微积分第三章导数与微分
微积分中的导数与微分
微积分中的导数与微分微积分是数学的一个分支，主要研究变化率和累积效应问题。
导数和微分是微积分中最重要的两个概念，它们被广泛用于物理、工程、经济等领域，是现代科学中不可或缺的工具。
本文将会系统探讨导数和微分的定义、性质以及应用。
一、导数的定义和性质导数是一个函数在某一点的斜率，也称为函数的变化率。
它的定义如下：设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，如果函数在该点的变化率有有限的极限，那么导数 $f'(x_0)$ 存在，且有：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示 $x$ 的增量，$\Delta x \rightarrow 0$ 表示$\Delta x$ 趋近于 0。
导数的性质包括：1. 如果函数在 $x_0$ 处可导，那么它在该点必定连续。
2. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率为 $f'(x_0)$。
3. 如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内满足局部线性近似。
二、微分的定义和性质微分可以看作是导数的微小增量，是微积分中的另一个重要概念。
它的定义如下：设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，那么函数在该点的微分就是：$$dy=f'(x_0)dx$$其中，$dx$ 表示 $x$ 的微小增量，$dy$ 表示 $y$ 的微小增量。
微分的性质包括：1. 微分具有线性性。
2. 微分运算满足加法和乘法运算的运算律。
3. 微分可以用于计算函数的局部变化量。
三、导数和微分的应用导数和微分在科学和工程领域中有着广泛的应用，以下列举几个典型例子：1. 物理中的加速度和速度在物理学中，物体的加速度等于速度的导数，速度等于路程的导数，因此导数和微分可以用来计算物体的运动状态。
第三章 导数与微分 习题及答案
第三章 导数与微分同步练习 一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim=--→xf x f x x ，则)0(f '= 。
2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。
3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则1=x dxdy = 。
4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。
5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将 。
6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为 。
7、已知x x y ln =，则)10(y = 。
8、已知2arcsin )(),2323(x x f x x f y ='+-=，则：0=x dxdy = 。
9、设1111ln22++-+=x x y ，则y '= 。
10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。
11、已知()xke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dyxd 。
二、选择1、设f 可微，则=---→1)1()2(lim1x f x f x （ ）A 、)1(-'-x fB 、)1(-'fC 、)1(f '-D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→)()2(lim000x f x x f xx （ ）A 、41 B 、41- C 、1 D 、-1 3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001arctan )(x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ ）A 、不连续B 、极限不存在 Ｃ、连续且可导 Ｄ、连续但不可导 ４、下列函数在[]1,1-上可微的有（ ） Ａ、x x y sin 32+= Ｂ、x x y sin =Ｃ、21x x y +=Ｄ、x x y cos += ５、设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=（ ） Ａ、在0=x 处极限不存在 Ｂ、有跳跃间断点0=x Ｃ、在0=x 处右极限不存在 Ｄ、有可去间断点0=x６、设函数)(),(21x y x y 的弹性分别为)0(,≠b b a ，则函数)()(21x y x y y =的弹性为（ ） Ａ、b a - Ｂ、b aＣ、2112y by ay - Ｄ、以上都不对 ７、已知)(x f e y =，则y ''＝（ ）Ａ、)(x f e Ｂ、)]()([)(x f x f e x f ''+' Ｃ、)()(x f e x f '' Ｄ、)}()]({[2)(x f x f e x f ''+'８、设函数⎩⎨⎧≤+>+=11)ln()(2x bx x x a x f 在1=x 处可导。
《微积分一》导数的概念
y g(x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
O
x0
x
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§3.1 引出导数概念的例题
一、变速直线运动的速度 二、切线问题
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引出导数概念的例题
一. 变速直线运动的瞬时速度
设作变速直线运动的物体的运动规律为 s s(t),
t
t
v(t0 ) v
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引出导数概念的例题
2. t越小，v越接近于v(t0 )
v(t0 )
_
lim v
t0
= lim s lim s(t0 t) s(t0 )
t t0
t0
t
v(t0
)=
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t ) t
y
y f (x)
如何精确度量 x0 处利润增加的快慢？
y g(x)
O
x0
x
导数
（函数的瞬时变化率）
第三章 导数与微分
§3.1 引出导数概念的例题 §32 导数概念
导数的概念
§3.3 导数的基本公式与运算法则 导数的计算
§3.4 高阶导数
§3.5 微分
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需要解决的问题
甲、乙两种商品的利润函数分别为y f (x)和y g(x)
y
y f (x)
瞬时速度
函数的改变量
导
自变量的li改m变量0自变量的改变量
微积分-导数(微分)导数法则
x y坡度 = 0y = 3xy坡度 = 2y = 2x 导数法则导数 是在函数上任何一点的坡度。
有很多法则可以帮助我们去求导数。
例子：常数 （像 3）的坡度永远是 0直线 （像 2x 是 2，3x 是 3，以此类推）等等。
以下是一些常用的法用来求函数的导数（例子在下面）。
注意：这个符号 ’ 的意思是 "的导数"。
.常见函数函数导数常数c 0直线x 1 ax a 平方x 22x 平方根√x (½)x -½指数e x e x a x ln(a) a x 对数ln(x)1/xlog a (x) 1 / (x ln(a))三角 （x 的单位是 弧度）sin(x)cos(x) cos(x)−sin(x) tan(x)sec 2(x)反三角sin -1(x)1/√(1−x 2) cos -1(x)−1/√(1−x 2) tan -1(x)1/(1+x 2)法则函数导数乘以常数cf cf’幂次方法则x n nx n−1加法法则 f + g f’ + g’减法法则 f - g f’ − g’积法则fg f g’ + f’ g 商法则f/g (f’ g − g’ f )/g 2倒数法则1/f −f’/f 2链式法则（为 "复合函数"） f º g (f’ º g) × g’链式法则 （用 ’ ）f(g(x))f’(g(x))g’(x)链式法则 （用 ddx ）dydx= dydududx"的导数" 也可以写成ddx所以 ddx sin(x) 和 sin(x)’ 是 一样的，只不过写法不同举例例子：sin(x) 的导数是什么？从上面的列表我们可以看到答案是 cos(x)可以写为：sin(x) = cos(x)或：sin(x)’ = cos(x)幂次方法则例子：x3 是什么？问题是 "x3 的导数是什么？"我们可以用幂次方法则，以 n=3:x n = nx n−1x3 = 3x3−1 = 3x2例子：(1/x) 是什么？1/x 等于 x-1我们可以用幂次方法则，以 n = −1:x n = nx n−1x−1 = −1x−1−1 = −x−2乘以常数例子：5x3 是什么？cf 的导数 = cf’5f 的导数 = 5f’幂次方法则：x3 = 3x3−1 = 3x2所以：5x3 = 5x3 = 5 × 3x2 = 15x2加法法则例子：x2+x3 的导数是什么？加法法则说：f +g 的导数 = f’ + g’所以我们可以求每项的导数，然后求它们的和。
微积分课件(导数与微分2)资料
设函数 f ( x)在点x0可导,即
lim y x0 x
f ( x0 )
y x
f ( x0 )
0 (x 0) y f ( x0 )x x
lim
x 0
y
lim [
x 0
f
(
x0
)x
x]
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
1
11
x2
2
1. 2x
( x 1 ) (1) x 11
1 x2
.
第一节 导数的概念
例3 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 3
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x h) sin 2
k y x1 2
( 1 ) x
x1 2
1 x2
x1 2
4
所求切线方程为 y 2 4( x 1), 即 4x y 4 0.
2
法线方程为
y 2 1 ( x 1), 42
即 2x 8 y 15 0.
第一节 导数的概念
四、函数可导性与连续性的关系
h0
2h
cos x
2
即 (sin x) cos x
(sin x) x cos x x
3
3
1 2
第一节 导数的概念
例4 求函数 f ( x) a x (a 0, a 1)的导数.
解 (a x ) lim a xh a x
微积分第3章导数与微分
2021/4/21
9
三、左、右导数
定义 设函数 y = f(x) 在某U+(x0) (或 U-(x0))内有定义. 若
(或
)
存在，则称该极限值为 f 在点 x0 处的右 (左) 导数.
记作 f( x0 ) (或 f( x0 )) .
注：1. f 在x0可导 f 在 x0 的左, 右导数存在且相等.
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0 与 f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.
0, x 0
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例5. 求下列函数的导函数：
(1) c ( 常函数 ) ;
答案：0
记结论
(2) xn , ( n∈N+ ) ; (3) sin x ,
cos x ; (4) log ax ( a > 0, a≠1, x > 0 ) .
方法一：F(x, y) = 0 显化 y = f(x) 已有方法 求 y.
√ 方法二：F(x, y) = 0 两边同时求导 [F(x, y)] 0 求 y.
例6. 已知 y x ln y 确定了函数 y = f(x)，求 y.
（答案：
y
y ln y y x
）
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第三章 导数与微分
22
要牢记！
(1) (c) 0 (c为常数);
(2) ( x ) x1 (为任意实数 );
(3) (a x ) a x ln a, (ex ) ex ;
(4)
(log a
x)
1, x ln a
(ln
x)
1; x
(5) (sin x) cos x,(cos x) sin x ;
微积分中的导数与微分
微积分中的导数与微分微积分是数学的一个重要分支，它涉及到许多重要概念和方法，其中导数和微分是微积分中最基本的概念之一。
在本文中，我们将讨论这两个概念的原理、定义、性质和应用。
导数的原理和定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是研究物理和数学问题中变化率的重要工具。
导数的定义是函数在给定点处的斜率，通俗地说，就是函数在某个点处的瞬时变化速率。
导数的原理是在给定点处对函数进行微小改变，时间间隔趋近于0，从而求出函数在该点处的变化率。
具体地，导数可以用以下公式表示：$$f'(x) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$其中，$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$点处的导数，$h$表示时间间隔。
导数的性质和应用导数具有许多性质和应用。
其中，导数的性质包括：1. 导数存在的条件：函数在给定点上是连续的。
2. 导数的几何意义：导数是函数在给定点处的切线的斜率。
3. 可导和连续的区别：可导函数是连续函数的一种特殊情况。
4. 导数的加减法和乘除法：导数的加减法可以用来求两个函数的导数之和或之差，而导数的乘除法可以用来求两个函数的导数之积或之商。
导数的应用包括：1. 最大值和最小值问题：通过求导数，可以找到函数的最大值和最小值。
2. 曲线拐点：函数的拐点是函数斜率发生变化的点，通过求二阶导数可以判断拐点的位置。
3. 斜率和曲率：导数是刻画函数斜率的重要工具，而曲率是描述函数曲线弯曲程度的概念，二阶导数可以求出函数曲线的曲率。
微分的原理和定义微分是另一个重要概念，它和导数密切相关。
微分可以用来描述函数在给定点处的局部变化，也可以粗略地表示变化的总量。
微分的定义是：$$df(x)=f'(x)dx$$其中，$df(x)$表示函数$f(x)$在$x$点处的微分，$f'(x)$表示该点处的导数，$dx$表示微小偏移量。
微分的性质和应用微分也具有许多重要性质和应用。
人大四版微积分第3章导数与微分
瞬时速度 切线斜率
两个问题的共性:
o
y
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
y f ( x)
N
C
M
T
o x0
x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 变 化 率 问 题
即 log a
x
1 x ln a
特别地，当 a e 时，有
微积分 第三章
l n x
1 x
导数与微分
5．指数函数的导数
a
x
a x ln a
a 0, a 1,
特别地，当 a e 时，有
e
x
ex
微积分
第三章
导数与微分
(二)导数的四则运算法则
f ( x0 ) f ( x) x x0
第三章
d f ( x0 ) dx
微积分
导数与微分
导数的定义式: f (x0 x) f (x0 ) y f (x0 ) lim lim x 0 x x 0 x f (x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 ) f (x0 ) lim lim h0 h x x0 x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. y 若 lim 在 的导数为无穷大 . , 也称 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
此时导数值构成的新函数称为导函数. d y d f ( x) . ; 记作: y ; f ( x ) ; dx dx 注意:
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同样，也可以定义点 x0处的右导数
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
函数f (x)在点x0处可导的充分必要条件是： 函数f (x)在点x0处的左右导数存在并相等
例3. 讨论函数 f (x) | x | 在 x 0处的可导性.
当时间由t0改变到t0 t时，物体t这段时间内所 经过的距离为
S f (t0 t) f (t0 )
（1）当物体作匀速运动时
v0
s t
f (t0 t) t
f (t0 )
（2）当物体作变速运动时
s t
表示从t0到t0
t这一段时间的平均速度v
t很小时，v0 v
且t越小，近似程度越好
当t 0时，如果 lim s 存在
即y 12x 16
法线方程为：
y 8 1 (x 2) f (2)
即y 1 x 49 12 6
四、左、右导数
定义3：设函数y f (x)在点x0的某左邻域(x0 x， x0（) x 0）内有定义，如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量的改变量（x x 0） 的比值当x 0的极限
f (x0 );
y |xx0 ;
df (x) dx |xx0 ;
dy dx |xx0
即 f (x0)
lim y x0 x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
x0定点
如果函数（f x）在点x0处可导，也称点x0为函数 （f x）的可导点，否则称x0为函数（f x）的不可导点.
v0 s tt0 f (t0 )
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
存在，则称f (x)在点x0处左可导，而上述极限就 称为函数f (x)在点x0处的左导数,记为f(x0 ).
即：f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 ) lim x x0
f (x) f (x0 ) x x0
x
x
当x0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线MN也将
随之变动而趋向于切线MT
即割线 MN 的极限位置就是
曲线 L 在点 M 处的切线MT .
当 x 0时,
tan lim tan
切线 MT 的斜率为：
k tan lim tan来自lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
解
f (x) | x |
x, x,
x0 x0
f(0)
f (x) f (0)
lim
x0
x0
x 0
lim
1
x x0
f(0)
lim f (x) f (0) lim x 0 1
x0
x0
x x0
f(0) f(0)
t0 t
则v0
lim
t 0
s t
lim f (t0 t) f (t0 )
t 0
t
引例2 —— 平面曲线的切线斜率
求曲线L：y f ( x)在点 M( x0 , y0 ) 处切线的斜率.
已知定点M（x0, y0 ),
切线 MT
倾角
作动点N（x0 x，y0 y） 割线 MN 倾角
割线 MN 的斜率为： tan y f (x0 x) f (x0 )
第三章 导数与微分
§3.1 导数的概念 §3.2 导数基本公式和求导运算法则 §3.3 链法则与隐函数的导数 §3.4 高阶导数 §3.5 微分 §3.6 边际与弹性
§3.1 导数的概念
一、引例
引例1、变速直线运动的瞬时速度
设S表示一物体从某个时刻开始到时刻t作直线运动 所经过的路程，则S是时刻t的函数S=f (t).求t t0时 的瞬时速度.
x0
x
lim (x x)3 x3
x0
x
lim 3x2x 3（x x）2 （x）3
x0
x
lim[3x2 3xx （x）2 ] 3x2 x0
f (2) 3x2 x2 12
三、导数的几何意义
若函数f (x)在点x0处有导数f (x0 )， 则曲线y f (x)在对应点M (x0 , y0 )处 有唯一的一条不垂直于x轴的切线，
且切线的斜率为f (x0 ). 曲线在点M (x0, y0 )处切线方程为：
y y0 f (x0 )(x x0 )
曲线在点M (x0, y0 )处法线方程为：
y
y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
例2：求曲线y x3在点(2,8)处的切线方程 和法线方程.
解：由前例知f (2) 12
点(2，,8)处切线方程为： y 8 f (2)(x 2)
x0 x x0
x
二、导数的定义
定义1：设函数y f (x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f (x0 x) f (x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
存在，则称f (x)在点x0处可导，而上述极限值称为 函数f (x)在点x0处的导数，也叫微商，有四种等价 的表达方式
k y xx0 f (x0 )
我们把终值x0 x记为x 即x x0 +x，有x x x0 则x 0就是x x0，故定义的式子可写为：
f
(
x0
)
lim
x0
y x
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
定义2：如果函数f (x)在区间(a,b)内的每一点x 处都可导，即对(a, b)内的每一点x，都对应着 一个确定的导数值
f (x) lim f (x x) f (x) x (a,b)
x0
x
则称f (x)在区间(a,b)内可导，上述极限为函数 f (x)在区间(a,b)内的导函数，简称导数
记为f (x); y; df (x) ; dy dx dx
我们用 d [ f (x)] 或 [ f (x)]表示f (x)的导数运算 dx
即 f (x) d [ f (x)] 或 f (x) [ f (x)] dx
注意
f (x0 ), f (x)的区别与联系：
区别： f (x0 )是一个数 , f (x)是一个函数；
联系： f (x0 ) f (x) xx0
例1.已知y x3,求f (x)，f (2).
解: f (x) lim f (x x) f (x)