2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)
宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试丨文数试卷含答案
宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷命题教师：一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合{}{}1,0,1,2,032|2--=<--∈=B x x Z x A ,则A B = （）A ．{}1,2--B ．{}2,1,0,1,2--C ．{}0,1,2--D ．{}1,02．若()()2i 1i z =+-，则z z +等于（）A ．2B ．6C ．2-D ．6-3．已知函数()f x 是奇函数，且当0x ≥时，()f x x =，则()4f -=（）A ．－4B ．－2C ．2D ．44．在ABC ∆中，AB c = ，AC b = ，若点M 满足2MC BM =uuu r uuu r ，则AM =（）A ．2133b c- B ．1233b c+C ．5233c b-D ．2133b c+5．已知命题p ：1x ∀<，3log 0x>；命题q ：0x ∃∈R ，0202x x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q∨B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∨⌝D ．p q∧6．已知25sin 2cos24θθ+=，则sin 2θ=（）A ．1516-B ．1516C ．34-D ．347．已知A 为抛物线()2:20C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到y 轴的距离为3，O 为坐标原点，则OA =（）A ．B ．6C ．D ．98．已知l 是曲线2ln =+y x k x 在1x =处的切线，若点()0,1-到l 的距离为1，则实数k =（）A ．54-B ．45-C ．1D ．1-9．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为a ，则表高为（）（注：sin15︒=A．(2aB．34a C．14a D．34a 10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为1AA ，11C D 的中点，过,,D M N 三点的平面与直线11A B 交于点P ，则线段1PB 的长为（）A ．14B ．34C ．12D ．不确定11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，直线l 过双曲线C 的右焦点且斜率为a b -，直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N 两点（N 点在x 轴下方），且2ON OM =，则C 的离心率为（）A ．2B．C．D．312．已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（）A ．21x x >B ．21x x ≥C ．12x x >D ．12x x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为__________．14．2022年11月30日，神州十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神州十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．15．圆心在直线0=+y x 上，且过点()()0,4,2,0-的圆的标准方程为__________．16．如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折至1A DE △的位置．若M 为线段1AC 的中点，在ADE V 翻折过程中（1A ∉平面ABCD ），给出以下结论：①存在1A DE △，使1DE A C ⊥；②三棱锥1B A CE -；③直线//MB 平面1A DE ．则其中正确结论的序号为_________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若()17252,4a S a a ==+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设22n an n b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（12分）网民的智慧与活力催生新业态，网络购物，直播带货，APP 买菜等进入了我们的生活，改变了我们的生活方式，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻．于是公安部推出国家级反诈防骗“王炸”系统——“国家反诈中心APP”，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失，某省自“国家反诈中心APP”推出后，持续采取多措并举的推广方式，积极推动全省“国家反诈中心APP”安装注册工作．经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数y （件）与推广时间有关，并记录了经推广x 个月后举报件数的数据：推广月数（个）1234567y （件）891888351220200138112（1）现用by a x=+作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程．（2）分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降至接近于零吗？参考数据（其中i i1=t x ）：7i ii=1∑t yt7i22i=17tt -⨯∑15860.370.55参考公式：对于一组数据()()()()112233,,,,,,,n n x y x y x y x y ，其回归直线ˆˆy bxa =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：iii=11i2i=ˆ-=-∑∑nnx ynx y bxnx ，ˆˆay bx =-．19.（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，12AA AB =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点.（1）求证：平面1B MC ⊥平面1B MN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离.20.（12分）已知函数()ln 2,f x x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为1B ，若△112F B F 为等边三角形，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的左、右顶点分别为12A A ，，不过坐标原点的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点（异于椭圆E 的顶点），直线12AA BA 、与y 轴的交点分别为M 、N ，若||3||ON OM =，证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为1,cos x y α⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数，2k παπ≠+），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0P ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11PA PB-的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()21f x x a x =++-．（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若0a >，0b >时，对任意[]1,2x ∈使得不等式()21f x x b >-+恒成立，证明：2211222a b ⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．宁夏六盘山高级中学2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试卷答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．题号123456789101112答案B B C B A A C A D B D C二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分.．133．14231522++-=16②③．(3)(3)10x y19【详解】（1）证明：CM AB ⊥，1CM AA ⊥1AB AA A= 所以CM ⊥平面1B MN ，因为CM ⊂平面1B MC ，所以平面1B MC ⊥平面1B MN ........6分（2）由()0f x =，可得ln 2xa x =，则直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，函数()ln 2x g x x=的定义域为()0,∞+，()21ln 2xg x x -'=，由()0g x '=，可得e x =，列表如下：所以，函数()g x 的极大值为()1e 2eg =，且当1x >时，()0g x >，当x →+∞时，和函数ln y x =相比，一次函数呈爆炸性增长，所以()0f x →，且()0f x '<，()0f x '→，又()10f =，根据以上信息，作出其图象如下：当102e a <<时，直线y a =与函数()ln 2x g x x=的图象有两个交点，。
2021届宁夏六盘山高级中学高三下学期高考一模考试数学(理)试卷及解析
2021届宁夏六盘山高级中学高三下学期高考一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|lnx＜1}，图中阴影部分为集合M，则M的元素个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：∵lnx＜1，∴0＜x＜e，∴B＝（0，e），∴A∩B＝{1，2}，∴M＝{﹣1，0，3}，∴M中元素的个数为3，故选：C．2．设i是虚数单位，若复数（m∈R）是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1解：∵＝m+＝m+＝（m﹣1）+i是纯虚数，∴m﹣1＝0，即m＝1．故选：C．3．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x＞0 B．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0C．∃x0∈R，lgx0＜1 D．∃x0∈R，tan x0＝解：y＝2x＞0，所以∀x∈R，2x＞0，所以A正确；x＝1，（x﹣1）2＝0，所以B不正确；x＝1，lgx0＝0＜1，所以∃x0∈R，lgx0＜1，所以C正确；x＝，tan x0＝，所以D正确．故选：B．4．设α，β为两个不重合的平面，能使α∥β成立的是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等D．α，β垂直于同一平面解：对于A，α内有无数条直线与β平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以A错误；对于B，α内有两条相交直线与β平行，根据两平面平行的判定定理知，α∥β，所以B 正确；对于C，α内有无数个点到β的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面β，所以也能得出无数个点到平面β的距离相等，C错误；对于D，当α、β垂直于同一个平面时，α与β也可以相交，所以D错误．故选：B．5．函数f（x）＝cos（x+θ）在[0，π]上为增函数，则θ的值可以是（）A．0 B．C．πD．解：当θ＝0时，f（x）＝cos x，在[0，π]上为减函数，故A错误；当θ＝时，f（x）＝cos（x+）＝﹣sin x，在[0，π]上先减后增，故B错误；当θ＝π时，f（x）＝﹣cos x，在[0，π]上为增函数，故C正确；当θ＝时，f（x）＝cos（x+）＝sin x，在[0，π]上先增后减，故D错误．故选：C．6．（3x﹣1）+（3x﹣1）2+（3x﹣1）3+…+（3x﹣1）n的展开式的各项系数和是（）A．2n+1B．2n+1+1 C．2n+1﹣1 D．2n+1﹣2解：对于（3x﹣1）+（3x﹣1）2+（3x﹣1）3+…+（3x﹣1）n，令x＝1，可得展开式的各项系数和2+22+2+3+…+2n＝＝2n+1﹣2．故选：D．7．2021年，河北新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援河北，共抗新型冠状病毒肺炎．北京某医院的甲、乙、丙、丁4名医。
高三数学下学期第一次模拟考试试题理含解析试题
宁夏六盘山高级中学2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题理〔含解析〕一、选择题.1.a R ∈，i 是虚数单位，假设1z ai =+，4z z ⋅=，那么a =〔 〕A. 1或者-1 C.者【答案】D 【解析】 【分析】根据复数1z ai =+，得到1z ai =-，再根据4z z ⋅=，利用乘法求解. 【详解】因为复数1z ai =+， 所以1z ai =-，214z z a ⋅=+=，所以a =应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算和概念，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 2.集合(){22020|log 103M x y x x ==--，{}|20201xN y y ==+，那么M N =〔 〕A. ()1,2-B. [)1,2-C. ()1,2D. [)1,2【答案】C 【解析】 【分析】先根据对数函数的定义域求法和指数函数值域的求法，化简集合M ，N ，然后求解. 【详解】因(){}22020|log 103{|52}M x y x xx x ==--=-<<，{}|20201{|1}x N y y y y ==+=>，所以{|12}M N x x =<<.应选：C【点睛】此题主要考察集合的根本运算以及指数函数和对数函数的性质，还考察了运算求解的才能，属于根底题.3.函数()21lg ||x f x x -=的图象大致为〔 〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】结合函数奇偶性特征先排除A ，再找特殊点，当0x →时，分析分子和分母的变化，可确定B 项正确【详解】由表达式()21lg ||x f x x -=可知，函数为偶函数，排除A ，当0x →211x -→，为正，lg ||x →-∞，所以()210xf x --=→，B 正确应选：B【点睛】此题考察应用奇偶性和特殊值法识别函数图像，属于根底题 4.设向量a ，b 满足2=a ，3b a b =-=，那么2a b +=〔 〕 A. 6 B. 32 C. 10D. 43【答案】D【分析】根据2=a ，3b a b =-=，求得a b ⋅，再由()222a b a b+=+求解.【详解】因为2=a ，3b a b =-=， 所以()24929a ba b -=+-⋅=，解得2a b ⋅=，所以()222436a b a b+=+=++=应选：D【点睛】此题主要考察平面向量的数量积运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题.22221x y a b-=，那么其渐近线方程为〔 〕A. y=±2xB. y=C. 12y x =±D.y x = 【答案】B 【解析】=b y x a =±，计算得b a =，故渐进性方程为y =.【考点定位】本小题考察了离心率和渐近线等双曲线的性质.6.ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设2sin sin 5B bA =，且()()40a c b a b c +---+=，那么ABC 的面积S =〔 〕B. 2C. 4【解析】 【分析】根据2sin sin 5B b A =，由正弦定理得到ab ，再根据()()40a c b a b c +---+=，结合余弦定理解得cos C ，然后代入in 12s S ab C =求解. 【详解】因为2sin sin 5B b A =，所以由正弦定理得5ab =，又因为()()40a c b a b c +---+=， 所以222246a b c ab +-=-=，由余弦定理得3cos 5C =，所以1sin 22S ab C ==. 应选：B .【点睛】此题主要考察正弦定理和余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 7.?算法统宗?是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如下图的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒〞问题.执行该程序框图，假设输入的a 的值是4，那么输出的m 的值是〔 〕A. 11B. 19C. 35D. 25【答案】C 【解析】按照循环构造的功能，一一循环，找到规律，直至3i >终止循环，输出结果. 【详解】第一次循环1,7i m ==， 第二次循环2,11i m ==， 第三次循环3,19i m ==， 第四次循环4,35i m ==， 终止循环，输出. 应选：C【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题. 8.琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅〞知识讲座，每排一节，连排八节.那么“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的概率为〔 〕 A.170B.235C.114D.18【答案】C 【解析】 【分析】先对八雅进展全排列，得到方法总数，再利用插空法得到“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的方法数，然后代入古典概型的概率公式求解. 【详解】对八雅进展全排列，方法总数为88A 种，满足“琴〞“棋〞“书〞“画〞互不相邻的方法书为4445A A 种，那么所求概率为444588314214A A P A ===. 应选：C .【点睛】此题主要考察古典概型的规律，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 9.底面为长方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，24BC PA ==，3AB =，E 为PD 中点，那么异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为〔 〕A.35B.25C.65D.8525【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点F ，E 为PD 中点，由中位线定理得到EFBD ，从而AEF ∠〔或者补角〕为异面直线AE 与BD 所成角，然后再利用余弦定理求解. 【详解】如下图：取PB 中点F ，连接AF ，EF ， 因为E 为PD 中点，所以EFBD ，所以AEF ∠〔或者补角〕为异面直线AE 与BD 所成角. 由得，152AE PD ==，1132AF PB ==1522EF BD ==， 所以22285cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅应选：D .【点睛】此题主要考察异面直线所成的角的求法，还考察了空间想象和运算求解的才能，属于中档题.10.函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），那么b =〔 〕A. 3B. 3或者7C. 5D. 5或者8【答案】B 【解析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，假设88f x f x ππ+=-（）（），那么()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或者25b -+=， 所以b 的值是7或者3. 应选：B.【点睛】此题考察的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属根底题11.()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.假设存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，那么实数m 的最大值为〔 〕 A.35B.35C. 1D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出()g x 、()h x 的解析式，不等式恒成立，采用别离参数法，可得2141x m ≤-+转化为求函数的最值，求出函数2141xy =-+的最大值即可. 【详解】()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x xh x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x xm ----≤==-+++， ∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数， ∴max 231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，【点睛】此题主要考察函数奇偶性的应用、考察了不等式存在有解问题以及函数的单调性求最值，注意别离参数法的应用，此题属于中档题.12.1F，2F是椭圆C ：22221(0) xya ba b+=>>的左、右焦点，过2F的直线交椭圆于,P Q两点.假设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列，且1||PQ PF=，那么椭圆C的离心率为〔〕A.23B.34C.155D.105【答案】D【解析】【分析】设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d，可得12344a a a a a+++=，及123a a a+=，进而可求得1234,,,a a a a的表达式，然后在12PF F△和1PFQ中，利用余弦定理得到12cos F PF∠的表达式，进而可求出离心率的值.【详解】如下图，设2211||,||,||,||QF PF PF QF依次构成等差数列{}n a，其公差为d.根据椭圆定义得12344a a a a a+++=，又123a a a+=，那么1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a=，12342468,,,5555a a a a a a a a====.所以18||5QF a=，16||5PF a=，24||5PF a=，6||5PQ a=.在12PF F△和1PFQ中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⨯⨯⨯⨯， 整理得22715a c =,那么c e a ==. 应选：D.【点睛】此题考察椭圆离心率的求法，考察椭圆定义的应用，考察等差数列的性质，考察学生的计算求解才能，属于中档题. 二、填空题.13.曲线sin y x x =在点(),0π处的切线方程为___________.【答案】2y x ππ=-+ 【解析】 【分析】根据导数的几何意义,先求得在点(),0π处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.【详解】曲线sin y x x =那么()()''sin sin 'sin cos y x x x x x x x =+=+ 所以在点(),0π处的切线的斜率为sin cos k ππππ=+=-由点斜式可得()2y x x ππππ=--=-+ 故答案为: 2y x ππ=-+【点睛】此题考察了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于根底题.14.假设,x y 满足约束条件036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，那么2z x y =-的最大值为_________.【答案】4 【解析】 【分析】根据可行域，将2z x y =-变为2y x z =-，那么z 的最大值即为在y 轴截距最小值，通过图像得到结果.【详解】由约束条件可知可行域如下列图：将2z x y =-变为2y x z =-，那么z 的最大值即为在y 轴截距最小值 通过下列图可知：当2y x z =-过点()2,0A 时，截距最小，那么z 最大max 2204z ∴=⨯-=此题正确结果：4【点睛】此题考察线性规划中z ax by =+型的最值问题的求解，属于根底题.15.假设()3sin 5πα+=，α是第三象限角，那么cossin22cos sin 22αααα+-______. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用平方关系和二倍角公式化简cos sin22cos sin 22αααα+-为1sin cos αα+，再利用()3sin 5πα+=，得到sin ,cos αα代入求解.【详解】因为2cos sin cos sin 1sin 2222=cos cos sin cos sin cos sin 222222αααααααααααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 又()3sin sin 5παα+=-=， 3sin 5α∴=- ，α为第三象限角，4cos 5α∴=-，1sin 1cos 2αα+∴=-.故答案为：12-【点睛】此题主要考察同角三角函数根本关系式，诱导公式以及二倍角公式，还考察了运算求解的才能，属于中档题.16.在矩形ABCD 中，4BC ＝，M 为BC 的中点，将ABM 和DCM △分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与C 重合于点P .假设150APD ∠︒＝，那么三棱锥M PAD ﹣的外接球的外表积为_____. 【答案】68π. 【解析】 【分析】计算ADP △外接圆的半径r ，并假设外接球的半径为R ，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据PM ⊥面PAD ，222PM 2R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题意可知，MP PA MP PD PD PA P ⊥⊥⋂，，＝， 所以可得PM ⊥面PAD ，设ADP △外接圆的半径为r ， 由正弦定理可得AD 2sin APDr =∠，即42sin150r =︒，4r =， 设三棱锥M PAD ﹣外接球的半径R ，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，那么222PM 116172R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭， 所以外接球的外表积为2468S R ππ＝＝. 故答案为：68π.【点睛】此题考察三棱锥的外接球的应用，属于中档题.三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题.17.数列{}n a 满足12a =，1(1)2(1)n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=. 〔1〕证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；〔2〕假设2n bn c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】〔1〕证明见解析；2n b n =〔2〕1244323n n n ++-- 【解析】 【分析】〔1〕根据()()1121a n n n a n n +-+=+，两边同除以()1n n +，得到121n na a n n+-=+，再利用等差数列的定义求解.〔2〕由〔1〕得到224n n n c n n =-=-，再利用分组求和的方法求解. 【详解】〔1〕因为nn a b n=且()()1121a n n n a n n +-+=+， 所以1121n nn n a a b b n n++-=-=+， 又因为112b a ==，所以{}n b 是以2为首项，以2为公差的等差数列. 所以()2212n b n n =+-=.〔2〕由〔1〕及题设得，224n n n c n n =-=-，所以数列{}n c 的前n 项和()()()1241424nn S n =-+-+⋅⋅⋅+-()()12=4+4++412n n ⋅⋅⋅-++⋅⋅⋅+()1444=142n n n +-⨯-- 1244=323n n n ++--. 【点睛】此题主要考察等差数列的定义以及分组求和的方法，还考察了运算求解的才能，属于中档题.18.在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数()010x x ≤≤和创新灵感指数()010y y ≤≤，统计结果如下表〔注：指数值越高素质越优秀〕：〔1〕求创新灵感指数y 关于艺术爱好指数x 的线性回归方程；〔2〕企业为进步员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进展培训，培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()200101tx e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()01010110x t ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，其中0x 为参加培训的某员工已到达的艺术爱好指数.艺术爱好指数已到达3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已到达4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-.参考数据：185ni ii x y==∑，2190ni i x ==∑【答案】〔1〕1ˆ22yx =+〔2〕培训后乙的创新灵感指数更高 【解析】 【分析】〔1〕先求得,x y ，再根据提供的数据，求得ˆˆ,ba ，写出回归直线方程.〔2〕根据培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()200101tx e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的进步量为()01010110x t ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，分别得到员工甲经过20次的培训后，他们的艺术爱好指数，再估计他们的创新灵感指数，比拟即可.【详解】〔1〕设ˆˆˆybx a =+，有5511114,455i i i i x x y y ======∑∑， 1221511,4421ˆ022ˆˆni ii nii x y nxyba y bx xnx ==-∴====-=-⨯=-∑∑， 1ˆ22yx ∴=+. 〔2〕员工甲经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将到达()2012031031107x e e --⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，因此估计他的创新灵感指数为()11121077122y e e -⎛⎫=+⨯-=- ⎪⎝⎭. 员工乙经过20次的培训后，估计他的艺术爱好指数将到达()104104182010x ⎛⎫=+--= ⎪+⎝⎭，因此估计他的创新灵感指数为12862y =+⨯=.由于17162e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，故培训后乙的创新灵感指数更高. 【点睛】此题主要考察线性回归方程的求法以及应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题.19.抛物线()2:20C x py p =>与圆22:12O x y +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点M ，N . 〔1〕求抛物线C 的方程.〔2〕过点M ，N 作抛物线C 的切线1l ，2l ，()00,P x y 是1l ，2l 的交点，求证：点P 在定直线上.【答案】〔1〕24x y =〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕根据点A 的横坐标为A 的坐标，代入抛物线方程求解.〔2〕由〔1〕得到抛物线2:4x C y =，求导'2x y =，设()()1122,,,M x y N x y ，利用导数的几何意义，得到切线PM ，PN 的方程，联立解得点P 的坐标，再设出直线MN 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求解.【详解】〔1〕点A 的横坐标为A 的坐标为()2A ，代入22x py =解得2p =，所以抛物线的方程为24x y =.〔2〕抛物线2:4x C y =，那么'2x y =，设()()1122,,,M x y N x y ，所以切线PM 的方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x y x =-，同理切线PN 的方程为22224x x y x =-，联立解得点1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线MN 的方程为1y kx =+，代入24x y =， 得2440x kx --=，所以124x x =-， 所以点P 在1y =-上，结论得证.【点睛】此题主要考察抛物线的方程和几何性质以及直线过定点问题，还考察了运算求解的才能，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中， PB ⊥平面PAC ，四边形ABCD 为平行四边形，且24AD AB ==，135BAD ∠=︒.〔1〕证明： AC ⊥平面PAB〔2〕当直线PC 与平面PAB 2时，求锐二面角A PC D --的余弦值. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕105【解析】 【分析】〔1〕在四边形ABCD 中，由平面几何知识，易证AB AC ⊥，再由PB ⊥平面PAC ，得到PB AC ⊥，根据线面垂直的断定定理证明AC ⊥平面PAB .〔2〕根据〔1〕知AC ⊥平面PAB ，得到APC ∠是直线PC 与平面PAB 所成角，由直线PC 与平面PAB 2，得到2AP =，从而2PB PA PB PA ⊥==，，然后以A 为原点，分别以AB ，AC ，在平面PAB 中，过A 垂直于AB 的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，PB 是平面PAC 的一个法向量，再求得平面PCD 的一个法向量，利用二面角的向量公式求解.【详解】〔1〕∵四边形ABCD 为平行四边形，24,135AD AB BAD ==∠=︒∴4,22AD BC AB CD ====，45ABC ∠=︒，∴在△ABC 中，由余弦定理得2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=， ∴22AC =.∴222AB AC BC +=，即AB AC ⊥， 又∵PB ⊥平面PAC ，∴PB AC ⊥， 又∵,,AB PB B AB PB PAB ⋂=⊂平面 ∴AC ⊥平面PAB〔2〕由〔1〕知，APC ∠是直线PC 与平面PAB 所成角，22tan 2AC APC AP AP∠===，∴2AP =，又∵PB ⊥平面PAC ， ∴2PB PA PB PA ⊥==，∴△PAB 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系：那么有：()()()()(0,0,0,22,0,0,0,22,0,22,22,0,2,0,2A B C D P -，由(22PB =，是平面PAC 的一个法向量，设平面PCD 的一个法向量为(),,n x y z =，()22,0,0CD =-，(2,22,2CP =-，n CP n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，220y x ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，()0,1,2n =∴22cos ,25PB n PB n PB n⋅∴===⋅∴锐二面角A PC D --的 【点睛】此题主要考察线面垂直，二面角的向量求法，还考察了转化化归的思想和空间想象和运算求解的才能，属于中档题. 21.函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()k g x x x=-. 〔1〕证明：当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥.〔2〕假设函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，证明：1718k <≤. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析 【解析】 【分析】〔1〕求导2211()1ln 1f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，要证当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥，只需()min 0f x ≥即可.〔2〕将函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，转化为方程()221ln x x x k --=-在区间[)1+∞，上有两解，令()22()1ln h x x x x =--，用导数法研究其值域，再用数形结合的思想求解即可. 【详解】〔1〕2211()1ln 1f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，当[)1x ∈+∞，时，2211()1ln 10f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++-≥ ⎭⎝'⎪⎪⎝⎭， ()f x ∴在区间[)1x ∈+∞，上单调递增， ()(1)0f x f ∴≥=，不等式成立.〔2〕函数()()y f x g x =-在[)1,+∞有两个零点，即方程()221ln x x x k --=-在区间[)1+∞，上有两解， 令()22()1ln h x x x x =--，那么1()2ln h x x x x x=--' 令1()()2ln 1x h x x x x x xφ'==--≥，，21()2ln 10x x xφ='∴++>， ()h x '∴在区间[)1+∞，单调递增又5(1)20,(2)4ln 202h h ∴=-<=-'>'， 故存在唯一的实数()1,2m ∈，使得1()2ln 0h m m m m m=--='， 即211ln 22m m =+ 所以()h x 在()1,m 上单调递减，在区间(),m +∞上单调递增， 且()()11h h e ==-，所以22222min 221111h()()(1)ln (1)222x h m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()1,2m ∈，所以()min 178h x >-， 因为方程关于x 的方程()221ln x x x k --=-在[)1+∞，上有两个零点， 所以()()min 17118h x k h -<<-≤=-， 即171k 8≤<.【点睛】此题主要考察导数与不等式证明，导数与函数的零点，还考察了转化化归，数形结合的思想和运算求解的才能，属于难题.〔二〕选考题：请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.〔Ⅰ〕求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P 的直角坐标为()1,0，假设直线l 与曲线C 分别相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】〔Ⅰ〕22142x y +=，10x y +-=；【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据参数方程与普通方程的转化即可得曲线C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕将直线l 的直角坐标方程化为HY 参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解.【详解】〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为：2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩〔α为参数〕.变形为cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨=,平方相加后可转化为直角坐标方程得22142x y +=.直线lsin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.sin cos sin cos 144ππρθρθ⎫+=⎪⎭,122y x ⎫+=⎪⎪⎭化简可得直角坐标方程为10x y +-=.〔Ⅱ〕把直线10x y +-=的方程为转换为HY参数方程可得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕.把直线的HY 参数方程代入曲线C 的直角坐标方程22142x y +=，可得2360t --=，所以123t t +=，122t t =-， 所以由参数方程的几何意义可知121211t t PA PB t t -+====【点睛】此题考察了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x =-++.〔1〕求()f x 的最小值及获得最小值时x 的取值范围；〔2〕假设集合{|()10}x f x ax +->=R ，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-〔2〕()1,2-【解析】【分析】〔1〕利用绝对值不等式公式进展求解；〔2〕集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.【详解】解〔1〕因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=〞成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3，且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.〔2〕因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.如图，()2,3A ，()1,3B -.那么直线PA 的斜率131120k -==-， 直线PB 的斜率231210k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-.【点睛】此题考察了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵敏运用.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
宁夏顶级名校2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学答案
单调递增；当
x
1 a
,
时，
g
x
0
，
g
x
单调递减；
故
g
x
max
g
1 a
ln
1 a
1 2
a
1 a
2
1 a
1 a
1
1 2a
ln a
．
……6 分
（2）证明：∵ a 4 ，∴ f x1 f x2 x1 x2 3x1x2 ln x1 2x12 1 ln x2 2x22 1 x1 x2 3x1x2
（Ⅱ）射线
6
(
0) 与曲线 C1 的交点
A
的极径为
1
2 cos
6
3 ，………6 分
射线
6
(
0) 与曲线 C2
的交点
B
的极径满足
22 (1 sin2
)
6
2 ，解得
2
2
10 5
，………8
分
所以 AB 1 2
3 2 10 ．………10 分 5
23、解析： x 2 x 3 (x 2) (x 3) 5 ， ………2 分
∴
x1
x2
2 x1
x2 2 ≥1 ，
x1
x2
0
，解得
x1
x2≥
1 2
．
……12 分
22、解析：（Ⅰ）曲线
C1
:
x
y
1 cos sin
(
为参数）可化为普通方程:
(x
1)2
y2
1 ，………2
分
由
x
y
cos sin
可得曲线
2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(word无答案)
2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题(★) 1 . 若复数 z满足，则 z的实部为A．1B．C．2D．(★) 2 . 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 3 . 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．(★★) 4 . 已知非零向量，满足，且，，的夹角为，则实数 k 的值为（）A．4B．3C．2D．(★) 5 . 函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．(★★) 6 . 双曲线－＝1 ( a＞0， b＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率 e的取值范围是( )A．B．C．D．(★) 7 . 在四边形中，，且，，，则边的长（）A．B．C．D．(★) 8 . 如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是（）A．i>100，n＝n＋1B．i<34，n＝n＋3C．i>34，n＝n＋3D．i≥34，n＝n＋3(★★) 9 . 如图四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A．B．C．D．(★★) 10 . 定义行列式运算.已知函数满足且的最小值为，则的值为（）A．1B．2C．3D．4(★★) 11 . 如图，若是椭圆上位于第一象限内的点，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，是椭圆的右焦点，且，，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 12 . 定义在上的奇函数满足，且在上，则（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 13 . 曲线在点处的切线方程为__________.(★★) 14 . 若实数x ，y 满足条件 ，则 的最大值为 _____________ .(★) 15 . 已知 ，则 __________.(★) 16 . 已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为________.三、解答题(★) 17 . 已知等差数列的前n 项和为，，.（1）求数列 的通项公式；（2）求的最大值.(★) 18 . 甲、乙两人在相同条件下各射击次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）：平均数方差命中环及环以上的次数甲乙（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中环及环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：.(★★) 19 . 如图，直三棱柱中，是的中点，且，四边形为正方形.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，求点到平面的距离.(★★) 20 . 已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过抛物线的焦点，且与圆相切．（1）求的值；（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设．求证点在定直线上，并求该定直线的方程．(★★) 21 . 已知函数在处的切线与直线平行．(1)求实数的值，并判断函数的单调性；(2)若函数有两个零点，，且，求证：．(★★) 22 . 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为（2,1），求直线的方程.(★★) 23 . 已知函数（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证：.。
宁夏六盘山一中2019-2020学年第一学期高三期末理科数学测试卷(6页)
宁夏六盘山高级中学2019-2020学年第一学期高三期末测试卷学科：数学（理B ） 满分：150分 考试时间：120分钟 命题人： 一、选择题:（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.已知全集U R =，集合1|0x A x x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，{}1|≥=x x B ，则集合{}0|≤x x 等于 （ ） A ． B ． C ． D ．2.若34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan =4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A. 7-B. 17- C. 7 D.177-或-3.已知||2a =，向量a 在向量b，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3π B ． 6πC ．23πD ．2π 4.下列命题中为真命题的是（ ）A ．若21,0≥+≠xx x 则B ．直线b a ,为异面直线的充要条件是直线b a ,不相交C ．“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件D ．若命题2:R,10p x x x ∃∈-->“”，则命题p 的否定为：“2R,10x x x ∀∈--≤5.从抛物线214x y =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积（ ）A ．5B ．10C ．20D ．156.已知函数2()()g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x=的图象关于y x =对称，则(1)(2)g g -+-=（ ） A. 7-B. 9-C. 11-D. 13-7.将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小正值为（ ） A ．18π B ．38π C ．34π D ．12π8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．π2 B ．π22C ．（212+）πD ．（222+）π9. 若42log (34)log a b +=+a b 的最小值是（ ） A. 6+B. 7+C. 6+D. 7+10. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11,AB A B 的中点，则三棱锥F ECD -的外接球的体积为 （ ）A ．414π B ．43π C D 11.椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>> 与抛物线:E x y 42=相交于点M ,N ，过点(10)P -，的直线与抛物线E 相切于M ,N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 12.已知函数1()ln 22x f x =+，2()x g x e -=，若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为（ ）A B ⋂A B ⋃U C A B ⋂（）U C A B ⋃（）A. 1ln2-B. ln 2C. 3-D.23e - 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.当直线:l (21)(1)740m x m y m +++--=()m R ∈被圆:C 22(1)(2)25x y -+-=截得的弦最短时，m 的值为_______． 14.若sin 211cos 23αα=-，tan(2)1βα-=，则tan()αβ-= _______．15.已知双曲线:C 22221(00)x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为1F ，2F ，若C 上一点P满足1212||||PF PF F F +=，且12||2||PF PF =，则双曲线C 的渐近线方程为______． 16.如图，矩形ABCD 中，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆，构成四棱锥1A BCDE -，若M 为线段1A C 的中点，在翻转过程中有如下四个命题：①MB ∥平面1A DE ；②存在某个位置，使1DE A C ⊥；③存在某个位置，使1A D CE ⊥；④点1A的圆周上运动，其中正确的命题是__________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（本题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C的对边，cos b cC C a++=．(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =ABC ∆周长的取值范围．18.（本题满分12分）已知在等比数列{}n a 中，22a =，45128a a =，数列{}n b 满足11b =，22b =，且12n n b a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等差数列．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，2AD =，60ADC ∠=︒，E ，F 分别为AD ，PC 的中点．(Ⅰ)求证：EF ∥平面PAB ；(Ⅱ)点G 是线段PD 上一动点，若直线CG 与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角G EC F --的余弦值．20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：222(0)x y r r +=>与直线0l：y x =+A 为圆1C 上一动点，AN x ⊥轴于点N ，且动点M 满足OM AM ON +=，设动点M 的轨迹为曲线C ．(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设P ，Q 是曲线C 上两动点，线段PQ 的中点为T ，OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-，求||OT 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x x m x =-，2()h x x x a =-+． (Ⅰ)当0a =时，()()f x h x ≥在(1)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围(Ⅱ)当2m =时，若函数()()()k x f x h x =-在区间[13]，上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为22x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=,且曲线C 的左焦点F 在直线l 上．(Ⅰ)若直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求||||FA FB ⋅的值； (Ⅱ)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值． 23．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．已知函数．(Ⅰ)若不等式的解集为，求实数a 的值；(Ⅱ)在(I)的条件下，若存在实数使成立，求实数m 的取值范围．a a x x f +-=2)(6)(≤x f {}32≤≤-x x n )()(n f m n f --≤。
2020年宁夏六盘山高中高考(理科)数学(4月份)模拟测试试卷 含解析
2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题.1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．209．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．211．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题13．已知tan x＝2，求cos2x＝．14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选：B．2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为△OAB，则三角形的面积为S＝×1×2＝1，点P取自圆x2+y2＝2内部的面积为圆面积的，即×π×＝，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆x2+y2＝2内部的概率等于．故选：B．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，故a≥﹣sin x恒成立，因为﹣1≤﹣sin x≤1，所以a≥1．故选：B．6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．＝﹣＝＝．故选：D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S＝1﹣，i＝4，第2次循环：S＝1﹣﹣，i＝8，第3次循环：S＝1﹣﹣﹣，i＝16，…依此类推，第7次循环：S＝1﹣﹣﹣﹣…﹣，i＝256，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：i≤128？，执行框②应填入：s＝s﹣，③应填入：i＝2i．故选：B．8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解：令x＝1可得展开式的各项系数之和为2n＝32，∴n＝5，故其展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝10，故选：C．9．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【分析】复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．解：i3（1+i）2＝（﹣i）（2i）＝2，故选：A．10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9＝2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2＝1即可求出a1的值．解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8＝2（a1q4）2，即q2＝2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝2 ＝4b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得＝；∴e＝＝＝＝．故选：B．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y＝x与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+＝1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y＝x与第二个椭圆（x﹣4）2+＝1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y＝x代入（x﹣4）2+＝1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2＝0，令t＝9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t＝0，由△＝（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m＞，同样由y＝x与第三个椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）由△＜0可计算得m，综上可知m∈（，）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan x＝2，求cos2x＝．【分析】已知tan x＝2，根据弦切互化公式得cos2x＝＝＝；而cos2x ＝2cos2x﹣1，代入求出值即可．解：∵tan x＝2，∴cos2x＝＝＝；所以cos2x＝2cos2x﹣1＝2×﹣1＝﹣故答案为﹣14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．【分析】根据即可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出r，s的值，从而得出3r+s的值．解：如图，∵，∴，∴根据平面向量基本定理得，，∴．故答案为：．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为1或3．【分析】分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，由线段AB的中点到直线x＝的距离为1，设M（x 0，y 0），可得|x 0﹣|＝1，由此求得p值．解：分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，∴梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，可得x0+＝2，x0＝2﹣，∵线段AB的中点到直线x＝的距离为1，可得|x0﹣|＝1，∴|2﹣p|＝1，解得p＝1或p＝3，故答案为：1或3．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝45．【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个整数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个数，可得2×＜2021，解出即可得出．解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个奇数，∴2×＜2021，即n（n﹣1）＜2021，而45×44＝1980＜2021.46×45＝2070＞2021．∴n＝45，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．【分析】（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A，得2cos A＝1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc＝6，由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，，即可得．解：（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A……又0＜A＜π，所以sin A≠0，得2cos A＝1，所以……（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc＝6……又a＝3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，所以……所以……18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．【分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴全班人数为人．∴分数在[80，100]之间的频数为32﹣4﹣8﹣10＝10，∴分数在[80，100]之间的频率为＝0.3125；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.2．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．【分析】（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为，得到AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF从而BC⊥PO（2）由（1）（2）可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为AC 与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由已知条件推出，，所以λ1+λ2＝﹣3，即y1y2+m（y1+y2）＝0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l过定点．解：（1）由题意可知，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，由题意λ1≠0，∴，同理由知，，∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0 ①，联立方程，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0 ②，且有，③，把③代入①得：t2m2﹣3+m•2mt2＝0，∴（mt）2＝1，由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b ＝0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得f（x）的解析式，由条件化简可得2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，求得导数和单调区间，可得h（t）的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的导数为：f′（x）＝﹣ax+b，可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b，切点为（1，1+b﹣a），由切线经过点（，），可得1﹣a+b＝，化简可得，b＝0，则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣+1﹣1+＝﹣lna；（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2，化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．即有h（t）在t＝1取得最小值1，则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，则2x1+2x2﹣1≥0，可得x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由可得C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求出A，B的极径，即可求|AB|．解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2＝1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥×4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号．∴+≥1成立．。
2020年六盘山高中高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年六盘山高中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x(x +1)<0}，B ={x|12x >1}，则C B A =( )A. (−1,0]B. (−1,0)C. (−∞,−1]D. (−∞,0]2. 若z =2+i ，则zz−1=( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1),(x >0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 2π3B. π6C. π4D. π34. 现有3本不同的数学书，2本不同的语文书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为( )A. 13B. 112C. 29D. 3105. 已知下表所示数据的回归直线方程为y ̂=5x −a ，且由此得到当x =7时的预测值是28，则实数m 的值为( )A. 18B. 20C. 21D. 226. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a7. 已知直线l ，m 和平面α，下列说法正确的是( )A. 若l//α，m ⊂α，则l//mB. 若l//m ，m ⊂α，则l//αC. 若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αD. 若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m8. 已知抛物线y 2=8x 的焦点与双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为( )A. 2B. 32C. √2D. 129. 将奇函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( )A. 2B. 3C. 4D. 610. 若cos (π4−α)=14，则sin2α的值为( )A. −78B. 78C. −18D. 1811. 已知直线l ：y =kx +2过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2+y 2=4截得的弦长为L ，若L ≥4√55，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A. (0,√55) B. (0,2√55] C. (0,3√55] D. (0,4√55] 12. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=f(−x)，且当x ∈[−3,−1]时，f(x)=x 2+ax +4，则函数y =1f(x)−log |x−1|5的零点个数为( )A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从装有编号为1，2，3，…，n +1的n +1个球的口袋中取出m 个球，m ，n ∈N)，共有C n+1m 种取法．在这C n+1m 种取法中，不取1号球有C 10C n m 种取法：必取1号球有C 11C n n−1种取法．所以C 10C n m +C 11C m m−1=C n+1n ，即C n m +C n m−1=C n+1m 成立，试根据上述思想，则有当，k ，m ，n ∈N 时，C n m +C n 1C n m−1+C n 2C n m−2+⋯+C k k C n m−k =________．14. 已知函数f(x)={log 2(x +1),x >32x−3+1,x ≤3满足f(a)=3，则f(a −5)的值为______ ．15. 已知锐角△ABC 中内角A,B,C 的对边边长分别为a,b,c ，cosA =35，cosB =√55，b =5，则边长c = ．16. 已知三棱锥S −ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA =AB =4，BC =6，AC =2√13，则三棱锥S −ABC 外接球的表面积为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图所示，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =2，AA 1=4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;(2)求平面ADC1与平面ABA1所成的锐二面角的余弦值．18.假设某射手每次射击命中目标的概率为2，现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，3否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X(发)，求：(1)耗用子弹数为X的概率分布列；(2)耗用子弹数为X的数学期望．19.已知等差数列{a n}满足a2=3,a4+a5=16．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n−1，记数列{b n}的前n项的乘积为T n，求T n20.函数f(x)=2x2−ax+1+lnx(a∈R)．(Ⅰ)若a=0，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)若a=5，求f(x)的单调区间；(Ⅲ)若3<a≤4，证明f(x)在x∈[1,e]有唯一零点．21.已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，且CA，CB所在直线的斜率之积等于−3，记顶点C的轨迹为Γ．4(Ⅰ)求顶点C的轨迹Γ的方程；(Ⅱ)若直线l：y=kx+m与曲线Γ交于M，N两点，点P在曲线Γ上，且O为△PMN的重心(O为坐标原点)，求证：△PMN的面积为定值，并求出该定值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosφ,y =2sinφ(φ为参数)，已知点Q(4,0)，点P是曲线C 1上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求点M 的轨迹C 2的极坐标方程；(2)已知直线l ：y =kx 与曲线C 2交于A ，B 两点，若OA⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求k 的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|ax +2a −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≤5的解集；(2)当x ≥4时，不等式f(x)≥x 恒成立．求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题．先得出集合A ，B ，再求补集即可． 解：依题意，A =(−1,0)，，所以故选C ．2.答案：C解析：本题考查复数的共轭复数以及复数的四则运算，首先根据z =2+i 得到z =2−i ，代入式子计算即可，属于基础题．解：若z =2+i ，z =2−i ， 则zz−1=4i(2+i )(2−i )−1=4i5−1=4i 4=i ．故选C ．3.答案：C解析：解：因BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x, 1)， 则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1−x)2+1=5， 即x 2−2x −3=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1(舍)， 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22， ∴θ=π4故选C ．根据向量的坐标运算和向量的模求出x 的值，再根据向量的夹角公式计算即可．本题考查了向量的模和向量的夹角公式，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查古典概型概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．先求出基本事件总数n=C52，再求出取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m=C32，由此能求出取出的书恰好都是数学书的概率．解：书架上有2本不同的语文书，3本不同的数学书，从中任意取出2本，基本事件总数n=C52=10，取出的书恰好都是数学书包含的基本事件个数m=C32=3，∴取出的书恰好都是数学书的概率为P=mn =310．故选D．5.答案：B解析：本题考查回归直线过样本中心点的应用问题，属于基础题．由x=7时的预测值是28，求出a，然后利用回归直线过样本中心点求出m即可．解：由表中数据知，x=15×(2+3+4+5+6)=4，y=15×(3+7+12+m+23)=9+m5，因为x=7时的预测值是28，所以28=35−a，得a=7，所以回归直线方程为ŷ=5x−7，因为回归直线经过样本中心点(x,y)，所以9+m5=20−7，解得m=20．故选B ．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：本题考查空间直线与直线，直线与平面平行和垂直的判定，根据相关定理逐一判断即可． 解：对A ，若l//α，m ⊂α，则l//m ，由线面平行的定义知错误； 对B ，若l//m ，m ⊂α，则l//α，直线l ⊂α满足条件，错误；对C ，若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α，不符合线面垂直的判定定理，错误； 对D ，若l ⊥α，m ⊂α，则l ⊥m ，符合线面垂直的定义，正确． 故选D ．8.答案：A解析：解：由抛物线y 2=8x ，可得2p =8，则p =4，故其准线方程为x =−2， ∵抛物线y 2=8x 的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点， ∴c =2．∵抛物线y 2=8x 的准线被双曲线截得的线段长为6， ∴2b 2a=6，又c 2=4=a 2+b 2，∴a =1，b =√3，则双曲线的离心率为e =ca =2． 故选：A ．先求出双曲线的焦点坐标，再利用抛物线y 2=8x 的准线被双曲线截得的线段长为6，可得2b 2a=6，借助于c2=a2+b2，求出a，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线与抛物线的简单性质，考查计算能力是中档题．9.答案：D解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，考查函数奇偶性及其应用，解题的关键是求得φ的值．由函数为奇函数得到φ的值，由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得平移后所得函数，由此函数仍为奇函数求得ω的值．解：∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)是奇函数，∴f(0)=Asinφ=0，又−π2<φ<π2，∴φ=0，则f(x)=Asinωx，把f(x)=Asinωx的图象向左平移π6个单位得到的图象对应的函数解析式为，由图象关于原点对称得f(0)=Asinωπ6=0，∴ω=6k,k∈Z，结合选项可知ω的值可以为6．故选：D．10.答案：A解析：由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．解：sin2α=cos[2(π4−α)]=2cos2(π4−α)−1=−78，故选：A．11.答案：B解析：本题考查点到直线的距离公式、椭圆的标准方程与简单几何性质，属于中档题．根据题意求出圆x2+y2=4的圆心到直线l的距离d满足d2≤165，结合点到直线的距离公式建立关于k的不等式，算出k2≥14.利用离心率的公式建立e关于k的关系式，即可求出椭圆离心率e的取值范围．解：根据题意，知b=2，kc=2．设圆心到直线l的距离为d，则L=2√4−d2≥4√55，解得d2≤165．又因为d=√1+k2，所以11+k2≤45，解得k2≥14．于是e2=c2a2=c2b2+c2=11+k2，所以0<e2≤45，解得0<e≤2√55，故选B．12.答案：B解析：本题主要考查了函数的零点，奇偶性、周期性及对称性，函数图像的应用，属于难题．利用偶函数的性质以及对称性得到f(x)的周期性，求出f(x)的解析式，画出两个函数的图象确定出交点个数即为函数的零点．解：因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，又f(x+2)=f(−x)，则f(x+2)=f(x)，则函数的周期为2，所以直线x=−2是一条对称轴，又因为当x∈[−3,−1]时，f(x)=x2+ax+4，=−2，得a=4，故对称轴为直线x=−a2所以当x∈[−3,−1]时，f(x)=x2+4x+4=(x+2)2，由，得，(f(x)≠0)画出y=f(x)(x≠2k,k∈Z)与1，2)的图象如下：由图象看出零点个数为8个．故选B．m13.答案：C n+k解析：本题结合考查了类比推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案．解：在C n m+C k1·C n m−1+C k2·C n m−2+⋯+·C k k·C n m−k中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，m．故从装有n+k球中取出m个球的不同取法数C n+km．故答案为C n+k14.答案：32解析：解：当x>3时，f(x)=log2(x+1)，∵f(a)=3∴a+1=8，解a=7，f(a−5)=f(2)=22−3+1=32，当x≤3时，f(x)=2x−3+1，∴2a−3+1=3，解得a=4(舍去)故答案为：32根据分段函数的定义，分段讨论即可求出答案．本题考查了分段函数和函数值的求法，属于基础题．15.答案：5解析：本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角三角函数的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．由题意及同角三角函数的关系求得角A，B的正弦值，再利用正弦得两角和公式以及正弦定理求解即可．解：在锐角三角形中，由cosA=35，cosB=√55得sinA=45,sinB=2√55，所以45×√55+35×2√55=2√55，由正弦定理得，故答案为5．16.答案：68π解析：本题考查三棱锥外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.由题意构造长方体的模型，长方体的对角线等于其外接球的直径，即可求出半径，从而解答此题．解：依题意，AB2+BC2=AC2，故AB⊥BC;因为SA⊥平面ABC，所以将三棱锥S−ABC置于棱长为4，4，6的长方体中，可知三棱锥S −ABC 外接球的半径R =√42+42+622，故外接球表面积S =4πR 2=68π． 故答案为68π．17.答案：解：(1)由已知直线AB ，AC ，AA 1两两垂直，以点A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A −xyz ，则A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(0,2，0)，A 1(0,0，4)，D(1,1，0)，C 1(0,2，4)， ∴A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−4)，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,−4)， ∴cos⟨A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩=A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·C 1D⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√1010， 又异面直线所成角的范围是(0,π2], ∴异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为3√1010; (2)AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)是平面ABA 1的一个法向量． 设平面ADC 1的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，4)， ∴{n ⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +4z =0，即{x =2zy =−2z 取n⃗ =(2,−2,1)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成锐二面角的大小为θ， 则cosθ=|cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n ⃗⃗ |=23，∴平面ADC 1与平面ABA 1所成锐二面角的余弦值为23．解析：本题考查利用空间向量求异面直线所成的角和二面角．(1)建立空间坐标，然后写出各点坐标，得A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后利用公式求解即可； (2)求出平面ADC 1与平面ABA 1的法向量，根据法向量的夹角公式可得二面角的余弦值．18.答案：解：(1)因为耗用子弹数为X ，所以X =1,2,3，当X =1时，即第一枪就命中，所以P(X =1)=23，当X =2时，即第一枪不命中，第二枪命中，所以P(X =2)=(1−23)×23=29， 当X =3时，即第一、第二枪不命中，第三枪命中或不命中， 所以P(X =3)=(1−23)×(1−23)×(13+23)=19， 故耗用子弹数为X 的概率分布列为：(2)E(X)=1×23+2×29+3×19=139(发)，答：某射手耗用子弹数X 的数学期望为139发.解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率及离散型随机变量及其分布列，同时考查期望的计算． (1)得出X 的取值，然后利用相互独立事件的概率求出各自的概率即可求解; (2)利用公式求解即可．19.答案：解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵等差数列{a n }满足a 2=3，a 4+a 5=16． ∴由题意得{a 1+d =32a 1+7d =16，解得a 1=1，d =2，∴a n =a 1+(n −1)d =2n −1， 即{a n }的通项公式为a n =2n −1； (2)由(1)知b n =22n−2，b 1=1， ∴b n+1b n=22n22n−2=4，∴数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项乘积T n=b1×b2×b3×...×b n=40×41×42×···×4n−1=40+1+2+⋯+n−1=4n−12×n=4n(n−1)2=2n(n−1)．即T n=2n(n−1)．解析：本题考查等差数列的通项公式、等比数列的定义及等比数列的求和，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．(1)由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出等差数列的首项和公差，由此能求出{a n}的通项公式；(2)由已知条件推导出数列{b n}是以1为首项，4为公比的等比数列，由此能求出数列{b n}的前n项乘积．20.答案：解：(Ⅰ)若a=0，则f(x)=2x2+1+lnx，f′(x)=4x+1x，故f′(1)=5，即曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为5，又f(1)=3，所以所求切线方程为：y−3=5(x−1)，即5x−y−2=0;(Ⅱ)当a=5时，f(x)=2x2−5x+1+lnx的定义域为x∈(0,+∞)，f′(x)=4x−5+1x =(4x−1)(x−1)x，当x∈(0,14)，x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0,14)和(1,+∞)上单调递增．当x∈(14,1)时，f′(x)<0，∴f(x)在(14,1)上单调递减;(Ⅲ)由f(x)=2x2−ax+1+lnx，得f′(x)=1x +4x−a=4x2−ax+1x，设ℎ(x)=4x2−ax+1，Δ=a 2−16，当3<a ≤4时，Δ≤0，有ℎ(x)≥0， 即f′(x)≥0，故f(x)在x ∈(0,+∞)单调递增．又f(1)=3−a <0，f(e)=2e 2−ae +2=e(2e −a)+2>0， 所以f(x)在x ∈[1,e]有唯一零点．解析：本题考查利用导数分析函数的单调性以及求函数的切线方程，注意掌握导数的几何意义． (Ⅰ)根据题意，由a 的值求出函数的解析式，计算可得切点的坐标，结合函数导数的几何意义分析切线的斜率，由直线的点斜式方程即可得答案；(Ⅱ)根据题意，由函数的解析式求出函数的导数，则f ′(x)=4x −5+1x =(4x−1)(x−1)x，分析导数的正负，确定函数的单调区间；(Ⅲ)由f(x)=2x 2−ax +1+lnx ，得f ′(x)=1x +4x −a =4x 2−ax+1x，设ℎ(x)=4x 2−ax +1，Δ=a 2−16，当3<a ≤4时，Δ≤0，有ℎ(x)≥0，即f′(x)≥0，故f(x)在x ∈(0,+∞)单调递增．又f(1)=3−a <0，f(e)=2e 2−ae +2=e(2e −a)+2>0，所以f(x)在x ∈[1,e]有唯一零点．21.答案：解：(Ⅰ)设C (x,y )，因为点A 的坐标为(−2,0)，所以直线AC 的斜率为k AC =yx+2(x ≠−2) 同理，直线BC 的斜率为k BC =yx−2(x ≠2) 由题设条件可得，yx+2⋅yx−2=−34(x ≠±2). 化简整理得，顶点C 的轨迹Γ的方程为：x 24+y 23=1(x ≠±2)．(Ⅱ)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 3,y 3)，因为O 为▵PMN 的重心，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以x 1+x 2+x 3=0,y 1+y 2+y 3=0， 由{y =kx +mx 24+y 23=1得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，Δ=64k 2m 2−4(4k 2+3)(4m 2−12)=48(4k 2+3−m 2)>0x 1+x 2=−8km4k 2+3,y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3， x 3=8km4k 2+3，y 3=−6m4k 2+3， ∴ P(8km4k 2+3,−6m4k 2+3)， 又点P 在椭圆上，所以16k 2m 2(4k 2+3)2+12m 2(4k 2+3)2=1，∴ 4m 2=4k 2+3，因为O 为▵PMN 的重心，所以△PMN 是△OMN 的3倍， |MN|=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+k 2√48(4k 2+3−m 2)4k 2+3，原点O 到直线MN 的距离为d =√1+k 2，S ΔOMN=12|MN |·d =12√1+k 2·√48(4k 2+3−m 2)4k 2+3·|m |√1+k2 =2√3|m |√4k 2+3−m 24k 2+3=32．所以S ΔPMN =3S ΔOMN =92，所以，△PMN 的面积为定值，该定值为92.解析：本题考查了轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，属于较难题．(Ⅰ)设出C 的坐标，利用AC 、BC 所在直线的斜率之积等于−34，列出方程，求出点C 的轨迹方程； (Ⅱ)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 3,y 3)，将直线l:y =kx +m 与椭圆方程联立，利用韦达定理，求出|MN|及原点O 到直线MN 的距离，即可求出S ΔOMN =32，再根据S ΔPMN =3S ΔOMN 即可求出答案．22.答案：解：(1)设P(2cos φ,2sin φ)，M(x,y)．因为点Q(4,0)，点M 为PQ 的中点， 所以{x =2cosφ+42=cosφ+2y =2sinφ2=sinφ 整理得(x −2)2+y 2=1． 即x 2+y 2−4x +3=0， 化为极坐标方程为．(2)设直线l:y =kx 的极坐标方程为θ=α． 设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以4OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即4ρ1=3ρ2． 联立整理得．则，解得．所以，则k =±√157．解析：本题考查参数方程与极坐标方程的互化，直线的极坐标方程，极坐标方程ρ的几何意义，属中档题．(1)先求普通方程，再转化为极坐标方程．(2)利用直线的极坐标方程中ρ的几何意义，即可求解．23.答案：解：(1)当a =1时，不等式f(x)≤5化为|x −2|+|x +1|≤5．当x <−1时，2−x −x −1≤5，解得x ≥−2，所以−2≤x <−1； 当−1≤x ≤2时，2−x +x +1=3≤5，所以−1≤x ≤2； 当x >2时，x −2+x +1≤5，解得x ≤3，所以2<x ≤3． 综上所述，a =1时，不等式f(x)≤5的解集为[−2,3]．(2)当x ≥4时，不等式f(x)≥x 化为x −2+|ax +2a −1|≥x ，即|ax +2a −1|≥2．由|ax +2a −1|≥2，得ax +2a −1≤−2或ax +2a −1≥2，即a(x +2)≤−1或a(x +2)≥3．当x ≥4时，若不等式a(x +2)≤−1恒成立，则a ≤−16；当x ≥4时，若不等式a ≥3x+2恒成立，则a ≥12．所以实数a 的取值范围为．解析：本题考查绝对值不等式的解法与恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属中档题． (1)当a =1时，不等式f(x)≤5化为|x −2|+|x +1|≤5，通过讨论x 的范围，从而求得不等式f(x)≤5的解集；(2)原不等式等价于|ax+2a−1|≥2，利用不等式恒成立即可求出a的范围．。
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4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知R a ∈,i 是虚数单位，若ai z +=1，4=⋅z z ，则=a （ ）A. 11-或B.15C.15-D. 33-或2. 已知集合(){}{}12020310log 22020+==--==xy y N x x y x M ，，则=N M I ( )A. ()2,1-B. [)2,1-C. ()2,1D. [)2,13. 函数()21x f x -=的图象大致为（ ）A.B ．C ．D ．4. 设向量b a ρρ,满足3,2=-==b a b a ρρρρ，则=+b a ρρ2（ ）A. 6B. 23C. 10D.345. 若双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）A. x y 2±=B. x y 2±=C. x y 21±= D. x y 22±= 6. 已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若5sin sin 2b A B =， 且()()04=+---+c b a b c a ，则△ABC 的面积=S ( )A.23B. 2C. 4D. 37. 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ）A. 11B. 19C. 35D. 258. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( ) A.701 B. 352 C. 141 D. 81 9. 已知底面为长方形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，42==PA BC ，3=AB ，E 为PD中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）A.53 B. 52C. 2556D. 255810. 已知函数()()()0sin 2>++=ωϕωb x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，且58=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=b （ ） A. 3或7 B. 3 C. 5 D. 5或811. 已知函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-.若存在[]1,1-∈x ，使得不等式()()0≤+⋅x h x g m 有解，则实数m 的最大值为( )A. 1-B.53 C. 1 D. 53- 12. 已知21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于Q P ,两点.若1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1PF PQ =，则椭圆C 的离心率为( )A.15105 B. 43C. 515D. 32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为_________.14. 若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-020630y x y x y x ，则y x z -=2的最大值是__________.15. 若()3sin 5πα+=，α是第三象限角，则cossin22cos sin 22αααα+-_______________. 16. 在矩形ABCD 中，4=BC ，M 为BC 中点，将ABM △和DCM △分别沿DM AM ,翻折，使点B与C 重合于点P .若︒=∠150APD ，则三棱锥PAD M -的外接球的表面积为______________.三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足12a =，()()1121n n na n a n n +-+=+，设nn a b n=． （Ｉ）证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式； （ＩＩ）若2n b n c n =-，求数列{}n c 的前n 项和.18. （本小题满分12分）在某企业中随机抽取了5名员工测试他们的艺术爱好指数()100≤≤x x 和创新灵感指数()100≤≤y y ，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）：（I ）求创新灵感指数y 关于艺术爱好指数x 的线性回归方程；（II ）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音乐次数t 对艺术爱好指数x 的提高量为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛---200110t e x ，培训绘画次数t 对艺术爱好指数x 的提高量为()⎪⎭⎫⎝⎛+--10101100t x ，其中0x 为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到3的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到4的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训了20次后，估计谁的创新灵感指数更高？参考公式：回归方程a x b yˆˆˆ+=中，x b y ax nxy x n yx b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==. 参考数据：851=∑=ni ii yx ，9012=∑=ni i x19. （本小题满分12分）已知抛物线()02:2>=p py x C 与圆12:22=+y x O 相交于B A ,两点，且点A 的横坐标为22.F是抛物线C 的焦点，过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点N M ,. （I ）求抛物线C 的方程.（II ）过点N M ,作抛物线C 的切线21,l l ，()00,y x P 是21,l l 的交点，求证：点P 在定直线上.20. （本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PAC PB 平面⊥，四边形ABCD 为平行四边形， 且︒=∠==135,42BAD AB AD .（I ）证明：⊥AC 平面PAB（II ）当直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为2时，求锐二面角D PC A --的余弦值.21. （本小题满分12分） 已知函数()x x x x f ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，()xk x x g -=.（I ）证明：当[)∞+∈，1x 时，()0≥x f . （II ）若函数)()(x g x f y -=在[)∞+，1有两个零点，证明：8171<≤k .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分．22. （本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数）.在以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为：14sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （I ） 求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（II ）设点P 的直角坐标为()0,1，若直线l 与曲线C 分别交于B A ,两点，求PBPA 11+的值.23. （本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]设函数12)(++-=x x x f .（I ）求函数)(x f 的最小值及取得最小值时的x 的取值范围.（II ）若集合{}R ax x f x =>-+01)(，求实数a 的取值范围.绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第一次模拟考试理科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知R a ∈,i 是虚数单位，若ai z +=1，4=⋅z z ，则=a （ ）A. 11-或B.15C.15-D. 33-或【解析】D. 以为复数ai z +=1，ai z -=1，412=+=⋅a z z ，所以3±=a ，故选D2已知集合(){}{}12020310log 22020+==--==xy y N x x y x M ，，则=N M I ( ) A. ()2,1- B. [)2,1- C. ()2,1 D. [)2,1【解析】C 因为(){}{}25310log 22020<<-=--==x x xx y x M ，{}{}112020>=+==y y y y N x ，所以{}21<<=x x N M I ，故选C3函数()f x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】由表达式()21lg ||x f x x -=可知，函数为偶函数，排除A ，当0x →211x -，为正，lg ||x →-∞，所以()210x f x --=→，B 正确.故选：B 4设向量b a ρρ,满足3,2=-==b a b a ρρρρ，则=+b a ρρ2（ ）A. 6B. 23C. 10D.34【解析】D.由已知得()92942=⋅-+=-b a b a ρρρρ，得2=⋅b a ρρ，所以 ()348364222=++=+=+b a b a ρρρρ5若双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为5，则其渐近线方程为（ ）B. x y 2±= B. x y 2±=C. x y 21±= D. x y 22±= 【解析】A. 因为双曲线的离心率为5，则512=⎪⎭⎫⎝⎛+=a b e ，所以2=a b ，所以渐近线方程为x x aby 2±=±=，故选A . 6已知△ABC 的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若5sin sin 2b A B =，且()()04=+---+c b a b c a ，则△ABC 的面积=S ( )A.23B. 2C. 4D. 3【解析】B.因为5sin sin 2b A B =，所以有正弦定理得5=ab ，又因为()()04=+---+c b a b c a ，所以642222=-=-+ab c b a ，由余弦定理得53cos =C ，所以2sin 21==C ab S ，.故选B. 7《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的a 的值为4，则输出的m 的值为（ ）B. 11 B. 19C. 35D. 25【解析】C.8琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( )B.701 B. 352 C. 141 D. 81 【解析】 C.对八雅进行全排列，方法总数为88A 种，满足“琴”“棋”“书”“画”互不相邻的方法书为4544A A 种，则所求概率为141423884544===AAA P ，故选C. 9已知底面为长方形的四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，42==PA BC ，3=AB ，E 为PD 中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）B.53 B. 52C. 2556D. 2558【解析】D. 如图，去PB 中点F ,连接AF ，EF ，因为E 为PD 中点，所以EF//BD ，所以∠AEF （或补角）为异面直线AE 与BD 所成角.由已知得，21321,521====PB AF PD AE ，2521==BD EF ， 所以25582cos 222=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，故选D.10已知函数()()()0sin 2>++=ωϕωb x x f ，⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，且58=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=b （ ） 是否?3≤i ?3≤i输出m结束输入a开始32-=a m 1=i32-=m m 1+=i iB. 3或7 B. 3C. 5D. 5或8【解析】A. 因为⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+x f x f 88ππ，所以函数图象关于8π=x 对称，所以528=±=⎪⎭⎫⎝⎛b f π，所以3=b 或7，故选A. 11已知函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-.若存在[]1,1-∈x ，使得不等式()()0≤+⋅x h x g m 有解，则实数m 的最大值为( )B. 1- B.53 C. 1 D. 53- 【解析】 B.因为函数()x g 为偶函数，()x h 为奇函数，且满足()()xx h x g 2=-，所以()()()()xx h x g x h x g -=+=---2，得()()222,222xx x x x h x g -=+=--， 由()()0≤+⋅x h x g m 得，142114142222+-=+-=+-≤--x x x x x x x m ，由于1421+-=x y 为增函数，所以当1=x 时函数取得最大值53，故53≤m ，即实数m 的最大值为53，故选B. 12已知21,F F 是椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于Q P ,两点.若1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1PF PQ =，则椭圆C 的离心率为( )A.15105 B. 43C. 515D. 32【解析】A. 1122,,,QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，设公差为d ，根据椭圆的定义得a a a a a 24321=+++，因为1PF PQ =，所以321a a a =+，所以⎩⎨⎧=+=+++32143212a a a a a a a a ，解得a d 52=，a a a a a a a a 58,56,54,524321====，所以a QF a PF a PF a PQ 58,56,54,56112====，所以在△21F PF 和△Q PF 1中，由余弦定理得()a a a a a a a c a a PF F 565625856565654225654cos 22222221⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠，整理得15105==a c e ，故选A .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13曲线()sin f x x x =在点(),0π处的切线方程为_________.答案：02=-+ππy x【解析】：因为()x x x x f cos sin +='，所以()πππππ-=+='cos sin f ，所以在点(),0π处的切线方程为()ππ--=x y ，即：02=-+ππy x .14若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≥-020630y x y x y x ，则y x z -=2的最大值是__________.答案：415若()3sin 5πα+=，α是第三象限角，则cossin22cos sin 22αααα+-_______________. 答案：12-【解析】2cos sin cos sin 1sin 2222=cos cossincos sin cos sin 222222αααααααααααα⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()21cos sin 154cos 53sin 53sin sin -=+∴-=∴-=∴=-=+αααααααπ，为第三象限角，，，ΘΘ16在矩形ABCD 中，4=BC ，M 为BC 中点，将ABM △和DCM △分别沿DM AM ,翻折，使点B 与C 重合于点P .若︒=∠150APD ，则三棱锥PAD M -的外接球的表面积为______________.答案：π68【解析】由题意知，PD MP PA MP ⊥⊥，，所以PAD MP 平面⊥，设ADP △外接圆的半径为r ，则有正弦定理可得r APDAD2sin =∠，所以4=r ，设三棱锥PAD M -的外接球的半径为R ，则171612222=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=r PM R ，所以外接球的表面积为ππ6842=R .四、解答题：共70分。