江苏省如东高级中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含答案

高二数学一、填空题1.函数)0)(6cos()(>-=ωπωx x f 的最小正周期为5π，则=ω . 2.已知2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 .3.若ααcos 2sin =，则αα22cos 6sin +的值为 .4.某班有学生60人，现将所有学生按1，2，3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知编号为4，a ，28，b ，52的学生在抽取的样本中，则=+b a .5.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .6.某老师星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，该组数据的标准差为 .7.已知函数54cos ),,0(-=∈απα，则=+)4tan(πα . 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n 的值为4，则输出S 的值为 .9.观察下列各式：312555=，1562556=，7812557=， ，则20115的末四位数字为 .10.在长为cm 12的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为 .11.已知函数)22,0)(sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半后再向右平移4π个单位长度得到函数x y sin =的图象，则=)6(πf . 12.若33)6cos =-θπ（，则=--+)6sin )65cos 2πθθπ（（ . 13.函数x x x f 331)(3-=，若方程m x x f +=2)(在),0(+∞上两个解，则实数m 的取值范围为 .14.若对任意的D x ∈，均有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则称函数)(x f 为函数)(1x f 到函数)(2x f 在区间)(x f 上的“折中函数”.已知函数x x x h x g x k x f ln )1()(,0)(,1)1()(+==--=），且)(x f 是)(x g 到)(x h 在区间]2,1[e 上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 .二、解答题15. 设复数θθsin cos 3i z +-=.（i 为虚数单位）（1）当πθ34=时，求||z 的值； （2）当],2[ππθ∈时，复数θθsin cos 1i z -=，且z z 1为纯虚数，求θ的值.16. 某校为调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第2组和第5组中随机抽取7名学生进行跟踪调研，求第2组和第5组分别抽取的学生数?（3）在（2）的前提下，学校决定从7名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求至少有1名学生来自第5组的概率?17.已知函数x x x f cos )6sin(2)(⋅+=π. （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且3,2,1)(===c b A f ，求)cos(B A -的值.18. 某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆，在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连，经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为k 8元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k x x ]2100)201024([++元，假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元.（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当100=k 米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？19.已知函数),()(R k m mx e x f k x ∈-=定义域为),0(+∞.（1）若2=k 时，曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求实数m 的值；（2）若1=k 时，函数)(x f 在),1(+∞上有最小值，求实数m 的取值范围；（3）若1=m 时，函数)(x f 在),1(+∞上单调递增，求整数k 的最大值.20.已知函数t kx x k x x f +++-=6)1(32)(23，其中t k ,为实数.（1）若函数)(x f 在2=x 处有极小值0，求t k ,的值；（2）已知1≥k 且k t 31-=，如果存在]2,1(0∈x ，使得)()('00x f x f ≤成立，求实数t 的取值范围；（3）记函数])121()('61[]2)([)(k x k x f t x f x H ---⋅--=，若函数)(x H y =有5个不同的零点，求实数k 的取值范围.2015~2016学年度第二学期期末学情检测高二数学参考答案一、填空题：1．10； 2．4-； 3．2； 4．56； 5．52； 6．554； 7．71； 8．40； 9．8125； 10．32； 11．23； 12．332+-； 13．09<<-m ； 14．2=k 三、解答题：本大题共6个题，共70分．15．解：（1）∵πθ34=，∴i i z 232334sin 34cos 3-=+-=ππ因为],2[ππθ∈，故3tan -=θ，所以32πθ=. 16．解：（1）由表可知，第二组的频数为1515.0100=⨯，第三组的频率为3.010030=. （2）因为第2组和第5组共有35人，采用分层抽样抽取7人，所以第2组抽取学生数为373515=⨯人，第5组抽取的学生数为473520=⨯人； （3）从7名学生中随机抽取2名学生共有21种情况，其中都来自第2组的有3种可能，所以至少有1名学生来自第5组的概率为762131=- 17．（1）x x x x f cos )cos sin 3()(⋅+=21)62sin(212cos 212sin 23cos cos sin 32++=++=+=πx x x x x x 由20π≤≤x 得67626πππ≤+≤x ，故1)62sin(21≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]23,0[. （2）由121)62s i n ()(=++=πA A f ，得21)62sin(=+πA ，又由20π<<A ，得6766πππ<+<A ，只有67626πππ≤+≤A ，故3π=A ，在ABC ∆中，由73c o s 32294c o s 2222=⨯⨯⨯-+=-+=πA bc c b a ，得7=a ，由正弦定理得，B b A a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B ，由于a b <，所以772cos =B . 14757212377221sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-B A B A B A . 18．解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则n k x =即xk n =， 2)10020102410(]2100)201024([8k x x k x x x k x k k y ++=+++=，定义域},20|{Z x k k x x ∈≤<；（2）当100=k 时，令)2010241000(100++=x x y ，x xx f 10241000)(+=， 则0512100015121000)('2232=+-=+-=x x xx x f ，∴1625)64125(641253223==⇒=x x ， 当)1625,0(∈x 时，0)('<x f ，即)(x f 在)1625,0(∈x 上单调减， 当)50,1625(∈x 时，0)('>x f ，即)(x f 在)50,1625(∈x 上单调增，min y 在1625=x 时取到，此时座位个数为6416100=个. 19. 解：（1）2=k 时，2)(mx e x f x -=，mx e x f x 2)('-=，由题意)3(')1('f f =，所以m e m e 623-=-，所以43e e m -= （2）1=k 时，mx e x f x -=)(，m e x f x -=)('，因为)(x f 在),1(+∞上有最小值，所以0>m令0)('=-=m e x f x ，得m x ln =当m x ln 0<<时，0)('<x f ；当m x ln >时，0)('>x f ；故m x ln =是)(x f 的极小值点又)(x f 在),1(+∞上有最小值，所以1ln >m ，即e m >（3）1=m 时，k x x e x f -=)(，由题意：0)('1≥-=-k x kx e x f 在),1(+∞∈x 上恒成立， (i) 0≤k 时，显然成立.（ii ）0>k 时，1-≥k x kx e 在),1(+∞∈x 上恒成立，即)ln(1-≥k kx x ，即0ln )1(ln ≤--+x x k k 在),1(+∞∈x 上恒成立令x x k k x g --+=ln )1(ln )(，1>xxk x x k x g )1(11)('---=--= 当20≤<k 时，0)('<x g 在),1(+∞∈x 上恒成立，所以0)1(≤g ，所以01ln ≤-k ， 所以e 0≤<k ，又20≤<k ，所以20≤<k .当2>k 时，0)('=x g ，所以1-=k x ，)(x g 在)1,1(-k 上单调递增，在),1(+∞-k 上单调递减，所以0)1(≤-k g ，即0)1()1ln()1(ln ≤----+k k k k ，①令)1()1ln()1(ln )(----+=k k k k k h ，2>k)1ln(1)('-+=k kk h ，2>k 时0)('>k h 恒成立，所以)(k h 在),2(+∞上单调递增， 因为0212ln 22ln 23ln )3(>-=-+=h ，所以不等式①无解.综上，整数k 的最大值为2.20.解：（1）))(1(66)1(66)('2k x x k x k x x f --=++-=，由题意：0)2(=f ，0)2('=f ， 即02=-k ，012)1(1216=+++-t k k ，解得2=k ，4-=t . 经检验适合.（2）由题意：t kx x k x k x x +++-≤--02030006)1(32))(1(6在]2,1(0∈x 上有解，即k kx x k x k x x 316)1(32))(1(60203000-+++-≤--在]2,1(0∈x 上有解，即]13)13(2)[1())(1(6020000-++--≤--k x k x x k x x 在]2,1(0∈x 上有解，因为]2,1(0∈x ，所以010>-x ，所以019)73(2020≥-++-k x k x 在]2,1(0∈x 上有解，设19)73(2)g(0200-++-=k x k x x因为1≥k ，所以)g(0x 在]2,1(0∈x 上单调递增，所以0)2g(≥，所以37≥k ，所以631-≤-=k t .（3）因为0)23(]26)1(32[)(223=-⋅-++-=kx x kx x k x x H 所以026)1(3223=-++-kx x k x 或0=x 或k x 23= 由题意026)1(3223=-++-kx x k x 有三个不相等的实根且0≠x ，k x 23≠设26)1(32)(23-++-=kx x k x x m ，所以))(1(66)1(66)('2k x x k x k x x m --=++-= 令0)('=x m 得1=x ，k x =因为0)(=x m 有三个不相等的实根且0≠x ，k x 23≠，所以0)()1(<⋅k m m ，所以2-<k 或2>k ，又因为0)0(≠m 且0)23(≠k m ，所以322±≠k 所以2-<k 或2>k .。