重庆市南开中学2015_2016学年高一数学下学期期末测试试题(无答案)
南开中学高2015级12-13学年(上)期末试题——数学
重庆市南开中学高2015级高一（上）期末考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分，每小题只有一个选项符合要求） 1、已知集合{}2430A x x x =-+<，集合02x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ）A 、()0,3B 、()1,2C 、()2,3D 、()0,22、函数sin(2)3y x π=+的一个对称中心是（ ）A 、(,0)6π-B 、(,0)6πC 、(,0)4πD 、2(,0)3π3、函数()sin()4f x x π=+的最小正周期是（ ）A 、4πB 、2πC 、πD 、2π4、函数()lg 10f x x x =+-的零点所在的区间是（ ） A 、()0,1B 、()1,2C 、()8,9D 、()9,105、设23sin 3,log 6,log sin 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A 、a b c >>B 、b c a >>C 、b a c >>D 。
c b a >>6、已知tan 3θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=（ ） A 、1B 、2C 、3D 、47、已知函数()()sin (,0,0,)2f x A x x R A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A 、()()2sin 6f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭B 、()()2sin 26f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C 、()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭D 、()()2sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭8、已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()12f x x =，则()7f =（ ）A 、0B 、1C 、2-D9、函数2cos 2sin y x a x =+在区间[,]6x π-上的最大值为2，则实数a 的值为（ ）A 、1B 、54-C 、1或54-D 、1-10、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x <时，函数()f x 单调递增，()10f -=，设()221g x x m x m =-⋅--，集合[](){}1,2,0A m x g x =∈<任意的恒成立，集合[]()(){}1,2,0B m x f g x =∈<任意的恒成立，则A B =（ ）A 、{}1m m >B 、{}01m m <<C 、{}3m m >D 、{}0m m <第II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡II 上相应位置（只填结果，不写过程）。
重庆南开中学高一数学下期末综合复习试题
重庆南开中学高一数学下期末综合复习试题部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑重庆南开中学高一下期末数学试卷<考试时间：120分钟满分150分）一、选择题：<本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）b5E2RGbCAP1. 下列说法中正确的是<）.(A>若∥，则与方向相同(B>若||＜||，则＜(C>起点不同，但方向相同且模相等的两个向量相等(D>所有的单位向量都相等2. 已知sin+cos=,且，则tan=( >.(A> (B> (C> (D>3. 若为平行四边形的中心，，，则等于<）.(A> (B> (C> (D>4. =<）.(A> (B>(C> (D>5. 已知的周期为1，最大值与最小值的差是3，且函数的图象过点，则函数表达式为<）.<A）<B）<C）<D）6. 把函数的图象经过变化而得到的图象，这个变化是( >.<A）向左平移个单位<B）向右平移个单位<C）向左平移个单位<D）向右平移个单位7. (>=( >.(A>cos (B>-cos (C> sin (D>cos8. 若，且，则可以是<）.<A）|sin| <B）cos<C）sin2<D）sin||9. 已知|cos|=cos,|tan|=-tan,则的取值范围是( >.<A）<B）<C）<D）10. 下列各函数中，最小正周期是的函数是<）.(A> (B> (C> (D>11、△ABC中,||=5,||=8,·=20,则||为< ）p1EanqFDPwA. 6B. 7C. 8D. 912．设，已知两个向量，，则向量长度的最大值是< ）DXDiTa9E3dA. B. C.D.二、填空题<本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．方程x2－2ax＋a＋=0，有二实根α、β，则<α－1）2＋<β－1）2的最小值为。
2015-2016年重庆一中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）设＝（k+2，k），＝（3，1），若⊥，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a14＝10，则S18等于（）A．20B．60C．90D．1004．（5分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣16．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，q＝2，则T n＝++…+的结果可化为（）A．1﹣B．1﹣C．（1﹣）D．（1﹣）7．（5分）“m＝1”是“直线mx+y﹣2＝0与直线x+my+1﹣m＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15B．105C．245D．9459．（5分）现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若•＝1，则AB的长为（）A．B．4C．5D．611．（5分）已知函数f（x）＝，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a＝0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4]B．（﹣∞，0]∪[4，+∞）C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）已知集合M＝{（x，y）|2x+y﹣4＝0}，N＝{（x，y）|x2+y2+2mx+2ny＝0}，若M ∩N≠∅，则m2+n2的最小值（）A．B．C．（6﹣2）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a＝3，B＝，cos A＝，则b＝．15．（5分）已知点P，Q为圆C：x2+y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为．16．（5分）点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式x2（y+1）+y2（x+2）＞k（x+2）（y+1）对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的面积是3，角A，B．C所对边长分别为a，b，c，cos A＝．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若b＝2，求a的值．18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l过定点A（1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，求此时直线l的方程．19．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（其中n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，其前n项和是T n，求证：T n＜．21．（12分）已知动点P（x，y）满足方程xy＝1（x＞0）．（Ⅰ）求动点P到直线l：x+2y﹣＝0距离的最小值；（Ⅱ）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为2，求满足条件的实数a的取值．22．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a与b的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝，设{a n}为正项数列，且当n≥2时，[g（a n）•g（a n﹣1）+]•a n2＝q，（其中q≥2016），{a n}的前n项和为S n，b n＝，若b n≥2017n恒成立，求q的最小值．2015-2016学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．{0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝（﹣2，3），B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，故选：D．2．（5分）设＝（k+2，k），＝（3，1），若⊥，则实数k的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵设＝（k+2，k），＝（3，1），⊥，∴•＝3（k+2）+k＝0，解得k＝﹣，故选：A．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a14＝10，则S18等于（）A．20B．60C．90D．100【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a14＝10，∴S18＝（a1+a18）＝（a5+a14）＝9×10＝90．故选：C．4．（5分）圆（x+2）2+y2＝4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2＝4的圆心C1（﹣2，0），半径r＝2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9的圆心C2（2，1），半径R＝3，两圆的圆心距d＝＝，R+r＝5，R﹣r＝1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为（）A．12B．11C．3D．﹣1【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得C（3，2）目标函数z＝3x+y可看做斜率为﹣3的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大＝3×3+2＝11故选：B．6．（5分）等比数列{a n}中，a1＝1，q＝2，则T n＝++…+的结果可化为（）A．1﹣B．1﹣C．（1﹣）D．（1﹣）【解答】解：等比数列{a n}中，∵a1＝1，q＝2，∴a n a n+1＝22n﹣1，∴T n＝++…+＝＝＝．故选：C．7．（5分）“m＝1”是“直线mx+y﹣2＝0与直线x+my+1﹣m＝0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：m＝1时，直线mx+y﹣2＝0与直线x+my+1﹣m＝0相互平行，是充分条件，若直线mx+y+2＝0与直线x+my+1﹣m＝0相互平行，则，解得：m＝1，是必要条件，故选：C．8．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．15B．105C．245D．945【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝1×3×5×…×（2i+1）的值，∵跳出循环的i值为4，∴输出S＝1×3×5×7＝105．故选：B．9．（5分）现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：列表得：所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P＝＝．故选：D．10．（5分）在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若•＝1，则AB的长为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：如图所示，由题意可得，•＝•（+）＝•+•＝2﹣，＝22﹣cos60°＝1，||＝6，即AB的长为6，故选：D．11．（5分）已知函数f（x）＝，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a＝0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4]B．（﹣∞，0]∪[4，+∞）C．[4，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：函数f（x）＝，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）＝﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x＝m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a＝0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y＝f（x）与y＝a的图象如图：x1+x2＝0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．12．（5分）已知集合M＝{（x，y）|2x+y﹣4＝0}，N＝{（x，y）|x2+y2+2mx+2ny＝0}，若M ∩N≠∅，则m2+n2的最小值（）A．B．C．（6﹣2）D．【解答】解：由题意，可知集合M＝{（x，y）|2x+y﹣4＝0}，N＝{（x，y）|x2+y2+2mx+2ny ＝0}，且M∩N≠∅，∴表示直线2x+y﹣4＝0与圆x2+y2+2mx+2ny＝0有交点，即圆心（﹣m，﹣n）到直线2x+y ﹣4＝0的距离不大于半径，∴d＝≤，设m2+n2＝r2，m＝r cosα，n＝r sinα，∴﹣r≤2r cosα+r sinα+4≤r，∴r≥∴r≥，∴r2≥，∴m2+n2的最小值为．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取15．【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高一在总体中所占的比例是，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高一抽取×50＝15，故答案为：15．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a＝3，B＝，cos A＝，则b＝2．【解答】解：∵a＝3，B＝，cos A＝，∴sin A＝＝，∴由正弦定理可得：b＝＝＝2．故答案为：2．15．（5分）已知点P，Q为圆C：x2+y2＝25上的任意两点，且|PQ|＜6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为．【解答】解：当|PQ|＝6时，圆心到线段PQ的距离d＝＝4．此时M位于半径是4的圆上，∴|PQ|＜6，∴PQ中点组成的区域为M为半径为4的圆与半径为5的圆组成的圆环，即16＜x2+y2＜25，PQ中点组成的区域为M如图所示，那么在C内部任取一点落在M内的概率为＝，故答案为：．16．（5分）点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式x2（y+1）+y2（x+2）＞k（x+2）（y+1）对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围．【解答】解：点C是线段AB上任意一点，O是直线AB外一点，∴x+y＝1，x，y∈[0，1]，将y＝1﹣x代入不等式x2（y+1）+y2（x+2）＞k（x+2）（y+1）中，可得2x2﹣3x+2＞k（4﹣x2），即k＜，令f（x）＝，x∈[0，1]，对f（x）求导，得f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：＜x＜1，f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在[0，]上递减，在[，1]上递增，当x＝时，f（x）有最小值，最小值为，所以当k＜时，不等式恒成立，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的面积是3，角A，B．C所对边长分别为a，b，c，cos A＝．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若b＝2，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由，得．又bc sin A＝3，，∴bc＝10．∴．（Ⅱ）∵b＝2，可得：c＝5，∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝13，∴解得：．18．（12分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，直线l过定点A（1，0）．（1）若l与圆C相切，求l的方程；（2）若l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|＝2，求此时直线l的方程．【解答】解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意．若直线l斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即：＝2，解之得k＝，此时直线的方程为3x﹣4y﹣3＝0．综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x﹣4y﹣3＝0．（2）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k＝0，因为|PQ|＝2＝2＝2，求得弦心距d＝，即＝，求得k＝1或k＝7，所求直线l方程为x﹣y﹣1＝0或7x﹣y﹣7＝0．19．（12分）某校从高二年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高二年级共有学生640人，试估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【解答】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，∴10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）＝1．解得a＝0.03．（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于6（0分）的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85．由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于6（0分）的人数约为640×0.85＝544人．（3）解：成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2人，分别记为A，B．成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4人，分别记为C，D，E，F．（7分）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，则所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15种．（9分）如果两名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10．如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M，则事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7种．所以所求概率为P（M）＝．20．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n﹣a n﹣1＝n（其中n≥2且n∈N）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，其前n项和是T n，求证：T n＜．【解答】（Ⅰ）解：a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝．（Ⅱ）证明：，其前n项和T n＝++…+，T n＝++…++，∴T n＝+++…+﹣，＝+﹣＝﹣，∴T n＝﹣＜．21．（12分）已知动点P（x，y）满足方程xy＝1（x＞0）．（Ⅰ）求动点P到直线l：x+2y﹣＝0距离的最小值；（Ⅱ）设定点A（a，a），若点P，A之间的最短距离为2，求满足条件的实数a的取值．【解答】解：（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得：，当且仅当时距离取得最小值．（Ⅱ）设点（x＞0），则，设（t≥2），则，，设f（t）＝（t﹣a）2+a2﹣2（t≥2）对称轴为t＝a分两种情况：（1）a≤2时，f（t）在区间[2，+∞）上是单调增函数，故t＝2时，f（t）取最小值∴，∴a2﹣2a﹣3＝0，∴a＝﹣1（a＝3舍）．（2）a＞2时，∵f（t）在区间[2，a]上是单调减，在区间[a，+∞）上是单调增，∴t＝a时，f（t）取最小值，∴，∴（（舍），综上所述，a＝﹣1或．22．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数，且f（1）＝1．（Ⅰ）求实数a与b的值；（Ⅱ）若函数g（x）＝，设{a n}为正项数列，且当n≥2时，[g（a n）•g（a n﹣1）+]•a n2＝q，（其中q≥2016），{a n}的前n项和为S n，b n＝，若b n≥2017n恒成立，求q的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）为奇函数，，得b＝0，又f（1）＝1，得a＝1；（Ⅱ）由，得，且，∴∴，∴．由：（q≥2016），∵b n≥2017n恒成立，即：≥2017n恒成立，当q≥2016时，∵，再由复合函数单调性知，数列为单调递减数列，且n→∞时，，当q≥2017时，中的每一项都大于2017，∴≥2017n恒成立；当q∈[2016，2017）时，数列为单调递减数列，且n→∞时，，而q＜2017，说明数列在有限项后必定小于2017，设，且数列{M n}也为单调递减数列，M1≥0．根据以上分析：数列中必有一项（设为第k项），（其中M k≥0，且M k+1＜0）∴＝2017n+M1+M2+…+M k+M k+1+…+M n（∵{M n}为单调递减数列）≤2017n+kM1+M k+1+…+M n≤2017n+kM1+（n﹣k）M k+1，当n→∞时，kM1+（n﹣k）M k+1＜0，∴，∴q∈[2016，2017）时，不满足条件．综上所得：q min＝2017．。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
重庆市高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
重庆市第一中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试卷（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） （1）已知集合，，则（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）【答案】D 【解析】 试题分析：因,故,选D.考点：集合的运算.（2）设a ＝，b ＝(3,1)，若ab ，则实数k 的值等于（ ）（A ）－32（B ）－53（C ）53（D ）32【答案】A 【解析】 试题分析：因,故,即,也即,选A.考点：向量的乘法运算.（3）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18等于（ ） （A ）20 （B ）60 （C ）90（D ）100 【答案】C考点：等差数列的通项及前项和.（4）圆与圆的位置关系为（）（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离【答案】B【解析】试题分析：因两圆心距,而,故两圆的位置关系相交,选B.考点：两圆的位置关系.（5）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）（A）12 （B）11 （C）3 （D）－1【答案】BP(3,2)y=-3x+z-1x-y-1=0x+y-1=0y=2211Oyx考点：线性规划的知识及运用.（6）已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1的结果可化为（ ）（A ）1－14n （B ）1－12n （C ）23(1－14n )（D ）23(1－12n )【答案】C 【解析】 试题分析：因成等比数列,且公比为,故,选C.考点：等比数列的通项及前项和的综合运用.（7）“m =1”是“直线与直线平行”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】考点：充分必要条件.（8）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）（A）15 （B）105（C）245 （D）945【答案】B【解析】试题分析：依据算法流程图中提供的信息可以看出当时,就结束算法,所以,选B.考点：算法流程图的识读.（9）现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】D 【解析】考点：古典概型的计算公式及运用.（10）在平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，若AD →BE →＝1，则AB 的长为（ ）（A ） 6 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A 【解析】 试题分析：因,即,也即,故选A.考点：向量的几何运算.【易错点晴】本题设置的目的是综合考查向量的几何运算形式和向量数量积公式.求解时充分借助题设条件,运用向量的三角形法则,应用向量的数量积公式建立关于所求未知量的方程.解答本题的关键是如何运用已知向量合理表示,也是解答本题的难点.求解时容易出错的地方是不能合理地运用向量的相等和等价代换,从而陷入问题求解的困境.（11）（原创）已知函数，且对于任意实数关于的方程都有四个不相等的实根，则的取值范围是（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】C 【解析】x 4x 3x 2x 1BA x=m-1y=a11Oyx考点：函数方程的关系及数形结合的数学思想的综合运用.【易错点晴】本题综合考察了函数的零点和函数的图象和性质等多个知识点,求解时充分借助题设条件,准确地画出函数的图象,依据题设和图像的有效信息,先算出抛物线的顶点到轴的距离,即,由于,所以必须满足,解之得.也就是确定了参数的取值范围.又由于四个零点满足,所以,因此问题转化为求参数的取值范围.（12）（原创）已知集合，，若，则的最小值（ ）（A ）45 （B ）34（C ）(6－25)（D ）54【答案】A 【解析】考点：等价转化的数学思想和数形结合的思想.【易错点晴】本题以两个点集合的交集非空等有关知识为背景,设置了一道求的最值为目的的综合问题.解答时先将问题进行等价转化和化归,即转化为直线与圆有交点的前提下,求的最小值的问题.如果直接求解相当困难,在这里运用数形结合的数学思想进行求解.先考虑坐标原点到定直线的距离是定值.注意到动圆经过坐标原点,所以移动动圆,当圆心在的中点时,既满足题设条件又能取到最小值,使得问题简捷巧妙获解. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） （13）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取 名学生． 【答案】【解析】试题分析：应从高一年级学生中抽取名学生,故应填.考点：分层抽样及运用．（14）（原创）在中，角所对边长分别为，若，则b=___________．【答案】考点：正弦定理及运用．（15）已知点P，Q为圆C：x2＋y2＝25上的任意两点，且|PQ|<6，若PQ中点组成的区域为M，在圆C内任取一点，则该点落在区域M上的概率为__________ ．【答案】【解析】试题分析：设的中点为,由于,则由题设,即点在以为圆心,半径为的圆外,已知圆内的区域,所以由几何概型的概率公式可得其概率为,故应填.考点：几何概型及运用．【易错点晴】本题是一道几何概型的计算问题.解答时,充分借助题设条件,巧妙地运用了这样一个结论:在平面上到一个定点距离等于定值的点的轨迹是以这个定点为圆心,定值为半径的圆.求解的过程中,依据弦长越小,则圆心距则越大这一事实很容易获得了.其实是这样的:因,然后算得,所以由几何概型的概率的计算公式可得其概率.（16）（原创）点C是线段．．AB上任意一点，O是直线AB外一点，，不等式对满足条件的x，y恒成立，则实数k的取值范围＿＿＿＿．【答案】【解析】考点：不等式恒成立的条件及判别式求最值和值域．【易错点晴】本题在解答时应用了一个平面向量中的一个重要结论:若点是线段上的一点,是直线外一点且,则.证明如下:由共线定理可得,即,由此可得,即,也即,所以.解答本题时,先将参数分离出来,再构造函数求其最小值.求最小值时运用的是判别式法,而且上述过程中的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）已知的面积是3，角所对边长分别为，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】考点：正弦定理余弦定理的综合运用．（18）（本小题满分12分）已知圆：，直线l过定点．（Ⅰ）若l与圆相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与圆相交于、两点，且，求直线l的方程．【答案】(Ⅰ)或；(Ⅱ)或.【解析】试题分析：(Ⅰ)对斜率的存在和不存在进行分类再运用点到直线的距离公式建立方程求解；(Ⅱ)借助题设条件运用点到直线的距离公式建立方程求解.试题解析：（Ⅰ）当斜率不存在时，方程x=1满足条件；当L1斜率存在时，设其方程是y=k(x-1),则，解得，所以所求方程是x=1和3x-4y-3=0;考点：直线与圆的位置关系及综合运用．【易错点晴】本题考查和检测是直线与圆的位置关系的基础知识和基本方法.求解时充分借助题设条件,运用了直线与圆相切的条件和直线与圆相交所截得的弦长的条件求出满足题设条件的直线的方程.需要强调的是:本题在设置时,特别注意到直线的点斜式的运用的条件问题,当直线的斜率存在时,可以运用直线的点斜式方程；若直线的斜率不存在,则不能运用直线的点斜式方程,但直线的方程还是存在的,即是这是许多学生容易忽视的地方.（19）（本小题满分12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40,50)，50,60)，…，90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（Ⅱ）若从数学成绩在40,50)与90,100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)先求频率再依据频率频数的关系求解；(Ⅱ)借助题设条件运用列举法和古典概型公式求解.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544.（Ⅱ）成绩在40,50)分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在90,100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在40,50)分数段的两名同学为A1，A2，在90,100]分数段内的同学为B1， B2，B3，B4.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种．如果2名学生的数学成绩都在40,50)分数段内或都在90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在40,50)分数段内，另一个成绩在90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的取法有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)共7种取法，所以所求概率为P ＝715.考点：频率的性质和古典概型公式的综合运用． （20）（本小题满分12分） 已知数列{a n }满足（其中）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设，其前n 项和是T n ，求证：T n <79．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】∴T n －T n ＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－，∴T n ＝－<.考点：等差数列和等比数列的知识的综合运用．（21）（原创）（本小题满分12分）已知动点满足方程．（Ⅰ）求动点P到直线距离的最小值；（Ⅱ）设定点，若点之间的最短距离为,求满足条件的实数的取值．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)或.【解析】试题分析：（Ⅱ）设点(),则设(),则,设()对称轴为分两种情况:(1)时,在区间上是单调增函数,故时,取最小值∴,∴,∴(舍)(2)>时,∵在区间上是单调减,在区间上是单调增,∴时,取最小值∴,∴(舍)综上所述,或考点：函数的图象和性质或基本不等式的综合运用．（22）（本小题满分12分）已知函数为奇函数，且．（Ⅰ）求实数a与b的值；（Ⅱ）若函数，设为正项数列，且当时，，（其中），的前项和为，，若恒成立，求的最小值．【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ).【解析】由：，恒成立，即：恒成立，当时，，再由复合函数单调性知，数列为单调递减数列，且时，，当时，中的每一项都大于，∴恒成立；当时，数列为单调递减数列，且时，而，说明数列在有限项后必定小于，设，且数列也为单调递减数列，。
重庆南开中学2015—2016学年度(下)初2017级期末考试数学试卷
重庆南开中学2015—2016学年度(下)初2017级期末考试数 学 试 题(满分l50分 考试时间120分钟)一、选择题：(本大题共l2个小题，每小题4分，共48分)在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ， C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷．．．中对应的表格内． 1．实数-3，3，0，2三中最大的数是(▲)．A ．-3B ．3C ．0D ．22．下列图形中，是轴对称图形的是(▲)．3．把多项式a a 92-分解因式，结果正确的是(▲)．A ．()9-a aB ．()()33-+a a aC ．()()33-+a aD ．()932--a 4．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，其主视图是(▲)．5．函数21+=x y 中自变量x 的取值范围是(▲)． A ．x ≠-2 B ．x ≠2 C ．x>-2 D ．X<-26．如果两个相似三角形相似比是l ：4，那么它们的对应角平分线之比是(▲)．A ．1：4B ．1：8C ．1：16D ．1：27．若关于x 的一元二次方程062=++bx ax 的一个根为x=-2，则代数式62+-b a 值为(▲)．A ．6B ．3C ．0D ．-38．一次函数()0≠+=k k kx y 和反比例函数()0≠=k xk y 在同一直角坐标系中的图象大致是(▲)9．2016特步欢乐跑·中国(重庆站)10公里锦标赛于5月8日上午在重庆市巴南区巴滨路圆满举行．若 专业队员甲的速度是业余队员乙的速度的2.5倍，比赛开始后甲先出发5分钟，到达终点50分钟后乙才 到．若设乙的速度为x 千米／小时，则根据题意列得方程为(▲)A ． 55.2105010-=-x xB ．6055.210605010-=+x xC ．6055.210605010+=+x x D ．6055.210605010-=-x x10．如图，在ABCD 中，G 为CD 延长线_k 一点，连接BG 交AD 、AC 于点E 、F ，1=∆AEF S ，S 3=∆AFB S 则GDE S ∆的值为(▲)．A ．4B ．8C ．16D ．3211．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第①个图案中有7个“●”，第②个图案中有13个“●”，…；则第⑥个图案中“●”的个数为(▲)．12．如图，ABC Rt ∆在平面直角坐标系中，顶点A 在x 轴上，︒=∠90ACB ，CB ∥x 轴，双曲线x k y =经过点 C 及AB 的三等分点D(即BD=2AD)，12=∆BCD S ，则k 的值为(▲)．A ．-3B ．-4C ．-5D ．-6二、填空题(每小题4分，共24分)请将每个小题的答案直接填写在答题卷中相应的横线上．．．．．．．．．．. 13．如果35=-b b a ，那么=b a ▲ ． 14．若P 为AB 的黄金分割点，且AP>PB ，AB=12cm ，则=AP ▲ cm ． 15．关于x 的方程0322=++m x x 有两个相等的实数根，则m 的值为 ▲ ．16．小明用自制的直角三角形纸DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，DF 延长线 交AB 于点G ，使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度DC 为1.8m ，点D 到AB 的 距离等于9m(如图所示)．已知DF=45cm ，EF=30cm ，那么树AB 的高度等于 ▲ m ．17．在不透明的盒子里装有5个分别写有数字O ，1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余全部相同， 现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点P 的横坐标，然后在剩下的小球中随机再取出一 个，将小球上的数字作为点P 的纵坐标，则点P 落在双曲线x y 5=与直线6+-=x y 围成的封闭区域(含边 界)的概率是 ▲ ．18．已知正方形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，21=DE OE ，连AE ，将ADE ∆沿4D 翻折，得'ADE ∆.点F 是AE 的中点，连CF 、DF 、F E '。
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1 3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．115．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．812．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为．16．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年重庆市沙坪坝区南开中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．1．（5分）集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|（x+2）（x﹣1）≤0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1}【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤1，即B＝[﹣2，1]，∵A＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1}，故选：D．2．（5分）若命题p：∃x∈Z，e x＜1，则¬p为（）A．∀x∈Z，e x＜1B．∀x∉Z，e x＜1C．∀x∈Z，e x≥1D．∀x∉Z，e x≥1【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：∃x∈Z，e x＜1，则￢p为：∀x∈Z，e x≥1，故选：C．3．（5分）已知a＞b，c∈R，则下列不等式一定成立的（）A．a|c|≥bc B．|a|c≥bc C．a|c|≥b|c|D．|a|c≥b|c|【解答】解：a＝0，b＝﹣1，c＝﹣1，可得A，B，D不正确；由于|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，故选：C．4．（5分）某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格．后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程＝1.6x+a，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：由题意，＝6，＝84，代入＝1.6x+a，可得84＝9.6+a，∴a＝74.4∴＝1.6x+74.4，＝90时，90＝1.6x+74.4，∴x≈10，故选：C．5．（5分）已知m，n是两条不同的直线，σ，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥βB．若m不垂直于σ，则m不可能垂直于σ内的无数条直线C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥βD．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ【解答】解：A．若σ⊥β，σ∩β＝m，n⊥m，则n⊥σ或n⊥β或者n与平面相交，或n 在平面内，故A错误，B．若m不垂直于σ，则m有可能垂直于σ内的无数条直线，比如人在上楼梯的过程中，人和楼梯的台阶满足垂直关系，故B错误，C．若σ∩β＝m，m∥n，且n⊄σ，n⊄β，则n∥σ且n∥β，正确，D．若σ⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥σ或m⊂σ，故D错误，故选：C．6．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则此多面体的外接球的表面积为（）A．B．14πC．D．7π【解答】解：由已知，可得该几何体是3条侧棱互相垂直的三棱锥，将其扩充为长方体，长宽高分别为1，2，3，其对角线长为＝，多面体的外接球的直径等于长方体的对角线长．∴多面体的外接球的半径为，∴多面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝14π．故选：B．7．（5分）已知一圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是（0，4]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（）A．B．π或C．D．π【解答】解：∵圆锥的轴截面顶角不小于90°时，过顶点的截面面积的最大值为×4×4＝8＞4，∴圆锥的轴截面为锐角三角形，∴过顶点的截面三角形中面积最大为轴截面面积，则×2r×＝4（r为圆锥底面半径），解得r＝2或r＝2（舍去）．∴侧面展开图扇形圆心角θ＝•2π＝•2π＝π．∴该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于π．故选：D．8．（5分）已知“整数对”按如下规律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）…，则第15个整数对是（）A．（5，1）B．（4，2）C．（6，1）D．（5，2）【解答】解：按规律分组：第一组（1，1）；第二组（1，2），（2，1）；第三组（1，3），（2，2），（3，1）；…则前5组共有1+2+3+4+5＝15个有序实数对．第15项应在第5组中，即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）中的第5个，因此第15项为（5，1）．故选：A．9．（5分）已知△ABC为等边三角形，在△ABC内随机取一点P，则△BCP为钝角三角形的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：以BC为直径作圆，与AB，AC分别相交于E，D，则P在图中阴影部分，即使得△BCP为钝角三角形，设等边三角形吧边长为2，则阴影部分的面积为2×+＝，等边三角形的面积为，由几何概型的概率公式得到△BCP为钝角三角形的概率为：；故选：B．10．（5分）若函数f（x）＝x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B．C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）【解答】解：由函数f（x）＝x3+ax2+2x，得f′（x）＝3x2+2ax+2．∵函数f（x）＝x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，∴f′（x）＝0在[0，2]上应有两个不同实数根．∴，解得﹣3.5＜a＜．∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．故选：D．11．（5分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴交点为P，过点F作直线与抛物线C交于点A，B，若AB⊥PB，则|AF|﹣|BF|＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：y2＝4x的焦点为F（1，0），假设k存在，设AB方程为：y＝k（x﹣1），与抛物线y2＝4x，联立得k2（x2﹣2x+1）＝4x，即k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∵∠PBF＝90°，∴（x1﹣1）（x1+1）+y12＝0，∴x12+y12＝1，∴x12+4x1﹣1＝0（x1＞0），∴x1＝﹣2+，∵x1x2＝1，∴x2＝2+，∴|AF|﹣|BF|＝（x2+1）﹣（x1+1）＝4，故选：B．12．（5分）设直线y＝x+3与曲线C：y＝x3+3ax2相交于点A，B，且曲线C在点A，B处的切线斜率都为k，则k＝（）A．1B．3C．6D．9【解答】解：由y＝x3+3ax2，得y′＝3x2+6ax，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12+6ax1，3x22+6ax2，由题意可得3x12+6ax1＝3x22+6ax2＝k，∴x1，x2是方程3x2+6ax﹣k＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2a，x1x2＝﹣，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝＝2a3，而（）3+3a（）2＝（）3+3a（）2＝2a3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝﹣2a，知线段的中点为（﹣a，﹣a+3），∴﹣a+3＝﹣a3+3a•（﹣a）2＝2a3，即为（a﹣1）（2a2+2a+3）＝0，解得a＝1，由y＝x+3代入函数y＝x3+3x2，可得（x﹣1）（x+1）（x+3）＝0，解得x＝﹣3或﹣1或1，即有x1＝﹣3，x2＝1．则k＝﹣3x1x2＝9．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝x3+x2+2ax在区间（）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣，+∞）．【解答】解：f（x）＝x3+x2+2ax，∴f′（x）＝x2+x+2a＝（x﹣）2++2a，若f（x）在区间（）上单调递增，则x2+x+2a≥0在（）恒成立，即2a≥﹣x2﹣x在（）恒成立，令h（x）＝﹣x2﹣x，x∈（），h（x）在（，+∞）递减，∴h（x）≤h（）＝﹣，∴2a≥﹣，a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，若目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的最小值为13，则实数k＝．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由可得A（2，4），由可得B（，），由可得C（，），由目标函数z＝x+ky（其中k＞0）的几何意义：z表示直线在y轴上截距的k倍．可能为直线z＝x+ky经过B，C两点取得最小值13．即有+k＝13或+k＝13，解得k＝5或k＝，若k＝5，则+k＝＜13，不成立舍去；若k＝，则+k＝＞13，成立．故答案为：．15．（5分）若正数x，y满足＝1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+＝1，∴＝1﹣＝，∴（y＞1），∴x﹣1＝（x＞1）．则+＝（y﹣1）+≥2＝2，当且仅当y﹣1＝，即y﹣1＝时取等号．∴的最小值为2．故答案为：216．（5分）若不等式（x+m2）2+（x+am﹣3）2＞对任意的x∈R，m∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是a＜2或a＞5．【解答】解：设P（x，x）Q（﹣m2，3﹣am），P在y＝x直线上．不等式左边的几何意义是PQ两点距离的平方．只要Q到y＝x的距离平方大于，即可．d2＝∴m2+3﹣am＞1或m2+3﹣am＜﹣1分离常数可得：．在m∈[1，3]恒成立用基本不等式解得：故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知c＞0，设命题p：＜1，命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立．（1）若p为真命题，求c的取值范围；（2）若p或q为真命题，p且q是假命题，求c的取值范围．【解答】解：（1）由c＞0，命题p：＜1，则0＜log 2c≤1，解得1＜c≤2．∴c 的取值范围是（1，2]．（2）命题q：当x∈[]，函数g（x）＝cx2﹣x+c＞0恒成立，化为，∴，解得c．∵p或q为真命题，p且q是假命题，∴p与q必然一真一假，∴或，解得或c＞2．综上c的取值范围是：或c＞2．18．（12分）某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛．图（1）和图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分组，得到的频率分布直方图．（1）请估算参加这次知识竞赛的高一年级学生成绩的众数和高二年级学生成绩的平均值；（2）完成下面2×2列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？附：临界值表及参考公式：K2＝，n＝a+b+c+d．【解答】解：（1）高一年级学生竞赛的众数为55（分），…（2分）高二年级学生竞赛平均成绩为（45×15+55×35+65×35+75×15）÷100＝60（分）；…（4分）（2）2×2列联表如下：∴K2＝≈8.333＞7.879，…（11分）∴有99.5%的把握认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”．…（12分）．19．（12分）如图所示，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，DD1＝2，E为DD1的中点，M为AC1的中点，连结C1E，CE，AC，AE，ME，CM．（1）求证：ME⊥平面ACC1；（2）求点C1到平面AEC的距离．【解答】（1）证明：∵EC1＝EC＝EA＝，C1M＝AM∴EM⊥AC1，∵C1M＝CM，EM＝EM，EC1＝EC，∴△C1ME≌△CME，∴∠C1ME＝∠CME＝90°，∴ME⊥CM，∵EM⊥C1M∴ME⊥平面ACC1；（2）解：∵AE＝CE＝AC＝，∴△ACE是正三角形，∴S△ACE＝，∵C1E＝CE＝，CC1＝2，∴∠C1EC＝90°，∴＝1，设点C1到平面AEC的距离为h．∵AD⊥平面C1EC，∴，∴h＝．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的长轴长为2，右焦点为F（c，0），且a2，b2，c2成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F分别作直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于点M，N，直线l2与椭圆C交于点P，Q，且l1⊥l2，求四边形MPNQ面积的最小值．【解答】解：（1）由题意可得：2a＝2，2b2＝a2+c2，a2＝b2+c2．联立解得a＝，b＝，c＝1．∴椭圆C的方程为：+＝1．（2）若l1与l2的一个斜率不存在，则四边形MPNQ面积S＝4．若l1与l2的斜率都存在，设l1：y＝k（x﹣1），l2：y＝﹣（x﹣1），其中k≠0，（x i，y i）（i＝1，2，3，4时分别对应点M，N，P，Q）．联立l1与椭圆方程可得：（3k2+2）x2﹣6k2x+3k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，x1•x2＝．|MN|＝＝．同理可得：|PQ|＝＝，则四边形MPNQ面积S＝＝．令1+k2＝t＞1，则S＝＝≥＝，时等号成立，即k＝±1．综上所述可得：四边形MPNQ的面积的最小值为．21．（12分）（1）已知t＞1，x∈（0，+∞），证明：x t≥1+t（x﹣1）；（2）设0＜a≤b＜1，证明：a a+b b≥a b+b a．【解答】证明：（1）令f（x）＝x t﹣1﹣t（x﹣1），f′（x）＝t（x t﹣1﹣1），∵t＞1，∴t﹣1＞0，x∈（0，1）时，x t﹣1≤1，f′（x）≤0，函数单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝1是f（x）的唯一极小值点，∴f（x）≥f（1）＝0，即：x t≥1+t（x﹣1）；（2）当a＝b，不等式显然成立；当a≠b时，不妨设a＜b，则a a+b b≥a b+b a⇔a a﹣a b≥b a﹣b b，令φ（x）＝x a﹣x b，x∈[a，b]下证φ（x）是单调减函数．∵φ′（x）＝ax a﹣1﹣bx b﹣1＝ax b﹣1（x a﹣b﹣）易知a﹣b∈（﹣1，0），1+a﹣b∈（0，1），＞1，由（1）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a，b]，∴＝＞1+＝＞a，∴b＞a1+a﹣b，∴＞a a﹣b≥x a﹣b，∴φ'（x）＜0，∴φ（x）在[a，b]上单调递减．∴φ（a）＞φ（b），即a a﹣a b＞b a﹣b b，∴a a+b b＞a b+b a．综上，a a+b b≥a b+b a成立．请考生在22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB＝∠ADC．延长DA到E使BD ＝AE，连结EC．（1）求证：CE＝CD；（2）若AC⊥BC，CD＝1，求AD+BD的值．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ADC＝∠ABC，∴AC＝BC．∵∠EAC＝∠DBC，AE＝DB，∴△EAC≌△DBC，∴EC＝DC；（2）解：∵AC⊥BC，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ADC＝45°．∵EC＝CD，∴∠E＝45°，∴，∴AD+BD＝AD+DE＝DE＝．23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝（其中θ≠2kπ，ρ＞0），A，B是曲线C上的两个动点，且OA⊥OB．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求的最大值．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝，即为ρ＝1+ρcosθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ＝，可得＝1+x，化简可得y2＝1+2x；（2）设A（ρ1，θ），①A在y轴上，即A（ρ1，），则B（ρ2，π），则＝1﹣cos+1﹣cosπ＝1+2＝3；②A不在y轴上，且B（ρ2，θ+），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ+）＝2+sinθ﹣cosθ＝2+sin（θ﹣）≤2+，当且仅当θ＝+2kπ，k∈Z时取得等号；③A不在y轴上，且B（ρ2，θ﹣），则＝1﹣cosθ+1﹣cos（θ﹣）＝2﹣sinθ+cosθ＝2﹣sin（θ+）≤2+，当且仅当θ＝﹣+2kπ，k∈Z时取得等号．综上可得，的最大值为2+．24．已知函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式：xf（x）＜x；（2）若f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a＝2，原不等式可化为或，∴x＜0或1＜x＜3，∴不等式的解集为{x|x＜0或1＜x＜3}；（2）f（x）+f（x+2a）≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，可化为|x﹣a|+|x+a|≥|a|﹣|a﹣1|+3对任意的实数x恒成立，∵|x﹣a|+|x+a|≥|2a，∴2a≥|a|﹣|a﹣1|+3，∴|a|+|a﹣1|≥3．a＜0时，﹣a﹣a+1≥3，∴a≤﹣1；0≤a≤1时，a﹣a+1≥3，不成立；a＞1时，a+a﹣1≥3，∴a≥2．综上所述，a≤﹣1或a≥2．。
重庆市南开中学2015-2016学年高二数学下学期期末测试试题理
重庆市南开中学高2017级高二（下）数学（理科）期末考试一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
1、集合{}()(){}0,1,2,3,4,210A B x x x ==+-≤，则A B =I （ ）A 、{}0,1,2,3,4B 、{}0,1,2,3C 、{}0,1,2D 、{}0,1 2、若命题:,1x p x Z e ∃∈<，则p ⌝为（ ）A 、,1x x Z e ∀∈<B 、,1x x Z e ∀∉<C 、,1x x Z e ∀∈≥D 、,1x x Z e ∀∉≥3、已知()2~5,X N σ，若()350.4P X ≤≤=，则()7P X ≤=（ ）A 、0.9B 、0.8C 、0.7D 、0.6 4、已知,a b c R >∈，则下列不等式一定成立的（ ）A 、a c bc ≥B 、a c bc ≥C 、a c b c ≥D 、a c b c ≥5、某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格。
后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都作一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月的数据如下表：根据上表得到回归直线方程$1.6y x a =+，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（ ）A 、8B 、9C 、10D 、116、巧克力很甜、很好吃，数学很妙、很有趣，某中学统计了部分同学“爱吃巧克力”与“数经计算得 4.167k ≈，由此可以判断（ ）参考数据：B 、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”有关C 、至少有99%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关D 、至少有95%的把握认为“数学成绩好”与“爱吃巧克力”无关7、若()422a x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为16，则实数a =（ ） A 、2- B 、1 C 、2 D 、2-或18、已知ABC ∆为等边三角形，在ABC ∆内随机取一点P ，则BCP ∆为钝角三角形的概率为（ ）A、14 B、12+ C、34 D、12 9、若函数()322f x x ax x =++在[]0,2上既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（ ）A 、()6,0- B、(6,- C 、[)3.5,0- D、 3.5,⎡-⎣ 10、定义“三角恋写法”为“三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信”，若五个人,,,,a b c d e 中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一封信，则不出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为（ ）A 、704B 、864C 、1004D 、101411、设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴交点为P ，过点F 作直线与抛物线C 交于点,A B ，若AB PB ⊥，则AF BF -=（ ）A 、2B 、4C 、6D 、812、已知函数()11ax x f x e x -+=-，若对任意()0,1x ∈，恒有发，则实数a 的取值范围为（ ） A 、(],2-∞ B 、(],0-∞ C 、[)0,+∞ D 、[)2,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
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重庆南开中学高2018届高一（下）期末考试
数学试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）
1．直线10x -=的倾斜角为（ ）
A ．
6
π
B ．
3
π
C ．
23π D ．56
π
2．如果a b <，那么下列不等式可能成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b > C ．ln ln a b > D ．a b e e >
3．某校教职工年龄结构分布如下表，为了该校未来的发展，学校决定从这些教职工中采用分层抽样方法随机抽取50人参与“教代会”，则应从35岁以下教职工中抽取的人数为（ ）
A ．22
B ．18
C ．10
D ．5
4．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c o s c o s s i n b C c B a A +=
，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
5．垂直于直线210x y +-=且平分圆：2220x y x y ++-=周长的直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=
B ．230x y -+=
C ．2450x y -+=
D ．20x y +=
6．执行如图所示的程序框图，那么输出的n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
7．非零向量,a b 满足：()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则a 与b 的夹角,a b <>=（ ）
A ．
4
π
B ．
3
π
C ．
23
π D ．
34
π 8．数列{}n a 满足1
12,02121,1
2
n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2016a 的值为（ ）
A ．
6
7
B ．
5
7
C ．
3
7
D ．
17
9．已知实数,x y 满足：0x >且220x xy -+=，则2x y +的最小值为（ ） A
．
B
．
C
．
D
．10．已知,x y 满足3
123
x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，且目标函数(0,0)x y z a b a b =+>>的最大值10，则54a b +的
最大值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．60
D ．80
12．已知直线11
:2
l y x =
及直线2:2l y x =都与两不同的圆1C 、2C 相切，且圆1C 、2C 均过点3
(1,)2P ，则这两圆的圆心距12||C C =（ ）
A
B
C
D
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）
13．已知向量(1,)a a =，(1,2)b =-且(2)//a b b +，则实数a =________
14．过直线:220l x y +-=上任意一点P 做圆22:20C x y x ++=的切线，切点为A ，则切线||PA 的最小值为________
15．已知数列{}n a 是等比数列，若3698a a a =-，则
17210412
4816a a a a a a ++的最小值为________ 16．已知||1OA =，||2OB =且||||1OA OB ⋅=-，若平面上点C 满足|2|2OA CB +=则||OC 的取值范围是________ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 17．（10分）已知ABC ∆顶点(1,2)A -，AB 边上的高CD 所在的直线方程为：20x y +-=，AC 边上的中线BE 所在直线方程为：230x y -+= （I ）求B 点坐标；
（II ）求边AC 所在直线方程。
18．（12分）已知在ABC
∆中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量(,2)
=-，
m b c a
+=-
m n m n
n C
(2cos,1)
=，且||||
（I）求∠B的大小；
（II）若2
∆面积S的最大值
b=，求ABC
19．（12分）已知某鱼塘仅养殖着鲤鱼和鲫鱼，为了估计这两种鱼的数量，养殖者从鱼塘中捕出这两种鱼各1000条，给每条鱼做上不影响其存活的标记，然后放回鱼塘，待完全混合后，再每次从鱼塘中随机地捕出1000条，记录下其中有记号的鱼的数目，然后立即放回鱼塘中，这样的记录做了10次，并将记录获取的数据制作成如图所示的茎叶图
（I）根据茎叶图计算有记号的鲤鱼和鲫鱼的平均数；
（II）为了估计鱼塘中鱼的总重量，现按照（I）中的比例对100条鱼进行称重，所得称重鱼的重量介于[0,4.5]（单位：千克）之间，将测量结果按如下方式分成九组：第一组[0,0.5)，第二组[0.5,1)，…，第九组[4,4.5]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分
（1）若第二、三、四组鱼的条数成公差为7的等差数列，请将频率分布直方图补充完整；
（2）通过抽样统计，初步估计鱼塘里共有20000条鱼，使在（1）的条件下估计该鱼塘中鱼重量的众数及鱼的总重量。
20．（12分）已知圆22:6260C x y x y +---=，其中C 为圆心。
（I ）若过点(1,0)P 的直线l 与圆C 交于M 、N 两点，且8CM CN ⋅=-，求直线l 的方程； （II ）过点(1,0)P 作圆C 的两条弦BD 、EF 使得0BD EF ⋅=，求四边形BEDF 面积的最大值。
21．（12分）已知数列{}n a 中，*112311
1,23()2
n n n a a a a na a n N ++=+++⋅⋅⋅=∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（II ）若存在*n N ∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值。
22．（12分）已知定点(7,0)A ，(1,0)B ，平面上动点P 到A 点的距离与到B 点的距离之比为λ（0λ>，且为常数）
（I ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（II ）当2λ=时，记P 点的轨迹与y 轴交于M 、N 两点，若过点P 做圆22:(1)1C x y -+=的两条切线1l 、2l 分别交y 轴于H 、K 两点，在构成三角形的条件下，求PMN
PHK
S S ∆∆得最大值，并指出取得最大值时的P 点坐标。