2020届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一和答案详细解析及高分经验
2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科) (解析版)
2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|y=√1−x}，则A∩B=()A. [0,3)B. (1,3)C. (0,1]D. (0,1)2.命题“，x3−x2+1>0”的否定是()A. ，x3−x2+1<0B. ，x3−x2+1⩽0C. ，x3−x2+1⩽0D. ，x3−x2+1>03.设函数f(x)={log2x,x>1x2+1,x≤1，则f(f(1))的值为()A. −1B. 1C. 0D. 24.设{a n}是等比数列，若a1=1，a5=16，则a7=()A. 63B. 64C. 127D. 1285.已知(1)正方形的对角线相等；(2)矩形的对角线相等；(3)正方形是矩形．由(1)、(2)、(3)组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A. 正方形是矩形B. 矩形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则()A. P(A)>P(M)B. P(A)<P(M)C. P(A)=P(M)D. P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为π3的扇形，则圆锥的高为()A. √33B. √34C. √35D. 58.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A. y =cos(2x +π2) B. y =sin(2x +π2) C. y =sin2x +cos2xD. y =sinx +cosx9. 在△ABC 中，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A. −94B. 94C. 274D. 910. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若acosA =(acosC +ccosA)cosB ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11. 已知A ，B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，∠B =2π3，若(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E 的离心率为( )A. √5−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1212. 已知函数f(x)=e |x|+|x|，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若z =a 2−1+(a +1)i 是纯虚数，则a =______． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7=22，则S 11=_____． 15. 曲线f(x)=e x cosx −x.在点(0,f(0))处的切线方程是______．16. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 是棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA =1213．(Ⅰ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (Ⅱ)若c −b =1，求a 的值．18.某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．(1)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计经常体育锻炼缺少体育锻炼总计30(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率．．附：x2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0060.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=4，EF=2．(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；(2)当AD=4时，求多面体FABCD的体积．20.已知双曲线x2−y2=1，过点A(1,1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为2线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e−x−ax(x∈R)．(1)当a=−1时，求函数f(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(−x)+ln(x+1)≥1，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|2x −1|，a ∈R ．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≤|2x +1|的解集包含集合[12,1]，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 解：A ={x|0<x <3}，B ={x|x ≤1}； ∴A ∩B =(0,1]． 故选：C ．2.答案：B解析： 【试题解析】本题考查命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可．解：含有存在命题的否定，需要用全称量词替代存在量词，同时否定结论， 故命题“，x 3−x 2+1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”，故选B ．3.答案：B解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 解：∵函数f(x)={log 2x,x >1x 2+1,x ⩽1，∴f(1)=1+1=2，f(f(1))=f(2)=log 22=1． 故选B ．4.答案：B。
2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年宁夏六盘山高中高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x−1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}2.已知i为虚数单位，设z=1+2+ii，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则平移后的图象的对称轴为()A. x=kπ2−π6(k∈Z) B. x=kπ2+π6(k∈Z)C. x=kπ2−π12(k∈Z) D. x=kπ2+π12(k∈Z)4.若双曲线x2a2−y2=1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为()A. y=±xB. y=±√2xC. y=±12x D. y=±2x5.已知圆C：(x−a)2+y2=1，直线l：x=1；则：“12≤a≤32”是“C上恰有不同四点到l的距离为12”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.与球心距离为1的截球平面，所得的截面圆的面积为2π，则球的体积为()A. 8√3πB. 4√3πC. 4πD. 8π7.已知a=logπ3,b=log13π,c=π13，则a，b，c的大小关系是()A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a8.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是()A. 13B. 310C. 25D. 349.执行如图所示的程序框图，输出的结果为A. 22019−1B. 22019−2C. 22020−2D. 22020−110.奇函数f(x)的定义域R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(2016)+f(2017)=()．A. 1B. 0C. −1D. 211.已知α满足tan(α+π4)=13，则tanα=()A. −12B. 12C. 2D. −212.已知函数f(x)=x2+ax，若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围为()A. (−∞,8)B. (−∞,16]C. (−∞,−8)∪(8,+∞)D. (−∞,−16]∪[16,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,−2),b⃗ =(m,3)，若(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=6，则m=______．14.设实数x，y满足{x⩾0,y⩾0,x+y⩽3,2x+y⩽5,则z=4x+y的最大值是____．15.如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，BD=√5，AB⊥AC，AC=2AB，则CD的最小值为______．16. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的有________(填序号)。
2020年宁夏银川六盘山高级中学高三一模数学试卷(文科)
23. 已知函数 （1） 当 （2） 当
时，求不等式 时，不等式
． 的解集．
成立，求 的取值范围．
【答案】 1. A
解析:
∴ 又 ∴ 故选 ．
或
，
，
，
2. B 解析:
． ，
5
∵ 为纯虚数，
∴
，
，
∴
．
故选 ．
3. C
解析:
∵
，
∴
∴
故选： ．
， ， ．
4. B
解析:
《爱你一万年》未被选取的概率
．
故选： ．
．求椭圆 离心率的取值
21. 已知函数
.
（ 1 ） 判断函数 的单调性．
（ 2 ） 若 满足
，证明：
．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在极坐标系中，已知圆心
，半径
点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系．
（ 1 ） 求圆 的参数方程．
（ 2 ） 若 点在线段 上，且
， 点在圆 上运动，以极点为平面直角坐标系原 ，求动点 轨迹的极坐标方程．
∵
，
∴
，
∴
，
14
∴
，
故
，
所以
，
综上所述， 的取值范围为
．
15
是菱形，
是矩形，
面
，
．
（ 1 ） 求证：平面 （2） 若
面
．
，求四棱锥
的体积．
18. 在等差数列 （ 1 ） 求数列 （2） 若
中，
，
．
的通项 ．
，求数列 的前 项和．
19. 从某工厂的一个车间抽取某种产品 件，产品尺寸（单位： ）落在各个小组的频数分布如表：
2020届宁夏六盘山高级中学高三第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏六盘山高级中学高三第三次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅【答案】C【解析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则AB ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．若复数z 满足()211z i i +=-(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】由复数模的概念可得()12z i +=，进而可得21iz =+，运算后即可得解. 【详解】由题意()22112z i i +=-==，所以()()()2121111i z i i i i -===-++-， 所以复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，在第四象限.本题考查了复数模的概念、复数的运算与复数的几何意义，考查了运算求解能力，属于基础题.3．若将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)6πC ．(,0)12πD ．(,0)2π【答案】A【解析】先根据平移规则，得到平移后的解析式，根据正弦函数的图像和性质即可得出对称中心. 【详解】将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度后，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令()23x k k Z ππ+=∈，解得()62k x k Z ππ=-+∈，当1k =时3x π=，所以平移后图像的一个对称中心可以为(,0)3π.故选：A 【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换，求正弦函数对称中心，属于基础题.4．若双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为14y x =±，则其实轴长为（ ）A ．4B ．12C ．8D ．14【答案】C【解析】由已知可得双曲线的渐近线为1y x a=±，建立关于a 的方程，求解即可. 【详解】因为2221(0)x y a a-=>的渐近线方程为14y x =±，所以114a =，4a =， 所以双曲线的实轴长为8.本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.5．已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据圆心到直线距离d ，比较d 与r 的关系即可判断． 【详解】圆C ：222x y r +=（0r >） 圆心坐标为()0,0 则圆心到直线距离为1d =所以当112r <≤时恰有两个不同的点到l 的距离为12当C 上恰有不同的两点到l 的距离为12时，满足1322r <<所以“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的充分不必要条件所以选A 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，充分必要条件的简单应用，属于中档题．6．若球O 的半径为4，且球心O 到平面α，则平面α截球O 所得截面圆的面积为( ) A ．π B ．10πC ．13πD ．52π【答案】C 【解析】 【详解】作出对应的截面图，∵球的半径R =4,由球心距d 3故截面圆半径24313r =-= 故截面圆面积S =πr 2=13π 故选C.7．已知0.52a =，2sin 5πb =，22log sin 5=c π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B【解析】由题意，可依次判断出三个代数的取值范围，由中间量法比较三数的大小，选出正确选项. 【详解】解：由于()2sin 0,15πb =∈， 可得：22log sin 05c π=<， 又0.512a =>，a b c ∴>>，故选：B. 【点睛】本题考查指对数以及三角函数值比较大小，三角函数式的取值范围的判断，对数式的取值范围的判断及指数式的取值范围的判断，解题的关键是利用中间量法.8．甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．16【答案】A3m =，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率．【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有246n C ==种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种， 乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种， 乙获得“最佳手气”的情况总数3m =，∴乙获得“最佳手气”的概率3162m p n ===． 故选A ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为( )A ．201921-B ．201922-C ．202022-D ．202021-【答案】C【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量2320192222S =+++⋯+的值，由于()2019232019202021222222212S -=+++⋯+==--．故选：C ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数，且(1)1f ﹣＝﹣，则20182019f f +（）（）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【答案】B【解析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数()f x 是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得()2018,(2019)f f 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数， 则111f x f x f x （）＝（）＝（）-++--，即2f x f x +-（）＝（），则42f x f x f x +-+（）＝（）＝（）， 即f x （）是周期为4的周期函数，201850442200f f f f ⨯+-（）＝（）＝（）＝（）＝， 20195045111f f f ⨯--（）＝（﹣）＝（）＝，则()()20182019011f f +=-=-， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．若()tan 804sin 420α+︒=︒，则()tan 20α+︒的值为( )A．5-B．5CD【答案】D【解析】由()tan 804sin4204sin60α+︒=︒=︒= 得()()()()tan 8060tan 20tan 80601tan 8060tan tan αααα+︒-︒⎡⎤+︒=+︒-︒===⎣⎦++︒︒. 故选D.12．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()xx f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x ≥-在[1,)+∞上恒成立，则有②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.二、填空题13．已知向量(),1AB m =，()1,4BC =，若11AB BC ⋅>，则m 的取值范围为____. 【答案】()7,+∞【解析】直接进行向量数量积的坐标运算列出不等式求解即可. 【详解】411AB BC m ⋅=+>，解得7m >.故答案为：()7,+∞ 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.14．已知实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩则22z x y =+的最大值为__________.【答案】13【解析】作出可行域，目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，数形结合可知OA 为此距离的最大值，求出点A 坐标即可得解. 【详解】作出可行域如图所示：目标函数22z x y =+可表示为点(,)x y 到原点的距离的平方，由图可知OA 为此距离的最大值，10(23)3x y A y -+=⎧⇒⎨=⎩，，则22max 2313z =+=. 故答案为：13 【点睛】本题考查线性规划中求平方和型目标函数的最值，理解目标函数的几何意义是解题的关键，属于基础题.15．如图，在四边形ABCD 中，1557AB BC CD DA ＝，＝，＝，＝，且90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则对角线AC 的长为_____.【答案】2【解析】设,AC x B θ=∠＝，在ABC 中和ACD 中，分别应用余弦定理，列出关于x 的方程，即可求解． 【详解】由题意，设,AC x B θ=∠＝，由90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则180D θ∠=︒-， 在ABC 中，1,5,AB BC AC x ===，由余弦定理得22221526cos 21510x x θ+--==⨯⨯； 在ACD 中，5,7,CD DA AC x ===，由余弦定理得()22227574cos 18027570x x θ+--︒-==⨯⨯；∵()180cos cos θθ︒-=-，∴2274267010x x x --=-⇒==故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对． 【答案】③【解析】运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论. 【详解】若甲做对A 、B ，乙做对A 、B ，丙做对A 、B ，则C 题无人做对，所以①错误； 若甲做对A 、B ， 乙做对A 、C ，丙做对B 、C ，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法. 故答案是：③. 【点睛】该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.三、解答题17．在等差数列{}n a 中，已知345884,36a a a a +=-=. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求20n S n+的最小值. 【答案】(Ⅰ)220n a n =+；(Ⅱ)30（2）根据（1）求出的等差数列，得到其前n 项和n S ，表示出20n S n+，然后找到其最小值，注意*n N ∈.【详解】(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =， ∴由11328736a d a d +=⎧⎨+=⎩，得1222a d =⎧⎨=⎩， 即数列{}n a 的通项公式为()2212220n a n n =+-⨯=+.(Ⅱ)由(Ⅰ)得，()21222212n n n S n n n -=+⨯=+，∴ 202021n S n n n+=++， 令()*2021,f x x n N x=++∈， ()2201f x x =-',当((),0x f x ∈'<；当()(),0x f x ∈+∞>' 则()f x在(0,上单调递减，在()+∞上单调递增，又*n N ∈，()()4530f f ==∴当4n =或5时，，()f n 取到最小值30，即20n S n+的最小值为30. 【点睛】 本题考查等差数列的基本量计算，数列的函数性质，属于基础题.18．已知某企业近3年的前7个月的月利润（单位：百万元）如下面的折线图所示： （1）试问这3年的前7个月中哪个月的平均利润最高？（2）通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；（3）试以第3年的前4个月的数据（如下表），用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润．相关公式：()()()21122211ˆn n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x nx x x ====∑--∑-⋅==∑-∑-，ˆˆa y bx =-．【答案】(1)5月和6月平均利润最高；(2)总利润呈上升趋势；(3)940万元.【解析】试题分析：(1)由折线图，通过计算每个月的平均利润可得；(2)分别计算出第1、2、3年前七个月的总利润，由计算结果即可分析趋势；(3)由题意将数据代入公式，列出回归方程求解即可．试题解析：（1）由折线图可知5月和6月的平均利润最高．（2）第1年前7个月的总利润为123567428++++++=（百万元），第2年前7个月的总利润为255455531++++++=（百万元），第3年前7个月的总利润为446676841++++++=（百万元），所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势．（3）∵ 2.5x =，5y =，2222123430+++=，1424364654⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴2544 2.550.8304 2.5ˆb -⨯⨯==-⨯， ∴5 2.50.8ˆ3a=-⨯=， ∴0.83ˆyx =+， 当8x =时，0.88394ˆ.y =⨯+=（百万元），∴估计8月份的利润为940万元．19．如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE⊥平面ACD ；（2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长． 【答案】(1)见解析.（2）见解析.【解析】试题分析：(1)先证明CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，可得平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD ，结合F 为AD 的中点，得M 为AE 的中点，由四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12，解得3BG =，进而可求得CM =试题解析：(1)证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B ⋂=，所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD .（2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ，所以//MF CD又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为BE =，122MF DE ==， 所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯== 12， 则3BG =在Rt ABE ∆中，26AB BG ==，AE =在Rt CEM ∆中，122ME AE ==，2CM ==. 20．设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-.（1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.【答案】（1）2p =，圆的方程为：22(1)4x y -+=.（2）答案见解析【解析】（1）根据题意，可知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，即可求出p 的值，即可求出该圆的方程；（2）由题易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，与抛物线C 联立方程组，根据0∆=，求得01y k k +=，化简解得2y k =，进而求得N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出FM ，FN ，利用向量的数量积为0，即可证出MF FN ⊥.【详解】解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 所以(1)2p p =--，解得2p =. 又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=.（2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0，设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=. 令()016160k y k =-+=△，得01y k k +=， 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以()02,FM y =-，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 022********FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭. 故MF FN ⊥.【点睛】本题考查抛物线的标准方程和圆的方程，考查直线和抛物线的位置关系，利用联立方程组、求交点坐标以及向量的数量积，考查解题能力和计算能力.21．已知函数1x f x e a x （）＝﹣（﹣）．（1）证明：当1a ＝时，2f x （）≥恒成立； （2）若函数f x （）在R 上只有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）详见解析（2）0a <或2a e =【解析】（1）对函数()f x 求导，得到函数()f x 的最小值为2，即可证明.（2对a 分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．【详解】（1）f ′（x ）=1x e -，令f ′（x ）=0，得到x=0,当x<0时，f ′（x ）<0，()f x 单调递减，当x>0时，f ′（x ）>0，()f x 单调递增, ∴()f x 在x=0处取得最小值.()0012f e =+=,∴()()02f x f ≥=.（2）当a=0时，()xf x e =>0恒成立，无零点，与题意不符； 当a<0时，f ′（x ）=0x e a ->,()f x 在R 上单调递增, 又x=1a 时,111 1a f e a a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1a e -1+a<1-1+a<0,x=1时，()1f =e>0， 根据零点存在性定理，()f x 在R 上有唯一零点，当a>0时，f ′（x ）=x e a -令f ′（x ）=0，x=lna, ()x ,lna 0f x，∞'∈-<，f(x)单减， ()x lna 0f x ∞∈'+>，，，f(x)单增，()f x 在x=lna 处取得最小值，f （lna ）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=2e∴当a<0或a=2e 时，()f x 在R 上有唯一的零点.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1x cos y sin ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），l 与1C交于点A ，l 与2C 交于点B ，且AB ，求α的值.【答案】（1）22(2)4x y -+=； （2）56π. 【解析】（1）利用参数方程消参，化为普通方程，利用极坐标与平面直角坐标的转换关系将极坐标方程化为平面直角坐标方程即可；（2）曲线l 的参数方程为x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩（2παπ<<，t 为参数，且0t ≠），将其分别代入两个曲线方程中，分别求得2cos A t α=和4cos B t α=，结合直线的参数方程中参数的几何意义，得到2cos A B AB t t α=-==，结合题意，求得结果.【详解】（1）曲线1C 消去参数β得()2211x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=，即24cos ρρθ=化为直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程()2211x y -+=得22cos 0t t α-=， ∵0t ≠，∴2cos A t α=.同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得24cos 0t t α-=，4cos B t α∴=.2cos A B AB t t α∴=-== ∵2παπ<<，∴cos 2α=-，∴56πα=. 综上所述：56πα=. 【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，利用直线的参数方程中参数的几何意义来解决有关线段长度的问题，属于中档题目.23．已知函数1()||||f x x x a a=++-，其中0a >． （1）若(2)1f a <+，求正实数a 的取值范围；（2）若对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）)+∞（2）(,2]-∞． 【解析】（1）把(2)f 代入，利用零点分段讨论去掉绝对值可求；（2）()f x m ≥恒成立，转化为()f x 的最小值min ()f x m ≥，求出最小值可得.【详解】（1）由题可得1(2)|2||2|f a a =++-，所以1221||a a a++<-+， 即21221a a a a ≥⎧⎪⎨+-+<+⎪⎩或21221a a a a<⎧⎪⎨++-<+⎪⎩， 解得2a ≥或324a +<<，故正实数a的取值范围为3()4++∞． （2）由题可得111()||||||f x x x a x x a a a a a =++-≥+-+=+， 因为0a >，所以12a a +≥=，当且仅当1a =时取等号， 因为对任意的(0,)a ∈+∞，()f x m ≥恒成立，所以2m ≤，故实数m 的取值范围为(,2]-∞．【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和恒成立问题，零点分段讨论法是解不等式的常用方法，恒成立问题一般是利用绝对值的三角不等式来求解.。
宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期周末模拟(三)数学(文)试题
宁夏六盘山高级中学2020届高三年级周末模拟考试三文科数学第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．1、已知集合{}{}21,2,3,4,16A B x x ==<,则B A ⋂等于 （ ） （A){}4,3,2,1,0,1,2-- （B){}3,2,1,0,1,2-- (C) {}4,3,2,1 (D){}3,2,1 2、已知复数i i i z ,43-=+是虚数单位，则z = （ ）（A)i 53+ （B)i 53- (C)i 42+ (D)i 42- 3、已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若1295=+a a ，则13S = （ ）（A)56 （B)78 (C) 84 (D)664、下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是 ( )（A)x y 2= （B)x y 2= (C) x x y -+=22 (D)x x y --=225、体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）（A)π24 （B)π327 (C) π27 (D)π1086、若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 一条渐近线的倾斜角为030，则其离心率的值为 （A)2 （B)22 (C) 332 (D)223 7、执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x 的值为( )（A)43 （B)87 (C) 1615 (D)4 8、如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )（A)72 （B)144 (C) 216 (D)1453105+9、古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )（A)里192 （B)里96 (C)里48 (D)里24 10、若[]πθ,0∈，则21sin >θ成立的概率为( ) （A)31 （B)21 (C) 32 (D)111、数列{}n a 满足11=a ，且*)(11N n n a a a n n ∈++=+则201921111a a a +++Λ等于( ) （A)20202019 （B)20202021 (C) 10102019 (D)20194036 12、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0,log 0,2221)(22x x x x x x f 若关于x 的方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x 且4321x x x x <<<，则4234211x x x x x ++的取值范围是( ) （A)(]3,3- （B)()3,∞- (C) [)3,3- (D)()3,3-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13()(),92.2,12=--==+________. 14、已知实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥+-02042053y y x y x ，则y x z +=的最小值为________．15、已知函数)0(21ln )(2>+=a x x a x f ，若对任意两个不相等的正实数21,x x ，都有2)()(2121>--x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是________． 16、某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是________三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且0)cos(3sin 22=++C B A .（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积S a b c ==+求的值.18、(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，200100≤≤x )表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数、平均数和中位数(精确到0.1)；(2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计利润y 不少于4000元的概率．19、(本小题满分12分)已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，BC AB ⊥，且22AB CD BC ==，将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且BEC AB 平面⊥.若N M ,分别为CE AE ,的中点．(1)求证：MN //ABCD 平面;(2)求证：ADE ABE 平面平面⊥.20（本小题满分12分）已知函数()ln 12xf x x x =-+(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f[x(3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．21、（本小题满分12分）设动圆P (圆心为P )经过定点(0，2)，被x 轴截得的弦长为4，P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)设不经过坐标原点O 的直线l 与C 交于A 、B 两点，O 在以线段AB 为直径的圆上，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22、（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x sin cos 1(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2)4sin(=+παρ，曲线1C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，曲线1C 与圆C 的交点为P O ,,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲． 函数a x x x f -+++=|2||1|)(.（1）若5=a ，求函数)(x f 的定义域A ；（2）设}21|{<<-=x x B ，当实数)(,A C B b a R ⋂∈时，证明：412ab ba +<+.参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13、 5153 14、 -13 ；15、[)+∞,1； 16、 女医生 . 三、解答题（第17～21题每题12分，选考题每题10分，共70分）17. ()()1.;32π 18.（12分）解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒，需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．中位数为153.3(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x ＜160，4 800，160≤x ≤200. (3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得160＞x ≥140. 当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元． 所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.19.（12分）证明：(1)连接AC ，∵M 、N 分别为AE 、CE 的中点，∴MN ∥AC .(2分)∵AC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN ∥平面ABCD .(4分)(2)取BE 的中点F ，连接FM 、MD 、CF ，则MF 綊12AB . ∵DC 綊12AB ，∴CD 綊MF ，∴四边形CFMD 为平行四边形，(5分) ∴CF ∥DM .(6分)∵AB ⊥平面BEC ，∴AB ⊥CF .∵CF ⊥BE ，AB ∩BE ＝B ，∴CF ⊥平面ABE .(8分)∵CF ∥DM ，∴DM ⊥平面ABE .(10分)∵DM ⊂平面ADE ，∴平面ABE ⊥平面ADE .(12分)20.解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2.(3分) ∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0.∴当x ＞0时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(6分)(2)∵f (x )＝ln x －x 1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13. 由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．(9分) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ x 3x －2＞0x 3x －2＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1. ∴实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫23，1.(12分)21.解：(1)设动圆P 圆心为(x ，y )，半径为r ，被x 轴截得的弦为|AB |.依题意得：⎩⎨⎧x 2＋（y －2）2＝r ，|y |2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2， 化简整理得：x 2＝4y .所以，点P 的轨迹C 的方程x 2＝4y .(2)设不经过坐标原点O 的直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ， 解得：x 2－4kx －4b ＝0，x 1＋x 2＝4k ，x 1·x 2＝－4b又∵O 在以线段AB 为直径的圆上，∴OA →·OB →＝0即x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝kx 1＋b ，y 2＝kx 2＋b . x 1x 2＋(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝0.x 1x 2＋k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝0，－4b －4k 2b ＋4k 2b ＋b 2＝0， b 2－4b ＝0，b ＝4或b ＝0(舍去)．所以直线l 经过定点(0，4)22.22、解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，tan θ1＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝255，tan θ1＝2.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧2ρ2⎝⎛⎭⎫sin θ2cos π4＋cos θ2sin π4＝22，tan θ2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝253，tan θ2＝2.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4515，所以线段PQ 的长为4515. 23题答案。
2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届宁夏六盘山高级中学高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()1234i z i +=-，则z 的实部为 A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】根据已知得复数z 的表达式，再根据复数的除法运算，将复数z 的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，计算化简得复数z ，从而得解. 【详解】由()1234i z i +=-得()()()()22341234310851012121212145i i i i i i z i i i i i ----+--=====--++--， 所以复数z 的实部为1-， 故选B . 【点睛】本题考查复数的概念与乘法、除法运算，属于基础题.2．已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =I （ ） A ．{1} B ．{}1-C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】C【解析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-， 所以{0,1}A B =I ，故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）A ．15B ．25C ．825D ．925【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件的总数为2510n C ==，甲被选中包含的基本事件的个数11144m C C ==，所以甲被选中的概率25m p n ==，故选B ．【考点】古典概型及其概率的计算．4．已知非零向量a r ，b r 满足a k b =r r ，且()2b a b ⊥+r r r ，a r ，b r 的夹角为23π，则实数k 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12【答案】A【解析】根据(2)b a b ⊥+r r r即可得出(2)0b a b +=r r r g ，然后根据2||||,,3a kb a b π=<>=r r r r 进行数量积的运算即可得出22202k b b -+=r r ，再由20b ≠r 即可求出k ．【详解】()2b a b ⊥+r r r Q ，()22222cos ,0b a b b a b b a b a b ∴⋅+=+⋅=+=r r r r r r r r r r r，且0a ≠r ，0b ≠r ，22cos 03b a π∴+=r r ， 即1202b a -=r r，4a b ∴=r r ，4k ∴=.故选：A ． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题．5．函数2()()41x x x e e f x x --=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数奇偶性，再根据对应区间函数值的正负确定选项. 【详解】2221()()410,()()24141x x x x x e e x e e x x f x f x x x ------≠∴≠±-===∴--Q Q ()f x 为偶函数，舍去A; 当102x <<时()0f x >,舍去C ； 当12x >时()0f x <,舍去D ； 故选：B 【点睛】本题考查函数奇偶性以及识别函数图象，考查基本分析求解判断能力，属基础题.6．双曲线22x a－22y b ＝1 (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．512⎛ ⎝⎭，B ．52⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C ．514⎛⎫⎪⎝⎭，D ．54，⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据点在不等式表示的区域内，即可求得,a b 的不等关系，据此求得离心率范围. 【详解】由题意可得双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，且“右”区域由不等式组b y x ab y x a ⎧<⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩确定， ∵点(2,1)在“右”区域内， ∴21ba >，即12b a >，∴c e a ==>=， 即双曲线离心率e的取值范围是)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题.7．在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，cos 3B ∠=，则边AC 的长（ ） AB ．4C．D．【答案】D【解析】利用二倍角的余弦公式求出cos D ∠，然后利用余弦定理可求得边AC 的长. 【详解】2D B ∠=∠Q，221cos cos 22cos 12133D B B ⎛⎫∴∠=∠=∠-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由余弦定理得2222212cos 13213123AC AD CD AD CD D ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，因此，23AC=.故选：D.【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8．如图，给出的是计算111147100++++L的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是（）A．i>100，n＝n＋1 B．i<34，n＝n＋3C．i>34，n＝n＋3 D．i≥34，n＝n＋3【答案】C【解析】根据算法的功能确定跳出循环的i值，可得判断框内的条件，根据n值的出现规律可得执行框②的执行式子.【详解】算法的功能是计算111147100++++L的值，易知1，4，7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中(2)处应为n＝n＋3，令1＋(i－1)×3＝100，解得i＝34，∴终止程序运行的i值为35，∴判断框内(1)处应为i>34.故选：C.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定跳出循环的i值及n值的出现规律是解答本题的关键，属于基础题．9．如图四棱锥P ABCD-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且2PA AB==，则直线PB与平面PAC所成角为（）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】证明出BD ⊥平面PAC ，可得出直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，计算出OB 和PB ，可求得OPB ∠，即可得解. 【详解】Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，则BD AC ⊥，且22BD =122OB BD == PA ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD PA ∴⊥，同理可得PA AB ⊥， AC PA A =Q I ，BD ∴⊥平面PAC ，所以，直线PB 与平面PAC 所成角为OPB ∠，2PA AB ==Q ，2222PB PA AB ∴=+=，BD ⊥Q 平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥，在Rt OPB V 中，2BOP π∠=，1sin 2OB OPB OP ∠==，6OPB π∴∠=. 因此，直线PB 与平面PAC 所成角为6π. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与平面所成角的计算，考查计算能力，属于中等题. 10．定义行列式运算12122112a a ab a b b b =-.已知函数())sin 10cos 3x f x xωωω-=>满足()()120,2f x f x ==-且12x x -的最小值为2π，则ω的值为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】先求出函数()f x 的解析式，然后由12x x -的最小值为2π可以求出周期2T π=，进而求出1ω=.【详解】由题意得，()3sin cos 2sin 6f x x x x πωωω=+=+（），(0)ω>，因为12x x -的最小值为42T π=，所以2T π=，则由2T πω=得1ω=. 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于基础题．11．如图，若C 是()222210x y a b a b+=>>椭圆上位于第一象限内的点，A 、B 分别是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且OC OF =，//AB OC ，则该椭圆的离心率为（ ）A ．6B 6C ．13D ．33【答案】A【解析】求出直线OC 的方程，将直线OC 的方程与椭圆的方程联立，求出点C 的坐标，由OC OF =建立等式，可求得椭圆的离心率. 【详解】直线AB 的斜率为b k a=，//AB OC Q ，所以，直线OC 的方程为by x a =，联立22221b y x a x y a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得222x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或222x a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由于点C 在第一象限，则22,22C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，OC OF =Q，则222c ⎫⎫+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，2222a b c +=， 22222a c c ∴-=，=，因此，该椭圆的离心率为3c e a ===. 故选：A. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是求出点C 的坐标，并由此建立有关a 、b 、c 的齐次方程，考查计算能力，属于中等题.12．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-【答案】D【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．曲线()21ln y x x =+在点()1,0处的切线方程为__________. 【答案】330x y --=【解析】求出原函数的导函数，得到函数在1x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案． 【详解】求导可得212ln x y x x+'=+，故切线斜率为31y x '==， 故切线方程为()31y x =-，即330x y --=. 故答案为：330x y --=． 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．14．若实数x ，y 满足条件32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨⎪⎪⎩……，则34z x y =+的最大值为_____________.【答案】18【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,3p 处取得最大值， 最大值为：max 34324318z x y =+=⨯+⨯=. 故答案为 18．15．已知tan 74πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2α=__________.【答案】247【解析】利用两角差的正切公式求出tan α的值，再利用二倍角的正切公式可求出tan2α的值.【详解】tan tan71344tan tan 4417141tan tan 44ππαππααππα⎛⎫+- ⎪⎡⎤-⎛⎫⎝⎭=+-=== ⎪⎢⎥+⨯⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭Q ，因此，22322tan 316244tan 21tan 277314ααα⨯===⨯=-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：247. 【点睛】本题考查利用两角差和二倍角的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题.16．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为________. 【答案】36π【解析】设圆柱的底面半径为r ，可知该圆柱的高为2r ，计算出圆柱的体积，可求得r 的值，进而可求得圆柱的侧面积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为2r ， 所以，圆柱的体积为232254V r r r πππ=⨯==，解得3r =. 因此，该圆柱的侧面积为222244336S r r r ππππ=⨯==⨯=. 故答案为：36π. 【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值.【答案】（1）512n a n =-；（2）625【解析】（1）由题，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2882a a +=，419S S =，求得1,a d ，可求得通项公式；（2）先利用求和公式，求得n S ，即可求得最大值. 【详解】（1）由题，因为等差数列{}n a ，2882a a +=，所以12882a d += 又419S S =，所以4191141409841(9)022S S a d a d ⨯⨯-=+-+= 解得149,2a d ==-所以1(1)512n a a n d n =+-=- （2）由（1）可得：221()50(25)6252n n n a a S n n n +==-+=--+ 可得当n=25时，n S 取最大值为625 【点睛】本题考查了数列，熟悉等差数列的通项和求和公式是解题的关键，熟记基础题. 18．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，每次中靶环数情况如图所示：（1）请填写下表（先写出计算过程再填表）： 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 71.21乙（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）；②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.参考公式：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦L . 【答案】（1）详见解析；（2）①甲成绩比乙稳定；②乙成绩比甲好些；③乙更有潜力. 【解析】（1）根据统计图列举出甲、乙两人各射击10次中靶环数，并计算出乙射击10次中靶环数的平均数、方差以及命中9环及9环以上的次数，由此可完善表格； （2）①根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和方差的大小，由此可得出结论； ②根据表格中的数据甲、乙两人的平均数和命中9环及9环以上的次数的大小，由此可得出结论；③根据甲、乙两人射击命中环数的波动情况可得出结论. 【详解】解：（1）由列联表中数据，计算由题图，知：甲射击10次中靶环数分别为9、5、7、8、7、6、8、6、7、7.将它们由小到大排列为5、6、6、7、7、7、7、8、8、9. 乙射击10次中靶环数分别为2、4、6、8、7、7、8、9、9、10. 将它们由小到大排列为2、4、6、7、7、8、8、9、9、10； （1）x 乙()124672829210710=⨯+++⨯+⨯+⨯+=（环）， ()()()()()()()22222222127476777287297210710s ⎡⎤=⨯-+-+-+-⨯+-⨯+-⨯+-⎣⎦乙()125910289 5.410=⨯++++++=. 填表如下： 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数甲 7 1.2 1乙75.43（2）①Q 平均数相同，22s s <甲乙，∴甲成绩比乙稳定；②Q 平均数相同，命中9环及9环以上的次数甲比乙少，∴乙成绩比甲好些； ③甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第三次以后就没有比甲少的情况发生，乙更有潜力. 【点睛】本题考查统计图表的应用，同时也考查了平均数、方差的计算，考查计算能力与数据处理能力，属于基础题.19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，且AD BC ⊥，四边形11ABB A 为正方形.（Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）若60BAC ∠=o ， 4BC =，求点1A 到平面1AB D 的距离. 【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ45【解析】（Ⅰ）根据三角形中位线性质得线线平行，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）根据等体积法求高，即得结果. 【详解】（Ⅰ）连接1BA ，交1AB 于点E ，再连接DE ， 由已知得，四边形11ABB A 为正方形，E 为1AB 的中点，∵D 是BC 的中点，∴1//DE A C ，又DE ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ， ∴1//AC 平面1AB D .（Ⅱ）∵在直三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ,且BC 为它们的交线，又AD BC ⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵1B D ⊂平面11BCC B ,∴1AD B D ⊥，且1AD B D ==.同理可得，过D 作DG AB ⊥，则DG ⊥面11ABB A ，且DG = 设1A 到平面1AB D 的距离为h ,由等体积法可得：1111A AB D D AA B V V --=，即111111113232AD DB h AA A B DG ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，即445h h =⋅=.即点1A 到平面1AB D . 【点睛】本题考查线面平行判定定理以及等体积法，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°的直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切．（1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程． 【答案】（1）6p =；（2）点N 在定直线3y =上． 【解析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ；（2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上； 【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2py x =+，由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ==，=6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ， 1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r， ∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u ru u u u ru u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上． 【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 21．已知函数()()1ln f x x a ax=+∈R 在1x =处的切线与直线210x y -+=平行． (1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 【答案】（1）()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增. （2）详见解析 【解析】（1）由()1'12f =可得2a =，利用导数可求()f x 的单调区间. （2）由121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=可得1211212lnx xx x x -=，2121212ln x x x x x -=，令12x t x =，则()0,1t ∈且121+=2ln t t x x t-，构建新函数()()12ln 01h t t t t t=--<<，利用导数可以证明()1h t >即121x x +>. 【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =， ()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-=' 令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减； 令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增. （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+= 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-= 即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=， 因此1211212lnx x x x x -=，2121212ln x x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<. 则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=， 构造函数()()12ln 01h t t t t t=--<<，则()()22211210t h t t t t-=+-=>' 所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【点睛】（1）一般地，若()f x 在区间(),a b 上可导，且()()()'0'0f x f x ><，则()f x 在(),a b 上为单调增（减）函数；反之，若()f x 在区间(),a b 上可导且为单调增（减）函数，则()()()'0'0f x f x ≥≤．（2）函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，考虑它们的和或积的性质时，我们可以通过设12x t x =，再利用()()120,0f x f x ==得到12x x +、12x x 与t 的关系式，最后利用导数证明所考虑的性质成立．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos cos23ρθθ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为（2,1），求直线l 的方程.【答案】（1）2213y x -=；（2）611y x =- 【解析】（1）曲线C 的极坐标方程中将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程2{1x tcos y tsin αα=+=+代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得122212cos 2sin 03cos sin t t αααα-+=-=-，从而可得结果.【详解】（1）由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2223cos sin 3ρθθ-=，即22223cos sin 3ρθρθ-=，即2233x y -=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为2213y x -=.（2）将直线l 的参数方程2{1x tcos y tsin αα=+=+代入C 的直角坐标方程得()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，整理可得()()2223cos sin 12cos 2sin 80t t αααα-+-+=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=， ∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αααααα-+=-=⇒-=-，∴ 直线l 的斜率tan 6k α==， ∴ 直线l 的方程为611y x =-. 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将cos ρθ和sin ρθ换成y 和x 即可. 23．已知函数()13f x x x =-+- （1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数ab 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++. 【答案】（1）[]1,5；（2）证明见解析.【解析】（1）对x 按1x <，13x ≤≤，3x ≥进行分类讨论，去掉绝对值，得到不等式的解集；（2）根据绝对值三角不等式得到()f x 最小值c 的值，再令1a m +=，1b n +=，由基本不等式进行证明. 【详解】①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥. 又1x <Q ，x ∴∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥.又13x ≤≤Q ，13x ∴≤≤.③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤. 又3x >Q ，35x ∴<≤. 综上所得，15x ≤≤. ∴原不等式的解集为[]1,5.（2）证明：由绝对值不等式性质得，()13(1)(3)2f x x x x x =-+-≥-+-=，2c ∴=，即2a b +=.令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，2222(1)(1)11a b m n a b m n--+=+++ 21144412m n m n mn m n =+-++=≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，原不等式得证． 【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，绝对值三角不等式，利用基本不等式进行证明，属于中档题.。
2020年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷(文科)
高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i）=（）A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i2.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|1＜x＜3}，则A∪B（）A. （1，3）B. （1，4）C. （2，3）D. （2，4）3.函数f（x）=的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.设=（1，2），=（1，1），若（+k）⊥，则实数k的值为（）A. B. C. D.5.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率是（）A. B. C. D.6.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D. x2-y2=17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cos A=．且b＜c，则b=（）A. B. 2 C. 2D. 38.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A. 66B. 33C. 16D. 89.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1=，则异面直线AB1与BD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.若f（x）=sin x+cos x在[-m，m]（m＞0）上是增函数，则m的最大值为（）A. B. C. D.11.已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且f（-3）=2，则f（2019）=（）A. -2B. 0C. 2D. 412.如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x+ln x在x=1处的切线方程是______．14.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是______，最大值是______．15.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α-β）=______．16.在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，PB⊥底面ABC，AB=2，PB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=20，S9=45．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，并求当S n取得最大值时n的值．18.根据《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行，遇行人正在通过人行道，应当停止让行，俗称“礼让斑马线”．《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚，如表是银川市一主干路口监控抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程=x+；（Ⅱ）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．附：线性回归方程=x+中，==，=．其中，为样本的平均值．19.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）求三棱锥B-VAC的高．20.已知抛物线C：y2=4x，过点（-1，0）的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P．（I）求点P的坐标；（Ⅱ）若过点（2，0）的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB 为直径的圆过点P，求直线l的方程．21.设函数f（x）=xe x+a（1-e x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）有零点，证明：a＞2．22.在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．23.已知函数f（x）=|x-a|-|2x-1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数（1-i）（1+2i）=1+2-i+2i=3+i．故选：C．直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：集合A={x|2＜x＜4}，B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|1＜x＜4}=（1，4），故选：B．直接根据并集的定义即可求出．本题考查了集合的基本运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，f（x）=，f′（x）=．可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数f（x）=的部分图象大致为C．故选：C．利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．4.【答案】B【解析】解：；∵；∴；∴．故选：B．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．5.【答案】A【解析】解：某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，基本事件总数n==10，至多一名女生参加包含的基本事件个数m==7，∴至多一名女生参加的概率是p==．故选：A．基本事件总数n==10，至多一名女生参加包含的基本事件个数m==7，由此能求出至多一名女生参加的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，可得一条渐近线方程y=x，且一个焦点为（-2，0），即有=1，c=2，又c2=a2+b2，解得a=b=，则双曲线的方程为-=1．故选：A．由双曲线的渐近线方程和平行直线的关系可得a=b，由题意可得c=2，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于较易题．7.【答案】B【解析】解：a=2，c=2，cos A=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A，即有4=b2+12-4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．运用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=-1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为66．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：v=2，i=3，v=2×2+3=7，i=2，v=2×7+2=16，i=1，v=16×2+1=33，i=0，v=33×2+0=66，i=-1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．9.【答案】C【解析】解：（几何法）∵在正棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1：AB=：1，∴设AA1=，AB=1，取A1C1的中点E，连结B1E，AE，则B1E∥BD，∴∠AB1E是异面直线AB1与BD所成的角（或所成角的补角），B1E==，AB1=，AE==，∴cos∠AB1E===，∴∠AB1E=60°，∴异面直线AB1与BD所成的角为60°．故选：C．（向量法）∵在正棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1：AB=：1，∴设AA1=，AB=1，以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（，，），B（，，0），D（0，，0），=（，，），=（-，0，0），设异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°，∴异面直线AB1与BD所成的角为60°．故选：C．（几何法）设AA1=，AB=1，取A1C1的中点E，连结B1E，AE，则B1E∥BD，∠AB1E是异面直线AB1与BD所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB1与BD 所成的角．（向量法）设AA1=，AB=1，以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y 轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BD所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.【答案】C【解析】解：若f（x）=sin x+cos x=2（sin x+cos x）=2sin（x+）在[-m，m]（m＞0）上是增函数，∴-m+≥-，且m+≤．求得m≤，且m≤，∴m≤，故m的最大值为，故选：C．利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（4-x）=f（x-4），所以f（x）的周期为4，又2019=4×504+3，所以f（2019）=f（3）=f（-3）=2．故选：C．由已知以及偶函数性质推出周期为4，所以f（2019）=f（3）．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题.连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a-2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1⊥PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可.【解答】解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a-2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a-2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，∴e==.故选：B．13.【答案】2x-y-1=0【解析】解：∵y=x+1nx，∴y′=1+，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y-1=2（x-1），整理，得2x-y-1=0．故答案为：2x-y-1=0．由y=x+1nx，知y′=1+，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程．本题考查函数的切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键．14.【答案】-2 ；8【解析】【分析】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B（4，-2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．∴z最小值=F（4，-2）=-2．可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为-2；8．15.【答案】-【解析】解：由sinα+sinβ=，①，cosα+cosβ=，②，①2+②2得：1+2sinαsinβ+1+2cosαcosβ=，则cosαcosβ+sinαsinβ=．所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-．故答案为：-．把已知的两等式两边分别平方后得到新的等式，然后两等式相加，利用同角三角函数的基本关系及两角差的余弦函数公式即可求出cos（α-β）的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式的应用，是一道基础题．也是高考中常考的题型．16.【答案】20π【解析】解：如图，M为底面中心，N为PB中点，OM⊥平面ABCON⊥PB，在Rt△BMO中，BM=2，OM=1，OB=R，可得R=，故外接球表面积为：20π．故答案为：20π．设底面中心为M，PB中点为N，作图找到球心O的位置，OM⊥平面ABC，ON⊥PB，利用直角三角形建立方程求得半径，面积．此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=20，S9=45．∴a1+d=20，9a1+36d=45，联立解得：a1=25，d=-5，∴a n=25-5（n-1）=30-5n．（Ⅱ）S n===+，可得：n=5，或6时，S n取得最大值．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=20，S9=45．可得a1+d=20，9a1+36d=45，联立解得：a1，d，利用通项公式即可得出a n．（Ⅱ）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由表中数据得=（1+2+3+4+5）=3，=（120+105+100+90+85）=100，则====-8.5，==100-（-8.5）×3=125.5，即所求回归直线方程为=-8.5x+125.5；（Ⅱ）令x=9，则=-8.5×9+125.5=49人，即预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为49人．【解析】（Ⅰ）根据数求出，的值，结合公式求出，的值即可（Ⅱ）令x=9，即可预测9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．本题主要考查线性回归方程的应用，根据数据分别求出，，，的值是解决本题的关键．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）解：在等腰直角△ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边△VAB的面积为S△VAB=×22×sin60°=，又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM=1，AC=，MC=，∴S△AMC=•1•=，∴S△VAC=2S△MAC=，由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，即S△VAC•h=S△VAB•OC，∴h==，即三棱锥B-VAC的高为．【解析】（Ⅰ）由题意得出OC⊥AB，利用平面VAB⊥平面ABC证得OC⊥平面VAB，从而证明平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）由题意求出△VAB的面积和OC的值，再计算△AMC和△AVC的值，根据等体积法求出三棱锥C-VAB的体积，从而求得三棱锥B-VAC的高．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意知可设过点（-1，0）的直线方程为x=ty-1，联立，得：y2-4ty+4=0．①∵直线与抛物线相切，∴△=16t2-16=0，即t=±1．∵P为第一象限的切点，∴t=1，则①化为y2-4y+4=0，解得y=2，此时x=1，则点P坐标为（1，2）；（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2-4my-8=0，则△=16m2+32＞0恒成立，y1y2=-8，y1+y2=4m，则，．由题意可得：，即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2-2（y1+y2）+4=0，∴4m2+8m+3=0，解得：或．则直线l的方程为y=-2x+4或．【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点（-1，0）的直线方程为x=ty-1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于0求得t，进一步求解P的坐标；（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合求得m值，则直线方程可求．本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=xe x+a（1-e x）+1∴f′（x）=[x-（a-1）]e x，∴x＞a-1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a-1，+∞）上单调递增；x＜a-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，a-1）上单调递减；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）有零点，可得方程f（x）=0有解，∴a===x+有解，令g（x）=x+，则g′（x）=1+=，设函数h（x）=e x-x-2，x∈（0，+∞）,h′（x）=e x-1＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-4＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）存在唯一最小值x0，满足=x0+2，∴g（x0）=x0+=x0+1∈（2，3），∵a=g（x）=x+有解，∴a≥g（x0）＞2，∴a＞2．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．（Ⅰ）f′（x）=[x-（a-1）]e x，对a分类讨论即可得出单调性；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）有零点，可得方程f（x）=0有解，可得a==x+有解，令g（x）=x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x+1=0，即（x-2）2+y2=3…（2分）直线l的普通方程为x-y=0 …（4分）（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x-2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …（6分）将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2-4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …（8分）所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…（10分）【解析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x-2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23.【答案】解：（1）当a=2时，由f（x）≥-3，可得|x-2|-|2x-1|≥-3，①或②或③，解①得-4≤x＜；解②得≤x＜2；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2，故-2x-2≤x-a≤2x+2，即：-3x-2≤-a≤x+2，∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[-3，5]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值符号，从而求出a的范围即可．。
宁夏六盘山高级中学2020届高三第三次模拟考试数学(文)试题及答案
宁夏六盘山高级中学2020届高三第三次模拟考试文科数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =I A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．若复数z 满足()211z i i +=-(i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若将函数()sin 2f x x =的图像向左平移6π个单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A ．(,0)3πB ．(,0)6πC ．(,0)12πD ．(,0)2π4．若双曲线2221(0)x y a a-=>的渐近线为14y x =±，则其实轴长为（ ）A ．4B ．12C ．8D ．145．已知圆C ：222x y r +=（0r >），直线l ：1x =，则“112r <≤”是“C 上恰有不同的两点到l 的距离为12”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若球O 的半径为4，且球心O 到平面α的距离为3，则平面α截球O 所得截面圆的面积为( ) A ．πB ．10πC ．13πD ．52π7．已知0.52a =，2sin5πb =，22log sin 5=c π，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>8．甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．169．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．22019﹣1 B ．22019﹣2C ．22020﹣2D ．22020﹣110．奇函数f x （）的定义域为R ，若1f x +（）为偶函数，且(1)1f ﹣＝﹣，则20182019f f +（）（）＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．111．若()tan 804sin 420α+︒=︒，则()tan 20α+︒的值为( )A ．35-B ．335C ．319D ．3712．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．25a ≤≤B ．5a <C ．35a <<D ．12a <≤第II 卷（非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量(),1AB m =u u u v ,()1,4BC =u u u v ，若11AB BC ⋅>u u u v u u u v，则m 的取值范围为____. 14．已知实数x ，y 满足1,3,10,x y x y ≥-⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩则22z x y =+的最大值为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，1557AB BC CD DA ＝，＝，＝，＝，且90DAB BCD ∠∠︒＝＝，则对角线AC 的长为_____.16．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.必做题：共60分. 17．（12分）在等差数列{a n }中，已知a 3+a 4=84−a 5，a 8=36． (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n +20n的最小值．18．（12分）已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高（直接回答，不需要原因）？ (2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.相关公式1122211()()()()nni iiii i nniii i x y nx y x x yy bxn x x x ====---==--∑∑∑∑$ ，a y bx =-$$.19．（12分）如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ；（2）若四面体BEFG 的体积为12，且F 在平面ABE 内的正投影为M ，求线段CM 的长．20．（12分）设抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-. （1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.21．（12分）已知函数1xf x e a x （）＝﹣（﹣）． （1）证明：当1a ＝时，2f x ≥（）恒成立； （2）若函数f x （）在R 上只有一个零点，求a 的取值范围．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22． [选修4-4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1x cos y sin ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）将1C 的方程化为普通方程，将2C 的方程化为直角坐标方程；（2）已知直线l 的参数方程为()2x tcos y tsin απαπα=⎧<<⎨=⎩，t 为参数，且0t ≠，l 与1C 交于点A ，l 与2C 交于点B ，且AB ，求α的值. 23．[选修4-5：不等式选讲](10分）设函数|10|,f x x x a a a++-（）＝（＞）． （1）若(2)1f a +＜，求a 的取值范围；（2）若对0a f x m ∀∈+∞≥（，），（）恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题 CDAC ACBA CBDA 二、填空题13．()7,+∞ 14．13 15． 16．③ 三、解答题17． 解：解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知a 3+a 4=84−a 5，且a 3+a 5=2a 4， 所以3a 4=84所以a 4=28． 又a 8=36， 得{a 1=22,d =2,即数列{a n }的通项公式a n =2n +20； (Ⅱ)由(Ⅰ)得S n =22n +n(n−1)2×2=n 2+21n ，所以S n +20n=n +20n+21，令f(n)=n +20n+21，n ∈N ∗，则f(n)在(0,2√5)上单调递减，在(2√5,+∞)上单调递增， 所以当n =4或5时，f(n)取到最小值30， 即S n +20n的最小值为30．18．解： (1)由折线图可知5月和6月平均利润最高.(2)第1年前7个月的总利润为123567428++++++＝(百万元)， 第2年前7个月的总利润为255455531++++++＝(百万元)， 第3年前7个月的总利润为446676841++++++＝(百万元)， ⊥这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.(3)⊥ 2.5x =，5y =，2222123430+++=，1424364654⨯+⨯+⨯+⨯=，⊥2544 2.550.8304 2.5ˆb-⨯⨯==-⨯，⊥5 2.583ˆa =-⨯=，⊥0.83ˆyx =+， 当8x =时，0.88394ˆ.y=⨯+=(百万元)，⊥估计8月份的利润为940万元. 19． (1)证明：因为BC BD =，E 是棱CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又三棱锥B ACD -的三条侧棱两两垂直，且BC BD B ⋂=， 所以AB ⊥平面BCD ，则AB CD ⊥ 因为AB BE B ⋂=，所以CD ⊥平面ABE ， 又CD ⊂平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD . （2）由（1）知CD ⊥平面ABE ，因为MF ⊥平面ABE ， 所以//MF CD又F 为AD 的中点，所以M 为AE 的中点，因为2BE =，1222MF DE ==， 所以四面体体BEFG 的体积为11326BG BE BG MF ⨯⨯⨯⨯==12， 则3BG =在Rt ABE ∆中，26AB BG ==，26238AE =+=，在Rt CEM ∆中，13822ME AE ==，22462CM ME CE =+=. 20． 解：（1）易知A 点的坐标为,2p p ⎛⎫± ⎪⎝⎭，所以(1)2pp =--，解得2p =......2分又圆的圆心为()1,0F ，所以圆的方程为22(1)4x y -+=......4分 （2）证明易知，直线M 的斜率存在且不为0， 设()01,,M y MN -的方程为0(1)y k x y =++，代入C 的方程，得()20440ky y y h -++=.令()016160k y k =-+=△，得01y k k+=，.....6分 所以()222044440k y ky ky y y A k -+-++==，解得2y k=. 将2y k =代入C 的方程，得21x k=，即N 点的坐标为212,k k ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()02,FM y =-uuu r ，2121,FN kk ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r ，02222212220FM FN y k k k k k k⎛⎫⋅=⋅+⋅=⋅+-⋅= ⎪⎝⎭uuu r uuu r .故MF FN ⊥......12分21．解：（1）f ′（x ）=1x e -， 令f ′（x ）=0，得到x=0,当x<0时，f ′（x ）<0，()f x 单调递减，当x>0时，f ′（x ）>0，()f x 单调递增, ⊥()f x 在x=0处取得最小值.()0012f e =+=,⊥()()02f x f ≥=.（2）当a=0时，()xf x e =>0恒成立，无零点，与题意不符；当a<0时，f ′（x ）=0x e a ->,()f x 在R 上单调递增, 又x=1a 时,111 1af e a a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1a e -1+a<1-1+a<0,x=1时，()1f =e>0， 根据零点存在性定理，()f x 在R 上有唯一零点，当a>0时，f ′（x ）=x e a - 令f ′（x ）=0，x=lna,()x ,lna 0f x，∞'∈-<，f(x)单减， ()x lna 0f x ∞∈'+>，，，f(x)单增，()f x 在x=lna 处取得最小值，f （lna ）=a -a(lna -1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=2e⊥当a<0或a=2e 时，()f x 在R 上有唯一的零点.22． 解：（1）曲线1C 消去参数β得()2211x y -+=，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=即2=4cos ρρθ 化为直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线1C 的普通方程()2211x y -+=得22cos 0t t α-=0,2cos A t t α≠∴=Q .同理，把直线l 的参数方程代入曲线2C 的普通方程得24cos 0t t α-=，0,4cos B t t α≠∴=Q.=2cos A B AB t t α∴-==cos 2παπα<<∴=Q 5=6πα.综上所述：5=6πα23． 解：（1）由题意，可得12221f a a a++-<+（）＝， 则不等式()21f a +＜，即1221a a a++-<+， 等价于212+21a a a a ≥⎧⎪⎨-+<+⎪⎩或212+21a a a a≥⎧⎪⎨-+<+⎪⎩， 解得2a ≥或2a <<，故a的取值范围为+∞） （2）由0a >，则()1111f x x x a x x a a a a a a a （）＝＝⎛⎫++-≥≥+--+=+ ⎪⎝⎭ ⊥0a >时，12a a +≥=，当且仅当1a =时取等号， ⊥0,a f x m ∀∈+∞≥（，）（）恒成立，⊥2m ≤．。
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的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”
四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是 （）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3，cos∠B＝ ，则边 AC 的长
线 PB 与平面 PAC 所成角为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）定义行列式运算
＝a1b2﹣a2b1，已知函数 f（x）＝
（ω＞0），
满足：f（x1）＝0，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|的最小值为 ，则 ω 的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（5 分）如图，若 C 是
椭圆上位于第一象限内的点，A，B 分别
是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且 OC＝OF，AB∥OC 则该椭圆的离心率为 （）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣
＝3x，则 f（log354）＝（ ）
A．
B．
C．﹣
，且在（0，1）上 f（x） D．﹣
二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）
2020 届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一
一.选择题：（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个答案是正确的）
1．（5 分）若复数 z 满足（1+2i）z＝3﹣4i，则 z 的实部为（ ）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2
2．（5 分）已知集合 A＝{x|x+1＞0}，B＝{﹣1，0，1}，则 A∩B＝（ ）
21．（12 分）已知函数 f（x）＝lnx+ （a∈R）在 x＝1 处的切线与直线 x﹣2y+1＝0 平行． （Ⅰ）求实数 a 的值，并判断函数 f（x）的单调性； （Ⅱ）若函数 f（x）＝m 有两个零点 x1，x2，且 x1＜x2，求证：x1+x2＞1．
选做题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题 计分.
（Ⅱ）设函数 f（x）的最小值为 c，实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，a+b＝c，求证：
．
2020 届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一答案
一.选择题：（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个答案是正确的） 1．B； 2．C； 3．B； 4．A； 5．B； 6．B； 7．D； 8．C； 9．A； 10．A； 11．A； 12．C； 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13．3x﹣y﹣3＝0； 14．18； 15． ； 16．36π；
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明）
17．
； 18．7；5.4；3； 19．
； 20．
； 21．
；
选做题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题
计分.
22．
； 23．
；
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20．（12 分）已知抛物线 C1：x2＝2py（p＞0）和圆 C2：（x+1）2+y2＝2，倾斜角为 45°的直 线 l1 过 C1 的焦点且与 C2 相切． （1）求 p 的值； （2）点 M 在 C1 的准线上，动点 A 在 C1 上，C1 在 A 点处的切线 l2 交 y 轴于点 B，设 ，求证：点 N 在定直线上，并求该定直线的方程．
（）
A．
B．4
8．（5 分）如图，给出的是计算
C．
D．
的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）
处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）
A．i＞100，n＝n+1
B．i＜34，n＝n+3
C．i＞34，n＝n+3
D．i≥34，n＝n+3
9．（5 分）四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 PA＝AB＝2，则直
甲
7
1.2
1
乙
（2）从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析： ①从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩更稳定）； ②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）； ③从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．
参考公式：
19．（12 分）如图，直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D 是 BC 的中点，且 AD⊥BC，四边形 ABB1A1 为 正方形． （Ⅰ）求证：A1C∥平面 AB1D； （Ⅱ）若∠BAC＝60°，BC＝4，求点 A1 到平面 AB1D 的距离．
17．（12 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a2+a8＝82，S41＝S9． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn 的最大值．
18．（12 分）甲、乙两人在相同条件下各射击 10 次，每次中靶环数情况如图所示：
（1）请填写表（先写出计算过程再填表）：
平均数
方差
命中 9 环及 9 环以上的次数
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为
（t 为参数），以原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ（2 2cos2θ+cos2θ） ＝3． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点 M 的直角坐标为（2，1），求直 线 l 的方程． 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|． （Ⅰ）解不等式 f（x）≤x+1；
A．{1}
B．{﹣1}
C．{0，1}
D．{﹣1，0}
3．（5 分）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（5 分）已知非零向量 ， 满足| |＝k| |，且 ⊥（ +2 ），若 ， 的夹角为 ，则
实数 k 的值为（ A．4
） B．3
C．2
D．
5．（5 分）y＝（2x+1）lnx 在点（1，0）处的切线方程为
．
14．（5 分）设实数 x，y 满足约束条件
，则 z＝3x+4y 的最大值为
．
15．（5 分）已知
，则 tan2α＝
．
16．（5 分）已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为 54π，则该圆柱的侧面积为
．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 60 分，解答应写出文字说明）