高等数学考研大总结之四导数与微分知识讲解
导数与微分的总结
导数与微分的总结导数和微分是微积分学中的两个重要概念，也是研究函数变化的基础工具。
本文将从定义、性质、应用等方面对导数和微分进行总结。
一、导数的定义和性质导数是函数在某一点上的变化率，用极限表示形式可以定义为：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当x→x0时，存在有限数L，使得lim (f(x) - f(x0)) / (x - x0) = Lx→x0这个极限L称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或dy/dx|_(x=x0)。
导数具有以下性质：1. 导数的存在性：若函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，则f(x)在x0处可导当且仅当上述极限存在。
2. 导数的几何意义：导数表示了函数在某一点的切线斜率。
当函数在某一点可导时，这条切线的斜率就是导数的值。
3. 导函数：若函数f(x)在定义域内的每一点都可导，那么对应的导数函数就是f'(x)，称为原函数f(x)的导函数。
4. 导数的四则运算：导数具有加法、减法、乘法、除法的运算法则，即d(u + v)/dx = du/dx + dv/dx，d(u - v)/dx = du/dx -dv/dx，d(uv)/dx = u(dv/dx) + v(du/dx)，d(u/v)/dx = (v(du/dx) -u(dv/dx))/v²。
二、微分的定义和性质微分是描述函数变化的一种近似方法，它比导数更加具体。
对于函数f(x)，在点x0处进行微分可以表示为：df(x) = f'(x0)dx其中，df(x)称为微分，dx称为自变量的增量。
微分具有以下性质：1. 微分的近似性：微分是函数f(x)在点x0处的变化的近似值，当dx趋近于0时，微分趋近于函数的实际变化值。
2. 微分的几何意义：微分可以理解为函数在某一点上的线性逼近，它是函数值在该点的变化量。
3. 微分与导数的关系：对于可导函数，微分与导数的关系可以表示为df(x) = f'(x0)dx。
导数微分知识点总结
导数微分知识点总结一、微分的定义微分是微积分中的基本概念之一。
在微积分中，微分是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，若x在x_0处有一个增量Δx，对应的函数值的增量Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)，那么函数f(x)在点x_0处的微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数。
二、导数的定义导数是微分的数学概念，是用来描述函数在某一点上的变化率的概念。
设函数y=f(x)，在x_0处导数f'(x_0)的定义为：若极限lim_(Δx→0)(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx存在，那么称该极限为函数f(x)在x_0处的导数，记作f'(x_0)。
导数描述了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以用偏导数来描述多元函数的变化率。
三、微分和导数的关系微分和导数是密切相关的概念，它们之间存在着密切的联系。
微分dy=f'(x_0)dx，其中f'(x_0)是函数f(x)在点x_0处的导数，可见微分和导数之间有直接的联系。
微分是导数的一种应用，而导数也可以通过微分来求得。
四、微分和导数的性质1.导数的性质：（1）常数的导数为0: (c)'=0（2）幂函数的导数: (x^n)'=nx^(n-1)（3）和差函数的导数: (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)，(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)（4）积函数的导数: (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)（5）商函数的导数: (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g^2(x)（6）复合函数的导数: 若y=f[g(x)]，则y'=(f[g(x)])'=f'(g(x))g'(x)2.微分的性质：（1）微分的线性性质：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(af(x)+bg(x))=adf(x)+bdg(x)（2）微分的乘法法则：若函数y=f(x)和y=g(x)的微分分别为dy=f'(x)dx和dy=g'(x)dx，那么有：d(f(x)g(x))=f(x)dg(x)+g(x)df(x)五、导数的计算方法1.通过定义求导：根据导数的定义，可以直接求出给定函数的导数。
导数与微分概括
导数与微分概括（一）导数概念1、 导数定义：1）设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义， x x ∆+0也在该邻域内，函数值增量()()00x f x x f y -∆+=∆。
如果xy x ∆∆→∆0lim存在，则称()x f 在点0x 可导，称极限值为()x f 在点0x 的导数。
记作：()0x f ' 或者 0x x y =' 或者x x dxdy =即 ()0x f '=0x x y ='=x x dxdy ==xy x ∆∆→∆0lim=()()xx f x x f x ∆-∆+→∆000lim2）若函数()x f 在()b a ,上每一点都可导，则称函数()x f 在()b a ,上可导；则对()b a x ,∈∀都对应着()x f 的一个确定的导数值，这样构成一个新函数，这个函数叫原来函数的导函数 记作：()x f ' 或者 y '或者dxdy 即()()()xx f x x f dxdy y x f x ∆-∆+=='='→∆0lim2、函数()x f 在0x 点可导⇔函数()x f 在0x 点的左右导数存在且相等（()0x f ' ⇔()()00x f x f +-'='）3、函数的可导性与连续性之间的关系：函数()x f 在0x 点可导 ⇒ 函数()x f 在0x 点连续，反之不一定连续是可导的必要不充分条件 即 可导一定连续，连续不一定可导 例如：x y sin =在0=x 点连续 因为()00sin lim 0==→f x x ；但是x y sin =在0=x 点不可导，因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧=∆∆-=∆∆-=∆∆=∆-∆++-→∆→∆→∆→∆1sin lim 1sin lim sin lim 00lim 0000x x x x x x x f x f x x x z 不存在极限4、导数的物理几何意义：1）几何意义：在几何上，曲线()x f y =在0x 的导数就是()()00,x f x 点的切线的斜率 ()()()0000lim tan x f xx f x x f k x '=∆-∆+==→∆α 即()0x f k '=2）物理意义：在物理上，位移()t s s =的导数就是瞬时速度 =v ()()()0000limt s tt s t t s t '=∆-∆+→∆=t t dtds = 即=v 0t t dtds = 或者 =v ()()()t s tt s t t s t '=∆-∆+→∆0lim=dtds 即=v dtds5、导数的物理几何意义的应用：1）几何意义的应用：求曲线的切线方程和法线方程 点()()00,x f x 的切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-法线方程为()()()0001x x x f x f y -'-=-例：求x y cos =在点⎪⎭⎫⎝⎛21,3π处的切线方程与法线方程 解：x y sin -=' 切线斜率233sin3-=-='==ππx y k因此所求切线方程为⎪⎭⎫⎝⎛--=-32321πx y 即033232=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+πx y发现斜率为332 因此所求法线方程为⎪⎭⎫⎝⎛-=-333221πx y即 033223323=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---πx y练习：求曲线⎩⎨⎧-=+=-112tt e y e x 在0=t 处的切线方程和法线方程 2）物理意义的应用：求运动物体在某一时刻（瞬时）的速度例：将一个物体铅直上抛，上升高度h 和与时间t 的函数关系是22110gtt h -=，求物体在0t时刻的速度 解：()010100gt gt dtdh v t t t t -=-====练习：已知物体运动的方程221gts =，求落体的速度v 及加速度a（二）初等函数的求导法则：1、函数的和、差、积、商的求导法则 1）()v u v u '±'='± 2）()v u v u uv '+'='3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫⎝⎛ 0≠v 例如：()x x x x sin cos 2-='+ ()x e x e x e x x x cos sin sin +='()()()()()()()222422xx x x x x x x x x x x x x x x x x xx e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ----------+=+⋅=+---++='⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2、反函数的求导法则：设()x f y =在区间x I 内单调可导。
高等数学-导数与微分公式概念
5.(tanx) =
6.(cotx) = -
7.(secx) =secxtanx
8.(cscx) =-cscxcotx
9.( ) = lna (a 0 ,a 1)
10.( ) =
11.( ) = (a 0 ,a 1)
12.(lnx) =
13.(arcsinx) = ( )
曲线y=f(x)在点( )处的法线方程为：y- = (x- ).
▪求导法则：
设u=u(x),v=v(x)可导，则
[u ] =
[Cu] =Cu (C为常数)
(uv) =u v +uv
[ ] = (v )
反函数的导数=其直接函数导数的倒数.
▪1.C =0（C为常数）
2. ( ) =
3.(sinx) =cosx
14.(arccosx) = - ( )cotx) = -
17. = -
18. ( ) =
▪链锁规则：设y=f(u),u= 都在相应的区间内可导，则复合函数y=f[ ]的导数为 = 或y =f
▪高阶导数：
设y= + 则 , .
( =
( =
( =
[
▪隐函数求导：用复合函数求导法直接对方程F(x,y)=0两边求导.
5)ln(1+x) x
▪设函数y=f(x)为可导函数，称导数f (x) 的边际函数.f (x)在点 处的值f ( )为边际函数值.即：当x= 时，x改变一个单位，y改变f ( )个单位.
▪弹性函数： =f (x) .
商品在 处的需求弹性： P= = = -f ( ) .
商品在 处的供给弹性： P= = = -φ ( ) .
导数与微分๑
高等数学PPT导数和微分
它是在x处，y随x变化的变化率。
第四章
导数与微分
§ 4. 2
4.2 导数的基本公式与求导法则 求函数的导数，是我们经常要做的事情，但由定义求一个函数 的导数，是很麻烦的事情。 本节要做的，是从导数定义出发，推出一些导数的公式与法则。 然后，借助这些公式与法则来求导数，就方便多了。
4.2.1 基本初等函数的导数 例4.2.1．f (x) = c，即常值函数，求f ’(x)
解：由定义
f ( x △x) f ( x) cc c' lim lim 0 x 0 x 0 △x x
所以，常数的导数为0，即 c’ = 0
第四章
导数与微分
§ 4. 2
例4.2.2．f (x) = sinx，求f ’(x) 解：由定义
x x 2 cos x sin sin(x x) sin x 2 2 (sin x)' lim lim x 0 x 0 x x x sin x 2 cos x lim cos x lim x 0 x 2 x 0 2 (sinx)’ = cosx 所以，
(注意，本步用了加减同一项的因式分解技巧)
g ( x x) g ( x) f ( x x) f ( x) lim g ( x x) f ( x) x 0 x x
f ' ( x ) g ( x ) f ( x) g ' ( x )
②．再取极限： 按照物理学中瞬时速度的定义，
v lim v lim
t 0 t 0
O
t0
图4.1-3
t
S (t0 t ) S (t0 ) t
第四章
导数与微分重点知识归纳
导数的概念例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t0的瞬时速度？我们知道时间从t0有增量△t时，质点的位置有增量这就是质点在时间段△t的位移。
因此，在此段时间内质点的平均速度为：若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t0时的瞬时速度。
我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度，即：质点在t0时的瞬时速度=为此就产生了导数的定义，如下导数的定义设函数在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函数有增量，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x0处的导数。
记为：还可记为：，函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导，否则不可导。
若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。
这时函数对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数的导函数。
注：导数也就是差商的极限左、右导数前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的左导数。
若极限存在，我们就称它为函数在x=x0处的右导数。
注：函数在x0处的左右导数存在且相等是函数在x0处的可导的充分必要条件函数的和差求导法则法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为：。
其中u、v为可导函数。
常数与函数的积的求导法则法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。
用公式可写成：函数的积的求导法则法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。
用公式可写成：函数的商的求导法则法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。
考研数学解题技巧之导数与微分
考研数学解题技巧之导数与微分导数与微分是数学中的基础概念，也是考研数学中的重要内容之一。
掌握好导数与微分的解题技巧对于考研数学的学习和考试都具有重要的意义。
在本文中，将介绍一些关于导数与微分的解题技巧，希望能够帮助考生更好地应对考研数学。
一、导数与微分的概念首先，我们需要明确导数与微分的概念。
导数描述了函数在某一点上的变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
而微分是导数的微小变化，它是导数在微小区间上的平均值。
我们可以利用导数与微分的概念来进行数学问题的求解。
二、导数与微分的计算方法导数与微分的计算方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法：1. 利用基本的导数公式进行计算。
对于常见的指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以通过掌握它们的导数公式来快速计算导数。
2. 利用求导法则进行计算。
求导法则是一些导数计算的常用规则，有加法法则、乘法法则、链式法则等。
熟练掌握这些法则可以简化计算过程。
3. 利用导数的几何意义进行计算。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率，利用这一性质可以通过几何图形来求解导数。
三、导数与微分的应用导数与微分不仅仅是数学概念，它们在实际问题中具有广泛的应用。
下面将介绍几个常见的应用：1. 极值与最优化问题。
通过求函数的导数可以找到函数的极值点，从而解决最大化或最小化的问题。
2. 曲线的切线与法线。
导数可以帮助我们求解曲线在某一点的切线方程和法线方程，进而了解曲线的性质。
3. 弧长与曲率。
导数可以帮助我们求解曲线的弧长和曲率，这在几何问题中经常被用到。
四、导数与微分的常见问题解析在考研数学中，有一些经典的导数与微分问题经常出现，下面将对其中一些问题进行解析：1. 求函数的导函数。
这是一个基础的问题，在求解过程中可以运用到前面提到的导数计算方法。
2. 求函数的极值点和最值。
对于一个函数，通过求解其导函数的零点可以找到函数的极值点，再通过二阶导数的符号可以判断是极大值还是极小值。
导数和微分的定义
则 f ( x) 在点 x0 可导, 且 f '( x0 ) a.
例6. 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
解 f (0 x) f (0) x ,
x
x
lim f (0 x) f (0) lim x 1,
x0
x
h0 x
lim
f (0 x) f (0)
lim
x
1.
在 M 点处旳切线
割线 M N 旳极限位置 M T
(当
时)
切线 MT 旳斜率
o
y f (x)
N
CM
T
x0 x x
lim tan
割线 M N 旳斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
k
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o t0
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2 , 当 x 在 x0 取
得增量x 时, 面积旳增量为
x x0x (x)2
有关△x 旳 x 0 时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
x0x
故
称为函数在 x0 旳微分
定义: 若函数
在点 x0 旳增量可表达为 Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 旳常数)
3. 导数旳几何意义: 切线旳斜率;
4. 可导必连续, 但连续不一定可导;
5. 已学求导公式 :
(C) 0;
(ln x) 1
(cos x) sin x ;
x
不连续, 一定不可导. 6. 判断可导性 直接用导数定义;
看左右导数是否存在且相等.
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第四章 导数与微分 第一讲 导数 一，导数的定义：1函数在某一点0x 处的导数：设()x f y = 在某个()δ,0x U 内有定义,如果极限()()0lim00→∆∆-∆+x xx f x x f (其中()()xx f x x f ∆-∆+00称为函数()x f 在(0x ,0x +x ∆)上的平均变化率(或差商)称此极限值为函数()x f 在0x 处的变化率)存在则称函数()x f 在0x 点可导.并称该极限值为()x f 在0x 点的导数记为()0/x f,若记()()00,x f x f y x x x -=∆-=∆则()0/x f =()()000limx x x x x f x f →--=0lim →∆∆∆x x y解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。
即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。
⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: ()0/x f,0/x x y =,0x x dxdy=。
⑶函数()x f 在某一点0x 处的导数是研究函数()x f 在点0x 处函数的性质。
⑷导数定义给出了求函数()x f 在点0x 处的导数的具体方法,即：①对于点0x 处的自变量增量x ∆,求出函数的增量（差分）y ∆=()()00x f x x f -∆+②求函数增量y ∆与自变量增量x ∆之比xy ∆∆③求极限0lim→∆∆∆x x y若存在,则极限值就是函数()x f 在点0x 处的导数,若极限不存在,则称函数()x f 在0x 处不可导。
⑸在求极限的过程中, 0x 是常数,x ∆是变量, 求出的极限值一般依赖于0x⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为∞时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。
实质是给导数的定义做了一个推广。
⑺注意: 若函数()x f 在点0x 处无定义,则函数在0x 点处必无导数,但若函数在点0x 处有定义,则函数在点0x 处未必可导。
2 单侧导数：设函数()x f 在某个(]00,x x δ-（或[)δ+00,x x ）有定义，并且极限()()-→∆∆-∆+0lim00x x x f x x f （或()()+→∆∆-∆+0lim 0x xx f x x f ）存在，则称其极限值为()x f 在0x 点的左（右）导数，记为：()00/-x f 或()0/x f -（或()()0/0/,0x f x f ++）。
左导数和右导数统称为单侧导数。
函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。
3 函数在某一区间上的导数：⑴在()b a ,内可导：如果函数()x f 在开区间()b a ,内每一点都可导，则说()x f 在()b a ,内可导（描述性）。
⑵在[]b a ,内可导：如果函数()x f 在()b a ,内可导且()()b f a f //,-+存在则说函数()x f 在[]b a ,上可导。
4 导函数：如果函数()x f 在区间I 上可导，则对于任意一个I x ∈都对应着唯一一个（极限的唯一性）确定的导数值()x f/，这样就构成了一个新的函数，称为函数()x f y =的导函数。
记为：()x f /或dx dy 或()dxx df 或/y ，由此可知函数()x f 某一点0x 处的导数实质是在点0x 处的导函数值。
解析：（1）区别()0/x f与()[]/0x f ：()0/x f 表示函数()x f 在点0x 处的导函数值，而()[]/0x f 表示对函数值()0x f 这个常数求导，其结果为零。
（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。
5 可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。
二，导数的几何意义： 当y=()x f 表示一条曲线时,则()x f/表示曲线在()y x ,点的切线的斜率，()x f /的正和负分别表示曲线在该点是上升还是下降. ()x f/的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度,()x f /越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之()x f /越大说明曲线在该点的邻域内越陡,起伏明显。
解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。
⑵过曲线y=()x f 上的点(0x ,0y )的方程:①切线方程y -0y =()0/x f (x-0x ).②法线方程: y -0y =()()00/1x x x f --( ()0/x f ≠0)⑶如果点P(A,B)在曲线y=()x f 外,那么过P 点与曲线相切的切线有两条。
⑷若()0/x f=∞说明函数()x f 的曲线在点0x 处的切线与x 轴垂直。
若()0/x f=0则说明()x f 的曲线在点0x 处的切线与x 轴平行。
三，导数的四则运算如果函数()x u u =及()x v v =都在点x 具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数。
⑴()()[]()()x v x u x v x u ///±=±⑵()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u ///+= ()[]()x ku x ku //=⑶()()()()()()()()()02///≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x v x u x v x u x v x u ()()()()()02//≠-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x v x v x kv x v k 解析：和差积可推广为有限项即：⑴()()()[]()()()x u x u x u x u x u x u n n //2/1/21±±±=±±±K K⑵()()()[]()()()[]()()x u x u x u x u x u x u x u x u kknk n n /121/21∑≡=K K 四，几类函数的求导法则1反函数的求导法则：如果函数()y f x =在区间y I 内单调且()0/≠y f 则它的反函数y=()x f1-在区间(){}y x I y y f x x I ∈==,内也可导，且()[]()y fx f //11=-或dydxdx dy 1=即：ｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
解析：⑴()0/≠y f且()y f x =在点y 处连续。
⑵反函数求导法则的几何意义：由于()x f/是函数()x f 的曲线上点x 处的切线与x 轴正向夹角α的正切。
而反函数()y f x =与y=()x f 在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数()y f x =的自变量是y 所以导数()y f/就是y=()x f 曲线上x 的对应点y 处的同一条切线与y 轴正向夹角β的正切，因此：()()x fy f//1=即：αβtan 1tan =（α，β之和为2π） 2 复合函数的求导法则（链式求导）：如果()x g u =在点x 可导，而y=()u f 在点()x g u =可导，则复合函数()[]x g f y =在点x 可导，且其导数为：()()x g u f dxdy//=或dx du du dy dx dy =。
解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与()x g u =和()x g 在某点是否可导无关。
⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。
3 隐函数求导法则：对方程()0,=y x F 所确定的隐函数求导，要把方程()0,=y x F 的两边分别对x 求导即可。
在求导过程中应注意y 是x 的函数，所以在对y 或y 的函数求导时应理解为复合函数的求导。
4 参数方程求导法则：由参数方程()()()βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：()()()t t x f ///ϕψ=。
解析：注意理解()()()()()()[]3///////////2t t t t t dtdx dt x df y dt dx dt dy y x ϕϕψϕψ-==⇒=。
5 对数求导法则：是求幂指数()()x fy x ϕ=型导数的有效方法即：对函数()()x f y x ϕ=的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数()x ϕ化为与()x f ln 相乘的一个因子，再利用上述方法求导。
6 两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。
⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。
这个事实说明：凡对称于y 轴的图形其对称点的切线也关于y 轴对称。
凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。
五，常见函数的一阶导数 ⑴0/=c （ｃ为常数）⑵()1/-=a a ax x ⑶()x xa a a ⋅=ln /⑷()x xe e =/⑸()ax xaln 1log /= ⑹()x x 1ln /=⑺()x x cos sin /=⑻()x x sin cos /-=⑼()xx x 22/cos 1sec tan == ⑽()xx x 22/sin 1csc cot -=-=⑾()x x x tan sec sec /=⑿()x x x cot csc csc /-= ⒀()2/11arcsin x x -=⒁()2/11arccos x x --=⒂()2/11arctan xx +=⒃()2/11cot x x arc +-=⒄()chx shx =/⒅()shx chx =/⒆()xch x h thx 22/1sec ==⒇()xsh x h cthx 22/1csc ==（21）()112/+=x arcshx （22）()112/-=x archx（23）()2/11x arcthx -=六，高阶导数 设()x f/是函数()x f 在I 上的导数，并且()x f /也在I 上可导，则称()x f 在I 上二阶可导，并称()x f//的导函数是()x f 在I 上二阶导数，记为：()x f//或()()x f2，一般地，设()()()21≥-n x fn 是()x f 在区间I 上的()1-n 阶导函数并且()()x fn 1-也在I 上可导则称()x f 在I 上ｎ阶可导，并称()()x f n 1-的导函数是()x f 在区间I 上的ｎ阶导函数记为：()()x fn 当函数由()x f y =给出时()x f 的ｎ阶导数也可表示为：(),,n n n dxy d y ()()x fn 。
若在0x 点的ｎ阶导数常记为：()()()0000,,,x x dx x f d x x dx y d x x y x fxn n n nn ===。