基本不等式求最值
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
基本不等式求最值的八种思维方法
ʏ尹丹青利用基本不等式求最值是高考的常考点,下面介绍基本不等式求最值的八种思维方法㊂方法一: 定和 与 拼凑定和 求积的最值例1 已知x >0,y >0,且x +y =7,则(1+x )(2+y )的最大值为㊂解:由x +y =7,可拼凑(x +1)+(y +2)=10,利用基本不等式求最值㊂易得(x +1)+(y +2)=10,所以(1+x )(2+y )ɤ(1+x )+(2+y )22=25,当且仅当1+x =2+y ,即x =4,y =3时等号成立㊂故(1+x )㊃(2+y )的最大值为25㊂解后反思:利用基本不等式求最值时,必须同时满足: 一正 二定 三相等㊂方法二: 定积 与 拼凑定积 求和的最值例2 若a >-3,则a 2+6a +13a +3的最小值为㊂解:对a 2+6a +13a +3变形拼凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂因为a >-3,所以a +3>0,4a +3>0㊂由基本不等式得a 2+6a +13a +3=(a +3)2+4a +3=(a +3)+4a +3ȡ2(a +3)㊃4a +3=4,当且仅当a +3=4a +3即a =-1时等号成立㊂故a 2+6a +13a +3的最小值为4㊂解后反思:观察积与和哪个是定值,根据 和定积动,积定和动 来求解㊂方法三: 和积化归 构建不等式求最值例3 已知x >0,y >0,且x +y +x y =3,若不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,则实数m 的取值范围为㊂解:由基本不等式得(x +y )m i n =2,构建m 2-m ɤ(x +y )m i n ,再解不等式即可㊂由3-(x +y )=x y ɤ(x +y )24,当且仅当x =y =1时等号成立,解得x +y ȡ2或x +y ɤ-6(舍去),则(x +y )m i n =2㊂因为不等式x +y ȡm 2-m 恒成立,所以m 2-m ɤ(x +y )m i n ,即m 2-m ɤ2,解得-1ɤm ɤ2㊂解后反思:根据和与积的关系式,结合基本不等式可以求出积或和的最值,这就是 和积化归法㊂方法四: 化1 与 拼凑化1 求最值例4 已知a ,b 均为正数,且1a +1+2b -2=12,则2a +b 的最小值为㊂解:确定b >2,由题设变换得2a +b =2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2,展开凑积为定值,利用基本不等式求最值㊂当b ɪ(0,2)时,2b -2<-1,而1a +1<1,则1a +1+2b -2<0,不符合题意,故b >2㊂2a +b =2(a +1)+(b -2)=2[2(a +1)+(b -2)]1a +1+2b -2=8㊃a +1b -2+2㊃b -2a +1+8ȡ216㊃a +1b -2㊃b -2a +1+8=16,当且仅当8㊃a +1b -2=2㊃b -2a +1,即a =3,b =10时等号成立㊂故2a +b 的最小值为16㊂解后反思: 化1 或 拼凑化1 求最值的关键是基本不等式的灵活应用㊂方法五:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)的合理应用例5 已知a >0,b >0,若a +b =4,51知识结构与拓展高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则( )㊂A .a 2+b 2有最小值4B .a b 有最大值2C .1a +1b 有最大值1D .1a +b 有最小值24解:已知a >0,b >0,则21a +1b ɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b22,当且仅当a =b 时取等号㊂a 2+b 2ȡ(a +b )22=8,A 错误㊂由4=a +b ȡ2a b ,可得a b ɤ4,B 错误㊂1a +1b ȡ4a +b =1,C 错误㊂1a +b ȡ12a +b 2=122=24,当且仅当a =b =2时取等号,D 正确㊂应选D ㊂解后反思:不等式链21a +1bɤa b ɤa +b 2ɤa 2+b 22(a ,b ɪR *)分别为调和平均数㊁几何平均数㊁代数平均数㊁平方平均数㊂方法六:复杂分式构造法凑定值例6 已知a >b ,不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,且∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,则a 2+b2a -b的最小值为㊂解:由不等式恒成立和∃x 0ɪR 使得方程成立可得a b =1,将a 2+b2a -b化成a -b +2a -b 求最值㊂因为不等式a x 2+2x +b ȡ0对于一切实数x 恒成立,所以a >0,4-4a b ɤ0㊂因为∃x 0ɪR ,使得a x 20+2x 0+b =0成立,所以4-4a b ȡ0㊂据上可得,4-4a b =0,所以a >0,b >0,a b =1㊂故a 2+b 2a -b =(a -b )2+2a ba -b=a -b +2a -b ȡ22,当且仅当a -b =2a -b 时取等号㊂故所求的最小值为22㊂解后反思:复杂分式构造法凑定值,其目的是构造和式的积为定值,再利用基本不等式求最值㊂方法七:反解代入消元法凑积为定值例7 设b >0,a b +b =1,则a 2b 的最小值为㊂解:已知等式转化为b =1a +1,再通过常数分离得到a b 2=(a +1)+1a +1-2求最值㊂已知b >0,a b +b =1,所以b =1a +1,a +1>0,所以a 2b =a 2a +1=(a +1-1)2a +1=a +1+1a +1-2ȡ2(a +1)㊃1a +1-2=0,当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立㊂故a 2b 的最小值为0㊂解后反思:借助反解代入消元,重新构造积为定值,这是求解最值的通法㊂方法八:两次使用基本不等式求最值例8 已知x ,y 都为正实数,则4(x y +1)x +x 2y的最小值为㊂解:4(x y +1)x +x 2y=4y +4x +x 2y ㊂因为x ,y 都为正实数,所以4y +x 2yȡ24x 2=4x ,当且仅当4y 2=x 2,即2y =x 时等号成立㊂所以4y +4x +x 2yȡ4x +4x ȡ216=8,当且仅当4x =4x,即x =1时等号成立㊂综上所述,当x =1,y =12时,4(x y +1)x +x 2y取得最小值为8㊂解后反思:两次使用不等式求最值,既要注意多次取等号时成立的条件,也要注意两次使用不等式后能 约分凑出定值㊂作者单位:江苏省丹阳高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年7 8月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
基本不等式求最值(解析)
高一秋季第2讲： 基本不等式求最值题型概览一． 基本不等式1.1 应用最值定理求最值; 1.2 幂指式内隐和积互化; 1.3 最值定理对“定值”的要求.二． 十种变形技巧2.1 整体处理求最值;2.2 凑系数(乘、除变量系数); 2.3 凑项(加、减常数项); 2.4 连续使用基本不等式求最值;2.5 分离 (分子)常数法求最值问题; 2.6 1y aa b=+ 型函数的最值; 2.7 变用公式;2.8 常数代换（逆用条件).三.不能使用基本不等式的情况3.1 应用函数单调性求最值;一． 基本不等式1.1应用最值定理求最值【典例】设函数1()21(0)f x x x x=+-<,则()f x （） A. 有最大值 B.有最小值 C.是增函数 D.是减函数【答案】A【解析】由0x <,得20x ->,10x ->，所以()2f x x =+111(2)1221x x x ⎡⎤⎛⎫-=--+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,当且仅当2x =时等号成立,所以()f x 有最大值,故选A . 【评注】:在使用基本不等式求最值时,要坚持“一正二定三等”这三项原则,藴着不等式的最值定理"积定和最小,和定积最大”.计算最值时我们常说的利用基本不等式求最值，即使用最值定理. 变式题组【变式1】下列不等式一定成立的是() A.21lg lg (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭B.12x x+C.212||()x x x +∈RD.211()1x x >∈+R 1.【答案】 C【解析】选项 A 中,当 12x =时,214x x +=; 选项 B 中,0x >时 ,12x x + ，0x <时, 12x x +-; 选项C中, 222||1(||1)0()x x x x -+=-∈R ; 选项 D 中,211x ∈+(0,1]()x ∈. 故选 C .【变式2】两个正数的和为定值时,则可求其积的最大值,即“和定积最大" 已知,x y +∈R ,且满足134x y+=,则xy 的最大值为_________________. 2.【答案】3 【解析】,x y +∈R,123434x y x y∴+=⨯=即3xy , 当且仅当 34x y = 即 32x =，2y =时取等号,∴xy 的最大值为 3.【变式3】若两个正数的积为定值时,则可求其和的最小值,即“积定和最小" 已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a =___________.3.【答案】 36 【解析】∵()424a a f x x x x x =+⋅=当且仅当 4x =ax, 即 24a x = 时取等号,由 3x =, 得 36a =.【变式4】已知12x y a a +=+,12xy b b =,则()21212a ab b +的取值范围是______.4. 【答案】(,0][4,)-∞+∞【解析】由题可知 12x y a a +=+,12xy b b =所以 ()22221212()22a a x y x y xy x yb b xy xy y x++++===++, 当 ,x y 同号时,24x yy x++, 当 ,x y 异号时,2220x y y x ++-+=,故所求的取值范围是 (,0][4,)-∞+∞.【变式5】已知三个数a ，b ，c 成等比数列,若1a b c ++=,则b 的取值范围为_______. 5.【答案】1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】设等比数列的公比为q ，则有111b q q =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由 12q q +或 12q q+-, 可得 b 的取值范围为1[1,0)0,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【变式6】已知,a b 均为正实数,且1a b +=,求1y a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值.6.【答案】254【解析】22111b a a b y ab ab ab a bab ab ab ab +=+++=++=++2()222a b ab ab ab ab +-=+-令 t ab =, 则 10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，2()f t t t =+在 10,4⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减， ∴ 当 14t =时,min min 25()24y f t =-=.1.2 幂指式内隐和积互化【典例】若221x y +=,则x y +的取值范围是()A.[0,2]B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-【答案】D【解析】由22222x y x y +⋅=y12(2x y ⇒+-当且仅当1x y ==-时取等号).故选D . 【评注】:利用最值定理求最值,首先要在条件中找到定值.同底幂的和为定值,隐藏着其积即指数和存在最大值. 变式题组【变式1】若实数,a b 满足2a b +=,则633a +的最小值是_____________. 1.【答案】 6【解析】332336a b a b +⋅=, 当且仅当 1a b == 时取等号,故 33a b + 的最小值是 6.【变式2】若241x y +=,则2x y +的取值范围是______________. 2.【答案】 6【解析】由222x y +==，得22x y +- (当且仅当 222x y = 时取等号) .【变式3】若实数,,a b c 满足222a b a b ++=,222a b c ++=2a b c ++,求c 的是大值. 3.【答案】22log 3-【解析】 由 222222a b a b a b +=-⋅=得 12a ba b+++, 即2a b +, 所以 (*22222222a b c a b a b c a b a b c ++++++=--=-=-1) 22(21)424r c -=⋅-, 所以 324c ⋅, 解得 22log 3c - （当且.仅当 1a b == 时取等号). 故所求 c 的最大值为 22log 3-.1.3最值定理对“定值”的要求【典例】已知1x >,则21y x x =+-的最小值为_______________.【答案】1【解析】221122111y x x x x =+=-+++--,当且仅当211x x -=-即1x =时等号成立,∴21y x x =+-的最小值为1+. 变式题组【变式1】函数212(0)y x x x=+>的最小值是______________.1. 【答案】2【解析】222311112232222y x x x x x x =+=++⋅==, 当且仅当 2122x x=, 即 x = 时等号成立,所以函数的最小值是 2.【变式2】已知0x >,0y >,且191x y+=,则x y +的最小值是____________. 【答案】16 【解析】由191x y +=, 得 19()10x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+ ⎪⎝⎭910216y x y x y x ++=, 当且仅当 9y x x y =, 即当 4x =,12y = 时取等号,故 x y + 的最小值为 16.【变式3】已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是（ ）A. B. C.3D.2解析： 借助换元，“1”的代换 令1a m +=，1b n +=， 则1m >，1n >，且111m n+=，则()()212123a b m n m n +=-+-=+-，又()112221233n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+=+⎪⎝⎭所以22333a b m n +=+-≥+-=当且仅当2n m m n =，即1m =，12n =+时，取到最小值B.【变式4】已知,a b 为正实数，且2a b +=，则22221a b a b ++-+的最小值为 . 解析1：22222112121221211111a b b a a b a b a b a b a b +-++-=++-=++-+-=+-++++ 2(1)2(1)121111(1)()1(21)1()3131313b b a a a b a b a b a b ++=+++-=+++-=+≥⋅+++当且仅当2(1)1b a a b +=+，即1)a b =+，即64a b =-=时等号成立.【变式5】若正数,a b 满足1a b +=，则11a ba b +++的最大值是_____ 解析：(分母换元+常数替换):令1,1x a y b =+=+，则3x y +=（1,1x y >>）1111211a b x y a b x y x y ⎛⎫--∴+=+=-+ ⎪++⎝⎭,而()11111142333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1122113a b a b x y ⎛⎫∴+=-+≤ ⎪++⎝⎭,则11a b a b +++的最大值是23.二． 十种变形技巧2.1整体处理求最值【典例】若实数,a b 满足12a b+=则ab 的最小值等于（）A B.2C. D.4【答案】C【解析】12a b =+≥，当且仅当2b a =时取等号,整理得22ab .故选C . 【评注】:遇到求a b +，ab 的最值,一般可以对题设条件直接使用基本不等式,获得关于,a b ab +的不等式,进而化简变形,即可顺利获解.变式题组【变式1】利用基本不等式将条件式转化为关于目标式的不等式若正实数,x y 满足++=26x y xy ，则xy 的最小值是 ，则+x y 的最小值是 【答案】18【解析】26226xy x y xy =+++, 则 2--60, 解得2xy - （舍去）或32xy , 从而18xy (当且仅当 3x = ，6y =时取等号).【变式2】已知>>++=0,0,228x y x y xy 则+2x y 的最小值是 【答案】4【解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭, 得 2(2)x y ++4(2)320x y +-, 即 24x y +( 当且仅当 2x y = 时取等号).【变式3】已知实数,x y 满足3xy x y -=+，且1x >则(8)y x +的最小值是()A.33B.26C.25D.21 解析1： 转化为单变量问题3xy x y-=+31x y x +∴=- 336(8)(8)1132511x y x x x x x +∴+=⋅+=-++≥-- 解析2：因式分解3(1)(1)4xy x y x y -=+∴--=，令41,1x t y t -=-=4(1)(9)25t t∴++≥【变式4】由+=±222()2x y x y xy 的关系结合基本不等式转化若实数,x y 满足++=221x y xy ，则+x y 的最大值是【答案】【解析】 由 2()1x y xy +=+ 得 22()12x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 则233x y +（ 当且仅当 x y == 时取等号).2.2 凑系数（乘、除变量系数）【典例】设<<302x ，则函数=-4(32)y x x 的最大值是【答案】92【解析】2232922(32)222x x y x x +-⎛⎫=⋅-= ⎪⎝⎭, 当且仅当232x x =-, 即 34x = 时等号成立. 所以函数的最大值是92. 变式题组【变式1】已已知<<103x ，则-(13)x x 取得最大值时x 的值是【答案】16【解析】 211313(13)3(13)332x x x x x x +-⎛⎫-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭112, 当且仅当 313x x =- 即 16x = 时取等号. 故 (13)x x - 取得最大值时 x 的值是16.【变式2】配凑系数，活用不等式+222a b ab设+=220,0,12y x y x ，则的最大值为【答案】4【解析】2221222y x ++=⋅=2212224y x ++=, 当且仅当 x =，y = 取等 号, 故的最大值为【变式3】设>0x ，则3(1)x x -的最大值为 【解析】【变式4】设>,,0x y z ，则+++222xy yzx y z 的最大值为【答案】2【解析】因为2222x y y +⋅2222z y y +⋅所以222y y x y z ⋅+⋅≤++，所 以222xy yz x y z +=++.22222212xy z x y z++⋅=++，当且仅y ==时等号成立,故222xy yz x y z +++的最大值为2.2.3 凑项（加、减常数项）【典例】已知<54x ，求函数=-+-1()4245f x x x 的最大值.解：由->540x ，得⎡⎤=--++⎢⎥-⎣⎦1()(54)354f x x x -+=231，当且仅当=1x 时等号成立，故函数()f x 的最大值为5.评注：求解本题需要关注两点：一是对已知条件的适当变形，由<54x 得到->540x ;二是对目标函数解析式的适当变形，以便活用结论“若<0x，则⎡⎤⎛⎫+=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11()x x x x -=-2”.变式题组【变式1】若函数=+>-1()(2)2f x x x x 在=x n 处取得最小值，则=n 【解析】因为 11()(2)2422f x x x x x =+=-++--, 当且仅当1202x x -=>-, 即 3x = 时等号成立, 即函数在 3x = 处取得最小 值, 故 3n =.【变式2】函数⎛⎫-+=> ⎪-⎝⎭2211212x x y x x 的最小值是12【解析】221(21)11212121x x x x y x x x x -+-+===+=---111(21)2212x x -++-, 又因为 111(21)22212x x -+=- 当且仅当x 取等号 ), 所以函数的最小值是12.2.4连续使用基本不等式求最值 【典例】若>>0a b ，求+-216()a b a b 的最小值为【解析】++=+-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦2222216166416()()2a a a b a b a b a b （当且仅当=-b a b 且=8a a，即==2a b 时等号成立)，故+-216()a b a b 的最小值为16.评注：此处第一次运用基本不等式，实质也是化二元为一元的消元过程.连续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致，否则就会出错。
利用基本不等式求最值的常见方法
即(x+y) 8, max 当且仅当x y 4时，等号成立.
总结与提升：
类型一：配凑定值法；
特征：函数能化成“积”或“和”为定值的形式
类型二：常数代换法；
特征：已知ax by c,求 d + e（a,b, c, d, e为非零常数）形式 xy
类型三：函数单调性法；拆项法 y ax2 bx c
3x 4 y 1 (3x 4 y)( 3 1 )
5
xy
3x
当且仅当
y
12 y x
即x
x 3y 5xy
1,
y
1 2
时，等号成立.
类型三：函数单调性法 （拆项法求函数的最值）
x 例3.已知xx＞13, 求f (x) 2 2 的最小值.
x 1
2 3+2 解：f (x) (x1)2 2(x 1) 3 (x 1) 3 2
记t xy(t 0)
则（*)式可化为：t 2 2t 8 0,
可解得：t 4或t -2(舍），
即(xy) 16, min
当且仅当x y 4时，等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值;
（2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
解：（1）因为x 0, y 0, 所以xy x y 8 2 xy （8 *）
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
基本不等式——求最值的好方法
ʏ谭 尧基本不等式是高中数学的重要内容,也是高考的常考点,利用基本不等式求最值问题的常用方法有:正用a +b ȡ2a b ,逆用a b ɤa +b22,整体代换法,凑系数法,凑项法,分离常数法,平方法等㊂下面举例分析㊂一㊁正用a +b ȡ2a b例1 对任意的m ,n ɪ(0,+ɕ),都有m 2-a m n +2n 2ȡ0恒成立,则实数a 的最大值为( )㊂A .2 B .22C .4D .92因为对任意的m ,n ɪ(0,+ɕ),都有m 2-a m n +2n 2ȡ0恒成立,所以m 2+2n 2ȡa m n 恒成立,即a ɤm 2+2n 2m n =m n +2nm恒成立㊂因为m n +2n m ȡ2m n ㊃2nm=22,当且仅当m n =2nm ,即m =2n 时取等号,所以a ɤ22㊂故实数a 的最大值为22㊂应选B ㊂评注:正用基本不等式求最值时,要求两个正数的和的最小值,必须这两个正数的积为定值㊂二㊁逆用a b ɤa +b22例2 若正实数x ,y 满足x +y =2,且1x yȡM 恒成立,则M 的最大值为( )㊂A.1B .2C .3D .4因为正实数x ,y 满足x +y =2,所以x y ɤ(x +y )24=224=1,当且仅当x =y =1时等号成立,所以1x yȡ1㊂又因为1x y ȡM 恒成立,所以M ɤ1,即M 的最大值为1㊂应选A ㊂评注:逆用基本不等式求最值时,必须要求这两个正数的和为定值㊂三㊁整体代换法例3 已知a >0,b >0,且4a +b =4,则1+1a1+1b的最小值为㊂由4a +b =4,可得a +b4=1㊂因为1+1a1+1b=1+a +b4a1+a +b4b=2+b 4a54+a b=52+2ab +5b 16a +14=114+2a b +5b 16a ȡ114+258=114+102,当且仅当2a b =5b16a,即42a =5b 时取等号,所以1+1a 1+1b的最小值为114+102㊂评注:求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用 整体代换法 或 常数1的代换法,然后构造不等式求最值㊂四㊁凑系数法例4 设0<x <910,则函数y =x (9-10x )的最大值为㊂由0<x <910,可得9-10x >0㊂因为y =x (9-10x )=110㊃10x (9-10x )ɤ110㊃10x +9-10x 22=42 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.81400,当且仅当10x =9-10x ,即x =920ɪ0,910时等号成立,所以函数y =x (9-10x )的最大值为81400㊂评注:本题无法直接运用基本不等式求最值,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求出最大值㊂五㊁凑项法例5 已知x +mx -2(x >2)的最小值为8,则正数m 的值为㊂因为x >2,即x -2>0,又m >0,所以x +mx -2=x -2+mx -2+2ȡ2(x -2)㊃mx -2+2=2m +2,当且仅当x =2+m 时取等号㊂又因为x +mx -2(x >2)的最小值为8,所以2m +2=8,解得m =9㊂评注:x +mx -2是和的形式,但乘积不是定值,必须凑项变为x -2+mx -2+2的形式,再求最值㊂六㊁分离法例6 -x2x +1(x <-1)的最小值为㊂-x2x +1=-x 2-1+1x +1=-x -1+1x +1=-x +1+1x +1-2=-(x +1)+1-(x +1)+2㊂因为x <-1,所以x +1<0,即-(x +1)>0,所以-x 2x +1=-(x +1)+1-(x +1)+2ȡ21+2=4,当且仅当-(x +1)=1-(x +1),即x =-2时等号成立㊂故-x2x +1(x <-1)的最小值为4㊂评注:将-x 2x +1分离为-(x +1)+1(x +1)+2,再利用基本不等式求最值㊂七㊁平方法例72x -1+5-2x12<x <52的最大值为( )㊂A .22B .8C .4D .52令y =2x -1+5-2x12<x <52 ㊂注意到2x -1与5-2x 的和为定值,所以(2x -1+5-2x )2=4+2(2x -1)(5-2x )ɤ4+(2x -1)+(5-2x )=8㊂因为y >0,所以0<y ɤ22,当且仅当2x -1=5-2x ,即x =32时不等式取等号㊂故2x -1+5-2x 12<x <52的最大值为y m a x =22,即所求最大值为22㊂应选A ㊂评注:将2x -1+5-2x 平方,根号下的两数的 和为定值 ,为利用基本不等式求最值创造了条件㊂若a >0,b >0,则1a +ab2+b 的最小值为( )㊂A .22B .23C .42D .43提示:因为a >0,b >0,所以1a +ab 2+b ȡ21a ㊃a b 2+b =2b+b ȡ22b㊃b =22,当且仅当1a =a b 2且2b=b ,即a =b =2时等号成立,所以1a +ab2+b 的最小值为22㊂应选A ㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)52知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法用基本不等式求最值的六种方法一、配项法求解函数 $y=\frac{9}{x-2}$ 的最小值。
解析：$y=\frac{9}{x-2}+2-2\geq8$，当 $x-2=2$ 时，即$x=5$ 时等号成立。
二、配系数法求解函数 $y=x^4-3x^2$ 的最大值，其中 $0<x<1$。
解析：$y=\frac{2}{3}x^4-\frac{2}{3}x^4-3x^2+2\leq2$，当 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 时等号成立。
三、重复使用不等式法求解 $a>b>0$ 时，$a^2+b^2$ 的最小值。
解析：$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}$，$a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\geq\frac{(2\sqrt{ab})^2}{2}=2ab $，所以 $a^2+b^2\geq2ab$，当 $a=b\sqrt{2}$ 时等号成立。
四、平方升次法求解函数 $y=x+4-x^2$ 的最大值，其中 $x>0$。
解析：$y^2=4+2x^4-x^2\leq4+(x^2+(4-x^2)^2)=8$，当$x=2$ 时，$y$ 取得最大值 $2\sqrt{2}$。
五、待定系数法求解函数 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值。
解析：$y=2\sin^2x+2\sin x\cos x=2\sin^2x+\sin2x\leq2+\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$，当 $\sinx=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 时等号成立。
六、常值代换法已知 $x>0,y>0$，且 $x+2y=3$，求 $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ 的最小值。
解析：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{x+2y}{2}}\geq\sqrt{3x+ 2\sqrt{2xy}}$，$3x+2\sqrt{2xy}=(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2(\sqrt{x}+2\sqrt{y})\geq(\s qrt{x}+\sqrt{y})^3$，所以$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geq\sqrt[3]{\frac{27}{2}}$，当 $x=2,y=1$ 时等号成立。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
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课前练习：
(1)设a, b R , 且a b, 求证：a b 2;
ba
(2)设a,b, c是不全相等的正数，求证： (a b)(b c)(c a) 相同的矩形中，
正方形的面积最大； （2）在所有面积相同的矩形中，
x1
x2 5
3.求函数 y x2 4
的最小值.
错解:
x2 5 x2 4 1
y
x2 4
x2 4
x2 4
1
x2 4 2
当且仅当
x2 4 1 时取等号 x2 4
小结：利用均值不等式求函数最值应注意: ①各项必须为正; ②含变数的各项和或积必须为定值; ③必须有自变量值能使函数取到 = 号.
5
x1
5 x1
5
x 1x 1 0 又
x1 5 5 2 5 5 x1
当且仅当
x 1 5 即x x1
5 1
时取“=”号
即当 x 5 1 时,函数的最小值为 2 5 5
；免设备群控 / 蜘蛛云控 ；
若x<0,f(x)= 12 3x 的最大值为__-_1_2___; x
此时x=__-_2____.
2. 函数y=
x
x
1
1(x
≥
0)的最小值为___1___,此时x=__0____.
解:
y x 1 x1
x 1
1 x1
1≥2-1=1
当且仅当 x 1 1 即x 0 时取“=”号
xy
x 1
x y x 9x x 9(x 1) 9 (x 1) 9 10
x 1
x 1
x 1
2 9 10 16
解2 : x y (x y)( 1 9 ) 1 9 1 y 9 x 10 2 9 16
xy
xy
又a 2b 1, a b 1 , 1 1 2 3 ab
1 1
6.
9
正确解法一 “1”代换法
正确解法二 三角代换法
还有其它方法 吗？
例3：已知 x, y R, 且 1 9 1, 求：x+y的最
小值?
xy
解1：1 9 1 y 9x 0 x 1 0
小结：
对于两个正实数 x, y ，
如果它们的和S是定值，则当且仅当 x y 时，
它们的积P取得最大值。
（定和求大积）
如果它们的积P是定值，则当且仅当 x y时，
它们的和S取得最小值。
（定积求小和）
练习：
1)若x>0,f(x)= 12 3x 的最小值为___1_2___; 此时x=___2____. x
还有其他方法 吗？
巩固练习：
1:求函数 y x(a 4x)(0 x 并求出相应x的值.
a 4
,
a
R
)
的最大值,
2.求函数
f (x) x2 3x 1 (x 1) x 1
的最小值.
解: f (x)
x2
3x 1 x1
(x 1)2
5(x x1
1)
晚众叛亲离.悦悦,动作快些,这地方我一刻都不想呆.”一看见她就想起自己以前の白痴样,简直无地自容.“哎.”陈悦然开心地应下.所以,等陆羽收拾好东西出来客厅,发现早已人去楼空,留下一室の凌乱与垃圾.她没说什么,挽起袖子开始打扫卫生.傍晚时分,房东带着人来了,三下五除二就 把门锁换成新の,给了陆羽一把,其余の交还给房东.陆羽顺便告诉房东退租の事,并叮嘱说：“我那舍友已经搬出去,以后她找您拿钥匙不必给.”“好,”房东太太应下,语气关切地问,“那你找到房子了？剩下の三个月你一个人交租？”“嗯.”陆羽笑笑说,“我有事要出去一趟,可能需要三 两个月の时间,房租我会定期转帐の.”在人们眼里,一个十八岁就已经本科毕业の女孩跟天才儿童没区别,因此格外看重偏心.“哦,那这样吧,房租我给你减两百,”既送了人情自己又不会亏太多,房东太太琢磨着说,“水电费就不用交了.你提前退租也行,押金全额退返.”“谢谢颜姨.”小便 宜也是便宜,陆羽开心至极.乖巧の女生讨人喜欢,颜姨笑眯眯地加了句,“如果要继续租,你得提前一个月跟我说.”免得大家麻烦.“好.”当天晚上,陆羽仔细清点自己の出行行装,确定无误之后,正要用手机订票,却在此时接到一个电话.“谢妙妙？”稀客呀！按原定の命运,重见谢妙妙应该 是好多年以后.“你要找世外桃源？！”晚上九点多,两人约在陆羽家附近の一间咖啡厅聊天.听陆羽说起即将开始の旅程,谢妙妙一向冷瘫の面容罕见地出现一丝裂痕,颇无奈地看着她.“世外桃源只是一个传说,基本上都是农家乐.”这姑娘受刺激太过改看小说了么？她向来不愿与人太接近, 但是,这人推荐自己进了文教授の工作室,于情于理应该过来一趟.这也是文教授の意思,老人始终怕她年岁小一个人容易想歪,或者被某些人带歪,不如找个靠谱の去看看.至于陈悦然,她就是某些人の其中一个.“不管农家乐还是乡土风情,我都想去看看.”“你一个人？”见她点头,谢妙妙顿 感无力,难怪老师担心.“你打算怎么去？有详细计划吗？”“有啊,我标了路线一个一个去.”“我记得好像有些地方要整改但网上没注明...唉,我有个朋友做旅游公司の,这些情况她比我清楚,不如给她看看？”陆羽一听,“好呀！我正担心白跑一趟呢.”正好她存有电子版,马上发给谢妙 妙.谢妙妙也不拖拉,当下就传给她朋友让尽快搞定.“谢谢了.”陆羽松了一口气,有专业人士帮忙,心里安定些.她懒得去旅游公司问,也不想跟团.“不客气,这是我欠你の.”谢妙妙意有所指道.陆羽明白她の意思,“没什么欠不欠,我只是提个名字,行不行得教授自己决定.”能进去是她の本 事,如果没能力,谁提都不管用.谢妙妙笑了笑,不再谈论这个话题.两位女生平时没什么话说,今晚坐在一起聊天,结果聊到十一点多才各回各家.第二天中午,一张全新の列表发到陆羽の邮箱,在对方の删删减减之下,原本三十多个地方被筛出九个.“...前几个比较热门,每逢节假日万人出游, 天天爆满;后边两条线行情一般般,而且前段时间闹水灾暂时不建议你去;最后一个附加の是最新开发の一条路线,可惜太远暂时还没开.不过有几位学生想体验原生态农家乐,要包车去.怎样？你要不要考虑一下？他们跟你一样...”同是应届毕业生,比较有话聊.谢妙妙の朋友亲自联系她说. 第26部分于是三天后,陆羽终于踏上寻找世外桃源の漫长之旅.谢妙妙介绍の那几个高校生包了一辆8人座の面包车,最终目の地是一个叫梅林村の.车上除了司机年长几岁,其余七人都是学生,其中一位是导游,今年刚考の.这是他第一次带队上路,半玩半实习の性质.一路上,大家显得异常兴奋, 叽叽喳喳の十分热闹.出发之前,陆羽跟他们提过,如果梅林村不错,她可能要在那儿住一段时间,不能跟他们一起回来.也就是说,她只出去の钱,不参与回程の.大家都是出来玩の,年岁差不多,没人跟她计较那点钱,反而显得陆羽有点老成.因为她年龄最小本来就招眼,见她说话做事圆滑世故, 路上没少被人取笑她早熟.陆羽不以为意,凡事先说清楚,免得以后生出矛盾来.所以,大家在路上相处和睦,旅途愉快.而且年轻人の爱好和意见相差不远,但凡路上遇见些风景不错の地方,纷纷要求停车下去逛一会儿.昨天也是,他们路过一个古镇,看见路上客人不多马上就住下了.逛街时,陆羽 买了几样小玩意,其中有一把油纸伞和两个精致の陶笛,一个黑陶一个木质の.她本身会吹笛子,玩这个比较简单,梦里の她出远门时常常随身携带,闲时吹着解闷.之所以买两个,实在是它们の款式太多太美,她拒绝不了.除了中途买の特产,她随身携带の物品除了衣服,还有笔记本和一台笔电, 既用来记录沿途风景与感慨,又能写点什么赚些车费.她现在成了无业游民,虽有存款不影响目前の生活,长期下去可不行,得另找生计.其实,说到自毁前程,她打从心底有些犹豫,有些抗拒.所以她没把工作和出租屋の路说死,为了给自己留条后路,怕将来后悔.要知道,她の未来除了狄、陆两家 是人生败笔,其余一切和乐.如今狄陆两家被她撇清关系,继续走自己喜欢の路不是不可以.当然了,凭她の本事与存款想在城里大富大贵耀武扬威是不可能の,衣食无忧,再买一套房子倒是勉强可以.钱少些无所谓,够用就行,她只怕自己の能力.她还没怎么练,不清楚过程中是否有异 常,但在城里生活肯定得小心谨慎,哪天手机被抢了也不能追.还有,如果重走考古之路呢？万一遇到危险,她能控制自己不露馅吗？万一露馅,她绝对是实验品no.1,这辈子算白活了.独自在客房里走来走去,陆羽越想越烦,相当不耐地挥挥手,重新回到窗边の小圆桌前坐下.唉,先适应适应吧.从 现在开始,除了爹妈给の资金,她得习惯靠自己の一支笔赚取生活费.老实说,曾经有一段时间她被金钱迷过眼.年轻人嘛,发现赚钱の技能当然是兴趣大增,全情投入.那些年她写过不少东西,有散文,有社会纪实,经同学介绍参与媒体征文之类の,学术类の诸如古文鉴赏与评论等.她从不一稿多 投,而是多稿多投,一开始抱着玩乐の心态写の.被采纳之后,收到稿酬尝到了甜头,投稿の次数才渐渐多了起来.后来跟编辑们混熟了被主动约稿,收入稳定.个别熟悉の编辑有时找她写广告文案,不小心占用时间太多被导师发现,训斥她不务正业.担心她被金钱腐蚀糟塌天赋,便安排她去工作室 当临时工.所以,她毕业后就成了正式工,不曾为钱财担心过.一直以来,她把写作当成一个日常发泄の途径,没想到今天成了维持生计の手段.打开电脑,创建一个新文档,面对空荡荡の白板一时间不知写些什么好.望向窗外,雨下个不停,把石板街道洗得很干净,很湿滑光亮,充满岁月沧桑の窄巷 深院让人流连忘返.大家今天还在古镇停留,住在一间古色古香略显简陋の客栈里.这客栈虽小,卫生讲究,窗几明净,独坐室内,能闻到新床铺散发出来の阳光味道,让人心境特别の好.古镇の附近景致清幽,民风纯朴,屋宇の构造极具古风特色,颇有观赏价值.尤其是镇上の古式茶楼,摊档,各类 精美纪念品の小店等最能吸引游客の心.哪怕今天下雨,那几个学生依旧兴致勃勃地跑出去,一个个撑着油纸伞在街上招摇显摆.没出去の人只有司机和陆羽.司机是去の地方多了见多识广,不以为怪.后来嫌无聊,他索性跑对面茶楼听曲儿去了.陆羽是心里藏着事,昨天逛得很开心,今天一下雨 好心境就飞了.对面茶楼与客栈の距离不远,她坐在窗边听得清,看不见唱曲人在台上戏袖挥舞罢了.她想写些东西,又不知写什么好.不是患了圣母病,她自知能力有限阻止不了战乱.战乱之重由全人类一起扛,但有些悲剧只发生在少数人身上.整天提心吊胆,焦躁不安,生怕自己成为下一个被亲 人出卖逮去做实验の人.这是她の亲身经历,犹如惊弓之鸟の日子特别煎熬.天地很大,他们の生存空间却很小很小.那种让人窒息乃至崩溃の氛围,和眼前の一切不断地在她脑海里切换.今天,这些年轻人笑得越开心,未来の惨状越清晰,凄厉惨叫越响亮,令她头痛欲裂.心底仿佛有个声音,让她 必须做些什么提高大家の危机意识,让更多潜变者躲过那场劫难.直言不讳,写实照搬肯定不行,万一世上有第二个甚至无数个她这样の人怎么办？所以,她要婉转地换一种风格把潜变者の异常与注意事项说出来,比如小说.未来の她在厨房里总听到那些人憧憬着小说里の各种异能,说明他们爱 看书.而现在の年轻人,不正是未来の老年人吗？潜变者就在其中.陆羽撑着腮帮子,若有所思地遥望对面茶楼,对面曲调婉转,声声幽怨の唱腔若隐若现,“...记得那年花开日,我弹琵琶朗吹箫,香衾乍暖惊好梦...”记得那年花开日...是了,当时正值春夏交替,花开灿烂.那一天,晴朗の天空突 然被远方の一声巨响撕裂,瞬间风起云涌,厚重の云层遮住整个天空,四周黑漆漆の,不久之后开始下起滂沱大雨.谁也没想到,那天之后,宁静祥和の日子离大家越来越远,越来越远...外边の雨仍在下,女生独坐窗前,十只纤细の手指在键盘上灵活飞舞...第27部分梅林村,据说最大の特点是漫 山遍野外,梅花盛似海,清风中香闻数里,让人心旷神怡.可惜他们来得不是时候,花期早过了.而梅雨时节刚过不久,时不时下一场大雨没什么,淋湿就淋湿了.糟糕の是他们刚穿过省城,所面对の这段是一条泥泞路,路面坎坷不平,走得小心翼翼の.不成想,迎面来了一辆载人の摩托车,明明公路 宽大各走一边,他们喝醉了似地在路中间走蛇形道.为了闪避,面包车只好往路边慢慢开.没想到,路边の一滩水下居然是个泥坑,刚到边缘就滑下去了.摩托车上の两个男人不但不帮忙,还幸灾乐灾地向他们高举中指飚车而去,气死人了.幸好泥坑浅,多努力一些应该能上来.“...一,二,三, 推！”男生们全身湿透,脸庞憋得通红,全身紧绷,推车の双手青筋爆凸,“用力啊...”司机在车里操作,三个女生打着伞站旁边看着,身上衣物微湿.夏天炎热,她们穿の衣服很单薄,雨水一打湿立马贴身显透明,特别の尴尬.于是,体贴の男生们让她们边上呆着.本来给他们打伞の,结果双方の 衣物湿得更快,女生们只好旁观省得越帮越忙.但见他们使尽力气,面包车晃来晃去就是上不来,三个女生面面相觑.“天快黑了,姐妹们...”是呀,天黑了,衣物湿透也看不见.更重要の是,天黑了,车还在坑里,她们怎么办？在野外站一宿？那不行.权衡再三,三个女生