2018浙教版八年级上《2.3等腰三角形的性质定理》同步练习含答案 (1)

2.3 等腰三角形的性质定理(二)
A组
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．若∠BAC＝64°，则∠BAD 的度数为__32°__．
,(第1题)),(第2题))
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，已知BC＝6，∠B ＝65°，则BD＝__3__，∠ADB＝__90°__，∠BAC＝__50°__．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(C)
A．35°B．45°
C．55°D．60°
,(第3题)),(第4题)) 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC，垂足为D，CD＝4，则△ABC的周长为(B)
A．18 B．20
C．22 D．24
(第5题)
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则DE＝DF，请说明理由．
【解】连结AD．
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
(第6题)
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，作∠ABE＝∠ABD，且BE＝DC，连结AE．求证：AB平分∠EAD．
【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，AD⊥BC．
又∵BE＝DC，∴BD＝BE．
又∵∠ABD＝∠ABE，AB＝AB，
∴△ABD≌△ABE(SAS)，
∴∠BAD＝∠BAE，
即AB平分∠EAD．
(第7题)
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG分别交AD，AC于点E，G，EF⊥AB，垂足为F．求证：EF＝ED．【解】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC．
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED．
B组
(第8题)
8．如图，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若AB＝AC，AD＝AE，则(B)
A．当∠B为定值时，∠CDE为定值
B．当α为定值时，∠CDE为定值
C．当β为定值时，∠CDE为定值
D．当γ为定值时，∠CDE为定值
【解】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．
∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝γ．
∵∠AED＝∠C＋∠CDE，∠ADC＝∠B＋α，
即γ＝∠C＋∠CDE，γ＋∠CDE＝∠B＋α，
∴2∠CDE＝α．
9．如图，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1，按以下要求画图：以点A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第一条线段AA1；再以点A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第二条线段A1A2；再以点A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第三条线段A2A3……这样一直画下去，最多能画__9__条线段．
(第9题)
【解】由题意可知：AO＝A1A，A1A＝A2A1，…，
则∠AOA1＝∠OA1A，∠A1AA2＝∠A1A2A，…．
∵∠BOC＝9°，∴∠A1AB＝2∠BOC＝18°．
同理可得∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，∠A 5A 4B ＝54°，∠A 6A 5C ＝63°，∠A 7A 6B ＝72°，∠A 8A 7C ＝81°，∠A 9A 8B ＝90°，
∴第10个三角形将有两个底角等于90°，不符合三角形的内角和定理，故最多能画9条线段．
10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，BF ⊥AC 于点F ，交AD 于点E ，∠BAC ＝45°．求证：△AEF ≌△BCF ．
(第10题)
【解】 过点F 作FG ⊥AB 于点G ．
∵∠BAC ＝45°，BF ⊥AF ，
∴∠ABF ＝45°．
∵FG ⊥AB ，
∴∠AGF ＝∠BGF ＝90°．
在△AGF 和△BGF 中，
∵⎩⎨⎧∠GAF ＝∠GBF ＝45°
，∠AGF ＝∠BGF ，GF ＝GF ，
∴△AGF ≌△BGF (AAS )，
∴AF ＝BF ．
∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴∠EAF ＋∠C ＝90°．
∵BF ⊥AC ，
∴∠AFE ＝∠BFC ＝90°，∠CBF ＋∠C ＝90°，
∴∠EAF ＝∠CBF ．
在△AEF 和△BCF 中，
∵⎩⎨⎧∠EAF ＝∠CBF ，
AF ＝BF ，∠AFE ＝∠BFC ，
∴△AEF ≌△BCF (ASA )．
(第11题)
11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．
(1)求证：DE ＝DF ．
(2)问：如果DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，那么它们还相等吗？
【解】 (1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，
∴AD 平分∠BAC ．
∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE ＝DF ．
(2)相等．理由如下：
由(1)知AD ⊥BC ，∠DAE ＝∠DAF ，
∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．
∵DE ，DF 分别是∠ADB ，∠ADC 的平分线，
∴∠ADE ＝12∠ADB ，∠ADF ＝12∠ADC ，
∴∠ADE ＝∠ADF ．
在△ADE 和△ADF 中，
∵⎩⎨⎧∠DAE ＝∠DAF ，
AD ＝AD ，∠ADE ＝∠ADF ，
∴△ADE ≌△ADF(ASA)，
∴DE ＝DF ．
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(第12题)
12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，求∠CEF 的度数．
【解】 连结BO ．
∵∠BAC ＝50°，∠BAC 的平分线与AB 的中垂线相交于点O ，
∴∠OBA ＝∠OAB ＝12∠BAC ＝25°．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，
∴∠ABC ＝∠ACB ＝65°．
∴∠OBC ＝65°－25°＝40°．
根据等腰三角形的对称性，得∠OCB ＝∠OBC ＝40°．
∵点C 沿EF 折叠后与点O 重合，
∴EO ＝EC ，∠CEF ＝∠OEF ，
∴∠EOC ＝∠ECO ＝40°，
∴∠CEF ＝∠OEF ＝180°－2×40°2
＝50°．。