2015年广州二模文科数学试题参考答案
高中毕业班综合测试(二)数学文试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式()11223hV S S S S =++，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A ．32 B ．12 C ．12- D ．32-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B ．32C ．72D ．1324．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．23D ．1Vx=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A ．13 B ．7C ．433 D ．33210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km /h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为 km/h ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；BA CD FG 图3（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示． 年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 [20,30) 40 28 0.7 [30,40) n 27 0.9 [40,50) 10 4 b [50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}na 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．C 1 ABA 1B 1D 1C DMN图4年龄频率/组距 20 30 40 50 600.01c 0.04 0.03 0（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B B D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 1112131415答案2 3- 603 43116．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC的内角，所以23sin 1cos 2A A =-=．…………………………………………6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分 得32sin 2141432a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即23k =，所以5103b k ==，363c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=131036322=⨯⨯⨯……………………………………………………11分453=．所以△ABC 的面积为453．…………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， C 1 ABA 1B 1D 1C DMN所以1M N ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MND C ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DD C ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． C 1 A B A 1B 1D 1C D M N延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =． 所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中11184a x a --=-，21184a x a+-=-．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是1180,4a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间是118,4a a ⎛⎫+--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220022110xxk yxk y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-()()220000220000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+．…………………………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()2000204422y x x x ++=+．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+……………………………………………………………………………10分()2001652222x x =-+++．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，………………………………………12分当532t =时，max 524AB =，当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分。
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试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240 的值为A．12 C ．12- D．2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为A ．12 BD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．64 5．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n - 8．已知函数()，若在区间[]上任取一个实数，则使()成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABCD10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图3在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（n a b c （2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．C 1ABA 1B 1D 1C DMN图420．（本小题满分14分）已知函数()2a∈R．=++()lnf x x ax x（1）若函数()f x在1f xx=处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数()的极值；（2）求函数()f x的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A是△ABC的内角，所以s ic o s A ==6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=由（1）设7a k =，即k =，所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分 年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1M N．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ． 所以M，N，C，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A 1B 1D 1DM则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++ ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN 平面1DDC ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ， 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点． 所以几何体1AMND D C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-， 解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==， (12)分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。
广州市高考二模数学试题及答案(文科)
广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签 字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使 用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、 错涂、多涂的，答案无效。
5. 考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 命题“054,2≤++∈∃x x R x ”的否定是A 054,2>++∈∃x x R xB 054,2≤++∈∃x x R xC 054,2>++∈∀x x R xD 054,2≤++∈∀x x R x2. 如果函数f(x)=ln(-2x+ a)的定义域为（-∞，1)，则实数a 的值为A. -2B. -1C. 1D. 2 3. 对于任意向量a 、B 、C ,下列命题中正确的是A. |a.b| = |a| |b|B. |a+b|=|a|+丨b 丨C. (a.b)c =a (b-c)D. a.a =|a|24. 直线y=kx +1与圆(x+1)2+y 2=0相交于A ，B 两点，则|AB|的值为A.2B.1C. 21D.与k 有关的数值 5. 若1-i(i 是虚数单位）是关于x 的方程x 2+2px +q=0(p 、q ∈R)的一个解，则p+q= A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 6. 执行如图l 所示的程序框图，输出的S 值为A. 225B. 196C. 169D. 144(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）7.若函数*)(cos N x y ∈=ωω的一个对称中心是(6π，0),则ω的最小值为 A. 2 B. 3 C. 6 D. 98. 一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示.若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l:7的上、下两部分，则截面的面积为A.π41 B. π C π49 B π4 9. 已知0<a<1，0<x ≤y < 1,且log a x.log a y=1，那么xy 的取值范围为A. (0，a 2]B. (0，a]C. ]1,0(a D. ]1,0(2a10.某校高三（1)班50个学生选择选修模块课程，他们在A 、B 、C 三个模块中进行选择，R 至少需要选择l 个模块，具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是A. 7B. 6C. 5D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.(—)必做题（11~13题） 11.如图3，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为 圆心，l 为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分).若在此三角形内随机取一点P,则点P 落在区 域M 内的概率为 . 12.已知a 为锐角，且53)4cos(=+πa ，则sina= _ . 13. 数列{a n }的项是由l 或2构成，且首项为1，在第k 个l 和第k+ 1个l 之间有2k-1 个2，即数列{a n } 为：1, 2，1, 2，2，2，1，2，2，2，2，2, 1, …，记数列 {a n }的前n 项和为S n ，则S 20=________; S 2013 =_____(二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲选做题）在ΔBC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足BE =31BD,延长A E 交 BC 于点F ，则FC BF 的值为_______.15.(坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A(1, 2π),点P 是曲线ρsin 2θ=4cos θ上任意一点，设点P 到直 线ρcos θ + 1 = 0的距离为d ，则丨PA 丨+ d 的最小值为_______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. (本小题满分12分）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中 以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据.其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：(1) 用上述样本数据估计高三（1)班学生视力的平均值；(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4,4.5、4.6、4.8.若从这六个 班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率.17. (本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0,使得发射点到 三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m, BC=10M , CA=50m.假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面上.(1) 求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离18(本小题满分14分）如图4，在三棱锥P-ABC 中，PAB ∠=PAC ∠=ACB ∠=900.(1) 求证：平面PBC 丄平面PAC(2)已知PA=1,AB=2,当三棱锥P-ABC 的体积 最大时，求BC 的长.19. (本小题满分14分）在等差数列{a n }中，a 1 +a 2 =5, a 3 =7,记数列}1{1+n n a a 的前n 项和为S n . (1) 求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m 、n,且1<m <n ，使得S 1、S nt S n 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m,n 值；若不存在，请说明理由20.(本小题满分14分）已知函数f(x)=x 2 -2alnx ()0≠∈a R a 且).(1) 若f(x)在定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；(2) 求函数f (x)在区间[1，2]上的最小值.21. (本小题满分14分）经过点F (0，1)且与直线y = -1相切的动圆的圆心轨迹为M 点A 、D 在轨迹M 上， 且关于y 轴对称，过线段AD (两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、 C.(1) 求轨迹M 的方程；(2) 证明：CAD BAD ∠=∠；(3) 若点D 到直线AB 的距离等于||22AD ，且ΔABC 的面积为20，求直线BC 的方程.。
广东省广州市高考数学二模试卷文(含解析)
广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A ．B ．C ． ﹣D ． ﹣2．（5分）已知函数f （x ）=3x （x ∈R ）的反函数为g （x ），则g （）=（）A ． ﹣log 32B ． log 32C ． ﹣log 23D ． log 23 3．（5分）已知双曲线C ：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z 的值是（）A ． 21B ． 32C ． 34D ． 645．（5分）已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＞0，命题q ：∃α，β∈R ，使tan （α+β）=tan α+tan β，则下列命题为真命题的是（）A ． p ∧qB ． p∨（￢q ）C ． （￢p ）∧qD ． p ∧（￢q ）6．（5分）设集合A={x|a ﹣2＜x ＜a+2}，B={x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为（）A ． [1，3]B ． （1，3）C ． [﹣3，﹣1]D ． （﹣3，﹣1）7．（5分）已知数列{a n }满足a 1=3，且a n+1=4a n +3（n ∈N *），则数列{a n }的通项公式为（）A ． 22n ﹣1+1B ． 22n ﹣1﹣1C ． 22n +1D ． 22n ﹣18．（5分）已知函数f （x ）=﹣x 2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x 0，则使f （x 0）≥0成立的概率为（）A ．B ．C ．D ． 19．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b （km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为km/h．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n 27 0.9[40，50）10 4 b[50，60] 20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．广东省广州市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）sin240°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：sin240°=sin（180°+60°）=﹣sin60°=﹣，故选：D．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），则g（）=（）A．﹣log32 B．log32 C．﹣log23 D．log23考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用反函数的定义，求解即可．解答：解：函数f（x）=3x（x∈R）的反函数为g（x），可知，=3x，解得x=﹣log32．故选：A．点评：本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线C：﹣=1经过点（4，3），则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的方程，然后求解离心率．解答：解：双曲线C：﹣=1经过点（4，3），可得，解得b2=3，双曲线C：﹣=1，可得a=2，c=，e=．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力．4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是（）A．21 B．32 C．34 D．64考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，z的值，当z=32时，不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=2，z=2满足条件z＜20，x=2，y=2，z=4满足条件z＜20，x=2，y=4，z=8满足条件z＜20，x=4，y=8，z=32不满足条件z＜20，退出循环，输出z的值为32．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的x，y，z的值是解题的关键，属于基础题．5．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2＞0，命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判断命题p，q的真假，然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．解答：解：命题p：∀x∈R，x2＞0，为假命题，故￢p为真命题；命题q：∃α，β∈R，使tan（α+β）=tanα+tanβ，当α=﹣β成立，所以命题q为真命题，￢q为假命题，则p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，￢p∧q为真命题，p∧￢q为假命题，故选：C．点评：本题主要考查复合命题的真假判断，要求熟练掌握复合命题与简单命题真假之间的关系6．（5分）设集合A={x|a﹣2＜x＜a+2}，B={x|x2﹣4x﹣5＜0}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．[﹣3，﹣1] D．（﹣3，﹣1）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先解出集合B={x|﹣1＜x＜5}，而集合A显然不是空集，从而由A⊆B便得到，解该不等式组即得实数a的取值范围．解答：解：B={x|﹣1＜x＜5}，A={x|a﹣2＜x＜a+2}；若A⊆B，则：；∴1≤a≤3；∴实数a的取值范围为[1，3]．故选A．点评：考查一元二次不等式的解法，描述法表示集合，空集的概念，以及子集的概念，也可借助数轴．7．（5分）已知数列{a n}满足a1=3，且a n+1=4a n+3（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．22n﹣1+1 B．22n﹣1﹣1 C．22n+1 D．22n﹣1考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式构造等比数列{a n+1}，求其通项公式后可得数列{a n}的通项公式．解答：解：由a n+1=4a n+3（n∈N*），得a n+1+1=4（a n+1），∵a1=3，∴a1+1=3+1=4≠0，则数列{a n+1}是以4为首项，以4为公比的等比数列，∴，则．故选：D．点评：本题考查了数列递推式，考查了构造等比数列求数列的通项公式，是中档题．8．（5分）已知函数f（x）=﹣x2+2x+3，若在区间[﹣4，4]上任取一个实数x0，则使f（x0）≥0成立的概率为（）A．B．C．D．1考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型的特点，只要求出区间长度，由公式解答．解答：解：已知区间[﹣4，4]长度为8，满足f（x0）≥0，f（x）=﹣x02+2x0+3≥0，解得﹣1≤x0≤3，对应区间长度为4，由几何概型公式可得，使f（x0）≥0成立的概率是=．故选：B．点评：本题考查了几何概型的运用；根据是明确几何测度，是利用区域的长度、面积函数体积表示，然后利用公式解答．9．（5分）如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（）A．B．C．D．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解答：解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2π，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为α，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2π=3α，解得：α=，∴∠AOA′=，则∠1=，过C作CF⊥OA，∵C为OB的三等分点，BO=3，∴OC=1，∵∠1=60°，∴∠OCF=30°，∴FO=，∴CF2=CO2﹣OF2=，∵AO=3，FO=，∴AF=，在Rt△AFC中，利用勾股定理得：AC2=AF2+FC2=7，则AC=．故选：B．点评：考查了平面展开﹣最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．10．（5分）设函数f（x）=x3+3ax2+3bx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]，则点（a，b）在aOb平面上所构成区域的面积为（）A．B．C．D．1考点：利用导数研究函数的极值；简单线性规划．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，求解面积即可；解答：解：函数f（x）=x3+3ax2+3bx，可得f′（x）=3x2+6ax+3b，依题意知，方程f′（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f′（﹣1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为，满足这些条件的点（a，b）的区域为图中阴影部分．阴影部分的面积为：=1．故选：D．点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知i为虚数单位，复数z=，则|z|=．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的求模运算法则，求解即可．解答：解：i为虚数单位，复数z=，则|z|===．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．12．（5分）已知向量=（x，1），=（2，y），若+=（1，﹣1），则x+y=﹣3．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的坐标运算及其相等即可得出．解答：解：∵+=（x，1）+（2，y）=（x+2，1+y）=（1，﹣1），∴x+2=1，1+y=﹣1，∴x=﹣1，y=﹣2．∴x+y=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了向量的坐标运算及其相等，属于基础题．13．（5分）某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y（km）与刹车时的速度x（km/h）的关系可以用y=ax2来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h时，紧急刹车后滑行的距离为b （km）．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），则这辆车的行驶速度为60km/h．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，b=3600a，利用一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），可得3b=ax2，代入即可得出结论．解答：解：由题意，b=3600a，∵一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b（km），∴3b=ax2，∴3×3600a=ax2，∴x=60．故答案为：60．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，点E为边DC的中点，AE与BC的延长线交于点F，且AE平分∠BAD，作DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AF的长为4．考点：三角形中的几何计算．专题：证明题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BF，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DE，由F为DC 中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出△ADE为等腰三角形，根据“三线合一”得到G为AE 中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AE的长，再由△ADE≌△FCE得出AE=FE，即可求出AF的长．解答：解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∵DC∥AB，∴∠BAF=∠DEA，∴∠DAF=∠DEA，∴AD=ED，又E为DC的中点，∴DE=CE，∴AD=DE=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AE=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE=FE，则AF=2AE=4．故答案是：4．点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．（坐标系与参数方程选做题）15．在平面直角坐标系中，已知曲线C1和C2的方程分别为（t为参数）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点有1个．考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步建立方程组转化成一元二次方程，最后利用判别式求出曲线的交点的个数．解答：1解：已知曲线C1方程（t为参数）转化为直角坐标方程为：x﹣y﹣2=0．曲线C2的方程（t为参数），转化为直角坐标方程为：x2=8y所以：，整理得：x2﹣8x+16=0所以：△=64﹣64=0则：曲线C1和C2的交点有1个．故答案为：1点评：本题考查的知识要点：参数方程与直角坐标方程的互化，方程组的应用，利用一元二次方程的判别式求方程的根的个数．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a：b：c=7：5：3．（1）求cosA的值；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）设a=7t，b=5t，c=3t，由余弦定理即可求cosA的值．（2）由（1）可得sinA的值，利用已知及正弦定理求出sinA与sinB及sinC的值，再由正弦定理可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（1）由题意可设：a=7t，b=5t，c=3t，则由余弦定理可得：cosA===﹣．（2）由（1）可得：sinA==，由正弦定理可得：a：b：c=sinA：sinB：sinC=7：5：3．从而可得：sinB==，sinC==，由正弦定理=2R，以及R=14，得a=2RsinA=14，b=2RsinB=10，∴S△ABC=absinC==45．点评：本题2015届中考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理等知识的综合应用，属于基本知识的考查．17．（12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如图表所示．年龄分组抽取份数答对全卷的人数答对全卷的人数占本组的概率[20，30）40 28 0.7[30，40）n 27 0.9[40，50）10 4 b[50，60] 20 a 0.1（1）分别求出n，a，b，c的值；（2）从年龄在[40，60]答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[50，60]的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率直方分布图，通过概率的和为1，求求出n，a，b，c的值，（2）年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，分别列举出所有的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以n=100﹣（40+10+20）=30．年龄在[40，50）中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以b=4÷10=0.4．年龄在[50，60]中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以a÷20=0.1，解得a=2．根据频率直方分布图，得（0.04+0.03+c+0.01）×10=1，解得c=0.02．（2）因为年龄在[40，50）与[50，60]中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[40，50）中答对全卷的4人记为A，B，C，D，年龄在[50，60]中答对全卷的2人记为a，b，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种．其中所抽取年龄在[50，60）的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab共9种．故所求的概率为=．点评：本题考查频率分布直方图，古典概型得概率问题，关键是不重不漏得列举基本事件，属于基础题．18．（14分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM=AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接A1B，由正方体可得四边形A1BCD1是平行四边形．得到A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，可得MN∥A1B．MN∥D1C．即可证明．（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN ﹣DCD1为三棱台．利用体积计算公式即可得出．解答：（1）证明：连接A1B，在四边形A 1BCD1中，，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥D1C．在△ABA1中，AM=AN=1，AA1=AB=3，∴，∴MN∥A1B．∴MN∥D1C．∴M，N，C，D1四点共面；（2）由平面MNCD1四点共面；将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，AMN﹣DCD1为三棱台．∵S△AMN====S1，===S2．∴V1===，﹣V1==．∴=．点评：本题考查了线面平行的判定定理、正方体的性质、三棱台的体积计算公式，考查了推理能力与体积计算公式，属于中档题．19．（14分）已知点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，P1是直线l与y轴的交点，数列{a n}是公差为1的等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若f（n）=是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件求出a1=0，b1=1，然后求出a n，通过点P n（a n，b n）在直线l：y=3x+1上，求出b n．（2）化简f（x）=，假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立，通过①当k为奇数时，②当k为偶数分别求解k即可．解答：（本小题满分14分）解：（1）因为P1（a1，b1）是直线l：y=3x+1与y轴的交点（0，1），所以a1=0，b1=1．…（2分）因为数列{a n}是公差为1的等差数列，所以a n=n﹣1．…（4分）因为点P n（a n，b n）（n∈N*）在直线l：y=3x+1上，所以b n=3a n+1=3n﹣2．所以数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=n﹣1，b n=3n﹣2k∈N*．…（6分）（2）因为f（x）=假设存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立．…（7分）①当k为奇数时，k+3为偶数，则有3（k+3）﹣2=4（k﹣1），解得k=11，符合题意．…（10分）②当k为偶数时，k+3为奇数，则有（k+3）﹣1=4（3k﹣2），解得k=，不合题意．…（13分）综上可知，存在k=11符合条件．…（14分）点评：本题考查数列与函数相结合，数列的通项公式的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．20．（14分）已知函数f（x）=lnx+ax2+x（a∈R）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数f（x）的极值；（2）求函数f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由条件求得f′（x），再根据有f′（1）=0，求得a的值．（2）由条件求得f′（x），分类讨论、利用导数的符号求粗函数的单调区间．解答：解：（1）函数f（x）=lnx+ax2+x的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2ax+1，依题意有f′（1）=1+2a+1=0，解得a=﹣1．此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，极大值为0．（2）因为f′（x）=，（ⅰ）当a≥0时，因为x∈（0，+∞），所以f′（x）=＞0，此时函数f（x）在（0+∞）是增函数．（ⅱ）当a＜0时，令f′（x）=0，则2ax2+x=1=0．因为△=1﹣8a＞0，此时，f′（x）==，其中，x1=﹣，x2=﹣．因为a＜0，所以 x2＞0，又因为 x1•x2=＜0，所以x1＜0．∴当0＜x1＜x2时，f′（x）＞0，当x1＞x2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，x2）上是增函数，在（x2，+∞）上是减函数．综上可知，当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间是（0，﹣），单调递减区间是（﹣，+∞）．点评：本题主要考查求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（14分）已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2=4 （1）求圆C的方程；（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：（1）求出A（0，0）和B（﹣1，1）的垂直平分线方程，得到其与x轴的交点坐标，即圆C的圆心坐标，进一步求得半径，代入圆的标准方程得答案；（2）设出P点坐标，然后求出切线方程，得到切线在y轴上的截距，利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围．解答：解：（1）过两点A（0，0）和B（﹣1，1）的直线的斜率为﹣1，则线段AB的中垂线方程为：，整理得：y=x+1．取y=0，得x=﹣1．∴圆C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，∴圆C的方程为：（x+1）2+y2=1；（2）设P（x0，y0），A（0，a），B（0，b），则直线PA方程为，整理得：（y0﹣a）x﹣x0y+ax0=0．∵直线PA与圆C相切，可得，化简得；同理可得PB方程，因而a，b为的两根，∴丨AB丨=|a﹣b|=，令t=x0+2∈[4，8]，则，配方可求得．故答案为：[]．点评：本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，考查了数学转化、化归等思想方法，是中档题．。
2015年广东卷文科数学答案解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：，故选C．考点：集合的交集运算．2. 已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数．故选A．考点：函数的奇偶性．4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C考点：线性规划．5.设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．考点：余弦定理．6. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．考点：古典概型．8.已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．10.若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式的解集为．（用区间表示）【答案】【解析】试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．【答案】考点：均值的性质．13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．【答案】【解析】试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．【答案】【解析】试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．【答案】考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知．求的值；求的值．【答案】（1）；（2）．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．求直方图中的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】试题解析：（1）由得：，所以直方图中的值是考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．证明：平面；证明：；求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题解析：（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。
2015年广东省中山市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年广东省中山市高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．（5分）在复平面内，复数z＝（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）3．（5分）已知向量＝（1，n），＝（﹣1，n），若与垂直，则||等于（）A．1B．2C．D．44．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6 5．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2 3.6B．57.2 56.4C．62.8 63.6D．62.8 3.67．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③8．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）＝﹣x+1B．f（x）＝x2﹣1C．f（x）＝2x D．f（x）＝ln（﹣x）10．（5分）若两个分类变量x和y的列联表为：则x与y之间有关系的可能性为（）A．0.1%B．99.9%C．97.5%D．0.25%二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则a＝．12．（5分）在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是．13．（5分）阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是和．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于．（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（12分）设函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB＝2，求AC 和BC的长．17．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．18．（14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．19．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC＝G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．20．（14分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n（n∈N*），且b1＝3，求数列的前n项和T n．21．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx，且f′（﹣1）＝0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a＝﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N （x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．2015年广东省中山市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在复平面内，复数z＝（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数＝故选：C．2．（5分）函数f（x）＝的定义域为（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（0，）D．（﹣∞，）【解答】解：∵函数f（x）＝，∴lg（1﹣2x）≥0，即1﹣2x≥1，解得x≤0；∴f（x）的定义域为（﹣∞，0]．故选：A．3．（5分）已知向量＝（1，n），＝（﹣1，n），若与垂直，则||等于（）A．1B．2C．D．4【解答】解：因为向量＝（1，n），＝（﹣1，n），并且与垂直，所以•＝0所以﹣1+n2＝0，解得n＝±1，所以＝＝（1，±1）所以||＝故选：C．4．（5分）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（）A．12，24，15，9B．9，12，12，7C．8，15，12，5D．8，16，10，6【解答】解：因为＝，故各层中依次抽取的人数分别是＝8，＝16，＝10，＝6，故选：D．5．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数【解答】解：因为：＝2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π故选：B．6．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2 3.6B．57.2 56.4C．62.8 63.6D．62.8 3.6【解答】解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则（x1+x2+…+x n）＝2.8，方差为s2＝[（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]，每一组数据都加60后，（x1+x2+…+x n+60n）＝+60＝2.8+60＝62.8，方差s′2＝[（x1+60﹣62.8）2+（x2+60﹣62.8）2+…+（x n+60﹣62.8）2]＝[（x1﹣）2+…+（x n﹣）2]＝3.6．故选：D．7．（5分）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（）A．①B．②④C．③D．①③【解答】解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件，在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数，在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果，∴只有第三所包含的事件是对立事件故选：C．8．（5分）已知条件p：|x+1|＞2，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：|x+1|＞2，∴x＞1或x＜﹣3∵q：5x﹣6＞x2，∴2＜x＜3，∴q⇒p，∴﹣p⇒﹣q∴﹣p是﹣q的充分不必要条件，故选：A．9．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）＝﹣x+1B．f（x）＝x2﹣1C．f（x）＝2x D．f（x）＝ln（﹣x）【解答】解：根据已知条件知f（x）需在（﹣∞，0）上为增函数；一次函数f（x）＝﹣x+1在（﹣∞，0）上为减函数；二次函数f（x）＝x2﹣1在（﹣∞，0）上为减函数；指数函数f（x）＝2x在（﹣∞，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）＝ln（﹣x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴C正确．故选：C．10．（5分）若两个分类变量x和y的列联表为：则x与y之间有关系的可能性为（）A．0.1%B．99.9%C．97.5%D．0.25%【解答】解：代入公式K2＝≈6.11查表可得，P（K2≥5.024）＝0.025；故1﹣0.025＝97.5%；故选：C．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）设函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则a＝0．【解答】解：因函数f（x）＝（x2+1）（x+a）为奇函数，则f（0）＝0，∴f（0）＝a＝0故答案为：0．12．（5分）在边长为a的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A的距离大于a的概率是1﹣．【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|P A|＞a的平面区域如图中阴影以外所示：则正方形的面积S正方形＝a2阴影部分的面积S阴影＝故动点P到定点A的距离|P A|＞a的概率P＝1﹣．故答案为：1﹣．13．（5分）阅读下边的程序框图，若输入的n是100，则输出的变量S和T的值依次是2550和2500．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝100，S＝0，T＝0不满足条件n＜2，S＝100，n＝99，T＝99，n＝98不满足条件n＜2，S＝100+98，n＝97，T＝99+97，n＝96不满足条件n＜2，S＝100+98+96，n＝95，T＝99+97+95，n＝94…不满足条件n＜2，S＝100+98+…+4，n＝3，T＝99+97+…+3，n＝2不满足条件n＜2，S＝100+98+…+4+2，n＝1，T＝99+97+…+3+1，n＝0满足条件n＜2，退出循环，输出S，T的值．由于S＝100+98+…+4+2＝＝2550．T＝99+97+…+3+1＝＝2500故答案为：2550，2500．（二）选做题：考生从以下两题中选做一题，两题均做的，按第一题给分（《几何证明选讲》选做题）14．（5分）如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于8π．【解答】解：法一：连接OA、OB，则∠AOB＝90°，∵AB＝4，OA＝OB，∴R＝，则S圆＝；法二：，则S圆＝（《坐标系与参数方程》选做题）15．已知直线的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，则它与曲线（α为参数）的交点的直角坐标是（﹣1，1）．【解答】解：由ρcosθ﹣ρsinθ+2＝0，得x﹣y+2＝0，由，①式两边平方得：x2＝1+sin2α③，把②代入③得：x2＝y．（0≤y≤2）联立，解得：或（舍去）．∴两曲线交点的直角坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（12分）设函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点．（Ⅰ）求y＝f（x）的解析式，并求函数的最小正周期和最值．（Ⅱ）若，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB＝2，求AC 和BC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝m sin x+cos x（x∈R）的图象经过点，∴，∴m＝1，（2分）∴．（4分）∴函数的最小正周期T＝2π．（5分）当时，f（x）的最大值为，当时，f（x）最小值为．（7分）（Ⅱ）因为，即，∴，∵A是面积为的锐角△ABC的内角，∴．（10分）∵，∴AC＝3．（12分）由余弦定理得：BC2＝AC2+AB2﹣2•AB•AC cos A＝7，∴．（14分）17．（12分）围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）．（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【解答】解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为am，则y＝45x+180（x﹣2）+180•2a＝225x+360a﹣360．由已知ax＝360，得，所以．（II）因为x＞0，所以，所以，当且仅当时，等号成立．即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．18．（14分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；（2）估计参赛学生成绩的中位数；（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．【解答】解：（1）∵130～140分数段的人数为2人又130～140分数段的频率为：0.005×10＝0.05∴90～140分之间的人数为2÷0.05＝40人．（2）90～100，100～110，110～120，120～130，130～140之间的人数依次为：40×10×0.01＝4人，40×10×0.025＝10人，40×10×0.045＝18人，40×10×0.015＝6人，2人∴参赛学生成绩的中位数的估计值为+110＝≈113分．（3）第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}．共有15种结果，设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P（A）＝．19．（14分）如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC＝G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求证：AE∥平面BFD；（3）求三棱锥E﹣ADC的体积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．（2分）又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE（4分）（2）连接GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE∵BE＝BC，∴F为EC的中点；∵矩形ABCD中，G为两对角线的交点且是两线段的中点，∴GF∥AE，（7分）∵GF⊂平面BFD，AE⊄平面BFD，∴AE∥平面BFD．（8分）（3）∵三棱锥E﹣ADC的体积等于三棱锥E﹣ABC的体积∵V E﹣ABC＝＝故棱锥E﹣ADC的体积为20．（14分）已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60，且a6为a1与a21的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式及a n及前n项和S n；（2）若数列{b n}满足b n+1﹣b n＝a n（n∈N*），且b1＝3，求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得…（4分）∴a n＝2n+3…（5分）…（7分）（2）由（1）得，a n＝2n+3，且S n＝n（n+4），∵b n+1﹣b n＝a n，∴b n﹣b n﹣1＝a n﹣1＝2n+1（n≥2，n∈N*）当n≥2时，b n＝（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1＝a n﹣1+a n﹣2+…+a1+b1＝S n﹣1+b1＝（n﹣1）（n﹣1+4）+3＝n（n+2），对b1＝3也适合，∴b n＝n（n+2）（n∈N*），∴…（11分）则＝＝…（12分）21．（14分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx，且f′（﹣1）＝0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f（x）的单调区间；（3）令a＝﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N （x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．【解答】解：解法一：（1）依题意，得f′（x）＝x2+2ax+b．由f′（﹣1）＝1﹣2a+b＝0得b＝2a﹣1．（2）由（1）得f（x ）＝x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）＝x2+2ax+2a﹣1＝（x+1）（x+2a ﹣1）．令f′（x）＝0，则x＝﹣1或x＝1﹣2a．①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．②当a＝1时，1﹣2a＝﹣1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x＝﹣1处f′（x）＝0，故函数f（x）的单调增区间为R．③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；当a＝1时，函数f（x）的单调增区间为R；当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．（3）当a＝﹣1时，得f（x）＝x3﹣x2﹣3x．由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1＝﹣1，x2＝3处取得极值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y＝﹣x﹣1．由得x3﹣3x2﹣x+3＝0．令F（x）＝x3﹣3x2﹣x+3．易得F（0）＝3＞0，F（2）＝﹣3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，故F（x）在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）当a＝﹣1时，得f（x）＝x3﹣x2﹣3x．由f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝0，得x1＝﹣1，x2＝3．由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x1＝﹣1，x2＝3处取得极值，故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y＝﹣x﹣1．由x3﹣3x2﹣x+3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝1，x3＝3．∴，，所以线段MN与曲线F（x）有异于M，N的公共点（1，﹣）．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)(含答案全解析) (1)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015广东,文1)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=()A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}.2.(2015广东,文2)已知i是虚数单位,则复数(1+i)2=()A.2iB.-2iC.2D.-2答案:A解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.3.(2015广东,文3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.y=x+sin 2xB.y=x2-cos xC.y=2x+D.y=x2+sin x答案:D解析:A为奇函数,B和C为偶函数,D既不是奇函数,也不是偶函数.4.(2015广东,文4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为()A.2B.5C.8D.10答案:B解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+表示直线y=-x在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.5.(2015广东,文5)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.答案:C解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得4=b2+12-2·b·2,即b2-6b+8=0,解得b=2或4.又因为b<c,所以b=2.6.(2015广东,文6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案:D解析:l1与l在平面α内,l2与l在平面β内,若l1,l2与l都不相交,则l1∥l,l2∥l,根据直线平行的传递性,则l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.7.(2015广东,文7)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品,现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为() A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1答案:B解析:设正品分别为A1,A2,A3,次品分别为B1,B2,从中任取2件产品,基本事件共有10种,分别为{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},而其中恰有一件次品的基本事件有6种,由古典概型概率公式,得P==0.6.8.(2015广东,文8)已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9答案:B解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因为m>0,所以m=3.9.(2015广东,文9)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则=()A.5B.4C.3D.2答案:A解析:=(1,-2)+(2,1)=(3,-1),所以=(2,1)·(3,-1)=2×3+1×(-1)=5.10.(2015广东,文10)若集合E={(p,q,r,s)|0≤p<s≤4,0≤q<s≤4,0≤r<s≤4且p,q,r,s∈N},F={(t,u,v,w)|0≤t<u≤4,0≤v<w≤4且t,u,v,w∈N},用card(X)表示集合X中的元素个数,则card(E)+card(F)=()A.200B.150C.100D.50答案:A解析:E中有序数组的要求为s均大于p,q,r,当s取4时,p可取0,1,2,3,q也可取0,1,2,3,r也可取0,1,2,3,此时不同数组有4×4×4=64个;同理当s取3时,p,q,r均可从0,1,2中任取1个,此时不同数组有3×3×3=27个;当s取2时,p,q,r可从0,1中任取1个,不同数组有2×2×2=8个;当s取1时,p,q,r只能都取0,不同数组有1个,因此E中不同元素共有64+27+8+1=100个.F中元素要求为t<u,v<w,当u取4时,t可取0,1,2,3;当u取3时,t可取0,1,2;当u取2时,t可取0,1;当u取1时,t取0,所以t,u的不同组合为10种.同理,v,w不同组合也有10种,故F中元素个数为10×10=100,所以card(E)+card(F)=200.二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.(一)必做题(11~13题)11.(2015广东,文11)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)答案:(-4,1)解析:不等式可化为x2+3x-4<0,即(x-1)(x+4)<0,解得-4<x<1.12.(2015广东,文12)已知样本数据x1,x2,…,x n的均值=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2x n+1的均值为.答案:11解析:由题意,y i=2x i+1(i=1,2,…,n),则=2+1=2×5+1=11.13.(2015广东,文13)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=.答案:1解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2)(5-2)=1.又b是正数,所以b=1.(二)选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(2015广东,文14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.答案:(2,-4)解析:∵ρ(cos θ+sin θ)=-2,∴曲线C1的直角坐标方程为x+y=-2.由已知得曲线C2的普通方程为y2=8x.由-得y2+8y+16=0,解得y=-4,x=2.所以C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).15.(2015广东,文15)(几何证明选讲选做题)如图,AB为圆O的直径,E为AB延长线上一点,过E作圆O的切线,切点为C,过A作直线EC的垂线,垂足为D.若AB=4,CE=2则AD=.答案:3解析:由切割线定理得EC2=EB·EA,即12=EB·(EB+4),可求得EB=2.连接OC,则OC⊥DE,所以OC∥AD,所以,即,所以AD=3.三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015广东,文16)已知tan α=2.(1)求tan的值;(2)求--的值.解:(1)tan-=--=-3.(2)--=---=-=-=-=1.17.(本小题满分12分)(2015广东,文17)某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)×20=1,得x=0.007 5,所以直方图中x的值是0.007 5.(2)月平均用电量的众数是=230.因为(0.002+0.009 5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,由(0.002+0.009 5+0.011)×20+0.012 5×(a-220)=0.5,得a=224,所以月平均用电量的中位数是224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100=25(户),月平均用电量在[240,260)的用户有0.007 5×20×100=15(户),月平均用电量在[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户),月平均用电量在[280,300]的用户有0.002 5×20×100=5(户),抽取比例为,所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户).18.(本小题满分14分)(2015广东,文18)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PE⊥CD.在Rt△PED中,PE=--.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.由(1)知BC∥AD.所以AD⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,所以S△PDA·h=S△ACD·PE,即h=△△,所以点C到平面PDA的距离是.19.(本小题满分14分)(2015广东,文19)设数列{a n}的前n项和为S n,n∈N*.已知a1=1,a2=,a3=,且当n≥2时,4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1.(1)求a4的值;(2)证明:-为等比数列;(3)求数列{a n}的通项公式.(1)解:当n=2时,4S4+5S2=8S3+S1,即4+5=8+1,解得a4=.(2)证明:因为4S n+2+5S n=8S n+1+S n-1(n≥2),所以4S n+2-4S n+1+S n-S n-1=4S n+1-4S n(n≥2),即4a n+2+a n=4a n+1(n≥2).因为4a3+a1=4×+1=6=4a2,所以4a n+2+a n=4a n+1(n∈N*).因为-------=--,所以数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列. (3)解:由(2)知数列-是以a2-a1=1为首项,公比为的等比数列,所以a n+1-a n=-,即=4,所以数列是以=2为首项,公差为4的等差数列, 所以=2+(n-1)×4=4n-2,即a n=(4n-2)×=(2n-1)×-.所以数列{a n}的通项公式是a n=(2n-1)×-.20.(本小题满分14分)(2015广东,文20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标;(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)圆C1:x2+y2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设线段AB的中点M(x,y),由弦的性质可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM.故点M的轨迹是以OC1为直径的圆,该圆的圆心为C,半径r=|OC1|=×3=,其方程为-+y2=,即x2+y2-3x=0.又因为点M为线段AB的中点,所以点M在圆C1内,所以-<2.又x2+y2-3x=0,所以可得x>.易知x≤3,所以<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为x2+y2-3x=0.(3)由题意知直线L表示过定点T(4,0),斜率为k的直线.结合图形,-表示的是一段关于x轴对称,起点为F-按逆时针方向运动到E的圆弧(不含端点).根据对称性,只需讨论在x轴下方的圆弧.由F-,则k FT=-,而当直线L与轨迹C相切时,-,解得k=±.在这里暂取k=,因为,所以k FT<k.结合图形,可得对于x轴下方的圆弧,当0≤k≤或k=时,直线L与x轴下方的圆弧有且只有一个交点.根据对称性可知当-≤k<0或k=-时,直线L与x轴上方的圆弧有且只有一个交点.综上所述,当-≤k≤或k=±时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.21.(本小题满分14分)(2015广东,文21)设a为实数,函数f(x)=(x-a)2+|x-a|-a(a-1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当a≥2时,讨论f(x)+在区间(0,+∞)内的零点个数.解:(1)f(0)=a2+|a|-a2+a=|a|+a.因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1.当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0时,则有2a≤1,所以a≤.所以0<a≤.综上所述,a的取值范围是a≤.(2)f(x)=---对于u1=x2-(2a-1)x,其图象的对称轴为x=-=a-<a,开口向上,所以f(x)在[a,+∞)上单调递增;对于u2=x2-(2a+1)x+2a,其图象的对称轴为x==a+>a,开口向上, 所以f(x)在(-∞,a)上单调递减.综上,f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(-∞,a)上单调递减.(3)由(2)得f(x)在[a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,所以f(x)min=f(a)=a-a2.①当a=2时,f(x)min=f(2)=-2,f(x)=--令f(x)+=0,即f(x)=-(x>0).因为f(x)在(0,2)上单调递减,所以f(x)>f(2)=-2,而y=-在(0,2)上单调递增,y<f(2)=-2,所以y=f(x)与y=-在(0,2)上无交点.当x≥2时,令f(x)=x2-3x=-,即x3-3x2+4=0,所以x3-2x2-x2+4=0.所以(x-2)2(x+1)=0.因为x≥2,所以x=2,即当a=2时,f(x)+有一个零点x=2.②当a>2时,f(x)min=f(a)=a-a2,当x∈(0,a)时,f(0)=2a>4,f(a)=a-a2,而y=-在x∈(0,a)上单调递增, 当x=a时,y=-.下面比较f(a)=a-a2与-的大小.因为a-a2-----=--<0,所以f(a)=a-a2<-.结合图象不难得当a>2时,y=f(x)与y=-有两个交点.综上,当a=2时,f(x)+有一个零点x=2;当a>2时,y=f(x)与y=-有两个零点.。
00 2015年广州市高考模拟考试数学(文科)参考答案
„„„„„„„„„„„„„„„„2 分
„„„„„„„„„5 分
由（*）得 1 4k
2
2
州
x
2
8kmx 4m2 4 0 ．
2
从而 8km 4 1 4k
4m
2
4 0 ,化简得 m2 1 4k 2 ．①
an
gz
„„„„„„„„„„„„„„6 分 „„„„„„„7 分
∵
∴ 2 sin
. 2 5
广
∴ cos
3 10 . 10
∵
∴ sin sin cos cos sin
:/ /
∴ sin 1 cos
ww w
0, ， 2
2
.g u
10 . 10
ht tp
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
研
一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分． 题号 答案 1 B 2 B 3 C
xM
广
8km 4km 4k 2 m m ， . „„„„„9 分 y kx m m M M 2 2 2 1 4k 1 4k 1 4k 2 2 1 4k
∴ 点 M 的坐标为
m 4km , . 2 2 1 4k 1 4k
教
4
5 A
6 C
7 D
.e
8 9 C A 15． sin(
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2
3 ．…………………………………………6 分 2
由正弦定理
a …………………………………………………………………………………7 分 = 2R ， sin A
数学（文科）试题 A 第 1 页 共 9 页
得 a = 2 R sin A = 2 ´ 14 ´
数学（文科）试题 A 第 2 页 共 9 页
18． （本小题满分14分） （1）证明：连接 A1 B ， 在四边形 A1 BCD1 中， A1 D1 P BC 且 A1 D1 = BC ， 所以四边形 A1 BCD1 是平行四边形． 所以 A1 B P D1C ．…………………………………………2分 在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AA1 = AB = 3 ， 所以 M D C N B A1 D1 C1 B1
( a2 , b2 ) ， ( a3 , b1 ) ， ( a3 , b2 ) ， ( a4 , b1 ) ， ( a4 , b2 ) ， ( b1 , b2 ) 共 9 种.……………………………………11 分
故所求的概率为
9 3 = . ………………………………………………………………………………12 分 15 5
1 æ1 1 9 9ö 13 ´ç + ´ + ÷ ´ 3 = ，………………………………………………11分 ç ÷ 3 è2 2 2 2ø 2
13 41 = ，…………………………………………………13分 2 2
从而 V2 = VABCD - A1B1C1D1 - VAMN - DD1C = 27 所以
b 2 + c 2 - a 2 ( 5k ) + ( 3k ) - ( 7 k ) cos A = = …………………………………………………………3 分 2bc 2 ´ 5k ´ 3k
2 2 2
1 = - ．………………………………………………………………………………………………4 分 2 1 （2）由（1）知， cos A = - ， 2
AM AN = ， AA1 AB
A
所以 MN P A1 B ．…………………………………………………………………………………………4分 所以 MN P D1C ． 所以 M ， N ， C ， D1 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ，上部分体积为 V2 ， 连接 D1 A ， D1 N ， DN ， 则几何体 D1 - AMN ， D1 - ADN ， D1 - CDN 均为三棱锥， 所以 V1 = VD1 - AMN + VD1 - ADN + VD1 -CDN D 1 1 1 M C = S DAMN g D1 A1 + S DADN g D1 D + S DCDN g D1 D ………9分 3 3 3 A 1 1 1 3 1 9 B N = ´ ´3 + ´ ´3 + ´ ´3 3 2 3 2 3 2 13 = ．……………………………………………………………………………………………11分 2 13 41 = ，…………………………………………………13分 从而 V2 = VABCD - A1B1C1D1 - VAMN - DD1C = 27 2 2 所以 A1 D1 C1 B1
所以当 0 < x < 1 时， f ¢ ( x ) > 0 ，当 x > 1 时， f ¢ ( x ) < 0 ， 所以函数 f ( x ) 在 ( 0,1) 上是增函数，在 (1, +¥ ) 上是减函数，………………………………………5 分 所以当 x = 1 时，函数 f ( x ) 取得极大值，极大值为 0．………………………………………………6 分 （2）因为 f ¢ ( x ) =
C A
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 5 小题，每小题，满分 20 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题． 题号 答案 11 12 13 14 15
2
-3
60 3
4 3
1
16． （本小题满分12分） 解： （1）因为 a : b : c = 7 : 5 : 3 ， 所以可设 a = 7 k ， b = 5k ， c = 3k ( k > 0 ) ，…………………………………………………………2 分 由余弦定理得，
= 45 3 ．
所以△ ABC 的面积为 45 3 ．…………………………………………………………………………12 分 17． （本小题满分12分） 解： （1）因为抽取总问卷为 100 份，所以 n = 100 - ( 40 + 10 + 20 ) = 30 ．………………………………1 分 年龄在 [ 40,50 ) 中，抽取份数为 10 份，答对全卷人数为 4 人，所以 b = 4 ¸ 10 = 0.4 ．……………2 分 年龄在 [50, 60 ] 中，抽取份数为 20 份，答对全卷的人数占本组的概率为 0.1 ， 所以 a ¸ 20 = 0.1 ，解得 a = 2 ．…………………………………………………………………………3 分 根据频率直方分布图，得 ( 0.04 + 0.03 + c + 0.01) ´ 10 = 1 ， 解得 c = 0.02 ．……………………………………………………………………………………………4 分 （2）因为年龄在 [ 40,50 ) 与 [50, 60 ] 中答对全卷的人数分别为 4 人与 2 人． 年龄在 [ 40,50 ) 中答对全卷的 4 人记为 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，年龄在 [50, 60 ] 中答对全卷的 2 人记为 b1 ，
(
)
Hale Waihona Puke （2）因为 f ( n ) = í
ìn - 1, î3n - 2,
*
n为奇数， n为偶数，
假设存在 k Î N ，使 f ( k + 3 ) = 4 f ( k ) 成立．………………………………………………………7分 ①当 k 为奇数时， k + 3 为偶数， 则有 3 ( k + 3) - 2 = 4 ( k - 1) ， 解得 k = 11 ，符合题意．………………………………………………………………………………10分 ②当 k 为偶数时， k + 3 为奇数， 则有 ( k + 3) - 1 = 4 ( 3k - 2 ) ，
2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据 试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共 10 小题，每小题，满分 50 分． 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 6 7 D 8 B 9 B 10 D
1 2ax 2 + x + 1 + 2ax + 1 = ， x x
（ⅰ）当 a ³ 0 时，………………………………………………………………………………………7 分 因为 x Î ( 0, +¥ ) ，所以 f ¢ ( x ) =
2ax 2 + x + 1 > 0， x
AN PA 1 PA 3 = ，即 = ，解得 PA = ． DC PD 3 PA + 3 2 3 延长 D1M 与 DA 相交于点 Q ，同理可得 QA = ． 2
所以 所以点 P 与点 Q 重合． 所以 D1M ， DA ， CN 三线相交于一点． 所以几何体 AMN - DD1C 是一个三棱台．……………………………………………………………9分 所以 V1 = VAMN - DD1C =
( a4 , b2 ) ， ( b1 , b2 ) 共 15 种．…………………………………………………………………………………8 分
“环保之星” 的情况是： 其中所抽取年龄在 [50, 60 ] 的人中至少有 1 人被授予 ( a1 , b2 ) ， ( a2 , b1 ) ， ( a1 , b1 ) ，
3 …………………………………………………………………8 分 = 14 3 ． 2
由（1）设 a = 7 k ，即 k = 2 3 ， 所以 b = 5k = 10 3 ， c = 3k = 6 3 ．………………………………………………………………10 分 所以 S DABC =
1 1 3 bc sin A = ´ 10 3 ´ 6 3 ´ ……………………………………………………11 分 2 2 2
V1 13 = ． V2 41
13 ．……………………………………………14分 41
所以平面 MNCD1 分此正方体的两部分体积的比为
数学（文科）试题 A
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解法二：记平面 MNCD1 将正方体分成两部分的下部分体积为 V1 ，上部分体积为 V2 ， 因为平面 ABB1 A1 P 平面 DCC1 D1 ，所以平面 AMN P 平面 DD1C ． 延长 CN 与 DA 相交于点 P ， 因为 AN P DC ，
b2 ，则从这 6 人中随机抽取 2 人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是： ( a1 , a2 ) ， ( a1 , a3 ) ， ( a1 , a4 ) ，