高等数学 第三章 导数与微分

四、导数的几何意义
几何意义：
y
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的
y f (x)
T
切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)o
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
法线方程为
y
y0
f
1 (x ( x0 )
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
★ 如果函数在某点不连续，那么函数在 该点肯定不可导。
★ 对于分段函数在分段点处的可导性一 定要用导数的定义来判断。
第二节 函数的求导法则
一、基本初等函数的求导法则 二、导数的四则运算 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则
一、基本初等函数的求导法则
(1) (C) 0（ C 为常数）（2）(x ) x1（ 为任意实数）
（3） (a x ) a x ln a （4） (e x ) e x
（5） (loga
x)
1 x ln
a
（6）
(ln
x)
1 x
（7） (sin x) cosx （8） (cosx) sin x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
可导 可微. A f ( x0 ). 函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
二、微分的几何意义
几何意义:(如图)
y
T
当y是曲线的纵 坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
x0 ).
五、可导与连续的关系
定理 如果函数 f (x) 在 x0 处可导，则函数
f (x) 在 x0 处连续．
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
y lim x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim[
x 0
d (arcsin x) 1 dx 1 x2
d (arccos x) 1 dx 1 x2
d(arctanx) 1 dx 1 x2
d(arc cot x)
1
1 x
2
dx
2) 微分运算法则
（1） d[u(x) v(x)] du(x) dv(x) ；
（2） d[u(x)v(x)] v(x)du(x) u(x)dv(x) ；
x0 x
x0 x
即函数 f ( x)在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
lim y x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) ,
从而 y f ( x0 ) x (x), 0 (x 0),
f ( x0 ) x o(x),
dy f (u)du ．
由此可见，无论 u 是自变量还是中间变量，微
分形式 dy f (u)du 保持不变．这一性质称为微分 形式的不变性．利用一阶微分形式的不变性求复 合函数的微分比较方便．
四、微分在近似计算中的应用
计算函数增量的近似值
若y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 0,且 x 很小时,
（3） d[cu(x)] cdu(x) （ c 为常数）；
（4）
d[u(x)] v(x)
v(x)du(x) u(x)dv(x) v2 (x)
(v(x)
0)
；
（5） d[ f (g(x))] f (g(x))g(x)dx
公式（5）是复合函数的微分法则.
因为 du g(x)dx ，所以复合函数 y f [g(x)] 的微分公式也可以写成
（9）(tan x) sec2 x (11) (cot x) csc2 x
（10）(secx) secx tan x ．
(12) (cscx) cscx cot x
(13) (arcsin x)
1 1 x2
(14) (arccos x)
1 1 x2
(15) (arctanx)
1
1 x
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 导数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数与由参数方程所确定的
函数的导数 第五节 函数的微分
第一节 导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、单侧导数 四、导数的几何意义 五、可导与连续的关系
一、引例
M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点 N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋 转而趋于极限位置M， 直线MT就称为曲线C 在点M处的切线．
极限位置即
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
微分 dy叫做函数增量y的线性主部.(微分的实质)
定理 函数 f ( x)在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x)在点x0可微,
y A x o(x),
y A o(x) ,
x
x
则 lim y A lim o(x) A.
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导过程:
（ 1 ） 方 程 F( x， y) 0两边 同 时对 x 求 导 ， 把 F(x，y) 中的 y 看成是 x 的函数，利用复合函数的求导
法则计算； （2） 解出 y ．由于对数具有化积商为和差的性
质，在有的求导运算中，可先将函数取自然对数，然 后利用隐函数的求导法则求导，这就是所谓的对数求 导法.
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
第四节 隐函数与由参数方程所 确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数
一、隐函数的导数
y f ( x) 形式称为显函数.
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
2
．
(16)
(arc
c
ot
x)
1
1 x
2
．
二、导数的四则运算
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
例 求 y sec x 的导数 .
解 y (sec x) ( 1 )
cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
或
f (x) 1
( y)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
四、复合函数的求导法则
定理 如果函数 y f (u) 在点 u 可导，函数
u g(x) 在点 x 可导，则复合函数 y f [g(x)]在点
x
也可导，且{ f
[g(x)]}
f
(u)g(x)
或
dy dx
dy du
du dx
．
注意: 符号[ f ((x))] 表示复合函数 f ((x)) 对自变量 x
二、由参数方程所确定的函数的导数
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t 1( x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
x0
x
x0
x
存在，则极限值分别称为函数 f (x) 在点 x0 处的左导数 和右导数，记作 f(x0 ) 及 f(x0 ) ，即
， ． f(x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
左导数和右导数统称为单侧导数． 若函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内可导，且在左端 点存在右导数 ,右端点存在左导数,即 f(a) 及 f(b) 都存在，就说 f (x) 在闭区间[a,b] 上可导． 函数 f (x) 在点 x0 的可导的充要条件是函数 f (x) 在点 x0 的右导数和左导数都存在且相等，即 f(x0 ) ＝ f(x0 ) ．
如果不可导的原因是由于 lim y ， 也往往说函
x0 x
数 y f (x) 在点 x0 处的导数为无穷大． 若函数 y f (x) 在开区间 I 内每一点都可导，
则称函数 y f (x) 在开区间 I 内可导．
若函数 y f (x) 在开区间 I 内可导，则对应
于 I 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的
导数值 f (x) ，这样确定的新函数称之为函数
y f (x) 的导函数，记作
f
( x)
，
y
，
dy dx
，或
df (x) dx
，即
f
( x
y
)
＝
lim
x0
x
＝ lim x0
f (x x) x
f (x)
.
函数 y f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) ，就是导 函数 f (x ) 在点 x x0 处的函数值，即