《高等数学》微积分 导数与微分
高等数学中的微积分概念
高等数学中的微积分概念引言：微积分是高等数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律与性质。
通过微积分的学习，我们可以深入理解函数的导数和积分，从而掌握函数的变化趋势、极值、曲线图像等重要概念。
本教案将以微积分的基本概念为主线，分为三个小节进行论述，分别是导数与微分、积分与定积分、微积分的应用。
通过系统的学习，学生将能够掌握微积分的核心概念，提高数学思维和解决问题的能力。
一、导数与微分1.1 导数的定义与计算导数是函数在某一点上的变化率，它描述了函数的局部性质。
在这一小节中，我们将介绍导数的定义和计算方法。
首先，我们引入极限的概念，然后定义导数，最后介绍常见函数的导数计算方法。
1.2 导数的几何意义与应用导数不仅仅是一个数值，它还有几何意义。
在这一小节中，我们将探讨导数的几何意义，包括切线斜率和曲线凹凸性。
此外，我们还将介绍导数在实际问题中的应用，如速度、加速度等。
二、积分与定积分2.1 积分的定义与计算积分是导数的逆运算，它描述了函数的累积性质。
在这一小节中，我们将介绍积分的定义和计算方法。
首先，我们引入定积分的概念，然后介绍常见函数的积分计算方法。
2.2 定积分的几何意义与应用定积分不仅仅是一个数值，它还有几何意义。
在这一小节中，我们将探讨定积分的几何意义，包括曲线下的面积和曲线的长度。
此外，我们还将介绍定积分在实际问题中的应用，如求解物体的质量、面积等。
三、微积分的应用3.1 极值与最值极值是函数在某一区间上的最大值或最小值，它是微积分的重要应用之一。
在这一小节中，我们将介绍极值的概念和求解方法，包括函数的极值判定和极值点的求解。
3.2 曲线的图像与性质曲线的图像和性质是微积分的重要应用之一，它可以帮助我们理解函数的变化趋势和特点。
在这一小节中，我们将介绍曲线的图像绘制方法和常见曲线的性质，如对称性、单调性等。
3.3 微分方程微分方程是微积分的重要应用之一，它描述了变量之间的关系和变化规律。
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高等数学微积分教材内容
高等数学微积分教材内容微积分是一门重要的数学分支，它研究函数的变化、极限、导数、积分等概念和性质。
在高等数学课程中，微积分是必学的内容，对于学生培养数学思维和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍高等数学微积分教材的内容，包括函数与极限、导数与微分、积分与应用等方面。
一、函数与极限函数与极限是微积分的基础知识，也是理解微积分概念的关键。
在相关教材中，函数的定义与性质是首要内容。
函数可以用数学表达式或图形的方式描述，它常常与自然科学、社会科学等领域的问题相关联。
学生需要学会分析函数的定义域、值域、图像特征等，并能灵活应用函数解决实际问题。
极限是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化趋势。
教材中经常介绍极限的定义、计算方法以及常见的性质。
学生需要理解极限的概念和意义，并能在实际问题中运用极限的思想进行分析和求解。
二、导数与微分导数是微积分的重要内容之一，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。
导数的概念和计算方法是学习微积分的重点和难点。
教材中通常从导数的定义入手，引入导数的求法、基本性质以及导函数的概念。
学生需要通过大量的例题和练习，掌握导数的计算和应用。
微分是导数的一种具体形式，它在实际问题中的应用较为广泛。
微分的概念和性质常常与导数一同引入，教材中涉及了微分的计算方法、微分中值定理等内容。
学生需要理解微分的概念与运算规则，并能把微分应用于求解实际问题。
三、积分与应用积分是微积分的另一大分支，它描述了函数在一定区间上的累积效应。
教材中通常从定积分的概念和计算方法入手，引出不定积分和积分中值定理等知识点。
学生需要通过大量的例题和练习，熟练掌握积分的计算和应用。
积分在实际问题中有广泛的应用，比如曲线长度、面积计算等。
教材中会给出一些具体问题，要求学生运用积分的方法进行求解。
学生需要理解积分的几何和物理意义，并能应用积分解决实际问题。
结语高等数学微积分教材内容包括函数与极限、导数与微分、积分与应用等方面。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
导数与微分的区别与联系
导数与微分的区别与联系
导数和微分是高等数学中重要的概念，在工程、物理等领域也广泛地运用，本文阐述其之间的区别与联系。
导数的概念是在微积分学中提出的，它是指一个变量关于另一个变量的变化速率，是二元函数变化量之比，是一种分析数学形式，可用来分析函数的变化趋势，即取得函数的斜率，以二次函数为例，导数被定义成函数某一点处的斜率，其发端在公式y=ax²+bx+c 中，导数的公式为dy/dx=2ax+b，其中，dy/dx是一个实数量，表示y函数到一点处的斜率，是一个“局部”的量，也就是指函数在某处变化率。
而微分是指函数某一段区间上的变化量，是一种“连续性”的量，对自变量和因变量之间的函数进行分析，可以用定积分项或估值定积分项间断微分来表达，其具体公式可以表示为：d(y)/dx=(y2-y1)/(x2-x1)，即，如果函数在x1和x2点处分别取得y1和y2的值，则在x1到x2的变化量就是y1到y2的变化量，这就是微分的定义。
因此，导数与微分的区别在于：导数是一个对函数在某处变化量的测量，而微分是一个连续变化量的测量；导数是一个局部点的量，而微分是一个区间的量；从形式上看，导数是一阶变化量，而微分是二阶变化量。
联系的话，微分的出现归因于导数的存在，从微分的定义可以看出，它把导数进行了积分，形成了跨越了多个数据间隔，即在数定量上的连续性的概念，而本质上微分的定义仍基于导数的概念，两者存在千丝万缕的关系，微分运用数学算法，将多个点之间的变化量进行积分，形成了合乎要求的曲线图，更广义地将局部变量积分，形成全局变量。
总之，导数和微分是互为依存的，前者是提出微分的基础，即导数概念的概括，而后者则依此将导数进行定义和积分，形成了较为完整的数学模型，所以，导数和微分之间相辅相成，却又存在着清晰的界限。
大学本科数学教材高等数学
大学本科数学教材高等数学高等数学是大学本科数学教材中的重要组成部分。
它是一门综合性科学，涉及了微积分、线性代数、概率统计等多个数学分支。
通过学习高等数学，学生能够掌握基本的数学思维方法和问题求解能力，为后续学习和专业发展奠定坚实基础。
第一章微积分微积分是高等数学的核心内容之一。
它是研究函数的变化规律、导数、积分和微分方程等数学工具的科学。
本章将介绍函数与极限、导数与微分、积分与微分方程等内容。
1.1 函数与极限函数是数学中的基本概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。
极限是函数的重要性质之一，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
我们将学习函数的定义、极限的概念与性质，以及如何计算极限。
1.2 导数与微分导数是函数变化率的度量，描述了函数在某一点的瞬时变化速率。
微分是导数的几何意义，它描述了函数图像的局部线性近似。
我们将学习导数的定义、计算方法、导数的应用等内容。
1.3 积分与微分方程积分是导数的逆运算，描述了函数的累积效应。
微分方程是描述自然现象的数学模型，涉及到微分和函数求解。
我们将学习积分的定义、计算方法，以及如何解微分方程。
第二章线性代数线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的一门学科。
它在数学和应用领域都具有广泛的应用。
本章将介绍向量空间、线性变换、矩阵、行列式等内容。
2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础概念，它描述了具有加法、数乘运算的集合。
我们将学习向量空间的定义、性质，以及如何判断一个集合是否为向量空间。
2.2 线性变换线性变换是向量空间之间的一种特殊映射，保持向量空间的线性结构不变。
我们将学习线性变换的定义、性质，以及如何求线性变换的矩阵表示。
2.3 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的重要工具，它可以方便地表示线性变换和方程组。
行列式是矩阵的一个重要性质，它用于求解线性方程组的解。
我们将学习矩阵的基本运算、逆矩阵的求解，以及行列式的定义与计算方法。
第三章概率与统计概率与统计是研究随机事件及其规律的数学学科。
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节
1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)；
因为加速度a是速度v对时间t的变化率，所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t，
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
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注意:
f (x0)
f (x) xx0
d f (x0 ) dx
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例1. 求函数
(C 为常数) 的导数.
解: y lim f (x x) f (x)
x0
x
即
例2. 求函数
解:
lim f (x) f (a) lim xn an
xa x a
xa x a
与 f(b)
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内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f (x0 ) a
f(x0 ) f(x0 ) a
3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x;
y f (x) f (x0) x x x0
存在, 则称函数
在点 处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
dy dx
x
x0
;
d f (x) dx x x0
即
y
x x0
f
(x0 )
lim y x0 x
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运动质点的位置函数 s f (t)
t
s
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2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
2. 曲线的切线斜率
y
曲线
在 M 点处的切线
割线 M N 的极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 的斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
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瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
(x0 , y0 )
切线与 x 轴垂直 .
o
x0 x
y
曲线在点
处的
切线方程:
o
x0
x
法线方程:
( f (x0 ) 0)
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例7. 问曲线
哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
的切线与直线
平行 ? 写出其切线方程.
解:
1
x
2 3
3
y x0 ,
故在原点 (0 , 0) 有垂直切线
例5. 证明函数
在 x = 0 不可导.
证:
f (0 h) f (0) h
h h
1, 1,
lim
h0
f
(0
h) h
f
(0)
不存在
,
h0 h0
例6. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
令
1 33
1 x2
1, 3
得
x 1 ,
对应 y
1 ,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线
1
平行的切线方程分别为
1 1
即
1
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四、 函数的可导性与连续性的关系
定理1. 证: 设 存在 , 因此必有
在点 x 处可导, 即
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f (0)
lim x0
sin x 0 x0
1
f (0)
lim x0
ax 0 x0
a
故 a 1时
此时
在
都存在,
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作业
P86 4, 5 , 6(单), 7, 9, 12 , 13 , 14(单）
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.
记作: y ;
f (x) ; dy ; d f (x) .
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
f (t)
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限
化 率
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
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二、导数的定义
定义1 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 ) lim y
xx0 下页 返回 结束
例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
2
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
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例4. 求函数
的导数.
解:
lim f (x h) f (x) lim ln(x h) ln x
h0
h
h0
h
lim 1 h0 h
lim
或
x1 1
hx
lim 1 h h0 h x
h0
lim
ln e
h0
即 (ln x) 1
x
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补充题
1. 设
存在, 且
求
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2. 设 在
在
处连续, 且
处可导.
存在，证明:
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f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f
(x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
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三、 导数的几何意义
y y f (x)
曲线
若 若 若 若
在点
tan f (x0 )
曲线过
的切线斜率为
CM
上升;
o x0
T x
y
曲线过
下降;
切线与 x 轴平行, 称为驻点;
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
f (t0 )
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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lim ( xn1 a xn2 a2 xn3 an1)
xa
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说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1 2
x
1 2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
x0
处的右(左) 导数,记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Fermat 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第二章
第一节 导数的概念
一、问题的提出 二、导数的定义 三、由定义求导数 四、导数的几何意义 五、函数的可导性与连续性的关系
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2. 设