2017年宁夏六盘山高级中学高考数学四模试卷与解析PDF(理科)
2020届宁夏六盘山高级中学2017级高三下学期第四次模拟考试理科综合物理试卷及解析
2020届宁夏六盘山高级中学2017级高三下学期第四次模拟考试理科综合物理试卷★祝考试顺利★(解析版)1.下列说法正确的是（ ）A. 在匀强磁场中静止的23892U 发生α衰变后产生的新核与α粒子的动量相等B. 汤姆逊用α粒子撞击Be 原子核发现了中子C. 放射性元素发生β衰变时释放的电子是原子核内的中子转化为质子时产生的D. 氡的半衰期为3.8天，若取4个氡原子核经过7.6天后就一定剩下一个氡原子核【答案】C【详解】A ．依据动量守恒定律，则在匀强磁场中静止的23892U 发生α衰变后产生的新核与α粒子的动量大小相等，方向相反，故A 错误；B ．查德威克用α粒子轰击Be 原子核发现了中子，故B 错误；C ．β衰变时，原子核中的一个中子转变为一个质子和一个电子，电子释放出来，不是来自核外电子，故C 正确；D ．半衰期对大量的原子核适用，对少量的原子核不适用，故D 错误；故选C 。
2.如图，两物块P 、Q 置于水平地面上，其质量分别为2m 、5m ，两者之间用水平轻绳连接。
现对Q 施加一水平向右的拉力F ，两物块一起做匀加速直线运动，若水平面光滑轻绳的张力大小为F 1，如果水平面粗糙且两物块与地面之间的动摩擦因数均为μ，轻绳的张力大小为F 2，重力加速度大小为g ，则F 1：F 2为（ ）A. 1：1B. 2：5C. 7：5D. 5：2【答案】A【详解】水平面光滑时，对整体，根据牛顿第二定律得17F ma 再对物块P ，根据牛顿第二定律得112F ma =联立解得127F F = 水平面粗糙时，对整体，根据牛顿第二定律得277F mg ma μ-•=再对物块P ，根据牛顿第二定律得2222F mg ma μ-•=联立解得227F F = 则有121:1F F = 故A 正确，B 、C 、D 错误；故选A 。
3.如图所示，虚线a 、b 、c 代表电场中的三条电场线，实线为一带负电的粒子仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P 、R 、Q 是这条轨迹上的三点，由此可知（ ）A. P 的电势高于Q 点的电势B. 带电粒子在P 点时的电势能比在Q 点时的电势能大C. 带电粒子在R 点时动能与电势能之和比在Q 点时的小，比在P 点时的大D. 带电粒子在R 点时的电场强度小于在Q 点时的电场强度【答案】A【详解】A ．电荷做曲线运动，电场力指向曲线的内侧，所以电场力的方向向右，由于粒子带负电，所以电场线方向向左，则有P 的电势高于Q 点的电势，故A 正确；B ．若粒子从P 经过R 运动到Q ，电场力做负功，电荷的电势能增大，带电粒子在P 点时的电。
2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科) (解析版)
2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|y=√1−x}，则A∩B=()A. [0,3)B. (1,3)C. (0,1]D. (0,1)2.命题“，x3−x2+1>0”的否定是()A. ，x3−x2+1<0B. ，x3−x2+1⩽0C. ，x3−x2+1⩽0D. ，x3−x2+1>03.设函数f(x)={log2x,x>1x2+1,x≤1，则f(f(1))的值为()A. −1B. 1C. 0D. 24.设{a n}是等比数列，若a1=1，a5=16，则a7=()A. 63B. 64C. 127D. 1285.已知(1)正方形的对角线相等；(2)矩形的对角线相等；(3)正方形是矩形．由(1)、(2)、(3)组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A. 正方形是矩形B. 矩形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则()A. P(A)>P(M)B. P(A)<P(M)C. P(A)=P(M)D. P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为π3的扇形，则圆锥的高为()A. √33B. √34C. √35D. 58.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A. y =cos(2x +π2) B. y =sin(2x +π2) C. y =sin2x +cos2xD. y =sinx +cosx9. 在△ABC 中，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A. −94B. 94C. 274D. 910. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若acosA =(acosC +ccosA)cosB ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11. 已知A ，B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，∠B =2π3，若(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E 的离心率为( )A. √5−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1212. 已知函数f(x)=e |x|+|x|，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若z =a 2−1+(a +1)i 是纯虚数，则a =______． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7=22，则S 11=_____． 15. 曲线f(x)=e x cosx −x.在点(0,f(0))处的切线方程是______．16. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 是棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA =1213．(Ⅰ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (Ⅱ)若c −b =1，求a 的值．18.某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．(1)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计经常体育锻炼缺少体育锻炼总计30(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率．．附：x2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0060.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=4，EF=2．(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；(2)当AD=4时，求多面体FABCD的体积．20.已知双曲线x2−y2=1，过点A(1,1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为2线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e−x−ax(x∈R)．(1)当a=−1时，求函数f(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(−x)+ln(x+1)≥1，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|2x −1|，a ∈R ．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≤|2x +1|的解集包含集合[12,1]，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 解：A ={x|0<x <3}，B ={x|x ≤1}； ∴A ∩B =(0,1]． 故选：C ．2.答案：B解析： 【试题解析】本题考查命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可．解：含有存在命题的否定，需要用全称量词替代存在量词，同时否定结论， 故命题“，x 3−x 2+1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”，故选B ．3.答案：B解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 解：∵函数f(x)={log 2x,x >1x 2+1,x ⩽1，∴f(1)=1+1=2，f(f(1))=f(2)=log 22=1． 故选B ．4.答案：B。
2017年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷(文科)
2017年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＜1}，则集合A∩B=（）A.（-∞，0）B.（-∞，0]C.[2，+∞）D.（2，+∞）【答案】B【解析】解：集合A={x|x≤0或x≥2}，B={x|x＜1}，则集合A∩B={x|x≤0}=（-∞，0]．故选：B．根据交集的定义写出集合A∩B．本题考查了交集的运算问题，是基础题．2.若复数z满足z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由z•i=2+3i，得，∴在复平面内z对应的点的坐标为（3，-2），位于第四象限．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算求出z，得到z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.已知向量=（1，2），=（-2，x）．若+与-平行，则实数x的值是（）A.4B.-1C.-4【答案】C【解析】解：+=（-1，2+x）．-=（3，2-x），∵+与-平行，∴3（2+x）+（2-x）=0，解得x=-4．故选：C．利用向量坐标运算、向量共线定理即可得出．本题考查了向量坐标运算、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是（）A. B. C.- D.1【答案】B【解析】解：由z=x+3y得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大，，解，即A（，），代入目标函数z=x+3y，得z=+3×=．故z=x+3y的最大值为．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．5.经过圆x2+y2-2x+2y=0的圆心且与直线2x-y=0平行的直线方程是（）A.2x-y-3=0B.2x-y-1=0C.2x-y+3=0D.x+2y+1=0【答案】A【解析】解：圆x2+y2-2x+2y=0的圆心（1，-1），与直线2x-y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x-1）．∴2x-y-3=0．故选：A．求出圆的圆心坐标，直线的斜率，然后求解直线方程即可．本题考查圆的方程的应用，直线与直线的位置关系的应用，考查计算能力．6.“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．故选：A．由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．本题考查了等差数列的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.执行如图所示的程序框图，如果输出的S=，那么判断框内应填入的条件是（）A.i＜3B.i＜4C.i＜5D.i＜6【答案】C【解析】解：进行循环前i=2，S=1，计算S=，应满足循环条件，i=3；执行循环后S=，应满足循环条件，i=4；执行循环后S=，应满足循环条件，i=5；执行循环后S=，应不满足条件循环条件，输出S=；故判断框内应填入的条件是i＜5；故选：C．根据程序框图，模拟运行过程，根据程序输出的S值，即可得出判断框内应填入的条件．本题考查了循环结构的应用问题，当循环次数不多时，可以利用模拟循环的方法进行求解，是基础题目．8.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A.2B.C.3D.2【答案】C【解析】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，PA⊥底面ABCD，且PA=2，∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，故选：C．由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A.f（x）=-sin2xB.f（x）的图象关于x=-对称C.f（）=D.f（x）的图象关于（，0）对称【答案】B【解析】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+）+] =cos（2x+）=-sin（2x+）的图象，故排除A；当x=-时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=-对称，故B正确；f（）=-sin=-sin=-，故排除C；当x=时，f（x）=-sin=-≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B．利用诱导公式、y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．10.下列四个命题：①若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题；②在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图面积相等；③在回归直线=-0.5x+3中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④y=|sin（x+1）|的最小正周期是π．其中正确的命题序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③【答案】C【解析】解：①若“p∧q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，故错误；②在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图面积不一定相等，故错误；③在回归直线=-0.5x+3中，根据回归直线方程的定义可知，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，故正确；④y=|sin（x+1）|可知f（x+π）=f（x），故最小正周期是π，故正确．故选C．①②③根据定义判断即可；④判断f（x+π）=f（x），得出函数的周期．本题考查了且命题真假判断，频率分布直方图概念，回归直线方程的概念和最小周期的判断，属于基础题型，应熟练掌握．11.如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A.2B.3C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，∴BC=2，2+log2m=n，∴m=2n-2，∴4m=2n；又x0-m=，∴m=x0-，∴x0=m+；又2+log2x0-n=1，∴log2x0=n-1，x0=2n-1；∴m+=2n-1；2m+2=2n=4m，∴m=，故选：D．根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了指数，对数的运算问题，属于中档题．12.点A，B，C，D在同一个球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积最大值为（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的表面积为，球的半径为r，，r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故选：C．根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=4，则S7= ______ ．【答案】28【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=4，∴S7=（a1+a7）=7a4=28．故答案为：28．由已知得S7=（a1+a7）=2a4，由此能求出结果．本题考查等差数列的前2018项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14.设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，∴b=a，∴c==a，∴e==．故答案是：．由双曲线渐近线方程得b=2a，从而可求c，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线方程基础知识的掌握和运用．15.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3S1=S2=S3=，…依此规律，那么S10= ______ ．【答案】210【解析】解：[x]表示不超过x的最大整数，S1==1×3S2==2×5S3==3×7，…∴S n=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），∴S10=10×21=210，故答案为：210由已知可得S n=[]+[]+…+[]+[]=n×（2n+1），代值计算即可本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于中档题16.设函数f（x）=，若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是______ ．【答案】（，+∞）【解析】解：根据题意，若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，而函数f（x）=，其图象如图，若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；故答案为：（，+∞）．根据题意，分析可得若函数y=f（x）-k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=，AC=，cos∠ADB=-．（1）求sin∠C的值；（2）若BD=5，求△ABD的面积．【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为∠，所以∠．又因为∠，所以∠∠．所以∠∠∠∠=．…（7分）（Ⅱ）在△ACD中，由∠∠，得∠∠．所以∠．…（13分）【解析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠∠．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．18.某中学有初中学生1800人，高中学生1200人．为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得（0.005+0.020+a+0.040）×10=1，∴a=0.03．…（3分）（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名．…（4分）∵初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.02+0.005）×10=0.25，∴所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.25×1800=450人，…（6分）同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为（0.03+0.005）×10=0.35，学生人数约有0.35×1200=420人．∴该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450+420=870人．…（8分）（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，…（9分）初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人．高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×40=2人．…（10分）记这3名初中生为A1，A2，A3，这2名高中生为B1，B2，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），而事件A的结果有7种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），∴至少抽到1名高中生的概率P（A）=．…（13分）【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出a的值．（Ⅱ）由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名，从而求出所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有450人，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有420人．由此能求出该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有多少人．（Ⅲ）记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A，利用列举法能求出至少抽到1名高中生的概率．本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）【解析】（Ⅰ）证明CD⊥AE．结合AE⊥DE，推出以AE⊥平面CDE．然后证明平面ACE⊥平面CDE．（Ⅱ）证明：设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，证明CD∥AB．推出FM∥AB．AF∥BM．即可证明AF∥平面BCE．本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系的应用，考查逻辑推理能力．20.已知函数f（x）=x-ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-e x，f'（x）=1-e x．当x=0时，y=-1，又f'（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-1．…（4分）（Ⅱ）由f（x）=x-ae x，得f'（x）=1-ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增．当x=a时，f（a）=a-ae a=a（1-e a）≤0，当x=1时，f（1）=1-ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；…（8分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=-lna．f（x）与f'（x）在区间（-∞，+∞）上的情况如下：若曲线=（）与轴有且只有一个交点，则有f（-lna）=0，即-lna-ae-lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点．…（12分）【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-e x，f'（x）=1-e x．切线的斜率k=f'（0）=0，切点（0，f （0）），即可求得切线方程．（Ⅱ）由f（x）=x-ae x，得f'（x）=1-ae x．分a≤0，a＞求出函数f（x）的单调区间，结合图象求解．本题考查了导数的综合应用，利用导数求切线方程，函数图象与横轴交点问题．属于中档题．21.已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【答案】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是：，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y，得x2+2mx+2m2-4=0．当△=4m2-8m2+16＞0，即-2＜m＜2时，直线与椭圆交于两点．设A（x1，y1）．B（x2，y2），则x1+x2=-2m，．又，，故=．又，，所以（y1-1）（x2-2）+（y2-1）（x1-2）==x1x2+（m-2）（x1+x2）-4（m-1）=2m2-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0．故k1+k2=0．…（14分）【解析】（Ⅰ）利用已知条件直接求解b，a，得到椭圆的方程．（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，直线的方程是：，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，然后求解斜率．②判断k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．与椭圆方程联立，利用△=4m2-8m2+16＞0，求出直线与椭圆交于两点时m的范围，设A（x1，y1）．B（x2，y2），利用韦达定理，结合直线的斜率，化简求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，考查方程思想，转化思想，分析问题解决问题的能力．22.在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x-1）2+（y-1）2=3．化为极坐标方程是ρ2-2ρ（cosθ+sinθ）-1=0…（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x-1）2+（y-1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）-1=0．∴t1+t2=-2（cosα+sinα），t1•t2=-1．∴|AB|=|t1-t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【解析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1-t2|，化为关于α的三角函数求解．本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．四、填空题(本大题共1小题，共5.0分)23.设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）①当x＜-2时，f（x）=1-2x+x+2=-x+3，令-x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜-2，∴x＜-2；②当-2≤x≤时，f（x）=1-2x-x-2=-3x-1，令-3x-1＞0，解得x＜-，又∵-2≤x≤，∴-2≤x ＜-；③当x＞时，f（x）=2x-1-x-2=x-3，令x-3＞0，解得x＞3，又∵x＞，∴x＞3．综上，不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-）∪（3，+∞）．（Ⅱ）由（I）得f（x）=，＜，，＞，∴f min（x）=f（）=-．∵∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，∴4m-2m2＞-，整理得：4m2-8m-5＜0，解得：-＜m＜，∴m的取值范围是（-，）．【解析】（1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m成立，只需4m-2m2＞f min（x），解出实数m的取值范围．本题考查了绝对值不等式的解法及分段函数的应用，分情况讨论去绝对值符号是关键．。
2020年宁夏六盘山高中高考(理科)数学(4月份)模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题.1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．209．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．211．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题13．已知tan x＝2，求cos2x＝．14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选：B．2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为△OAB，则三角形的面积为S＝×1×2＝1，点P取自圆x2+y2＝2内部的面积为圆面积的，即×π×＝，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆x2+y2＝2内部的概率等于．故选：B．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，故a≥﹣sin x恒成立，因为﹣1≤﹣sin x≤1，所以a≥1．故选：B．6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．＝﹣＝＝．故选：D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S＝1﹣，i＝4，第2次循环：S＝1﹣﹣，i＝8，第3次循环：S＝1﹣﹣﹣，i＝16，…依此类推，第7次循环：S＝1﹣﹣﹣﹣…﹣，i＝256，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：i≤128？，执行框②应填入：s＝s﹣，③应填入：i＝2i．故选：B．8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解：令x＝1可得展开式的各项系数之和为2n＝32，∴n＝5，故其展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝10，故选：C．9．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【分析】复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．解：i3（1+i）2＝（﹣i）（2i）＝2，故选：A．10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9＝2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2＝1即可求出a1的值．解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8＝2（a1q4）2，即q2＝2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝2 ＝4b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得＝；∴e＝＝＝＝．故选：B．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y＝x与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+＝1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y＝x与第二个椭圆（x﹣4）2+＝1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y＝x代入（x﹣4）2+＝1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2＝0，令t＝9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t＝0，由△＝（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m＞，同样由y＝x与第三个椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）由△＜0可计算得m，综上可知m∈（，）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan x＝2，求cos2x＝．【分析】已知tan x＝2，根据弦切互化公式得cos2x＝＝＝；而cos2x ＝2cos2x﹣1，代入求出值即可．解：∵tan x＝2，∴cos2x＝＝＝；所以cos2x＝2cos2x﹣1＝2×﹣1＝﹣故答案为﹣14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．【分析】根据即可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出r，s的值，从而得出3r+s的值．解：如图，∵，∴，∴根据平面向量基本定理得，，∴．故答案为：．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为1或3．【分析】分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，由线段AB的中点到直线x＝的距离为1，设M（x 0，y 0），可得|x 0﹣|＝1，由此求得p值．解：分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，∴梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，可得x0+＝2，x0＝2﹣，∵线段AB的中点到直线x＝的距离为1，可得|x0﹣|＝1，∴|2﹣p|＝1，解得p＝1或p＝3，故答案为：1或3．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝45．【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个整数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个数，可得2×＜2021，解出即可得出．解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个奇数，∴2×＜2021，即n（n﹣1）＜2021，而45×44＝1980＜2021.46×45＝2070＞2021．∴n＝45，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．【分析】（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A，得2cos A＝1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc＝6，由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，，即可得．解：（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A……又0＜A＜π，所以sin A≠0，得2cos A＝1，所以……（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc＝6……又a＝3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，所以……所以……18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．【分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴全班人数为人．∴分数在[80，100]之间的频数为32﹣4﹣8﹣10＝10，∴分数在[80，100]之间的频率为＝0.3125；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.2．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．【分析】（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为，得到AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF从而BC⊥PO（2）由（1）（2）可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为AC 与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由已知条件推出，，所以λ1+λ2＝﹣3，即y1y2+m（y1+y2）＝0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l过定点．解：（1）由题意可知，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，由题意λ1≠0，∴，同理由知，，∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0 ①，联立方程，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0 ②，且有，③，把③代入①得：t2m2﹣3+m•2mt2＝0，∴（mt）2＝1，由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b ＝0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得f（x）的解析式，由条件化简可得2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，求得导数和单调区间，可得h（t）的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的导数为：f′（x）＝﹣ax+b，可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b，切点为（1，1+b﹣a），由切线经过点（，），可得1﹣a+b＝，化简可得，b＝0，则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣+1﹣1+＝﹣lna；（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2，化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．即有h（t）在t＝1取得最小值1，则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，则2x1+2x2﹣1≥0，可得x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由可得C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求出A，B的极径，即可求|AB|．解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2＝1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥×4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号．∴+≥1成立．。
【中小学资料】宁夏六盘山市2017届高三数学第三次模拟考试试题 文(扫描版)
宁夏六盘山市2017届高三数学第三次模拟考试试题文（扫描版）宁夏六盘山高级中学2017届高三年级第三次模拟测试答题卡学科：数学（文） 满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、3； 14、2-；15、03=+y x ； 16、22.三、解答题（共6道小题，70分）17题（12分） (1) 分即由正弦定理得5.3,21cos ,0sin ,0cos sin 2)sin(cos sin 2cos sin cos sin ,cos 2cos cos cos 2cos cos ---==∴>∴<<=+=+=+∴=+ππc C C c CC B A CC A B B A C c A b B a C cA bB a (2) 由（1) 知3π=C 分分解得12.32122128----2322322322132222------=∴=⨯-+=∴==⨯=⨯∴=∆c ab b a c b b ab s ABC18题（12分）解：(1)∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又BC ⊥CD ，且AE ∩BC ＝E ，∴CD ⊥平面ABC .又CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC .(2)由(1)知，CD ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥AB .又∵AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD .∴V A －BCD ＝V B －ACD ＝13·S △ACD ·AB . 又∵在△ACD 中，AC ⊥CD ，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD=3 ，∴AC ＝AD 2－CD 2＝42－32＝7.∴V A －BCD ＝13×12×7×3×3＝372. 19解：（Ⅰ）由表可知第3组，第4组 的人数分别为 6150.4=，，再根据直12200.6=方图可知第1组、第2组的 人数也为20人，且抽样总人数201000.0210n ==⨯. 所以第5组的人数为1002020152025----=，且 0.1202a =⨯=，0.2204b =⨯=，0.82520c =⨯=，151000.01510x ==，.251000.02510y == ………… 4分 (Ⅱ)因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比2:4:61:2:3=，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. （Ⅲ） 由（Ⅱ）第3组抽到3人，记为.321,,A A A 第1组和第2组3人记为.,,321B B B 从这六人中随机抽取2人，所有可能结果共有15种，分别为323121332313322212323121113121,,,,,,,,,,,,,B B B B B B B A B A B A B A B A B A A A B A B A B A A A A A∴所抽取2人都在第3组的结果有3人，故所求的概率为5120题（12分）解：(1) (1)设F(－c ，0)，由c a ＝33，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ， 代入椭圆方程有（－c ）2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝6＋2k 2＋122＋3k2. 由已知得6＋2k 2＋122＋3k2＝8，解得k ＝± 2.21题（12分）解析(1)： 无极大值。
2023年宁夏六盘山高级中学高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年宁夏六盘山高级中学高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 设复数z满足，则复数z的虚部是( )A. B. 5 C. D.3. 已知平面向量，，且，则( )A. 1B. 14C. 17D.4. 农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”.它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为天.由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造成的误差，以使平均历年与回归年相适应：设数列满足，，，…，其中均为正整数：，，，，，，…，那么第n级修正是“平均一年闰个月”.已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是( )A. 第6级修正B. 第5级修正C. 第4级修正D. 第3级修正5. 设抛物线C：的焦点为F，点P在C上，，若，则( )A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的正整数，则输出的值是( )A. 5B. 7C. 8D. 137. 等比数列满足，设数列的前n项和为，则( )A. B. C. 5 D. 118. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，CD的中点.则下列选项中错误的是( )A. 直线平面B.在棱BC上存在一点E，使得平面平面MNBC. 三棱锥在平面ABCD上的正投影图的面积为4D. 若F为棱AB的中点，则三棱锥的体积为9. 甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方.在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为( )A. B. C. D.10. 在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 设，分别为双曲线C：的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M，N两点且，如图，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.12. 已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，且，且则( )A. 40B. 32C. 30D. 3613. 2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”.若执行下次任务的3名航天员需要在3名女性航天员和3名男性航天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为______ .14. 圆心在直线上，且过点，的圆的标准方程是______ .15. 已知函数的最小正周期为T，若，且的图象关于点对称，则当取最小值时，______ .16. 已知函数其中a为常数有两个极值点，，若恒成立，则实数m的取值范围是______.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，证明：；若，当角B取得最大值时，求的面积.18. 网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP买菜等进入了我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.于是公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作.经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数件与推广时间有关，并记录了经推广x个月后举报件数的数据：推广月数个1234567件891888351220200138112现用作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程.分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据其中：1586参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，为正三角形，，求证：平面平面SBC；求二面角的余弦值.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若为等边三角形，且点在椭圆E上.求椭圆E的方程；设椭圆E的左、右顶点分别为，，不过坐标原点的直线l与椭圆E相交于A、B两点异于椭圆E的顶点，直线、与y轴的交点分别为M、N，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.21. 已知函数若，求曲线在点处的切线方程；若，探究在上的零点个数，并说明理由．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，集合，故选：先求出集合A，由此利用并集的定义能求出的值．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】C【解析】解：，则，故复数z的虚部是故选：根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的运算，求出z，再结合虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量，则，又，且，则，即，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，，，，…，，，，，，则我国农历为19年共闰7个月为第5级修正，故选：根据题意求出，，，，，判断即可．本题考查数列知识在生产生活中的实际应用，是中档题．5.【答案】A【解析】解：抛物线C ：的焦点为，设，则，，，，解得，，解得，，故选：抛物线C ：的焦点为，设，根据抛物线的定义及，可得P的纵坐标，利用两点之间的距离公式即可得出本题考查了抛物线的定义及其标准方程与性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：模拟执行出现的运行过程，如下：第1次执行循环体后，，，，；第2次执行完循环体后，，，，；第3次执行完循环体后，，，，；第4次执行完循环体后，，，，；结束循环，输出故选：模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出C的值．本题考查了程序框图的运行问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：设等比数列的公比为q，，，解得，数列是等比数列，首项为，公比为，，故选：设等比数列的公比为q，由，解得，可得数列是等比数列，首项为，公比为利用等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：对于A：如图1，连接，交于点O，连接、ON，显然O 为的中点，又M ，N 分别为，CD 的中点，所以且且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A 正确；对于B ：如图2，取BC 中点E ，连接AE ，，，显然，所以，又，所以，所以，由正方体，可得平面ABCD ，平面ABCD ，，，平面MNB ，平面，平面平面MNB ，故B 正确；对于C ：如图3，连接BN ，则四边形ABND 为三棱锥在平面ABCD 上的正投影，因为，故C 错误；对于D ：，故D 正确．故选：A：要证线面平行，先找线线平行；B：面面垂直先找其中一个面的垂线；C：正确找到正投影即可求解；D：利用等体积法求解．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：在双方10：10平后，甲先发球，甲以13：11赢下此局分两种情况：①后四球胜方依次为甲、乙、甲、甲，概率为，②后四球胜方依次为乙、甲、甲、甲，概率为，故所求事件概率故选：根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，分类讨论，即可求解．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：，则，在中，，，则，又，，则，即，，，平面ABC，平面ABC，平面ABC，故将三棱锥放于长方体中，如图所示：则体对角线PB即为三棱锥的外接球的直径，即半径为，三棱锥的外接球的表面积为，故选：由题意可得平面ABC，根据棱柱的结构特征得体对角线PB即为三棱锥的外接球的直径，利用球的表面积公式，即可得出答案．本题考查三棱锥的外接球和球的表面积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：不妨设圆与相交且点M的坐标为，则N点的坐标为，联立，得，，又且，所以由余弦定理得，化简得，求得故选：先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．本题主要考查双曲线的离心率，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因为是偶函数，所以，所以，所以，所以函数关于直线对称，又因为，所以，所以，所以关于点中心对称，所以函数的周期为4，因为当时，且，且，所以，解得或舍，所以当时，，所以，，，，，，，，所以，所以，故选：本题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，根据奇偶性、周期性和对称性即可求值．本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题意可得，在3名女性航天员和3名男性航天员中选择3名航天员，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率故答案为：利用对立事件和古典概型的概率计算公式即可求解．本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设所求圆的方程为，因两点，在此圆上，且圆心在上，所以得方程组，解之得，故所求圆的方程为：由已知圆心在直线上及圆过两点三个独立的条件，可利用待定系数法求出圆的标准方程本题考查用待定系数法求圆的方程，一般可通过已知条件，设出所求方程，再寻求方程组进行求解．15.【答案】【解析】解：函数的最小正周期为T，，又，，即，，又的图象关于点对称，，，又，的最小值为，，故答案为：利用三角函数的周期公式，以及，可求出，再利用正弦函数的对称性求出的值，进而得到函数的解析式，求出的值即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：，若有两个极值点为，，则，是关于x的方程的两个不等的正实根，由，及方程根的情况，得，则，又，所以，要使恒成立，只需恒成立，又，令，则，当时，，为减函数，所以当时，，由题意，要使恒成立，只需满足，故答案为：对函数求导后，由题意可得，是关于x的方程的两个不等的正实根，则得，则，令，然后利用导数求出其最小值即可．此题考査导数的综合应用，考査利用导数解决函数极值问题，考査利用导数求函数最值，属于中档题．17.【答案】证明：因为，所以，所以，所以，所以，所以，由正弦定理得；解：，当且仅当时等号成立，则当时，取得最小值，又，所以角B最大值为，此时为等边三角形，所以的面积为【解析】由题给条件利用两角和的正弦公式及正弦定理即可证得；先利用余弦定理求得角B最大值为，进而求得的面积．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意，令，设y关于t的线性回归方程为直线，则，则，，又，关于x的回归方程为；仅从现有统计数据所得回归方程，可发现当推广时间越来越长时，即x越来越大时，y的值会逐渐降至接近于30，可知该省一直加大力度推广下去，网络诈骗举报件数大概会逐渐降至30件，但在使用经验回归方程进行预测时，方程只适用于所研究的样本总体，一般具有时效性，不能期望回归方程得到的预报值就是响应变量的精确值，所以若加大力度一直推广下去，并随着国家对网络诈骗的严厉打击和科技发展，再加上相关部门对个人信息防护手段的加强，人们对网络诈骗犯罪的防范意识逐步提高，网络诈骗举报件数是有可能降至接近于零的．【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．结合的线性回归方程，以及国家政策等信息，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】证明：分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，则且，因为，，所以且，所以四边形OCDE为平行四边形，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，SA，平面SAB，所以平面SAB，因为平面SBC，所以平面平面SBC；解：连接AO，因为为正三角形，所以，因为平面平面SBC，平面平面，所以平面SBC，又，故OA，OS，OC两两垂直，故以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，所以，所以，设平面SAD的法向量为，则，令，得，设平面SAC的法向量为，则，令，得，则，显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为【解析】分别取BS，AS的中点O，E，连接OE，OC，ED，根据题意得到平面SAB，利用面面垂直的判定定理即可得证；以O为坐标原点，OC，OS，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，利用二面角公式即可求解．本题考查了面面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：为等边三角形，，又，，设椭圆的方程为，点在椭圆E上，，解得，所以椭圆E的方程为证明：由已知得，，设，，则直线的方程为，可得点M坐标为，直线的方程为，可得点N坐标为，，，又，，，整理得，①若直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，联立，消去y整理得，其中，，，即，，，所以或，当时，直线AB的方程为，此时直线AB恒过点，当时，直线AB的方程为，此时直线AB恒过点，②若直线AB的斜率不存在时，由得，即，解得或，此时直线AB的方程为或，所以此时直线AB恒过点或，综上所述，直线AB恒过点或【解析】由已知条件，椭圆的定义及a，b，c的关系可知和，再设出椭圆的方程，最后将点代入椭圆的方程即可求解；设点，，由直线的方程即可求出点M的坐标，由的方程即可求出点N的坐标，由已知条件可知，分直线AB的斜率存在和直线AB的斜率不存在两种情况分别求解，得出直线AB的方程，即可判断出直线恒过定点的坐标．本题主要考查椭圆的性质与标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：当时，，则而，，所求切线方程为，即；令，即，令，当时，，令，，则单调递增，且，在上存在唯一零点，记为且时，；时，，在上单调递减，在上单调递增．，，，，，在上存在唯一零点，且在上恒小于0，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，且，在上至多只有一个零点．令，，则，，，取，则有，又，由零点存在定理可得，在上存在零点，函数在上的零点个数为【解析】把代入函数解析式，求出导函数，得到与，再由直线方程的点斜式得答案；令，即，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数零点的判定即可求得在上的零点个数．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．22.【答案】解：曲线C的参数方程为为参数，，所以，所以，即曲线C的普通方程为，直线l的极坐标方程为，则，转换为直角坐标方程为；直线l过点，直线l的参数方程为为参数，令点A，B对应的参数分别为，，由代入，得，则，，即、为负，故【解析】用消参数法化参数方程为普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．。
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)(一) (含答案解析)
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z满足z(−1+i)=|1+3i|2，则z−=()A. −5−5iB. −5+5iC. 5+5iD. 5−5i2.已知集合M={x|y=lg(1−x)}，集合N={y|y=2x,x∈R}，则M∩N=()A. {x|x<1}B. {x|x>1}C. {x|0<x<1}D. ⌀3.函数f(x)=log2(x2−1)x的图象大致是()A. B.C. D.4.已知向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=()A. √2B. √3C. √5D. √75.已知双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x，则C的离心率为()A. √5B. √55C. √52D. 2√556.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA−bsinB=4csinC，cosA=−14，则bc=()A. 6B. 5C. 4D. 37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”，比如已知正整数n被3除余2，被7除余4，被8除余5，求n的最小值．执行程序框图，则输出的n=()A. 62B. 59C. 53D. 508.生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为()A. 760B. 16C. 1360D. 149.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为()A. √55B. √66C. √306D. 以上结论都不对10.若函数f(x)=3cos(ωx+φ)，对任意的x都有f(π6+x)=f(π6−x)，则f(π6)等于()A. −3B. 0C. 3D. ±311.若f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，则实数m=____________．A. 1B. 1C. 1D. 112.设F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为()A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=sinx+2x−1在点x=0处切线方程是______．14.已知实数x,y满足{x−4y≤−33x+5y≤25x≥1，则z=2x+y的最小值__________．15.若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tanα=______．16.在平行四边形ABCD中，∠ABD=90°，且AB=1，BD=√2，若将其沿BD折起使平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A−BDC的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 数列{a n }满足a 1=1，12an+1=12a n+1(n ∈N ∗).(Ⅰ)求证：{1a n}是等差数列；(Ⅱ)若b n =a n ⋅a n+1，求{b n }的前n 项和S n ．18. 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：若由资料知：y 对x 呈线性相关关系，试求： ①线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的回归系数a ̂和b ^； ②估计使用年限为10年时，维修费用是多少？(参考公式：b ̂=i −x )ni=1i −y )∑(x −x )2n =i ni=1i −nxy∑x 2n −nx2，a ̂=y −b ̂x)19.已知抛物线C的顶点在原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x−y−2=0的距离为3√2，设P为2直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．(1)求抛物线C的方程;(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平面ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB的中点．(1)证明：PE⊥CD．(2)求二面角A−PE−C的余弦值．21. 已知函数f(x)=lnx −x ．(1)证明：f(x)≤−1； (2)证明：|f (x )|>lnx x+12．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点． (1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点M(−1,2)恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．23.设函数f(x)=x2+|x−a|，g(x)=a．x(1)当a=0时，解关于x的不等式f(x)>2；(2)求函数f(x)的最小值；(3)若∀t∈(0,2)，∃x∈R使f(x)=g(t)成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．解：由z(−1+i)=|1+3i|2，得z=|1+3i|2−1+i =10−1+i=10(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−5−5i，∴z−=−5+5i．故选B．2.答案：C解析：解：由M中y=lg(1−x)，得到1−x>0，即x<1，∴M={x|x<1}，由N中y=2x>0，得到N={y|y>0}，则M∩N={x|0<x<1}，故选：C．求出M中x的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3.答案：C解析：解：易得函数f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=log2(x2−1)−x=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D；由f(x)=0得log2(x2−1)=0，即x2−1=1，得x2=2，即x=±√2，则f(3)=log283=33=1>0，排除A，故选：C．根据条件判断的函数的奇偶性，结合函数零点，利用特殊值法进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性以及特殊值进行排除是解决本题的关键．解析：利用向量的模的运算法则，通过向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，是基本知识的考查．解：向量a⃗⊥b⃗ ，|b⃗ |=1，则|a⃗|a⃗ |+b⃗ |=√(a⃗|a⃗ |)2+2a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |+b⃗ 2=√1+1=√2．故选：A．5.答案：C解析：解：∵双曲线的渐近线方程为y=±ab，一条渐近线的方程为y=2x，∴ab=2，设b=t，a=2t则c=√t2+4t2=√5t∴离心率e=ca =√52．故选：C．先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得a和b的关系，进而求得a和c 的关系，则离心率可得．本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a，b和c基本关系．6.答案：A解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可得a2−b2=4c2，根据余弦定理由cosA=−14即可求bc的值．解：∵asinA−bsinB=4csinC，由正弦定理得a2−b2=4c2，∴cosA=b2+c2−a22bc =−3c22bc=−3c2b=−14，解得b=6c，所以bc=6．7.答案：C解析：本题考查了程序框图与循环结构，也考查了古代数学的应用问题，是基础题．模拟程序运行，观察变量值，可求出n的最小值．解：模拟程序运行，变量n的值依次为1229，1061，893，725，557，389，221，53，此时不符合循环条件，输出n=53，故选C．8.答案：B解析：解：“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，基本事件总数n=A66=720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：A33A42=36种排法，第二节是数，有：A55−C31A22C31A22=84种排法，∴m=36+84=120，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率p=mn =120720=16．故选：B．基本事件总数n=A66=720，满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排包含的基本事件个数：第一节是数，有：A33A42=36种排法，第二节是数，有：A55−C31A22C31A22=84种排法，从而m=36+84=120，由此能求出满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．取AC中点为E，连接DE，SE，则DE//AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．解：如图，取AC中点为E，连接DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE//AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴SA⊥AB，又AB⊥AC，AC∩SA=A，AC,SA⊂平面SAC，∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，SE⊂平面SAC，∴DE⊥SE，又DE=1.∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选B．10.答案：D解析：由已知可得函数关于x=π6对称，根据三角函数的性质知函数对称轴处取函数的最值，可得结论．本题考查了函数对称性质：若函数满足f(a+x)=f(a−x)，则函数关于x=a对称．利用三角函数的对称性质：正弦(余弦)函数在对称轴处将取得函数的最值，是基础知识的简单运用．解：由f(π6+x)=f(π6−x)可知函数f(x)关于x=π6对称，而由三角函数的对称性的性质可知，在对称轴处取得函数的最值∴f(π6)=±3故选D11.答案：B解析：解：∵f(x)=(x+2)(x+m)x为奇函数，∴f(−1)=−f(1)即m−1=3(1+m)∴m=−2故答案为：−212.答案：A解析：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于较易题．设|MF2|=m，则|MF1|=2m，由椭圆的定义可得3m=2a，根据△MF1F2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．解：设|MF2|=m，则|MF1|=2m，∴3m=2a，∵△MF1F2为直角三角形，∴m2+4c2=(2m)2或m2+(2m)2=4c2，∴c=√32m或c=√52m，∴e=ca =√33或√53．故选A．13.答案：y=3x−1解析：本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求切线方程．解：f(x)=sinx+2x−1的导数为f′(x)=cosx+2，可得f(x)在x=0处的切线的斜率为f′(0)=1+2=3，f(0)=−1，即切点为(0,−1)，可得所求切线方程为y=3x−1．故答案为：y=3x−1．14.答案：3解析：此题主要考查利用线性规划求最小值，利用数形结合是解决本题的关键，作出不等式组对应的平面区域，利用直线截距的几何意义，进行求解即可.解：由约束条件作出可行域如图：平移直线y=−2x+z可得，当直线过点A(1,1)时，z有最小值为z=3．故答案为3．15.答案：−3解析：解：若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tanα+1tanα−1=12，由此求得tanα=−3，故答案为：−3．由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．16.答案：4π解析：解：由已知：平面ABD⊥平面BCD，CD//AB，∠ABD=90°得：CD⊥BD，故CD⊥平面ABD，由AB=1，BD=√2，得：三棱锥A−BDC是一个以CD=1为高，以平面ABD为底面的棱锥，故球心到底面的距离d=12CD=12，底面外接圆半径r=12AD=√32，故三棱锥A−BDC的外接球的表面积S=4π(d2+r2)=4π，故答案为：4π由已知可得三棱锥A−BDC是一个以CD=1为高，以平面ABD为底面的棱锥，求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式S=4π(d2+r2)，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解答的关键．17.答案：解：(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，∴数列{1a n }是等差数列，首项1a1=1，公差d=2．∴1a n =1a1+(n−1)d=2n−1．∴a n=12n−1．(II)∵b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴S n=a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1=12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．解析：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(I)由12a n+1=12a n+1可得：1a n+1=1a n+2，利用等差数列的定义即可得证；(II)b n=a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，利用“裂项求和”即可得出．18.答案：解：①由题意，x=2+3+4+5+65=4，y =2.2+3.8+5.5+6.5+75=5，∴b ̂=∑x i 5i=1y i −5xy ∑x i 25i=1−5x2=1.23， ∴a ̂=y −b̂x =0.08； ②当x =10时，ŷ=1.23×10+0.08=12.38， 即估计使用年限为10年时，维修费用约是12.38万元．解析：本题考查线性回归方程，考查利用线性回归方程解决实际问题，正确计算是关键．属于基础题．①先计算样本平均数，再代入公式计算，即可得到所求；②将x =10代入回归直线方程，即可估计使用年限为10年时的维修费用． 19.答案：解：(1)焦点F(0,c)(c >0)到直线l ：x −y −2=0的距离：d =√2=√2=3√22，解得c =1，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ；(2)设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)， 由(1)得抛物线C 的方程为y =14x 2，y′=12x ， ∴切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2，∴PA ：y −14x 12=12x 1(x −x 1)①， PB ：y −14x 22=12x 2(x −x 2)②，联立①②可得点P 的坐标为(x 1+x 22,x 1x 24)，即x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，又∵切线PA 的斜率为12x 1=y 0−14x 12x 0−x 1，整理得y 0=12x 1x 0−14x 12，直线AB 的斜率k =14x 12−14x 22x 1−x 2=x 1+x 24=x 02，∴直线AB 的方程为y −14x 12=12x 0(x −x 1)， 整理得y =12x 0x −12x 1x 0+14x 12，即y =12x 0x −y 0，∵点P(x 0,y 0)为直线l ：x −y −2=0上的点， ∴x 0−y 0−2=0，即y 0=x 0−2，∴直线AB 的方程为x 0x −2y −2y 0=0．解析：本题考查抛物线的标准方程，考查利用导数研究曲线的切线方程，考查计算能力，有一定的综合性．(1)利用焦点到直线l ：x −y −2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；(2)先设A(x 1,14x 12)，B(x 2,14x 22)，由(1)得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程．20.答案：证明：(1)连结DE ，BD ，∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，E 为AB 的中点， ∴DE ⊥AB ，∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB ， 又DE ∩PD =D ，∴AB ⊥平面PDE ， ∴AB ⊥PE ，∵AB//CD ，∴PE ⊥CD ． 解：(2)设AC ，BD 交点为O ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P(−1,0，2√3)，A(0,−√3,0)，E(12,−√32,0)，C(0,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,2√3)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−2√3)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−3√32,0)， 设平面APE 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +√3y +2√3z =0n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y =0，取z =1，得n ⃗ =(√3,−1,1)， 设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3y −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅CE⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −3√32z =0，取y =1，得m ⃗⃗⃗ =(3√3,1，2)，设二面角A −PE −C 的平面角为θ，由图知θ为钝角， ∴cosθ=−|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−10√5⋅√32=−√104．∴二面角A−PE−C的余弦值为−√104．解析：(1)连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从而AB⊥平面PDE，进而AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．(2)设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A−PE−C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：证明：(1)因为f′(x)=1−xx(x>0)，可得f(x)在(0,1)上是增函数，在(1,+∞)上是减函数，f(x)max=f(1)=ln1−1=−1，故f(x)≤−1；(2)由(1)可知|f(x)|min=1，设g(x)=lnxx +12，则g′(x)=1−lnxx2，故g(x)在(0,e)上是增函数，在(e,+∞)上是减函数，故g(x)max=g(e)=1e +12<1，故g(x)max<|f(x)|min，所以|f(x)|>lnxx +12对任意x∈(0,+∞)恒成立．解析：本题考查由导数求函数的单调性，由导数求最值证明不等式．(1)求出f′(x)得出f(x)的单调区间，得出f(x)的最大值即可得出结论；(2)由(1)得出|f(x)|min =1，设g(x)=lnx x+12，得出g(x)的最大值即可得出结论．22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3． 故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3． (Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5， 将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5， 即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ， 所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2，所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号， 所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2) 故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)当a =0时，f(x)=x 2+|x|>2，即x 2+|x|−2>0， 解得(|x|−1)(|x|+2)>0， 即|x|−1>0， 解得x >1或x <−1，即不等式的解集为(−∞,−1)∪(1,+∞)．(2)当x ≥a ，f(x)=x 2+x −a =(x +12)2−a −14， 当x <a ，f(x)=x 2−x +a =(x −12)2+a −14，若a ≥12时，x ≥a ，则f(x)min =f(a)=a 2，x <a 时，f(x)min =f(12)=a −14<a 2，∴f(x)min =a −14． 当−12≤a <12时，x ≥a ，则f(x)min =f(a)=a 2，x <a 时，f(x)>f(a)=a 2，∴f(x)min =a 2． 当a <−12时，x ≥a ，f(x)min =f(−12)=−a −14，x <a 时，f(x)>f(a)=a 2>−a −14， ∴f(x)min =−a −14．综上，a ≥12时，f(x)min =a −14． 当−12≤a <12时，f(x)min =a 2． 当a <−12时，f(x)min =−a −14．(3)由题意得，函数g(t)，t ∈(0,2)的值域包含于函数f(x)的值域， 当a =0时，g(x)=0，此时f(x)=x 2+|x|≥0， 当a ≠0时，恒有f(x)>0，则g(t)=a t>0,t ∈(0,2)，则a >0，且g(t)=at是减函数，则g(t)>a2，若a ≥12时由a2≥a −14.解得a ≤12，此时a =12， 若0<a <12时，a2≥a 2，解得0<a <12， 综上0≤a ≤12．解析：本题主要考查不等式的求解以及一元二次函数最值的应用，综合性较强，注意求解过程中要注意分类讨论．(1)当a =0时，根据一元二次不等式的解法即可解关于x 的不等式f(x)>2； (2)讨论a 的取值范围结合一元二次函数的性质即可求函数f(x)的最小值； (3)求出函数的最值之间的关系即可得到结论．。
宁夏六盘山高级中学高三数学第四次模拟考试试题 理
宁夏六盘山高级中学2016届高三年级第四次模拟考试试卷理科数学分值：150分 时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1. 设集合}{3,2,1,0,1-=A ，{|2}B x x =<，则A B ⋂=（ ）A ． }{1,0,1- B. }{1,0 C. }{2,1,0,1,2-- D. }{2,1,0,1-2．已知复数i z -=21，i a z 22+=（i 为虚数单位，R a ∈），若R z z ∈⋅21，则=a （ ）A ．1B ．4C ．1-D ．4-3．已知31sin =α，则=α2cos （ ） A ． 167 B ．167- C ．97 D ．97- 4. 二项式()()*∈+N n x n 1的展开式中2x 项的系数为15，则=n （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 75. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=-a a ，则=48S S （ ） A ．21 B ．1617 C ．2 D ．17 6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝，B=｛两次的点数之和为4｝，则 P （B ∣A ）=（ ）A ．121B ．41C ．32D ．92 7．命题:,sin()cos p R απαα∃∈-=；命题:"04"q a <<是”关于x 的不等式210ax ax ++>的解集是实数集"R 的充分必要条件，则下面结论正确的是（ ）A. p 是假命题B. q 是真命题C. ""p q ∧8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（ ）A ．33B ．17C ．41D ．429. 将向量()1,1=绕原点O 逆时针方向旋转ο60得到, 则=（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-231,231B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231,231 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---231,231 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-231,231 10．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于A,B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为( )A ．0324=--y xB ．022=-+y xC ．0324=-+y xD ．220x y -+=11．已知变量,x y 满足0324=--y x 约束条件230,330,10,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+ (其中0a >)仅在点(1，1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( )A ． (0,2)B ．1(0,)2C ． 1(0,3D ． 11(,3212.已知数列满足，21,121==a a ，且()[]()[]*+∈=--+--+N n a a n n n n ,01122132，记n T 2为数列{}n a 的前n 2项和，数列{}n b 是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式1112<⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn n b b T 成立的最小整数n 为( )A ． 7B ． 6C ． 5D ． 4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．当2=x 时，右面的程序运行的结果是 .14．在四面体ABCD 中，AD AC AB ,,两两垂直，且3=AB ， 2=AD ，5=AC ，则该四面体的外接球的表面积为 . 15．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，双曲线2213y x -=的 一条渐近线与椭圆C 交于,A B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为 _____.16. 对于函数()f x 给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-，请你根据上面探究的结果，计算1232016()()()()2017201720172017f f f f ++++L = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><< (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）在ABC ∆中，()3,2,1AB AC f A ===,求B sin . 18.（本小题满分12甲运动员得分：30,27,9,14,33,25,21,12,36,23,乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39（Ⅰ）根据两组数据完成甲乙运动员得分的茎叶图，并通过茎叶图比较两名运动员成绩的平均值及稳定程度；（不要求计算出具体数值，给出结论即可）（Ⅱ）若从甲运动员的十次比赛的得分中选出2的分布列和数学期望19．(本小题满分12分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中， 12,,AC CC AB BC ===D 是1BA 上的一点，且AD ⊥平面1.A BC (Ⅰ)求证：BC ⊥平面11;ABB A （Ⅱ）在1BB 棱上是否存在一点E ，使平面AEC 与平面的11ABB A 夹角等于60o ？若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分12分） 动点P 在抛物线2=2x y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设2PM PQ =u u u u r u u u r .（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程;（Ⅱ）设点(4,4)N -,过点(4,5)H 的直线交轨迹E 于,A B （不同于点N ）两点，设直线,NA NB 的斜率分别为12,k k ，求12||k k -的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0)x f x x x ++=>.B A （Ⅰ） 判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ） 若()1k f x x >+恒成立, 求整数k 的最大值； 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
2014年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(理科)
2014年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是（）A.-iB.iC.-iD.i【答案】C【解析】解：由图可知：z=2+i．则=．∴复数的共轭复数是-i．故选：C．由图得到点Z对应的复数z，代入后利用复数的除法运算化简，则复数的共轭复数可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.已知命题R，p：∃x∈R使，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题②命题“命题“p∨¬q”是假命题③命题“¬p∨q”是真命题④命题“¬p∨¬q”是假命题其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③【答案】B【解析】解：∵p：∃x∈R使为假命题，命题q：∀x∈R都有x2+x+1＞0为真命题∴命题“p∧q”是假命题，故①错误命题“”显然不一定成立，故②正确命题“¬p∨q”是真命题，故③正确命题“¬p∨¬q”是真命题，故④错误故四个结论中，②③是正确的题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：3.双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵双曲线中，a=3，b=2∴双曲线的渐近线方程y=，即故选：A由双曲线的方程，算出a=3、b=2，利用渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．本题给出双曲线的方程，求它的渐近线．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于基础题．4.设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，则P（X＞-1）=（）A.pB.1-pC.1-2pD.2p【答案】B【解析】解：∵随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X＞1）=p，∴P（X＜-1）=p，P（X＞-1）=1-P（X＜-1）=1-p，故选B．根据随机变量符合正态分布和正态分布的曲线关于x=0对称，得到一对对称区间的概率之间的关系，即P（X＞1）=P（X＜-1），得到要求的区间的概率．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查曲线关于x=0对称时，对称轴两侧的对称区间上的概率之间的关系，本题的运算量比较小，是一个送分题目．5.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a7=4a42，a2=2，则a1=（）A【解析】解：∵a3•a7=4，由等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6∴a6=4a4∴=4∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵a2=2，则a1=1故选A由已知及等比数列的性质可得，a3•a7=a4•a6，从而可求q＞0，然后结合a2=2，可求a1，本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的性质的简单应用，属于基础试题6.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x32A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为1.4故选C．由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．7.若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，∴圆柱的体积是π×0.82×2=，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，∴六棱柱的体积是=，几何体是一个简单的组合体，上面是一个圆柱，圆柱的底面直径是1.6，高是2，下面是一个六棱柱，棱柱的高是1.5，底面的边长是2，根据圆柱和棱柱的体积公式得到两个几何体的体积，再相加得到结果．本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原简单的组合体，考查圆柱和圆锥的体积，本题是一个基础题．8.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A.i≤2011B.i＞2011 C.i≤1005 D.i＞1005【答案】A【解析】解：∵该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，故判断框中应该填的条件是：I≤2011故选A．由已知中该程序的功能是计算的值，由循环变量的初值为1，步长为2，则最后一次进入循环的终值为2011，即小于等于2011的数满足循环条件，大于2011的数不满足循环条件，由此易给出条件中填写的语句．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．9.若3sinα+cosα=0，则的值为（）A. B. C. D.-2【答案】A【解析】解析：由3sinα+cosα=0⇒cosα≠0且tanα=-所以首先考虑由3sinα+cosα=0求的值，可以联想到解sinα，cosα的值，在根据半角公式代入直接求解，即得到答案．此题主要考查同角三角函数基本关系的应用，在三角函数的学习中要注重三角函数一系列性质的记忆和理解，在应用中非常广泛．10.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是=．故选C．欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．本题综合考查了二次函数的图象，几何概型，及定积分在求面积中的应用，考查计算能力与转化思想．属于基础题．11.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，-b），若|+|=|-|，则椭圆的离心率值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵|+|=|-|，∴⊥，∴（a+c）2=b2+c2+b2+a2，∴c2+2ac-a2=0，∴e2+2e-1=0，∵0＜e＜1，∴e=．故选：A．由|+|=|-|，可得⊥，利用勾股定理，建立方程，即可求出椭圆的离心椭圆的离心率的确定，关键是找出a，c之间的关系．12.已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表．（）的导函数=′（）的图象如图所示．下列关于函数f（x）的命题：①函数y=f（x）是周期函数；②函数f（x）在[0，2]是减函数；③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．其中真命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】D【解析】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：①为假命题，[-1，0]与[4，5]上单调性相反，但原函数图象不一定对称．②为真命题．因为在[0，2]上导函数为负，故原函数递减；③为假命题，当t=5时，也满足x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2；④为假命题，当a离1非常接近时，对于第二个图，y=f（x）-a有2个零点，也可以是3个零点．综上得：真命题只有②．故选D．先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．13.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于______ ．【答案】60【解析】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，，，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60．故答案为60．根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可．本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题．14.在△ABC中，C=90°，且CA=CB=3，点M满足=2，则•等于______ ．【答案】3【解析】解：==，∴•=（）•===3，故答案为：3．由向量加法的三角形法则得=，然后利用向量数量积运算性质可求答案．本题考查平面向量的运算性质、向量加法的三角形法则，属基础题．15.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼-15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是______ ．【答案】24【解析】解：分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；A与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中有种方法；考虑A与戊机的排法有种方法．可知共有=24种不同的着舰方法．故答案为：24．分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，再与戊机形成三个“空”，把丙、丁两机插入空中，最后考虑A与戊机的排法，利用乘法原理可得结论．本题考查简单的排列组合问题，捆绑法和插空法结合是解决问题的关键，属中档题．16.已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于______ ．【答案】4π【解析】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S-ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，易S、A、B、C 四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案．本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球O的直径（半径），是解答本题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cos A=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵b2+c2-a2=bc，∴=，∴cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n}的公差为d，∵a1cos A=1，且a2，a4，a8成等比数列，∴a1==2，且=a2•a8，∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，解得d=2，∴a n=2n，∴==，=1-=．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cos A=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），且d≠0，由此能求出a n=2n，从而得以==，进而能求出{}的前n项和S n．本题考查角的大小的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，BC=2，SA=SB=．（1）求证：SA⊥BC；（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．【答案】证明：（1）由侧面SBC⊥底面ABCD，交线BC，过S作SO⊥BC于0，连OA，得SO⊥底面ABCD．（2分）∵SA=SB，∴R t△SOA≌R t△SOB，得OA=OB，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，OA⊥OB．（4分）如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则，，，，，，，，，，，，，，则，，，，，（6分）∴，故SA⊥BC．（7分）解：（2），，，，，设n=（x，y，z）为平面SAB的一个法向量，由⇒⇒取x=l，得，，（10分）而，，，则故直线SD与平面SAB所成角的正弦值为（14分）【解析】（1）过S作SO⊥BC于0，连OA，易得SO⊥底面ABCD，OA⊥OB，以O为原点，OA 为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出SA与BC的方向向量，代入向量数量积公式，求出其数量积为0，即可得到SA⊥BC（2）求出直线SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线SD与平面SAB所成角的正弦值．本题考查的知识是直线与平面所成的解，直线与直线垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间线线及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．19.某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1，2，…，8，其中ξ≥5为标准A，ξ≥3为标准B，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．（1）从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563 4 634753485 3 8343447567该行业规定产品的等级系数ξ≥7的为一等品，等级系数5≤ξ＜7的为二等品，等级系数3≤ξ＜5的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ξ的关系式为：，＜，＜，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为X，用这个样本的频率，分布估计总体分布，将频率视为概率，求X的分布列和数学期望．【答案】解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------（3分）∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2--------（4分）二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；--------------（5分）三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．----------（6分）可得P（X=1）=0.5，P（X=2）=0.3，P（X=4）=0.2--（8分）∴可得X的分布列如下：----------------------------------------------------（10分）其数学期望EX=1×0.5+2×0.3+4×0.2=1.9（元）-----------------------------（12分）【解析】（1）由样本数据，结合行业规定，确定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）确定X的可能取值为：1，2，4，用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得X的分布列，从而可求数学期望．本题考查统计知识，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题时利用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率．20.动点P与点F（1，0）的距离和它到直线l：x=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C1．圆C2的圆心T是曲线C1上的动点，圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4．（1）求曲线C1的方程；（2）设点A（a，0）（a＞2），若点A到点T的最短距离为a-1，试判断直线l与圆C2的位置关系，并说明理由．【答案】解：（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得|PF|=|x+1|，即，（2分）化简得：y2=4x，∴曲线C1的方程为y2=4x．（4分）（2分）∴曲线C1的方程为y2=4x．（4分）（2）设点T的坐标为（x0，y0），圆C2的半径为r，∵点T是抛物线C1：y2=4x上的动点，∴y02=4x0（x0≥0）．∴（6分）==．∵a＞2，∴a-2＞0，则当x0=a-2时，|AT|取得最小值为，（8分）依题意得=a-1，两边平方得a2-6a+5=0，解得a=5或a=1（不合题意，舍去）．（10分）∴x0=a-2=3，y02=4x0=12，即．∴圆C2的圆心T的坐标为（3，±2）．∵圆C2与y轴交于M，N两点，且|MN|=4，∴．∴．（12分）∵点T到直线l的距离＞，∴直线l与圆C2相离．（14分）【解析】（1）设动点P的坐标为（x，y），依题意，得，由此能得到曲线C1的方程．（2）设点T的坐标为（x0，y0），圆C2的半径为r，点T是抛物线C1：y2=4x上的动点，y02=4x0（x0≥0）．==．∵a＞2，∴a-2＞0，则当x0=a-2时，|AT|取得最小值为，由此入手能够判断判断直线l与圆C2的位置关系．本题考查圆的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意解答，合理进行等价转化．21.已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=alnx．（Ⅰ）若f（x）在x∈[，1）上的最大值为，求实数b的值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=-x3+x2+b，得f′（x）=-3x2+2x，令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：由f（）=+b，f（）=+b，∴f（）＞f（），即最大值为f（）=+b=，∴b=0．（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x，得（x-lnx）a≤x2-2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x-lnx＞0，∴a≤恒成立，即a≤．令t（x）=，x∈[1，e]，求导得，t′（x）=，当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，t min（x）=t（1）=-1，∴a≤-1．【解析】（Ⅰ）利用导数求得函数f（x）的最大值，令其为即可解得；（Ⅱ）由g（x）≥-x2+（a+2）x分离出参数a后，转化为求函数最值，利用导数可求最值；该题考查利用导数研究函数的最值、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．22.选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【答案】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以∠∠，即∠CDO=∠BCE，故R t△CDO≌R t△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）【解析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到∠∠，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．本题考查相似三角形的判定和性质，考查圆周角定理，本题解题的关键是得到三角形全等和三角形相似，本题是一个中档题目．23.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换 ′ ′得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M （x ，y ），求 的最小值．【答案】解：（1）直线l 的参数方程为为参数）．由上式化简成t =2（x -1）代入下式得 ：根据ρ2=x 2+y 2，进行化简得C ：x 2+y 2=1（2分）（2）∵ ′ ′′′代入C 得∴ ′：（5分）设椭圆的参数方程为参数）（7分） 则（9分）则 的最小值为-4．（10分）【解析】（1）利用ρ2=x 2+y 2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t =2（x -1）代入下式消去参数t 即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入 ，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．24.设函数f （x ）=|x -a |（Ⅰ）当a =2，解不等式f （x ）≥4-|x -1|；（Ⅱ）若f （x ）≤1的解集为{x |0≤x ≤2}，+ =a （m ＞0，n ＞0）．求证：m +2n ≥4．【答案】 解：（I ）当a =2时，不等式f （x ）≥4-|x -1|即为|x -2|≥4-|x -1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2-x ≥4+（x -1），得， 故；②当1＜x ＜2时，原不等式化为2-x ≥4-（x -1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x-2≥4-（x-1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为 ，∪，．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x-a|≤1，从而-1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【解析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．。
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(有答案解析)
2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合0，，A的子集中，含有元素0的子集共有A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个2.在平面区域内随机取一点P，则点P在圆内部的概率A. B. C. D.3.已知直线l，m，平面、、，给出下列命题：，，，则；，，，则；，，则；，，，则．其中正确的命题有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数为增函数，则实数a的取值范围为A. B. C. D.6.一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.B.C.D.7.我国古代名著庄子天下篇中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所A？B？C？D？AB. BC. CD. D8.若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为A. 1B. 5C. 10D. 209.复数A. 2B.C. 2iD.10.已知等比数列的公比为正数，且，，则A. B. C. D. 211.设，分别为双曲线的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.12.已知以为周期的函数，其中，若方程恰有5个实数解，则m的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，求______．14.若D点在三角形ABC的边BC上，且，则的值为______．15.已知A，B两点均在焦点为F的抛物线上，若，线段AB的中点到直线的距离为1，则p的值为______．16.观察下列算式：，，，若某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角A；若，的面积为，求的值．18.如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为，，，，，据此解答如下问题．求全班人数及分数在之间的频率；现从分数在之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在的份数为X，求X的分布列和数学望期．19.如图所示，在矩形ABCD中，，，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将向上折起，使D到P，且求证：面ABCE．求AC与面PAB所成角的正弦值．20.已知椭圆过点，且离心率为直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．求椭圆的标准方程；若，试证明：直线l过定点并求此定点．21.已知函数的图象在处的切线l过点若函数，求最大值用a表示；若，，证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为：为参数，曲线：．Ⅰ在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；Ⅱ射线与的异于极点的交点为A，与的交点为B，求．23.已知关于x的不等式有解，记实数m的最大值为M．求M的值；正数a，b，c满足，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有、、、0，，四个；故选：B．根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．2.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为，则三角形的面积为，点P取自圆内部的面积为圆面积的，即，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆内部的概率等于．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法．3.答案：C解析：解：由线面平行的性质定理可知正确；由面面平行的性质定理可知，，因为，所以，即正确；若，，则与平行或相交，即错误；由面面垂直的判定定理可知正确．所以正确的命题有，故选：C．利用线面平行的性质定理判断；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断；若，，则与平行或相交，可判断；利用面面垂直的判定定理可判断．本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：若函数有零点，则，当时，函数在上为减函数不成立，即充分性不成立，若在上为减函数，则，此时函数有零点成立，即必要性成立，故“函数有零点”是“函数在上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5.答案：B解析：解：由题意可得，恒成立，故恒成立，因为，所以．故选：B．由题意可得，恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础试题．6.答案：D解析：解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．．故选D．由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7.答案：B解析：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：，，第2次循环：，，第3次循环：，，依此类推，第7次循环：，，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内应填入的条件是：？，执行框应填入：，应填入：．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．8.答案：C解析：解：令可得展开式的各项系数之和为，，故其展开式的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．9.答案：A解析：解：，故选：A．复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．复数代数形式的运算，注意i的幂的运算，是基础题．10.答案：B解析：解：设公比为q，由已知得，即，又因为等比数列的公比为正数，所以，故．故选：B．设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和即可求出的值．此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．11.答案：B解析：解：依题意，可知三角形是一个等腰三角形，在直线的投影是其中点，由勾股定理知可知根据双曲定义可知，整理得，代入整理得，求得；．故选B．利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．12.答案：A解析：解：当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得，，令，则，由，得，由，且得，同样由与第三个椭圆由可计算得，综上可知故选：A．根据对函数的解析式进行变形后发现当，，上时，的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据可求得m的范围．本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观．13.答案：解析：解：，；所以故答案为已知，根据弦切互化公式得；而，代入求出值即可．考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14.答案：解析：解：如图，，，根据平面向量基本定理得，，．故答案为：．根据即可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出r，s的值，从而得出的值．本题考查了向量减法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：1或3解析：解：分别过A、B作交线l：的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设，，根据抛物线的定义，得，梯形ACDB中，中位线，可得，，线段AB的中点到直线的距离为1，可得，，解得或，故答案为：1或3．分别过A、B作交线l：的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得，梯形ACDB中，中位线，由线段AB的中点到直线的距离为1，设，可得，由此求得p值．本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16.答案：45解析：解：由已知规律可得：按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面个等式共含有个奇数，，即，而．，故答案为：45．由已知规律可得：按上述规律展开后，发现等式右边含有n个整数．而前面个等式共含有个数，可得，解出即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.答案：解：由得，由正弦定理得，，，，得，所以；由的面积为及，得三角形面积，即，又，从而由余弦定理得，．所以，所以．解析：本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．由已知及正弦定理得，再由A的范围得；由的面积为及求得bc，由余弦定理得，即可得．18.答案：解：由茎叶图知，分数在之间的频数为4，频率为，全班人数为人．分数在之间的频数为，分数在之间的频率为；由知，分数在之间有10份，分数在之间有份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则，，，，的分布列为X 0 1 2 3P数学期望．解析：由茎叶图先分析出分数在之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在之间的频数，即可得到分数在之间的频率；由知，分数在之间有10份，分数在之间有份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．19.答案：解：，取BC的中点F，连OF，PF，，因为，所以面POF从而由可得面ABCE作交AB于G，如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为与面PAB 所成角的正弦值解析：取BC的中点F，连OF，PF，证明，，得到面POF从而证明，可得面ABCE作交AB于G，如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为，得到AC与面PAB所成角的正弦值本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．20.答案：解：由题意可知，解得：，椭圆的标准方程为：；由题意设，，，，设直线l的方程为，由知，，，由题意，，同理由知，，，，联立方程，消去x得：，需，且有，，把代入得：，，由题意，，满足式，直线l的方程为，过定点，即为定点．解析：根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；由题意设，，，，设直线l的方程为，由已知条件推出，，所以，即，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l过定点．本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21.答案：解：函数的导数为：，可得图象在处的切线l的斜率为，切点为，由切线经过点，可得，化简可得，，则，，，当时，，递增；当时，，递减．可得；证明：时，，，可得，化为，即有，令，，设，，当时，，递增；当时，，递减．即有在取得最小值1，则，可得，则，可得．解析：求得的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得，得到和的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；求得的解析式，由条件化简可得，令，，设，求得导数和单调区间，可得的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题．22.答案：解：Ⅰ曲线为参数可化为普通方程：，由可得曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．Ⅱ射线与曲线的交点A的极径为，射线与曲线的交点B的极径满足，解得，所以．解析：Ⅰ由可得，的极坐标方程；Ⅱ求出A，B的极径，即可求．本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：由绝对值不等式得，若不等式有解，则满足，解得．．由知正数a，b，c满足足，即，当且仅当即，即，时，取等号．成立．解析：根据绝对值不等式的性质进行转化求解．利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．。