高等数学课件导数与微分
高等数学第二章导数与微分

tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程,以O为原点,沿质点运动的方向建
立数轴—s轴,如图2.1,显然路程s是时间t的函数,记作 s=f (t),
t∈[0,T],现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
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2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt

h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解:(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学导数的计算教学ppt课件

25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
(一)隐函数的导数
显函数:因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数.例如:
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数:由含x,y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如:
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数:
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系.其中函数x(t),y(t)可导,且
x (t)0, ,则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数.
解:由于y=arcsinx,x(-1,1) 为x=siny,y (-/2, /2) 的反函数,且当y (-/2, /2)时,
(siny)=cosy>0. 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解:
y
arcsin
x
3
2x4
,求 y .
1
3
x
1 4
1 x2 2
高等数学导数与微分ppt

h 则 tanα = 500
h
dα = 1 ⋅ 1 ⋅140 故sec α = 2 , ∴ d t 2 500
2
两边对 t 求导 500 1 dh dα 2 = 2 2 sec α ⋅ sec α = 1+ tan α 500 dt dt dh 已知 = 140 , 且h = 500 时, tanα = 1 , dt h=500 ( rad/ m ) in
若上述参数方程中 则由它确定的函数 利用新的参数方程
二阶可导, 二阶可导 且 可求二阶导数 . , 可得 dy ψ′(t ) : = G(t) = dx ϕ′(t )
x = ϕ(t )
d2 y d d = (G(t )) = (G(t )) dx 2 d x dx dt dt ψ′′(t )ϕ′(t ) −ψ′(t )ϕ′′(t ) = ϕ′(t ) ′2 (t ) ϕ
( x −1)( x − 2) 例6. 求 y = 的导数. 的导数 ( x − 3)( x − 4)
可以验证
′ u′( x) (ln | u( x) |) = u( x)
先两边取对数
1 ln y = [ ln(x −1) + ln(x − 2)− ln( x − 3) − ln( x − 4)] 2
由直线的点斜式公式, 由直线的点斜式公式, 得椭圆在点 处的切线方程
化简后得
注意 : 已知
×
t f ′′(t )
x = f ′(t ) d2 y 例如, 例如 y = t f ′(t ) − f (t ) , 且 f ′′(t ) ≠ 0, 求 2 . dx
dy dy / dt = 解: = dx dx / dt
r
πR (h− x)
高等数学课件完整

要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质,如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值,也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点,需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力,提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础,如物理学、工程学、经济学等, 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质,这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础,如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念,它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx,其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质,这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具,它可以通过不同的方式定义,如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质,这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
《微积分》(上下册) 教学课件 02.第2章 导数与微分 高等数学第一章第3-5节

1
记作
f
(
x),
y,
d2y dx2
或
d
2 f (x) dx2
.
二阶导数的导数称为三阶导数,记作
f ( x),
y,
d3y dx3 .
三阶导数的导数称为四阶导数, 记作
f (4)(x),
y(4) ,
d4y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n)(x),
10
一、微分的概念
实例 半径为 x的0 金属圆板受热后面积的改变量.
设半径由x0变到x0 x,
圆板的面积 A x02,
A (x0 x)2 x02
2x0 x (x)2.
(1)
(2)
(1) x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
11
再例如
设函数 y x3在点 x0处的改变量为x时, 求函数的 改变量 y.
§2.3 高阶导数
问题 变速直线运动的加速度.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t);
因为加速度a是速度v对时间t的变化率,所以
a(t) v(t) s(t).
定义 如果f (x)的导函数f (x)在点x处可导,即
( f (x)) lim f (x x) f (x)
x0
x
存在,则称( f (x))为f (x)在点x处的二阶导数.
dt dx
3a sin2 t cost 3a cos2 t(sint
)
tan t,
dt
d2y dx2
d (dy) dx dx
d ( tan t ) dx
《高等数学教案》课件

《高等数学教案》PPT课件第一章:导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章:积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章:级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章:向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章:概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章:多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章:常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章:数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章:概率与统计(续)9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章:高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章:导数与微分重点:理解导数和微分的定义及其几何意义,掌握基本函数的导数和微分计算。
电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第二章 导数与微分

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2.1 导数的概念 2.2 导数的运算法则 2.3 函数的微分及其应用
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2.2
3.了解函数微分的简单应用.
2.3
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教学重点
1. 函数微分的概念. 2. 会求函数的微分.
教学难点 函数微分的概念及几何意义. 教学方法 讲练结合法
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简写为 f (x0)存在
f(x0) f(x0)
定理3. 函数 f ( x) 在点 x 0 处右 (左) 导数存在 f ( x) 在点 x 0 必 右 (左) 连续.
若函数 f ( x) 在开区间 (a ,b)内可导, 且 f(a) 与 f(b) 都存在 , 则称 f ( x) 在闭区间 [a , b]上可导.
3.导数的几何意义
y yf(x)
曲线 y f (x)在点 (x0 , y0)的切线斜率为
tan f(x0)
CM
T
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)上升;
o x0
y
x
若 f(x0)0,曲线过 (x0 , y0)下降;
若 f(x0)0,切线与 x 轴平行, x 0 称为驻点;
(x0 , y0)
x
四、求导举例
求函数 y f (x)的导数 y的步骤:
(1)求增量:y f (x x) f (x) ,
(2)算比值: y f (x x) f (x) ,
x
x
(3)取极限: y lim y .
x0 x
*例 3 求函数 y = c(c为常数) 的导数.
解 因为 y = c为常数,所以 y = 0, y 0,
记作: y ; f (x) ; d y ; d f ( x ) . d x dx
注意:
f (x0
2. 左 右导数
定义2 . 设函数 yf(x)在点 x 0 的某个右 (左) 邻域内
有定义, 若极限
lim ylim f(x 0 x)f(x 0)
x 0 x x 0
若 f(x0),切线与 x 轴垂直 .
o y
x 0 x
f(x0)时 ,曲线在点 (x0 , y0) 处的
切线方程: y y 0 f( x 0 )x (x 0 ) o x0
x
法线方程: yy0f(1x0)(xx0) (f(x0)0)
三、 可导与连续
定理1. f(x)在点 x处可导 f(x)在点x处连续
t
s
2. 曲线的切线斜率
y
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线
yf(x)
N
割线 M N 的极限位置 M T
(当时)
CM
T
切线 MT 的斜率
o x 0 x x
ktan limtan
割线 M N 的斜率
tan
f(x)f(x0) xx0
k
xl im x0 f(xx)xf0(x0)
lim
x0
y x
瞬时速度 vlim f(t)f(t0) lim s
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
率 问
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限 题
二、导数的概念
定义1 . 设函数 yf(x)在点 x 0 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0) lim y
x x 0 xx0
x0 x
yf(x)f(x0) xxx0
存在, 则称函数 f ( x) 在点 x 0 处可导, 并称此极限为
x
y′=lxi→ m0xy =0
即 (c)0.
这就是说:常数的导数等于零.
例如:若 y = 8 ,则 y 0
***例 4 求函数 y = sin x 的导数.
解
y lim y limsinx (x)sinx
x x0
x 0
x
2cosxxsinx
lim 2 2
x0
x
1,2,3步合并
limc x0
osxxs 2
inx 2
x
c
oxs
2
即
(sin x) = cos x.
同理可得 (cos x) = sin x.
例 5 求函数 y = ax ( a>0 , a≠1) 的导数 .
解
y
lim
y
axx lim
ax
x x0
x0
x
l i max ax 1 limaxexlna 1
导数与微分
一、 两个实例
1. 变速直线运动的速度
设描述质点运动位置的函数为 sf(t)
则 t 0 到 t的平均速度为
v
f(t)f(t0) t t0
s t
而在 t 0 时刻的瞬时速度为
vtl im t0 f(tt)tf0(t0)
lim
x0
s t
自由落体运动
s
1 2
gt2
f (t0 )
o t0
f (t)
tt0 t t0
x0 t
f (t0 )
f (t)
o t0
t
y
yf(x)
s
切线斜率
k limf(x)f(x0) xx0 xx0
lim
x0
y x
CM
N T
两个问题的共性:
o x 0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有:
加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 变
角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 化
(x0)
(x0)
x
x0
存在,则称此极限值为 f ( x) 在 x 0 处的右 (左) 导数, 记作
f(x0) (f(x0)) 即 f (x0)xl i0m f(x0 xx)f(x0)
定理 函数 yf(x)在点 x 0 可导的充分必要条件
是 f (x0)与 f (x0)存,且在 f(x0)f(x0).
证: 设 yf(x)在点 x 处可导, 即 limy f(x) x0x
存在 , 因此必有
y f(x), 其中 lim0
x
x0
故 y f(x ) x xx0 0
所以函数 yf(x)在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例: y x 在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
yf(x)在点 x 0 的导数. 记作:
y xx0 ;
f(x0);
dy dx
x
x0
;
df (x) dx x x0
即
y
xx0
f(x0)
lim y x0 x
lim f(x0x)f(x0)lim f(x0h)f(x0)
x 0
x
h 0
h
运动质点的位置函数 sf(t)
在 t 0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
f (t) s t
v lim tt0
f(t)f(t0) t t0
f(t0)
曲线 C:yf(x)在 M 点处的切线斜率
k lim
xx0
f(x)f(x0) x x0
f(x0)
y
yf(x)
N
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x 0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
lim f (x) f (x0) lim y
x x0
x x0
x0 x
yf(x)f(x0) xxx0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x 0 不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
f (x)
在
x0
的导数为无穷大
.
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数.