第一章 质点运动学

若知道了位移矢量的三个分量 ∆x 、 ∆y 和 ∆ z ，则位移的大小和方向余弦可以按照求位 矢大小和方向时所用的方法求出：
� ∆r = (∆x ) 2 + ( ∆y) 2 + ( ∆z ) 2 � cos α = ∆x / ∆r � cos β = ∆y / ∆r � cos γ = ∆z / ∆r
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x 2 + y2 + z 2
cos β = y / r cos γ = z / r
位矢的方向余弦： cos α = x / r （3）运动方程
质点运动时，其位矢 r 随时间而变，也即是说，位矢 r 是时间 t 的函数，这意味着位矢 的分量 x 、
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y 、 z 是时间的函数。
� � � � � r = r (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t )k
ay ax a , cos β a = , cos γ a = z a a a
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§1 . 4 直 线 运 动
1．直线运动的运动学方程 （1）坐标系的选择 研究直线运动，最好选择只含一个坐标轴的坐标系。比如： Ox 、 Oy 、 Oz ，其原点位 于参考系的参考点上，坐标系与质点轨迹重合。 因此，质点的运动学方程可以写为
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第一章
◆ 本章学习目标 1．理解参考系和坐标系的概念；
质点运动学
2．掌握位矢和位移、瞬时速度和瞬时加速度概念； 3．掌握通过已知加速度和初始条件求解速度、运动方程的方法； 4．理解角速度、角加速度及其与线量的关系； 5．理解相对运动及其计算方法。 ◆ 本章教学内容 1．参照系和坐标系； 2．质点 位矢和位移； 3．速度 加速度； 4．直线运动； 5．曲线运动； 6．相对运动。 ◆ 本章教学重点 1．位矢和位移； 2．由已知加速度和初始条件求解速度、运动方程； 3．相对运动及其计算方法。 ◆ 本章教学难点 1．位矢与位移的区别； 2．速度和加速度的矢量性与相对性； 3．物理量的微积分计算。
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路程等于位移的大小： ds = dr 。 运动过程中质点到原点 O 的距离 r 的变化用 ∆r = ∆ r 表示，见上图。在一般情况下， 它与位移的大小 ∆r 也不相等，即 ∆r ≠ ∆r 。例如圆周运动，若以圆心为坐标原点，则质 点到原点 O 的距离 r 是一个常量，即有 ∆ r = 0 ，但是质点位移的大小 ∆r 则显然不为零。
①平均加速度 在有限时间段内速度增量与时间的比叫平均加速度。 设质点在 t 时速度为 υ1 ，在 t + ∆t 时速度为 υ 2 ，速度增量 ∆υ = υ 2 − υ1 ，则平均加速 度为： a =
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� ∆υ 。 ∆t
注： 平均加速度仅能提供一段时间内速度变动的方向和平均快慢， 其方向沿速度增量的 方向。 ②瞬时加速度 在无限短时间内速度增量与时间的比叫瞬时加速度，简称为加速度。 结合高等数学中极限的思想，加速度可以表示为 时平均加速度的极限
x = x( t ) ， y = y( t ) ， z = z (t )
这样的一组函数叫做质点的运动函数（或运动方程） 。 2．位置矢量 （1）位置矢量的定义 要描述质点的运动，即质点位置的变化，首先要描述质点位置。决定质点位置有两个因 素：距离和方向。在最一般的情况下可以这样来描述：当确定了坐标系后（此时参照系也是 确定了的）由坐标原点指向质点
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� dr dx � dy � dz � = i+ j+ k dt dt dt dt
式中， υ x ， υ y ， υ z 分别叫做速度的 x ， y 和 z 分量。对比可知速度的三个分量为：
υx =
dx , dt
υy =
dy , dt
υz =
dz dt
在直角坐标系中，速度的大小可以表示为
υ = υ2 +υ 2 +υ2 x y z
0
t
x = x 0 + ∫ υ x ( t )dt
� � � � � � ∆r = r2 − r1 = ( x1 − x2 ) i + ( y 2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 ) k � � � = ∆x i + ∆yj + ∆zk
可见位移矢量的三个分量为：
∆x = x 2 − x1 ,
∆y = y 2 − y1 ,
∆z = z 2 − z1
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§1.1 参照系和坐标系
1. 机械运动 （1）机械运动：所谓机械运动，是一个物体相对于另一个物体的位置，或一个物体内 部的一部分的位置随时间的变化过程。 （2）运动学：力学中描述物体怎样变化怎样运动的内容叫做运动学，它是描述物体的 位移、速度、加速度等随时间的变化规律。 2．参照系和坐标系 （1）参照系 为了描述物体的机械运动， 即它的位置随时间的变化规律， 就必须选择一个物体或几个 相互间保持静止或相对静止的物体作为参考，被选为参考的物体称为参照系。 同一物体的运动，由于选择的参照系不同，会表现为各种不同的形式。如在地面匀速前 进的车厢中一个自由下落的石块， 以车厢为参照系， 石块做直线运动， 如果以地面为参照系， 则石块将做曲线运动。物体运动的形式随参照系的不同而不同，这个事实叫运动的相对性。 由于运动的相对性， 当我们描述一个物体的运动时， 就必须指明是相对于什么参照系来说的。 （2）坐标系 为了定量地说明一个物体相对于某一参照系的空间的位置， 就在该参照系上建立固定的 坐标系。 一般选用迪卡尔直角坐标系，也可以选用极坐标系、自然坐标系等。 3．时间和时刻 在物理学中， 它代表一个重要的物理量， 是国际单位制 （SI） 中的七个基本物理量之一。 “时刻”是指时间流逝中的“一瞬” ，对应于时间轴上的一点，时刻的正、负表明在计 时起点以后或以前。 “时间” 是指自某一初始时刻至终止时刻所经历的时间间隔， 它对应于时间轴上一个区 间，物体位置的变动总是在一定时间内发生。
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到加速度矢量的三个分量：
ax =
dυ x d 2 x = 2 dt dt dυ y dt
=
ay =
d2 y dt 2
dυ z d 2 z az = = 2 dt dt
由加速度的三个分量可以确定加速度的大小和方向余弦。 大小： a = a x 2 + a y 2 + a z 2 方向： cos α a =
� � � � ∆υ dυ d 2 r a = lim = = 2 ∆ t →0 ∆ t dt dt
即加速度为速度对时间的变化率（速度对时间一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导 数） 。 定义： a = a x i + a y j + a z k
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式中， a x ， a y ， a z 分别叫做加速度的 x ， y 和 z 分量。根据速度的分量表达式可以得
（3）位移和路程的区别 位移描述了质点在一段时间内位置变动的总效果， 即有大小又有方向， 它不表示质点在 其轨迹路径的长度。 在一段时间内，质点在其轨迹上经过的路径的总长度叫路程。 路程只有大小，没有符号，更没有方向，这一点容易和位移区别，而且在一般情况下， 路程与位移的大小 ∆r 也不相等。见图，在 t 到 t + ∆t 过程中，质点路程 s 为 P1 与 P2 两点 之间的弧长 ，而位移的大小 ∆r 为 P1 与 P2 之间直线的长度 P1 P2 。但是在 ∆ t → 0 时，
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υ x = ∆x / ∆t ,
②瞬时速度
υ y = ∆y / ∆t ,
υ z = ∆z / ∆t
无限短时间内质点位移与时间的比叫瞬时速度， 简称为速度。 根据高等数学关于极限的 意义，速度可以表示为平均速度的极限，即：
� � � ∆r dr υ = lim = ∆t →0 ∆t dt
即速度为位矢对时间的变化率（或位矢对时间的一阶导数） 。 ③速度的分量形式 由位置矢量的分量形式，我们有： υ = 定义： υ = υ x i + υ y j + υ z k
x = x(t )
相应地，瞬时速度和加速度也可以写为
υ = υx = a = ax =
dx dt dυ d 2 x = 2 dt dt
（2）从速度到运动学方程和位移直线运动 ①由 υ x =
dx ，则 x 是 υ x 的一个原函数，若已知速度 υ x (t ) ，可通过不定积分求的与 dt dx dt = x (t ) + c ， dt
方向： cos α υ =
υy υx υ , cos βυ = , cos γ υ = z υ υ υ
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2．加速度 （1）加速度定义 在很多情况下， 质点运动速度的大小或方向都是变化的。 一段时间内速度的增量与时间 的比定义为加速度。 质点的加速度描述质点速度的大小和方向变化的快慢， 由于速度是矢量， 所以只要质点的速度大小或是方向发生变化，都将意味着质点有加速度。 （2）加速度公式的表示
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如图所示，质点 t 时刻在
p1 点，位矢为 r1 ， t + ∆t 时刻在 p2 点，位的定义该时间段内质点的位移为：
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� � � ∆r = r2 − r1
或
� � � ∆r = r (t + ∆t) − r (t )
按位置矢量的分量表示，则有：