二元函数微积分——偏导数和全微分(课资参考)
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系全文约2000字偏导数是描述一个多变量函数在某一点处沿着某一方向变化率的一种度量方式。
二元函数则是指含有两个自变量的函数，形如f(x,y)。
我们来看二元函数的一阶偏导数。
对于一个二元函数f(x,y)，其偏导数表示为∂f/∂x 和∂f/∂y，即分别对x和y求偏导数。
全微分则是描述一个函数在某一点附近的变化的一种近似方式。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)来说，其全微分表示为df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn。
对于一个二元函数f(x,y)，如果其在某一点处（a,b）的偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都存在且连续，那么全微分df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
这个结论可以通过泰勒展开来证明。
根据泰勒展开公式，对于一个函数f(x,y)，可以将其在某一点（a,b）处展开为：f(x,y) = f(a,b) + ∂f/∂x(a,b)(x-a) + ∂f/∂y(a,b)(y-b) + 余项其中余项是高阶无穷小。
我们现在只考虑一阶偏导数的情况，即忽略余项。
则有：现在我们对该等式两边同时进行微分。
左边是一个函数的微分df，右边是表达式的微分。
根据微分运算法则，我们有：由此可见，全微分df正是函数在某一点附近的变化量。
而这个变化量可以由一阶偏导数来表示。
进一步地，我们可以写成：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy通过这个关系，我们可以看出，当二元函数在某一点处具有连续偏导数时，全微分是一个很好的近似式。
它可以描述函数在某一点附近的变化情况，并且给出了函数沿着不同方向的变化率。
这个关系还可以推广到高维函数的情况。
对于一个多变量函数f(x1,x2,...,xn)，如果其在某一点（a1,a2,...,an）处所有偏导数存在且连续，那么全微分可以表示为：其中dx1,dx2,...,dxn表示自变量的微小变化量。
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系通过证明或反例说明二元函数连续、偏导数，全微分之间的关系。
标签：二元函数；连续；偏导数；全微分对于一元函数来讲，连续、导数和微分之间的关系比较简单：可导与可微是等价的，可导一定连续，但连续不一定可导。
但对于二元函数来讲，连续、偏导数和全微分之间的关系要相对复杂一些，本文通过证明或反例来说明三者之间的关系。
1 连续和偏导数之间的关系1.1 已知偏导数存在，但不一定连续例1 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不连续，事实上，令点沿趋向点，有：1.2 已知连续，但偏导数不一定存在例2 函数，显然：故在点处连续，而由：知不存在，所以在点处不是可偏导的。
2 偏导数和全微分之间的关系2.1 若可微，则偏导数一定存在证明：由于在点处可微，于是在点的某一邻域内有：其中。
特别地，当时，上式变为：在该式两端各除以，再令，则得：从而偏导数存在，且；同样可证存在，且。
2.2 已知偏导数存在，但不一定可微例3 函数在点处的两个偏导数都存在：但是在点却不可微，事实上：令沿趋向，则：这说明当时，并不是的高阶无穷小，所以在点处不可微。
3 连续和全微分之间的关系3.1 若可微，则一定连续证明：由于在點处可微，即有：其中。
于是，即有，从而，即在点处连续。
3.2 已知连续，但不一定可微在例2中，函数在点处连续，在点处不是可偏导的。
由偏导和可微之间的关系，知在点处不可微。
综上，二元函数连续、偏导数和全微分之间的关系：函数在一点的连续性和函数在该点的偏导数的存在性之间没有任何关系；函数在一点的偏导数存在是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点的偏导数存在的一个充分非必要条件；函数在一点连续是函数在该点可微的一个必要非充分条件，函数在一点可微是函数在该点连续的一个充分非必要条件。
参考文献：[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998.作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系连续偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学和物理学中都有着广泛的应用。
二元函数是指一个包含两个自变量的函数，可以用来描述二维空间中的各种变化规律。
而连续偏导数和全微分则是用来描述函数的变化率和微小变化的工具，它们之间存在着密切的关系。
我们来介绍一下连续偏导数的概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其偏导数表示其在某一方向上的变化率。
偏导数有两种常见的形式，一种是以x为自变量，y为常数的偏导数，用∂f/∂x表示；另一种是以y为自变量，x为常数的偏导数，用∂f/∂y表示。
偏导数的计算方法与求解一元函数的导数类似，只不过需要保持另一变量为常数。
如果一个函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么我们称该函数在该点处是可微的，其偏导数就是全微分。
接下来，我们来介绍全微分的概念。
对于一个二元函数f(x, y)，其全微分df表示f 的微小变化量。
全微分df可以用其偏导数来表示，即df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy，其中dx和dy分别表示x和y的微小变化量。
全微分可以用来描述函数在任意点上的微小变化，从而可以通过积分来求解函数在某一区间上的变化量。
现在，我们来探讨连续偏导数和全微分之间的关系。
对于一个可微的二元函数f(x, y)，如果其在某一点处的偏导数存在且连续，那么在该点处就有全微分，且全微分与偏导数之间存在着紧密的联系。
具体来说，如果一个函数在某一点处有全微分，那么它在该点处的偏导数必定存在，且满足如下的关系式：df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy根据全微分的定义，我们还可以将全微分表示为函数f的一阶近似，即：这表明全微分可以被视为函数在某一点处的线性近似，从而可以用来描述函数在该点处的微小变化。
如果函数在某一点处是可微的，那么它在该点处的微小变化可以被全微分来描述，全微分与偏导数之间的关系有助于我们理解函数的变化规律。
二元函数微积分偏导数和全微分(课堂PPT)
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
( z ) x
2z x2
fxx(x,y);
(z) y x
2z x y
fxy(x,y)
x
(
z y
)
2z yx
fyx(x,
y);
y(yz)y2z2fyy(x,y)
.
16
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
.
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
.
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，ຫໍສະໝຸດ y 通常记作D。边界·
01
闭开区域
x
.
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
.
13
例4. 已知理想气体的状态方程 pVRT(R 为常数) ,
求证: pVT 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , V R p T p
.
8
定义： 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lx i0m f(x0x,y0 x)f(x 0 ,y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
偏导和全微分的关系
偏导和全微分的关系
偏导数和全微分是微积分中两重要的概念，它们之间的关系可以通过梯度来解释。
下面是它们的关系：
1. 偏导数是量函数在特定变量上的变化率，它考虑一个变量的变化而把其他变量固定住。
偏导数可以表示为∂f/∂x，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 全分是函数在多个变量上的变化的总和。
它考虑了所有变量的变化，并通过个偏导数对应的变化进行加权。
全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ...，其中f表示函数，x、y等表示自变量，dx、dy等表示自变量的变化量。
3. 偏导数是全微分的特例，当只有一个变发生微小变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
换句话说，当只有一个变量变化时变成了偏导数的乘积形式。
总结来说，偏导数是只考虑一个变量变化的变化率，而全微分考虑了所有变量的变化，并将各个偏导数对应的变化进行加权。
全微分是偏导数的总和形式，在只有一个变量变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系【摘要】本文探讨了二元函数连续偏导数和全微分之间的关系。
在定义和概念部分，我们介绍了二元函数连续偏导数和全微分的基本概念。
然后我们讨论了连续偏导数的存在性，以及全微分的定义和偏导数存在的条件。
我们深入分析了全微分和偏导数之间的关系，探讨了它们在数学分析和实际问题中的重要性和应用。
通过本文的研究，我们得出了二元函数连续偏导数和全微分之间密切关系的结论，这将有助于我们更深入地理解和应用这两个重要概念。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解和应用二元函数连续偏导数和全微分的概念，为数学分析和实际问题的解决提供了有力的理论支持和指导。
【关键词】二元函数、连续偏导数、全微分、存在性、偏导数、关系、定义、概念、条件、结论1. 引言1.1 二元函数连续偏导数和全微分之间的关系二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分中一个重要的概念。
在数学中，二元函数指的是有两个自变量的函数，而连续偏导数则是衡量函数在某一点处对每一个自变量的偏导数均存在且连续的性质。
全微分则是描述函数在某一点附近的变化情况的线性近似。
二元函数连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助我们更好地理解函数在某一点附近的变化情况。
通过对连续偏导数和全微分的研究，我们可以更深入地理解二元函数的性质和行为，从而为数学和应用领域提供有力的工具和方法。
2. 正文2.1 定义和概念二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)。
在二元函数中，我们可以对各个自变量进行偏导数的求解，以了解函数在不同方向上的变化率。
连续偏导数是指在某一点处，函数对各个自变量的偏导数存在且连续。
连续偏导数的存在性是确保二元函数在某点处可以被微分的前提。
在二元函数中，全微分是描述函数在某一点附近的线性近似，通常表示为df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。
全微分的定义涉及到对自变量的微小增量的线性近似，从而可以对函数的变化进行描述。
数分：7.3偏导数与全微分
在使用上, 有时也把 (1) 式写成如下形式：
z A x B y x y ,
(4)
这里
( x ,y ) (0,0)
lim
( x , y ) (0,0)
z
Tx
L
M
z= f (x,y)
固定 x =x0
0
x =x0
( x , y )
y
.
x
前页 后页 返回
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
z Ty
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 x =x0
f ( x, y) x 2 x y y
3 2 3
f x ( x, y ) 3 x 2 4 x y, f y ( x, y) 2 x 2 3 y 2 .
然后以 (x, y) = (1, 3) 代入, 也能得到同样结果.
前页 后页 返回
y 例3 求函数 z x ( x 0) 的偏导数.
的偏导数, 此时 f 至少在
或 ( x, y)
( x, y )
x x0 , | y y0 | 上必须有定义.
y y0 , | x x0 |
显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数．
前页 后页 返回
偏导数
若函数 z f ( x , y ) 在区域 D 上每一点 ( x , y ) 都存在 对 x ( 或对y ) 的偏导数, 则得到 z f ( x , y ) 在 D 上 对 x (或对y) 的偏导函数 (也简称偏导数), 记作
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为点 P0 (x0 , y0 ) 的 邻域。
y
•
P0 (x0 , y0 )
·
01
x
课堂借鉴！
5
二元函数的概念
定义：设有三个变量 x, y 和 z ，如果当变量 x, y 在某平面区域 D 内任取一组值时，变量 z 按照一定的规
定义域
x 一元函数 一个：
在数轴上讨论 （区间）
二元函数 两个：x, y 在平面上讨论
（区域）
课堂借鉴！
7
偏导数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
课堂借鉴！
8
定义： 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
课堂借鉴！
16
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
课堂借鉴！
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
RT pV
1
课堂借鉴！
14
练习
1、 求二元函数 z e xy 的一阶偏导数。 2、 求二元函数 z arctan y 的一阶偏导数。
(请自己写出)
课堂借鉴！
11
由偏导数的定义可以看出，要求二元函
数对某个自变量的偏导数，只需将另一个 自变量看做常量，然后利用一元函数求导 公式和求导法则即可。
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解： z
x
z x
2
x
(1, 2)
3y,
z y
3x
2y
z
y (1, 2)
·
01
x
课堂借鉴！
3
常见区域 y
y 2(x)
0 a y 1(x) b x
X 型区域
y
d
c x 1( y)
0
x 2(y)
x
Y 型区域
由 xa xb 由 yc yd
y 2 (x) y 1(x)
四条曲线围成
x 1( y) x 2 ( y)
四条曲线围成
课堂借鉴！
4
邻域:
平面上以点 P0 (x0 , y0 ) 为圆心， 0 为半径的圆内部构成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2u z2
3 r3
3(
x2
y2 r5
z2
)
0
课堂借鉴！
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f
y
(
x,
y
)
,
f2(x, y)
课堂借鉴！
10
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0
)
;
zx (x0 , y0 ) ;
注意:
f
x(
x0
,
y0
)
lim
x0
f (x0
x,
y0 ) x
f (x0 ,
y0 )
课堂借鉴！
9
同样可定义对 y 的偏导数
f y(x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
律 f ，总有唯一确定的数值与之对应，则称 z 为 x, y 的
二元函数，记作 z f (x, y) ，其中 x, y 称为自变量，
函数 z 也称为因变量，x, y 的变化范围 D 称为函数的定
义域。
类似的，可以定义三元函数 u f (x, y, z) 及三元以上的函数。
课堂借鉴！
6
自变量个数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
x
3、 求二元函数 z esin x cos y 的一阶偏导数。
4、 求二元函数 z y ln(x 2 y 2 ) 的一阶偏导数。
5、 已知二元函数 z ln( x y ) ，证明：关系式
x z y z 1 x y 2
课堂借鉴！
15
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
2z z
y 2
y
() y
exy (x y)y exy
课堂借鉴！
18
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
课堂借鉴！
12
例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 .
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
课堂借鉴！
13
例4. 已知理想气体的状态方程
17
例 5． 求二元函数 z e x y 的二阶偏导数。
解：z
x
exy (x
y)x
e x y
z y
exy (x
y)y
e x y
2z x 2
x
( z ) x
exy (x
y)x
exy
z2 z
xy
y
() x
exy (x
y)y
ex y
z2 ( z ) yx x y
ex y (x y)x ex y
二元函数微积分
一元函数微分学 推广
二元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
课堂借鉴！
1
二元函数的基本概念
一、区域 二、二元函数的概念
课堂借鉴！
2
区域
平面点集： 平面上满足某个条件的一切点构 成的集合。
平面区域： 由平面上一条或几条曲线所围成 的部分平面点集称为平面区域，
y 通常记作D。
边界
闭开区域