与勾股定理有关的古题
专题：勾股定理应用
1 专题整理：勾股定理应用
1．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a ＝3，b ＝4，则该矩形的面积为（ ）
A ．20
B ．24
C ．
D ．
2．在△ABC 中，∠ACB 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作弧BAC ，如图所示．若AB ＝4，AC ＝2，图中两个新月形面积分别为S 1，S 2，两个弓形面积分别为S 3，S 4，S 1﹣S 2＝
，则S 3﹣S 4的值是（ ） A ．π B ．π C ． D ．π
3．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3＝10，则S 2的值是 ．
4．如图是小章为学校举办的数学文化节没计的标志，
在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为
边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC +BC ＝6，
空白部分面积为10.5，则阴影部分面积为 ．
（第1题） （第2题） （第3题）
（第4题）。
勾股定理典型练习题(含答案)
勾股定理典型练习题(含答案)1.勾股定理典型练题勾股定理是几何中的一个重要定理。
在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。
如图1所示，由边长相等的小正方形和直角三角形构成，可以用其面积关系验证勾股定理。
图2是由图1放入矩形内，已知AC = 4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为多少？已知AB = 3，得到∠BAC = 90°。
根据勾股定理，BC = 5.所以矩形KLMJ的面积为 4 × 5 + 3 × 4 = 32.因此，答案为C。
2.勾股定理典型练题XXX所示，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。
若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是多少？根据图中所示，正方形E的边长为2，所以面积为2 × 2 = 4.因此，答案为C。
3.勾股定理典型练题如图所示，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点。
则图中阴影部分的面积是多少？首先，根据勾股定理，AC = 4，BC = 4，AB = 4√2.因此，三角形ABC的面积为4√2 × 4 / 2 = 8√2.由于三角形ADE和三角形ABF相似，所以ADE的面积是ABF的面积的一半。
同理，三角形BDF和三角形BCE相似，所以BDF的面积是BCE的面积的一半。
因此，阴影部分的面积为8√2 - 2 × 2 - 2 ×1 = 8√2 - 6.因此，答案为C。
4.勾股定理典型练题如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为多少？根据图中所示，正方形a和正方形c的边长分别为√5和√11.因此，正方形b的边长为√11 - √5，所以面积为(√11 - √5)² = 6.因此，答案为C。
5.勾股定理典型练题如图所示，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则S1和S2的大小关系是什么？首先，根据勾股定理，AB = √(BC² + AC²) = 2√2.因此，半圆的面积为π × (2√2 / 2)² = 2π。
核心素养专题：古代问题中的勾股定理
6．中国古代对勾股定理有深刻的认识． (1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以 证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一 个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小 正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面 积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋ b)2的值；
解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13， 四个直角三角形的面积是 1 ab×4＝13
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国 明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋 千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行 二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝 笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺， 将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和
解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3尺，CD＝
20 ＝4(尺)，∴AD＝
5
32 42 ＝5(尺)，∴葛藤的最
短长度为5×5＝25(尺)．
◆类型二 勾股定理的证明问题
5．我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创 造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如 图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14， 正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH 的边长为 10 .
2．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知 高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二 尺，斜之适出，问户斜几何． 注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高 长出二尺，斜放恰好能出去． 解决下列问题：
(1)示意图中，线段CE的长为 4 尺， 线段DF的长为 2 尺； (2)设户斜长x，则可列方程为 (x－ 4)2＋(x－2)2＝x2 .
6
步： m ＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边 长．当面积S＝150时，请用“积求勾股法”求出这个 直角三角形的三边长．
《勾股定理》模型(五)——出水芙蓉模型
《勾股定理》模型（五）——出水芙蓉模型“印度荷花问题”湖静浪平六月天，荷花半尺出水面;忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现;残花离根二尺遥，试问水深尽若干?——印度数学家拜斯迦罗（公元 1114—1185 年）【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算”。
【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为 4.5 尺.【解析】设水深AP ＝x 尺， PB ＝PC ＝（x ＋3）尺，根据勾股定理得：PA ²＋AC ²＝PC ²，x ²＋4²＝（x ＋3）².解得 x=4.5.答∶水深 4.5 尺.典例1☆☆☆☆☆ 古诗赞美荷花∶“竹色溪下绿，荷花镜里香.”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面 10 cm ，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地 40 cm （如图），请问水深多少?模型讲解典例秒杀【解析】设水深为 h cm ，则荷花的高为（h ＋10）cm ，根据勾股定理，得（h ＋10）2＝40²＋h ²，解得 h ＝75.答∶水深为 75 cm.典例1☆☆☆☆☆有一朵荷花，花朵高出水面1 尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3 尺，此水池的水深有多少尺?【解析】设水深x 尺，那么荷花径的长为（x+1）尺，由勾股定理得 x ²＋3²=（x ＋1）².解得 x=4.答∶水池的水深有 4尺.1.（★★☆☆☆）在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米，阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面，已知荷花移动的水平距离为 2米，问水深多少米.1.我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是∶今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何?你读懂题意了吗?请回答水深几尺，葭长几尺.根据题意，设水深 OB=x 尺，则葭长 OA ＇=（x+ 1）尺.列方程正确的是（ )小试牛刀 直击中考出水芙蓉类题和风吹树折类题一样，数学知识本身其实很简单，考查的就是勾股定理，正确设出未知数列方程就能求解，但是对很多同学来说，它的难点也是语言文字的转化。
人教版初中数学勾股定理知识点题库
(每日一练)人教版初中数学勾股定理知识点题库单选题1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和答案：C解析：根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．2、有下面的判断：①若△ABC中，a2＋b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2＋b2=c2；③若△ABC中，a2－b2=c2，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则(a＋b)(a－b)=c2.其中判断正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个答案：B解析：根据勾股定理及其逆定理依次判断即可解答.①c不一定是斜边，①错误；②根据勾股定理可得②正确；③根据勾股定理的逆定理可得③正确；④若△ABC是直角三角形，a是斜边，则（a+b）（a-b）=c2，④正确．共2个正确．故选B．小提示：本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．3、如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（）A．11cmB．2√34cmC．（8+2√10）cmD．（7+3√5）cm答案：B解析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，∴AB′=√102+62=2√34cm.故选B..4、如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF 的长度为()A．5B．3√5C．2√5D．3√2答案：C解析：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，设CF=x，则BF=8−x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，∴16+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴AF=CF=5，∵AD//BC，∴∠AEF=∠EFC，又∵∠AFE=∠EFC，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，∴EH=AE−AH=2，∵FH=4，∴EF2=42+22=20，∴EF=2√5；故选C．5、已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2√5|+√b−2+（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（）A．以c为斜边的直角三角形B．以a为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形D．有一个内角为30°的直角三角形答案：B解析：利用非负数的性质求得a、b、c的数值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形状即可．解：由题意可得：a=2√5，b=2，c=4，∵22+42=20，(2√5)2＝20，即b2+c2=a2，所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．故选B．小提示：本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决此题的关键．6、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．7、如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（）A．-2B．-2.2C．-√10D．-√10+1答案：D解析：在三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数.在Rt△AOB中，OA=1，OB=3，根据勾股定理得：AB=√32+12=√10，∴AP=AB=√10，∴OP=AP-OA=√10-1，则P表示的实数为-√10+1．故选D．本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8、Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( )A．8B．4C．6D．无法计算答案：A解析：解：利用勾股定理，由Rt△ABC中，BC为斜边，可得AB2+AC2=BC2，代入数据可得AB2+AC2+BC2=2BC2=2×22=8．故选A．填空题9、如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4，D为BC的中点，AD=2√5，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为_________．答案：2√5解析：根据中点的含义先求解BD,作点C关于AB对称点C′，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′，此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,于是得到∠C′BC= 90°，再证明BC′=BC=4，然后根据勾股定理即可得到结论．解：∵AC=BC=4，D为BC的中点，∠ACB=90°，∴CD=BD=2，∠CBA=45°，作点C关于AB对称点C′，CC′交AB于O，则OC=OC′，连接DC′，交AB于P，连接BC′．此时PD+PC=PD+PC′=DC′的值最小．由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，AB⊥CC′,∴∠C′BC=90°，∴BC′⊥BC，点C关于AB对称点C′，∴AB垂直平分CC′，∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得DC′=√42+22=2√5.所以答案是：2√5．小提示：此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．10、在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为______cm2．答案：126或66．解析：解：当∠B为锐角时（如图1），在Rt △ABD 中，BD = √AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =21，∴S △ABC =12•BC •AD =12×21×12=126cm 2； 当∠B 为钝角时（如图2），在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√132−122=5cm ，在Rt △ADC 中，CD =√AC 2−AD 2=√202−122=16cm ，∴BC =CD -BD =16-5=11cm ，∴S △ABC =12•BC •AD =12×11×12=66cm 2， 所以答案是：126或66．11、点A 、B 、C 在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C 到线段AB 所在直线的距离是_____.答案：35√5； 解析：试题分析：连接AC ，BC ，设点C 到线段AB 所在直线的距离是h ，∵S △ABC =3×3﹣12×2×1﹣12×2×1﹣12×3×3﹣1=9﹣1﹣1﹣92﹣1=32，AB=√12+22=√5，∴12×√5h=32，∴h=3√55．故答案为3√55．考点：勾股定理．12、小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1．第一步，在AB 边上找一点D ，将纸片沿CD 折叠，点A 落在A ′处，如图2，第二步，将纸片沿CA ′折叠，点D 落在D ′处，如图3．当点D ′恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段A ′D ′的长为__________．答案：12或2−√3 解析：因为点D ′恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当D ′落在AB 边上和BC 边上两种情况分析，勾股定理求解即可．解：当D′落在AB边上时，如图（1）：设DD′交AB于点E，由折叠知：∠EA′D=∠A=60°,AD=A′D=A′D′,DD′⊥A′E,A′C=AC∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1∴AB=2,BC=√3设AD=x，则在Rt△A′ED中，A′E=12x在Rt△ECB中，EC=12BC=√32∵A′C=AC∴12x+√32=1即x=2−√3．当D′落在BC边上时，如图（2）因为折叠，∠ACD=∠A′CD=∠A′CD′=30°,∴A′D′=12A′C=12A′B,A′C=A′B=AC=1∴AD=A′D′=1．2所以答案是：1或2−√32小提示：本题考查了轴对称变换，勾股定理，直角三角形中30°的性质，正确的作出图形是解题的关键．13、如图．在RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，若DE=a，则ΔABC的周长用含a的代数式表示为_______________．答案：(6+2√3)a解析：根据“∠BAC=90°，∠C=30°”可知∠B=60°，根据“以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D”可知△ABD是等边三角形，∠BAD=60°，继而可知∠DAE=30°，利用直角三角中30°所对的边是斜边的一半，即可知AB和BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，从而可得周长.∵RtΔABC中，∠BAC=90°，∠C=30°∴∠B=60°，BC=2AB∵以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，∴AB=AD∵∠B=60°∴△ABD是等边三角形∴∠BAD=60°，∴∠DAE=30°，又∵DE⊥AC∴△ADE是直角三角形∴AD=2DE=2a∴AB=2a，BC=4a根据勾股定理有AB2+AC2=BC2∴AC=√BC2−AB2=√16a2−4a2=2a√3∴△ABC的周长=AB+AC+BC=2a+2a√3+4a=(6+2√3)a故答案为(6+2√3)a.小提示：本题考查的是含有30°角的直角三角形和勾股定理，能够根据含有30°角的直角三角形相关性质和勾股定理求出三边的长是解题的关键.解答题14、（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：C2=a2+b2．答案：（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）证明见解析．解析：（1）根据正方形面积计算公式解答；（2）利用面积法证明即可得到结论．（1）(a+b)2=a2+2ab+b2；（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵∠EAB+∠AEB=90°，∴∠DEC+∠AEB=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∵S梯形ABCD=S Rt△ABE+S Rt△DCE+S Rt△DEA，∴12(b+a)(a+b)=12ab+12ab+12c2，即(a+b)2=2ab+c2，∵(a+b)2=a2+2ab+b2，∴a2+2ab+b2=2ab+c2，∴c2=a2+b2．小提示：此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．15、如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣4，1），C（2，0）．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标．（2）在（1）的条件下，若点P在x轴上，当B1P＋PA的值最小时，画出点P的位置，并直接写出B1P＋PA的最小值．（3）在x轴上是否存在一点M，使△MAC是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）画图见解析，B1(−4,−1)；（2）作图见解析，最小值为√41；（3）(2+2√5,0),(2−2√5,0),(−2,0),(−3,0).解析：（1）分别确定A,B,C关于x轴对称点A1,B1,C1,再顺次连接A1,B1,C1,再根据B1的位置写其坐标，从而可得答案；（2）连接B1P,交x轴于P,由B1P+PA=B1P,可得P即为所求作的点；（3）△MAC是等腰三角形且M在x轴上，分三种情况讨论，当CM=CA=2√5，当AC=AM=2√5，当MA= MC,再结合点的位置与等腰三角形的性质可得答案.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，B1的坐标为：(−4,−1).（2）如图，连接B1P,交x轴于P,∴B1P+PA=B1P,则P即为所求作的点，∴B1P=√42+52=√41.（3）∵M在x轴上，且△MAC为等腰三角形，而AC=√22+42=2√5,当CM=CA=2√5时，M1,M2满足条件，此时CM1=CM2=AC=2√5,OM1=2+2√5,OM2=2√5−2,∴M1(2+2√5,0),M2(2−2√5,0),当AC=AM3=2√5时，AO⊥x轴，∴OM3=OC=2,∴M3(−2,0).当M在AC的垂直平分线上时，如图，则M4C=M4A,设M(x,0),由勾股定理可得：∴x2+42=(x−2)2,解得：x=−3,则M4(−3,0),综上：M的坐标为：(2+2√5,0),(2−2√5,0),(−2,0),(−3,0).小提示：本题考查的是轴对称的作图，两点之间，线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，注意在确定满足等腰三角形的点的位置时的分类讨论要做到不遗漏，不重复.。
勾股定理难题50道
勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。
勾股定理
50dm
50 2 + 50 2
再来一下 2、如图，池塘边有两点A，B，点C是与 、如图，池塘边有两点 ， ， 是与 BA方向成直角的 方向上一点，测得 方向成直角的AC方向上一点 方向成直角的 方向上一点， CB=60m，AC=20m。你能求出 ，B 两 ， 。你能求出A， 点间的距离吗（保留整数）？ 点间的距离吗（保留整数）？
C的面 的面 积(单位 单位 长度) 长度
4 9
9 25
13 34
C A
A、B、 、 、 C面积 面积 关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
B
图3
直角三 角形三 边关系
猜想: 猜想
b
c
a
命题１ 命题１：如果直角三角形的两直角边长分别
为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。 斜边长为c 那么a
， 。 ，
O B D
5 ≈ 2 . 236
－ BD = OD - OB≈2.236－1.658 =0.578≈0.58
梯子的顶端沿墙下下滑0.5m，梯子底端外 ， 梯子的顶端沿墙下下滑 移 0.58m ，
1、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用 、有一个边长为 的正方形洞口， 的正方形洞口 一个圆盖去盖住这个洞口， 一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长 结果保留整数）？ （结果保留整数）？ 解：依题意得 圆的直径至少要等于下正方形 洞口的斜边 根据勾股定理得 圆的直径 = ≈71 答：圆的直径至少 71 dm。 。
问题2： 问题 ： 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火， 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼 米长的云梯， 高3米，消防队员取出 米长的云梯，如果梯子的底部离 米 消防队员取出6.5米长的云梯 墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？ 墙基的距离是 米 请问消防队能否进入三楼灭火？
《九章算术》中勾股名题[精华]
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《九章算术》中勾股名题《九章算术》中的勾股问题，是具有历史意义的世界著名算题．勾股问题即直角三角形问题．《九章算术》专设勾股章来研究勾股问题，共24个问题．引葭(jiā)赴岸《九章算术》勾股章第6题:“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？分析：让我们一起来熟悉一下图形吧．在Rt△ABC中，b为池深，c为葭长，且葭出水一尺，即c＝b+1尺，由题意a为5尺．不用问下面该勾股定理大显身手了，剩下的问题你能解决了吧？这一问题在世界数学史上很有影响．印度古代数学家婆什迦罗的《丽罗瓦提》一书中有按这一问题改编的“风动红莲”；阿拉伯数学家阿尔·卡西的《算术之钥》也有类似的“池中长茅”问题；欧洲《十六世纪的算术》一书中又有“圆池芦苇”问题．所有问题内容大体一致，但比我国此类问题的研究要晚几百年甚至上千年！风动红莲该题出自婆什迦罗（Bhāskara，1114～1185），十二世纪印度杰出的数学家，著有《算法本原》，《丽罗瓦提》等书，包括算术和代数“求根”等问题，流传很广．此题与《九章算术》中的“引葭赴岸”如出一辙．波平如镜一湖面，半尺高处出红莲，鲜艳多姿湖中立，猛遭狂风吹一边；红莲斜卧水淹面，距根生处两尺远；渔翁发现忙思考，湖水深浅有多少？勾股容圆《九章算术》勾股章第16题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”所谓“勾中容圆”是指直角三角形的内切圆，内切圆的问题大家还不熟悉，通过此题了解即可，不必深究．井中立木《九章算术》勾股章第24题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”此题要用到比例线段的有关知识，此处我们不必深究，只需少作了解即可．《春雨的色彩》说课稿一、教材内容分析：春天里万物复苏，百花争艳、绿草如荫、一派迷人的景色。
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．
：
根 据 题 意 画 出示 意 图 (如 图2 )
，
C
．
丑
R t △A B C
=
中
．
，
曰C
=
2
尺
．
A C
A B
+
+
=
B D
由勾 股 定 理 得
+
0
2
，
0
(A B
0 5 ) 2．
．
展 开
三
解 得A
．
B
．
=
3 75 尺
．
．
■
／
2
●
所 以 湖 7F N 3
、
7 5
尺
．
图
里 九 部数学专著《 章算术》 有这 样
和 尚扛 竿去 量 应
立
丈量 门宽 我 国最 早 的
城 外
一 一
例 学题
：
3
道 有 趣 的数
一
扇 矩 形 门
四
，
．
横 着量 之
对 角
此 门
又
尺 余
一
，
着量
之
二
尺
剩
．
复 比
比
．
斜 竿恰 好 端 抵 尽
还
2尺
—
L
．
D
宽 高各
几 何
．
有竹 竿有
一
几 深 ?
此 题 理 解起来 比较 容易
一
，
意思 是说
二
根竹竿 比
，
扇矩 形 门的宽长 四 尺 比 门 的高长
，
一
尺
与 门的对
．
角线正 好
同
一
样 长 求 门的宽和 高及 竹竿 的长
．
解 ：根 据 题 意 作 出 示 意 图 ( 如 图 3 ) 显 然 和 尚 用
，
．
竹竿 量 了3 次 设 竹竿长 为z 尺
．
，
由勾 股 定 理 得
，
图 3
x
0
=
(x
-
2
) 。+ ( x
。
一
-
4
) 2．
=
整理 得z
12
，
x +
2 0 2
0
，
(戈
一
10
，
) (省
一
2 )
．
=
0
．
解 得 省 l=
所 以
四
、
，
10
z ：=
(不 合题 意
6尺
，
舍去 )
=
门勋
B
=
门 高A
D
8尺
，
竹竿蜘
三
一
C
=
10 尺
．
折竹抵地
今 有竹 高
一
例4
丈
一
，
末 折 抵 地
，
，
去 本
尺
．
问
：
折 者 高几 何 ?
此题 的意思 是
．
地平 面
挚
，
，
，
CD
为
，
B C
为身高是
5
尺 的人
，
A E
为 两 步 (相 当于
10
尺 )的距 离 A 处 为 踏
，
答 案 ：将 圆 筒 沿 表 面 展 开 成 为
所示
得A C的长 即可
； E
一
个矩形
，
，
如 图4
整 个 彩 纸 也 随之 被 分 成 了相 等 的4 段
．
只需求
(
R
t A
A B C
t：
尺 ) 将竹子折断
，
：
根竹子
原来高
，
丈
(
一
丈 为十
，
其顶端恰好抵 地
抵地 处 与原竹子 底部 利用勾股定理 解
距 离为三 尺
，
，
问 ：原 处 还 有 多 高 的 竹 子 ?
，
．
决本题 可 先 画 图形 然后 求解
已 知A c +A 占
B C
=
解 ：依 题 意 作 出 示 意 图 ( 如 图 4 )
=
O
，
，
A B
：
36
c m
，
B C
：
单
斗
：
27
(c
m
)
．
由勾 股 定 理
4 C
'
—
—
得
~
=
C
=
V
A B
2
+
B C
、石 孕 珂
=
4 5
(c
m
m
)
．
／
图
4
曰
故 整 个 彩 纸 的 v~
t
4 5
~
4
=
180
(e
)
．
，
●
，
●
●
●
●
●
●
●
0
●
●
，
，
板 的静 止 位置
设 OA
FA B F
=
以D
，
为 踏板 离 地 的距 离 长 度 等 于 1尺
，
．
≈
尺
：
则
—
D曰
=
：
0 A
—
=
x尺Leabharlann ．瀵圹引 引 刻 D
曰E
日C 10
E C
'
5
1
=
4
(尺 )
．
=
EA
=
尺
，
T~ R
X t ／
OB F
中 利用勾股定理
，
，
可得
OB
。
=
0 j 社+ B P
，
，
即z
．
．
。
=
(∞
一
4
) 。+
尺
10
2
．
展开
解 得z
=
14 5
故秋千绳索的长度 为
14 5
．
．
有多深
解 在
A B
．
10
(尺 )
A B
。
．
①
日C
。
，
B
C
3 尺
图4
．
§ 由 勾 股 定 王M C
。
一
=
劂J A C
．
‘
一
A B
‘
=
9
．
所 以 (A
C+A
-
剐 (A C 卅
=
B
) 9
=
I IJ r l) A C A B A
~
．
(尺 )
-
②
．
03 ~
-
，
得M
9 1
曰=
9 1
而
(尺 )
I~O B A
=
-
_
=
4 55
(尺 )
口河
南
．
刘现伟
，
人 们很 早 以 前就 知道 了勾 股 定理 即使 在 古 代
人 们也 会 运 用勾股
定理 去解 决许多 实际 问题 下 面
．
，
我们就选 择几 个 有趣 的事 例 向大家介
绍
一
下
一
．
、
算秋 千 索长
明代有
“
一
例
里有
一
1
位 杰 出 的数 学 家 叫程 大位 在 他所 著 的 《 法 统 宗 》 算
，
道 荡秋千
”
的题
：
平 地 秋 千 未起
，
踏 板
．
一
尺 离地
，
送 行 两 步 与 人 齐 仕 女 佳 人 争蹴
，
五 尺 人
高 曾记
，
：
终 朝 笑语 欢 嬉
。
良工 高士 素好 奇
算 出 索长 有
，
几 ?
一
它 的大概 意思 是
，
：
当秋 千 静 止 时 它 的踏板 离地 的距 离 为
一
尺 (
一
种
，
非 法定 长度单位 ) 将秋 千 的踏板 往 前 推两 步 (这 里 的每
的踏板 与人
● 一
步合五 尺 ) 它
样高
，
这 个人 的身高 为五 尺 当然 这 时秋 千 的绳 索 是 呈 直
． ；
●
●
●
●
●
●
线 状 态 的 现 在 问 ：这 个 秋 千 的 绳 索 有 多 长 ? - 据题 探索 ( 如 苑 解 ：根廿 学 生意 诬 化 示 意 图 创 新图 1 ) 设 图 中 的 O A 为 秋 千 的 绳 索 效画 出
．
．
所 以原 处 还 有 4 55 尺 高 的竹 子
，
．
古 代 数 学 题 看 起 采比 较 有 趣 但 做 起 来 有
题 意
．
一
定难度 关键 是 要 读懂
，
．
。
能 从题 目中挑 出有 用 的信 息 然 后 利 用 所 学 的知 识 求 解
，
．
．．；
I．
；
擎
牟 学生
数
诬化
探索 创 新 苑