MDE 为等腰直角三角形，故△PQM 也是等腰直角三角形， 由P （1，u ）得PE ＝u ， PM ＝|4-u|， PQ
＝
22
PQ PA ＝得方程：2
224u u 22（－）＝＋
，解得u 4±＝－u
＝4－－，符合题意的u
＝4－＋P 存在，其坐标为（1
，
4－＋.
例4、
已知：如图，抛物线2y x x =x 轴分别交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，M 经过原点O 及点A C ，，点D 是劣弧OA 上一动点（D 点与A O ，不重合）．
（1）求抛物线的顶点E 的坐标；
（2）求M 的面积；
（3）连CD 交AO 于点F ，延长CD 至G ，使2FG =，试探究当点D 运动到何处时，直线GA 与M 相切，并请说明理由． [解] （1
）抛物线2y x x =+
)
221
33
x x
=-+++
)23
1
x
=+
E
∴
的坐标为1
⎛
-
⎝⎭
（2）连AC；M过90
A O C AOC =
，，，∠
AC
∴为O的直径．
而3
OA OC
==
，
2
AC
r
∴==
23
M
S r
∴=π=π
（3）当点D运动到OA的中点时，直线GA与M相切
理由：在Rt ACO
△
中，3
OA OC
==
，
tan ACO==
∠
6030
ACO CAO
∴==
∠，∠
点D是OA的中点
AD DO
∴=
30
ACG DCO
∴==
∠∠
tan301
OF OC
∴==，60
CFO =
∠
在GAF
△中，22
AF FG
==
，
60
AFG CFO
==
∠∠
AGF
∴△为等边三角形
60
GAF
∴=
∠
90
CAG GAF CAO
∴=+=
∠∠∠
又AC为直径，∴当D为OA的中点时，GA为M的切线。