第3章回归分析方法4
第三章 多元线性回归模型
ˆ β1 ˆ ˆ = β2 β M ˆ βk
βˆ ——未知参数的 k × 1 阶估计值列向量； 阶估计值列向量； 阶列向量。 e ——残差项的 n × 1 阶列向量。
ˆ Y ——被解释变量样本观测值的 n × 1阶拟合值列向量； 阶拟合值列向量；
总体回归函数 样本回归函数
多元线性样本回归模型矩阵表达式： 多元线性样本回归模型矩阵表达式： 估计的样本回归方程矩阵表达式： 估计的样本回归方程矩阵表达式：
ˆ Y = Xβ + e ˆ ˆ Y = Xβ
e1 e 2 e= M en
其中
ˆ Y 1 ˆ ˆ = Y2 Y M ˆ Yn
Var(U ) = E[(U − EU)(U − EU)′] = E(UU ′)
u1 u12 u 2 u 2 u1 ( u1 , u 2 , L , u n ) = E = E M M u u n u1 n E (u12 ) E ( u 2 u1 ) = M E ( u n u1 ) σ 2 0 = M 0 0 E (u1u 2 )
Yi = β1 + β 2 X 2 i + β 3 X 3i + ... + β k X ki + ui
模型中参数 β j 为 是偏回归系数， ( j = 2,3,L, k)是偏回归系数，样本容量
n
偏回归系数：控制其它解释量不变的条件下， 偏回归系数：控制其它解释量不变的条件下，第 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。 j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
M
Yn = β1 + β2 X2n + β3 X3n + ... + βk Xkn + un
第三章回归分析基本方法：最小二乘法
1/8/2019
中山大学南方学院经济系
29
Yi = X i i
• 于是，我们的回归模型就可以表示为：
Yi = X i i
• 我们用所得到的数据，采用回归分析的方法 来对模型中的参数进行估计。这样我们就可 以得到参数的估计值。被普遍采用的方法是 “最小二乘法”。
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n n
= =
(2
n n
2Yi 2 X i ) = 0
2 i
(2X
2 X iYi 2X i ) = 0
( X X )(Y Y ) x y = = x (X X )
i i i n n i 2 i n n
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i
=Y X
中山大学南方学院经济系
30
第三节 最小二乘法
普通最小二乘估计量 • (ordinary least squares) OLS估计量
ˆX ˆ =Y ( X X )(Y Y ) xy ˆ = = 2 2 ( X X ) x
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中山大学南方学院经济系
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OLS估计量的代数性质
拒绝H 0 t 0
右侧检验
拒绝H 0
0 t
必须显著低于才会拒绝 左侧检验
小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝 H0
（1）H0：μ≤368 H1；μ>368 （2）检验统计量服从t分布
检验统计量:
x t0 = sx
372.5 368 = = 1.5 15 / 25
（3）α=0.05，查t分布表得：t=2.064， 接受域为（－ ∞ ，2.064） 结论：接受原假定。
《现代地理学中的数学方法》第3章 1 2相关分析方法 回归分析方法
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、地理相关程度的度量方法 • 计量地理学中用不同的指标来度量不同类型的地理相关的程度。 • （一）简单直线相关程度的度量 • 一般情况下，当两个地理要素间为直线相关时，需要分析其相关程度和
相关方向。所谓相关程度指两者关系的密切程度，而相关方向可分为正 相关与负相关。前者指两个要素间呈同方向变化，而后者相反。这两者 可用一个共同的指标度量，就是相关系数。 • 1. 一般常用的相关系数(r)计算公式 • 其中，
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• （三）多要素相关与相关矩阵 • 对于多个地理要素，则可计算出各要素两两之间的相关系数，并构成相
关矩阵。 • 例3：现给出世界上自然植被的生产量与水热资源的原始地理数据（表5
－3），利用相关系数公式得到其相关矩阵，形式如下所示：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
– 地理回归分析的主要内容包括：
• 1. 由一组地理数据确定这些要素间的定量数学表达式，即回归模型； • 2. 利用回归模型，根据自变量的值来预测或控制因变量的取值。
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 二、一元地理回归模型的建立
– 一元地理回归是要解决两个要素间的定量关系。由于两个要素之间 的数量关系类型的差别，一元地理回归包括线性回归模型和非线性 回归模型分述如下：
第五章 地理系统要素间的相关分析与回归分析
• 3. 一元线性地理回归模型的效果检验 • 当一元线性地理回归模型求出来以后，它的效果如何，它所揭示的地理
规律性强不强，用它来进行地理预测精度如何？所有这些问题都需要进 一步作出分析。 • （1）回归模型估计的误差 • 由线性回归模型所得到的y的估计值往往与实测值y不完全一致，它们之 间的误差称为估计误差，以标准差的形式表示为 • 在实际地理问题中，只要比较S与允许的偏差即可。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
第3章回归预测方法
第3章回归预测方法思考与练习（参考答案）1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。
答：相关分析与回归分析的主要区别：（1）相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。
回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。
（2）相关分析中，两个变量要求都是随机变量，并且不必区分自变量和因变量；而回归分析中自变量是普通变量，因变量是随机变量，并且必须明确哪个是因变量，哪些是自变量；（3）相关分析中两变量是对等的，改变两者的地位，并不影响相关系数的数值，只有一个相关系数。
而在回归分析中，改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。
联系为：（1）相关分析是回归分析的基础和前提。
只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。
（2）回归分析是相关分析的继续和深化。
只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系，并进一步进行预测。
2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下：根据上述统计数据:（1）计算产品销售额与利润额的相关系数；r ，说明销售额与利润额高度相关。
解：应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934（2）建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型，并对回归模型进行显著性检验（取α＝）；解：应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为： 7.273,0.074a b =-=据此，建立的线性回归方程为 ˆ7.2730.074Yx =-+ ① 模型拟合优度的检验由于相关系数0.9934r =，所以模型的拟合度高。
② 回归方程的显著性检验应用Excel 软件数据分析功能得0.05ˆ=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=水平下回归效果显著.③ 回归系数的显著性检验0.025ˆ=21.22(6) 2.447tt >=,说明在α=水平下回归效果显著. 实际上，一元线性回归模型由于自变量只有一个，因此回归方程的显著性检验与回归系数b 的显著性检验是等价的。
分析化学第三章 分析化学中的误差与数据处理_OK
分类
方法误差、仪器与试剂 环境的变化因素、主
误差、主观误差
观的变化因素等
性质
重现性、单向性（或周 服从概率统计规律、
期性）、可测性
不可测性
影响
准确度
精密度
消除或减 小的方法
校正
增加测定的次数 12
系统误差的校正
• 方法系统误差——方法校正 • 主观系统误差——对照实验校正（外检） • 仪器系统误差——对照实验校正 • 试剂系统误差——空白实验校正
误差
10
• 随机误差： • 由某些不固定偶然原因造成，使测定结果在一定范围内波动，大小、正负不定，难以
找到原因，无法测量。 • 特点：不确定性；不可避免性。 • 只能减小，不能消除。每次测定结果无规律性，多次测量符合统计规律。 • 过失、错误误差
11
系统误差与随机误差的比较
项目
系统误差
随机误差
产生原因 固定因素，有时不存在 不定因素，总是存在
相对误差: 绝对误差占真值的百分比,用Er表示
Er =E/xT = x - xT /xT×100％
2
相对误差反映误差在真值中所占的比例
误差以真值为标准
真值：某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是
未知的、客观存在的量。在特定情况下认为 是已知的：
理论真值（如化合物的理论组成）(如，NaCl中Cl的 含量） 计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值）（例如，标准样品的标准值）
6 15.99 34 0.172
7 16.02 55 0.278
8 16.06 40 0.202
9 16.09 20 0.101
4第三章多元线性回归模型分析(二)
上述定理的（ ），被称为最小二乘估计不变性 ），被称为最小二乘估计不变性。 上述定理的（2），被称为最小二乘估计不变性。 利用此定理可考虑系数之间的整体作用和交互作 所有参数的不同组合，可通过w的不同取值来 用。所有参数的不同组合，可通过 的不同取值来 得到。 得到。 β1 + β 2 + L + β k 例如： 的估计量， 例如：为得到 的估计量，可 令 1
其中，要注意 E(εε ′) 是一个协方差矩阵，而不是一个数。
σ 2 0 ε1 ε2 0 σ2 E(εε ′) = E[ (ε1 ε 2 L ε n )] = M M M ε n 0 0 0 0 M 2 L σ L L O
E [ Cy | X ] = E [CX β + C ε | X ] = β
由于上述等式对任意 β 都成立，则有： CX = I 。 类似地也可以得到该估计的方差为： Var[ b 0 | X ] = σ 2 C C ′ 现在假设矩阵 D = C − ( X ′X ) −1 X ′ ，则有： Dy = b 0 − b ，因此：
2、满足基本要求的样本容量
从参数估计角度：＞ × 从参数估计角度：＞3×解释变量数目 ：＞ 从检验的有效性角度：＞ 从检验的有效性角度：＞30 ：＞
一般而言， 3、一般而言，
＞50为大样本数据 为大样本数据 ≤30为小样本数据 为小样本数据
§3.4 单方程模型的统计检验
（一）
一、拟合优度检验 二、方程显著性检验 三、变量显著性检验
这说明，所猜想的方差估计量不行， 这说明，所猜想的方差估计量不行，而要寻 无偏估计。 找σ2的无偏估计。
最小二乘残差是： e = My = M [ Xβ + ε ] = M ε
应用回归分析,第3章课后习题参考答案
第3章 多元线性回归思考与练习参考答案3.2 讨论样本容量n 与自变量个数p 的关系，它们对模型的参数估计有何影响？答：在多元线性回归模型中，样本容量n 与自变量个数p 的关系是：n>>p 。
如果n<=p 对模型的参数估计会带来很严重的影响。
因为： 1. 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。
2. 解释变量X 是确定性变量，要求()1rank p n =+<X ，表明设计矩阵X 中的自变量列之间不相关，即矩阵X 是一个满秩矩阵。
若()1rank p <+X ，则解释变量之间线性相关，1()X X -'是奇异阵，则β的估计不稳定。
3.3证明随机误差项ε的方差σ2的无偏估计。
证明:22122222111112221111ˆ(),111()()(1)(1)()(1)1ˆ()()1n i i n n nnnii ii iiii i i i i i ni i SSE e e e n p n p n p E e D e h h n h n p E E e n p σσσσσσσ======='===------∴==-=-=-=--∴==--∑∑∑∑∑∑∑3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R 2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。
因为：1. 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F 检验或者关于回归系数的t 检验，所建立的回归方()1ˆ2--=p n SSE σ程都没能通过。
2. 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y 与自变量X1,X2,…,Xp 整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F 检验和t 检验。
3. 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R 2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R 2的增大与拟合好坏无关。
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一、计量经济模型的设定
（一）数理经济模型构建
（二）样本数据特征观察
（三）计量经济模型建立
样本数据特征观察
500000 400000 300000 200000 100000 0
1978
1980
1982
1984
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
2000
2002
2004
2006
（二）变量说明 1.产出变量 国内生产总值(GDP) 指按市场价格计算的一个国 家(或地区)所有常住单位在一定时期内生产活动的最 终成果。在实际核算中，国内生产总值有三种计算方
法，即生产法、收入法和支出法。三种方法分别从不
同的方面反映国内生产总值及其构成。
变量说明与数据处理
2.资本变量——物质资本存量 支出法国内生产总值中资本形成总额 或全社会固定资产投资 3.劳动力变量 经济活动人口 就业人员合计
2008
国内生产总值(当年价格） 全社会固定资产投资(亿元)
就业人员（万人）
变量随着时间变动趋势
2010
样本数据特征观察
350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 0 100000 200000 300000 400000 500000
就业人员（万人）
资本折旧率的取值
变量说明与数据处理
（2）地区 资本存量的估算可以写作：
K it K it 1 1 it I it
3. 就业人数
回归分析方法的应用举例
一、计量经济模型的设定 二、变量说明与数据处理
三、参数估计与计量检验
四、宏观经济研究问题
参数估计
估计结果
Variable LNK LNL C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 0.755602 -0.296136 5.036988 0.998649 0.998549 0.031561 0.026895 62.68707 0.433213 Std. Error 0.018953 0.103000 0.947421 t-Statistic 39.86616 -2.875115 5.316527 Prob. 0.0000 0.0078 0.0000 9.530986 0.828632 -3.979138 -3.839018 9981.535 0.000000
F 0 L
2F 0 2 K
2F 0 2 L
数理经济模型构建
（2） F（· ）呈现出不变规模报酬，满足一次齐次性：
F (K , L) F ( K , L)
0
（3）满足稻田条件，即随着资本或劳动趋于零，资本或劳 动的边际产品趋于无穷大；随着资本或劳动趋于无穷大，
一、计量经济模型的设定
（一）数理经济模型构建
（二）样本数据特征观察
（三）计量经济模型建立
数理经济模型构建
1.新古典生产函数的基本假定
(1) 假定经济中仅有物质资本和劳动两种投入，生产函 数形式为：
Y (t ) F[ K (t ), L(t ), t ]
(2) 假定资本折旧率是一个常数。在一个时点上物质资
再次参数估计
Variable LNK LNH C R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat Coefficient 0.767506 0.216564 4.461150 0.998494 0.998382 0.033328 0.029990 61.05322 0.394890 Std. Error 0.030436 0.100681 0.998268 t-Statistic 25.21688 2.150995 4.468888 Prob. 0.0000 0.0406 0.0001
全社会固定资产投资(亿元)
以国内生产总值为横轴
样本数据特征观察
500000 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 就业人员（万人） 全社会固定资产投资(亿元)
3.拟定模型中待估参数的理论期望值区间
符号：+ 大小：0-1之间，两者之和是否接近于1
若被解释变量Y和解释变量X之间的关系呈现幂函
u 数形式 Yi AX i 1 e i
该模型中变量Yi关于Xi和参数都是非线性的，对
这类问题的线性化方法是将两边取对数，做恒等变换
得：
令 再令 则
ln Yi ln A 1 ln X i ui
资本或劳动的边际产品趋于零：
lim(FK ) lim(FL )
K 0 L 0
lim(FK ) lim(FL ) 0
K L
数理பைடு நூலகம்济模型构建
3.新古典生产函数的形式
科布-道格拉斯函数提供了对现实经济的合理描述，在 此假定生产函数符合科布-道格拉斯函数形式：
Y K L1
单一方程还是联立方程模型？——单一方程 具体函数形式：根据相关经济理论得出符合科布-道格 拉斯函数 根据样本数据做出的变量关系图印证
C-D生产函数随机回归方程设定为： t Yt At K t L e t 见非线性模型变换
LnYt LnAt LnKt LnLt t
计量经济模型建立
三、参数估计与计量检验
四、宏观经济研究问题
变量说明与数据处理
（一）数据来源 1.年鉴 《中国统计年鉴》及各地区统计年鉴 《新中国60年统计资料汇编》 《中国国内生产总值核算历史资料（1952~1996）》 《中国国内生产总值核算历史资料（1952~2004）》 专业年鉴 如《中国金融年鉴》、《中国科技统计年鉴》
模型修正
沿用第一部分的设定的生产函数形式，重新写出如下：
Yt At K (ht * Lt ) e
t
t
LnYt LnAt LnKt Ln(ht * Lt ) t
变量说明
人力资本存量的测算
(1) 颜鹏飞等（2004）：在校大学生人数与总人口比例
(2)许和连等（2006）：中等及以上学校在校学生人数 (3)岳书敬等（2006）：平均受教育年限与劳动力数量乘积
变量说明与数据处理
2.网络 国家统计局统计数据网页 中国人民银行统计数据网页 中国证券监督管理委员会统计数据网页 世界银行WDI数据库 联合国UNdata数据库
变量说明与数据处理
3.共享 人大经济论坛
中国经济学教育科研网
新浪爱问 经济学家 各大高校网站（如南开大学、山东大学）
变量说明与数据处理
GDPDt GDP t GDP t 1 GDPIt
GDP定基指数
真实GDP=名义GDP除以GDP平减指数
变量说明与数据处理
2.真实资本存量 普遍采用的资本存量的测算方法是永续盘存法，基本公式为：
K t K t 1 (1 ) I t
K0 I 0 (g )
《中国统计年鉴》自1991年开始才公布固定资产投资价格指数
本存量的变化等于总投资减去生产过程中的资本损耗。
数理经济模型构建
2.新古典生产函数的性质
如果忽略技术进步，也就是说我们假定F（· ）独立于t， 生产函数可以采取如下形式：
Y F ( K , L)
（1）对所有K>0和L>0，生产函数F（· ）对每一投入具有正 的且递减的边际产品：
F 0 K
（2）许和连、元朋、祝树金，2006：《贸易开放度、人力资本与全要素
生产率：基于中国省级面板数据的经验分析》，《世界经济》第12期。 （3）岳书敬、刘朝明，2006：《人力资本与区域全要素生产率》，《经 济研究》第4期。 （4）Holz, C.,2005, The Quantity and Quality of Labor in China 19782000-2025，Working Paper.
平均受教育年限
由各学历层次年限乘以各学历所占总人口比重并加总算得， 其中设定“初等教育”年限为6 年（主要指小学阶段) 、“初中等 教育”年限为9年（主要指初中)、“高中等教育”年限为12年 （主要指高中和中专）、“高等教育”年限为16 年（主要指大专 及以上文化程度) 。
相关参考资料
参考文献 （1）颜鹏飞、王兵，2004：《技术效率、技术进步与生产率增长：基于 DEA的实证分析》，《经济研究》第12期。
第 3章 回归分析方法
研究的选题
1.要尽量选择在经济和社会领域中受到广泛关注的问题， 所研究问题的题目要具体化。
2.要明确研究的范围。
3.所选题目的大小要适中。 4.要充分考虑数据来源的可能性。
回归分析方法的应用举例
一、计量经济模型的设定 二、变量说明与数据处理
三、参数估计与计量检验
四、宏观经济研究问题
计量经济模型设定
柯布-道格拉斯函数提供了对现实经济的合理描述， 刻画了一个反映产出与劳动力和资本投入之间的关系 的生产函数：
t Yt At K t L e t
C-D生产函数随机回归方程设定为：
LnYt LnAt LnKt LnLt t
回归分析方法的应用举例
一、计量经济模型的设定 二、变量说明与数据处理
变量说明与数据处理