高等数学第三章导数与微分续教学案例
高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用
例6. ( 型未定式)
当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ更简单(先化简).
例7. (先进行无穷小等价代换)
有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.
例8.
………………………………………………………………………………………42分钟
注：称使 的点为驻点。
例2罗尔定理：如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导；
（3） .
则在（a,b）内至少有一点 ,使 .
几何解释:
二、拉格朗日中值定理
1.拉格朗日中值定理:如果函数 满足
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）上可导.
则在（a,b）内至少有一点 ,使等式
例10．判断 的凹凸性．
例11．判断 的凹凸性．
3．拐点
拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点．
拐点的判断：１二阶导数为零的点；２二阶导数不存在的点．
例12．求曲线 的拐点．
例13．求曲线 的凹凸区间与拐点．
例14．指出 是否有拐点．
例15．指出 的拐点．
………………………………………………………………………………………42分钟
（1）若 ，则 点是极大值点；
（2）若 ，则 点是极小值点。
（由凹凸性分析。）
求极值的步骤：
（1）求出一阶导数；
（2）求出一阶导数为零或不存在的点；
（3）判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；
（4）判断出极值点并求出极值。
高中数学《导数与微分》教案
高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。
通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。
1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。
第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。
引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。
2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。
通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。
第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。
通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。
3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。
第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。
4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。
4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。
4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。
第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。
5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。
第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。
《高等数学(上)》教学教案—03微分中值定理与导数的应用
第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos ((2x m θ+=+21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
导数与微分教案
《微积分》教案（上册）章节名称：第三章导数与微分第三章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。
了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导教学目的与要求1.理解函数导数的概念及其几何意义.2.掌握基本初等函数的导数，会求平面曲线的切线和法线.3.了解导数与导函数的区别和联系.4.理解左右导数的概念、可导与连续的关系. 教学重点与难点1. 函数导数的概念、基本初等函数的导数思考：已知一质点的运动规律为)(t s s =，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。
在中学里我们学过平均速度ts∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解， 这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛22gt s =， 按照上面的公式，可知自由落体运动在0t 时刻的瞬时速度为000202000000)21(lim 21)(21lim )()(lim )(0gt t g gt t gt t t g t t s t t s t v t t t =∆+=∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆→∆。
这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的斜率。
也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即0000()()tan limlim x x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆ （2）3.边际成本设某产品的成本C是产量x的函数()=，试确定产量为C C xx个单位时的边际成本。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)
第三章
函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
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一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无 定 义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
大一高数第三章 导数与微分 课件
x0
x
lim C C 0 x0 x
即(C)' 0,通常说成 : 常数的导数等于零.
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例2 求y x的导数.并求y |x1 .
解 因为 lim y lim f (x x) f (x)
x0 x x0
x
x x x
lim
y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率,即
f(x0) =tan ( /2)， 其中是切线的倾角． 于是有
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为
y-f(x0 )=f(x0) (x-x0)．
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的法线方程为
y-f(x0)=
1 f ( x0 )
别 为 dy1 =______2_x__13__________
，
dx
3
dy2 dx
=____x_23________
.
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4、 设 f ( x) x 2,则 f f ( x) _____4__x_2________；
5、 曲 线 y e x 在 点 ( 0 , 1 ) 处 的 切 线 方 程 为 _____x___y___1___0____.
x0
x
lim
1
1.
x0 x x x 2 x
y |x1
1 2x
|x1
1. 2
一般地，对于幂函数 y= x 有公式
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( x )′ = x 1
对于基本初等函数中的y ax , y loga x, y sin x, y cosx都可以仿例1，例2的方法求得导数如下：
f
高数)第3章：微分中值定理与导数的应用教案资料
yf(x)
1
2
x
5
证明: 只就f (x)在x0达到最大值证明。
由f于 (x)在 x0达到最大值x， 0所 x在 (以 a,b)内 只 , 要
就f有 (x0x)f(x0), 即 f(x 0 x ) f(x 0 ) 0 ,
从f(而 x 0 x )f(x 0)0 ,当 x0 时 ; x
即 方 程 在 (a ,b )内 至 少 有 一 根 .
16
分析问题的条件, 作出辅助 函数是证明的关键 .
17
• 对于罗尔定理中的第三个条件 f(a)f(b) 很多函数都不满足，这样就限制了罗尔定
f(x0 x)f(x0)0,当 x0时 ; x
这 f(x 样 0 0 ) lx 0 im f(x 0 x x ) f(x 0 ) 0 f(x 0 0 ) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0) 0 .
而f(x)在点 x0可导， 所f以 (x0)0.
6
观察与思考：
右图，区间[a, b]上 一条光滑曲线弧，且两 端点处的函数值相等， 除区间端点外处处有不 垂直于x 轴的切线，在 最高点和最低点处切线 有何特点？
第三章
微分中值定理与 导数的应用
1
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日( Lagrange )中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
2
第一节 微分中值定理
微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange) 中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理 是它的特例，柯西定理是它的推广。
1. 预备定理——费马(Fermat)定理
(1, 2)及(2, 3)内。
可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。
高等数学导数与微分教案
高等数学导数与微分教案一、页高等数学导数与微分教案二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1数学教育的重要性4.2导数与微分的在现代数学中的地位4.3当前教育方式与挑战5.项目目标5.1教学内容的深化与拓展5.2教学方法的创新与改进5.3学生能力的提升与评估6.教学内容安排7.教学方法与策略8.教学评估与反馈9.教学资源与材料三、摘要四、背景和现状分析4.1数学教育的重要性在当今科技迅速发展的时代，数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和创新能力具有不可替代的作用。
高等数学作为大学教育的重要组成部分，其深度和广度都对学生未来的学术和职业生涯产生深远影响。
4.2导数与微分的在现代数学中的地位导数与微分是高等数学中的核心概念，它们不仅是后续学习积分学、微分方程等高级数学课程的基础，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域有着广泛的应用。
掌握导数与微分的基本原理和方法对于学生理解和解决实际问题至关重要。
4.3当前教育方式与挑战目前，高等数学的教学多采用传统的讲授方式，这种方式往往导致学生被动接受知识，缺乏主动探索和思考的机会。
由于导数与微分概念较为抽象，学生普遍感到难以理解和应用，这对教师的教学方法和学生的接受能力都提出了更高的要求。
五、项目目标5.1教学内容的深化与拓展本教案的目标之一是对导数与微分的教学内容进行深化与拓展。
除了涵盖基本概念、性质和计算方法外，还将引入一些高级主题和应用实例，以增强学生对导数与微分理解的深度和广度。
5.2教学方法的创新与改进教案将探索和实施一系列创新的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习、问题导向学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和自主学习能力。
5.3学生能力的提升与评估教案将注重学生能力的培养和评估，通过设计多样化的练习题和实际应用案例，帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力。
同时，教案将包含定期的学习评估和反馈机制，以确保教学目标的达成。
《高等数学B》第三章 导数、微分、边际与弹性 第1节 导数的概念
其中 α → 0 ( ∆ x → 0) . 则
∆ y = f ′( x 0 ) ∆ x + α ∆ x
∆x → 0
lim ∆ y = lim [ f ′( x0 )∆ x + α ∆ x ] = 0 ,
N 沿曲线C → M , x → x0 ,
切线 MT 的斜率为
由上可得: 由上可得: 1) 变速直线运动的瞬时速度
2) 曲线切线的斜率
两个问题的共性: 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 函数增量
二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 y = f ( x)在点x0的某个邻域内有定义,
当自变量 x在 x0处取得增量∆x(点 x0 + ∆x仍在该邻域 ) 内 时, 相应地函数 y取得增量∆ y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); 如果∆ y与∆x 之比当∆x → 0 时的极限存在, 则称函数 y = f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y = f ( x) 在点x0处的导数, 记为
1 1 = ( )′ 1 = − 2 x x= 2 x
1 x= 2
= −4 .
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ) , 即 4 x + y − 4 = 0 . 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ) , 即 2 x − 8 y + 15 = 0 . 4 2
四、函数可导性与连续性的关系 定理 凡可导函数都是连续函数 . 证 设函数 f ( x ) 在点 x0 可导 , 得
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于是 y (x1) x1( 1 1 2 1). (x4)2ex x1 2(x1) x4
4.2由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x (t ),
y
(t)
确定 y为 x的函数，则称此函数关系所表达的函数
为由参数方程所确定的函数。
dydydtdy 1 (t) dx dt dx dt dx (t)
设 y f(u),u(x)则复合函数 yf[(x)]
的微分为：d y f(x )(x )d x
由于 f( x ) f( u ), ( x ) d d xu
dyf(u)du 一阶微分形式不变性
例2 求函数 ye2xsi3 nx的微分.
解 d y d2 xe d s3 ix n 2 e 2 xd x 3 c3 o xs d
∴ 函数的微分为：
d y = (60x4 – 39x2 – 6x – 4 ) dx
例5 求函数 y esin2 x的微分.
解 d ydsei2 nxesi2 nxdsi2n x 2 sx is n e 2 ix n d sx i n s2 ix n se 2 ix n d. x
2. 在下列等式左端的括号内填入适当函数，
u
u
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：
例5
求
y
(x1) x1 (x 4)2ex
(x
1)
的导数。
解 两边取对数，得 ln y ln x ( 1 ) 1 ln x ( 1 ) 2 ln x ( 4 ) x
2
两边对 x求导，得
1y 1 1 2 1, y x1 2(x1) x4
d d
y xt4((a bc siott))nst4 ba csotitnst4b a.
即得椭圆在 M 0 点的切线方程
yb22baxa22.
或 bxay 2ab0.
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导则
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
说明:一般地
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
另解 将幂指函数表示为
y evlnu.
直接求导得
y e v ln u (v lu n v u ) u v(v lu n v u ).
解 方程两边对 x求导,得
exeydyyxdy0
dx dx
解得
dy dx
y ex ey x
.
因为当 x 0时，由原方程得 y 0 ，所以
dy dxx0
eyyexx
x0 y0
1.
例2 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
关于△x 的 x0时为
线性主部 高阶无穷小
x x0x
x 0 A x02
(x)2 x0x
故 A2x0x 称为函数在 x 0 的微分
1.定义
函数 y = f (x) 可微的条件
二、微分四则运算法则
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
三、复合函数的微分法则 及一阶微分形式不变性
1.
于是所求切线方程为
y1(x1),
即
xy20.
例4求由下列方程确定的隐函数 y = f (x) 的导数： 求
对数求导法
观察 y xsinx
5
另解 将幂指函数表示为
y esinxlnx.
直接求导得
yesixlnn x(cxolsn xsixn 1) x
xsixn(co xlsnxsixn1). x
(2e2x3co3xs)d.x
例3 求函数 y sin x 的微分. x2
解 d yd(sixn)x2dsixnsixnd2 x
x2
x4
xcoxs2sinxd.x x3
例4 求下列函数的微分 y = (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )
解： ∵ y′= (3x2 – 4)′ (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (4x3 + x – 1 )′ = 6x (4x3 + x – 1 ) + (3x2 – 4) (12x2 + 1 ) = 60x4 – 39x2 – 6x – 4
(2t) (arct)a n
2 1
2(1t2).
1t2
§5 函数的微分
5.1 微分的概念
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由x 0 变到 x0x,问此薄片面积改变了多少?
设薄片边长为 x , 面积为 A , 则 A x2, 当 x 在 x 0 取
得增量x 时, 面积的增量为
A (x0 x)2x2 2x0x(x)2
dt
即
dy (t) . dx (t)
或
y (t) . (t)
例6 已知椭圆的参数方程为
x解椭当圆t 在 相4 时应,的椭点圆上t 的4 相处应的点切M线0方的程坐.标是：
a2
x0
ac
o
s 4
2
,
b2
y0
bsin 4
2
.
曲线在 M 0 的切线斜率为：
得
5 y 4 d y 2 d y 121x6 0
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
例3 求曲线 x3y32xy0在点M01,1
处的切线方程.
解 方程两边分别对x求导，得
解得
3x23y2d y2y2xd y0.
dx dx
ddyx32yy232xx2
x1 y1
第 三章
导数与微分
求导法则与导数公式
导数的四则运算
§4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
4.1 隐函数的导数
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1求由方程 exeyxy2所确定的隐函数
y在 x 0处的导数
dy dx
x0 .
即d d22 yx(t)( t) 3( t)(t)(t).
例8
设
x arctant, y ln(1t2)
求 dy , d 2 y . dx dx 2
2t
解
dy ln1( t2) 1t2 2t
dx (arctatn) 1
1t2
d d2y 2xd d(xd d)y x(d d)y xtd dx t(xy(t))t