新人教版七年级下册第九章《不等式与不等式组》全章教案(共6份)
2024年人教版七年数学下册教案(全册)第9章 不等式与不等式组不等式
9.1.1不等式及其解集课时目标1.能够从实际问题中抽象出不等式,了解不等式和不等式解的意义,会根据给定条件列不等式.能在实际问题中体会用数学符号语言表达的好处,同时渗透建模、类比的思想方法.2.通过解决简单的实际问题,使学生自发地寻找不等式的解,理解不等式的解集,并能在数轴上表示出解集.3.经历对不等式、不等式的解与解集的探究过程,体会问题解决、获得成功体验的快乐,建立学习自信心.学习重点不等式的概念.学习难点建立不等关系.课时活动设计某同学带了20元钱到文具店购买一些自动铅笔和尺子,铅笔一共花费12元,每把尺子2元,现刚好将所带的钱用完,请问购买了多少把尺子?问题1:我们该如何解决这个问题呢?问题2:若条件不变,该同学所花费的金额超过20元,我们又该如何解决这个问题呢?问题3:若该同学所花费的金额不足20元呢?设计意图:让学生切实经历不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.贴近生活的实例也有助于学生感受到数学来源于生活,服务于生活.引导学生思考:(1)12+2x=20;(2)12+2x>20;(3)12+2x<20.这三个式子有什么不同点?引导学生回忆等式的概念,类比得出不等式的概念.学生根据式子的特点得出不等式的概念:像(2)和(3)这样,用符号“>”“<”表示大小关系的式子,叫做不等式.例1用不等式表示下列关系:(1)x与2的和小于7;(2)a的4倍不等于8;(3)a与1的差是正数;(4)x与3的差的10%不大于5.解:(1)x+2<7;(2)4a≠8;(3)a-1>0;(4)(x-3)×10%≤5.引导学生发现列出的不等式是将文字表达转化为数学符号表达.设计意图:通过以上探索,学生很自然地理解了不等式的意义及常见的不等号的读法和意义,本节重点和难点都得到了初步突破.设计以下几个问题,引导学生探索不等式的解和解集的概念.问题1:当x=4时,12+2x=20成立.问题2:当x>4时,12+2x>20成立.x的值 12+2x的值比较12+2x与20的大小12+2x>20是否成立1 14 12+2x<20 不成立2 16 12+2x<20 不成立4 20 12+2x=20 不成立5 22 12+2x>20 成立7 26 12+2x>20 成立8 28 12+2x>20 成立…………通过方程的解即可得出不等式的解和解集的概念.学生进行总结归纳:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.设计意图:表格是为了让学生更加清晰地发现不等式的解的特点,并从中引出不等式的解集.解集还可以在数轴上表示.(1)怎样在数轴上将x=5表示出来?(2)怎样在数轴上将x>5表示出来?(3)怎样在数轴上将x<4表示出来?分析:画数轴,定界点,定方向.例2直接写出不等式2x<8的解集,并在数轴上表示解集.解:2x<8的解集为x<4.在数轴上的表示如图所示.你能一眼看出13x-5(x-3)x>35(2x+1)-5的解集吗?解不等式的概念:求不等式解集的过程叫做解不等式.设计意图:让学生学会在数轴上表示解集.通过解方程类比学习,从上面不等式引出解不等式的概念,也为下节内容做好铺垫.课堂8分钟.1.教材第115,116页练习第1,2,3题.2.七彩作业.9.1.1不等式及其解集一、不等式的相关概念.1.不等式.2.不等式的解.3.不等式的解集.4.解不等式.二、用数轴表示不等式的解集.教学反思9.1.2不等式的性质第1课时不等式的性质课时目标1.通过观察、猜想、类比和归纳,探究出不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别与联系.2.掌握不等式的基本性质并熟练运用.学习重点掌握不等式的三条基本性质.学习难点正确运用不等式的三条基本性质进行不等式变形.课时活动设计复习回顾等式的性质.等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),等式仍然成立.即如果a=b,那么a±c=b±c.等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,等式仍然成立.即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b,那么ac =bc(c≠0).设计意图:复习等式的基本性质,为不等式的基本性质学习做准备,激发学生学习的兴趣.一起探究用“>”或“<”完成下面填空:(1)5>3,5+2>3+2,5-2>3-2;问题1:观察上面的不等式,它们之间有什么不同点和相同点?用自己的语言表述你发现的规律.(2)-1<3,-1+2<3+2,-1-3<3-3;问题2:观察上面的不等式,你又发现了什么规律?综合(1)(2),类比等式的性质1,猜想不等式的性质,并换一些其他的数,验证这个猜想.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.用字母表示:如果a>b,那么a±c>b±c.如果a<b呢?(3)6>2,6×5>2×5,6÷5>2÷5;问题3:观察上面的不等式,类比等式的性质2,猜想不等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,不等号的方向不变.这句话严谨吗?请举例验证一下.(4)-2<3,(-2)×(-6)>3×(-6),(-2)÷(-6)>3÷(-6).问题4:怎么叙述才严谨?换一些其他的数验证这个猜想.不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.用字母表示:如果a>b,c>0,那么ac>bc(或ac >b c ).不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用字母表示:如果a>b,c<0,那么ac<bc(或ac <b c ).问题5:比较不等式的性质2与3有什么区别?解:性质2的两边乘或除以的是一个正数,不等号的方向没有变;而性质3的两边乘或除以的是一个负数,不等号的方向改变了.问题6:比较等式的性质与不等式的性质有什么异同?解:等式的性质与不等式的性质1,2,除了一个是“等式仍然成立”,一个是“不等号的方向不变”的说法不同外,其余都一样;而不等式的性质3“不等号的方向改变”,这与等式的性质说法不同.设计意图:通过四组数据的计算比较,让学生通过观察有限个不等式的变化,发现并猜想出不等式的基本性质,再通过具体数值验算,最后总结归纳出性质,培养学生的抽象概括能力及合情推理能力.典例精讲例1若a>b,用“<”或“>”填空.(1)a+2>b+2;(2)a-3>b-3;(3)-4a<-4b; (4)a2>b 2;(5)1-2a<1-2b; (6)3a-2>3b-2. 例2填空:(1)∵3a>4a,∴a是负数;(2)∵a4>a3,∴a是负数;(3)∵ax>a且x>1,∴a是正数.设计意图:通过举例进一步巩固学生运用不等式的性质.课堂8分钟.1.教材第120页习题9.1第4,6题.2.七彩作业.教学反思第2课时不等式的性质的应用课时目标1.理解“≤”“≥”的含义,并掌握“≤”“≥”与“<”“>”的区别.2.学会运用类比思想来解不等式,掌握在数轴上表示不等式的解集,并能初步认识不等式的应用价值.3.在分组活动和班级交流的过程中,积累数学活动经验并感受获得成功的喜悦,从而增强学习数学的兴趣.学习重点不等式性质的应用.学习难点不等式性质的应用.课时活动设计课堂引入我们知道数学来源于生活,又服务于生活,在日常生活中就有这样的例子.小明就读的学校上午8点开始上第一节课.小明家距学校2千米,而他的步行速度为每小时6千米,那么小明最晚上午几点从家里出发才能保证不迟到?(1)如果设小明上午x 点从家里出发,那么x 应满足怎样的关系式? (2)怎样解(1)中的关系式? (3)(2)中的解集在数轴上怎样表示?设计意图:从实际问题引入能激发学习兴趣.经历由具体的实例建立不等式模型的过程,既可以让学生感受不等式在实际生活中的应用,又非常自然地引入新课.探究新知分组探讨:对上述三个问题,你是如何考虑的?先独立思考,然后组内交流. 在学生充分讨论的基础上,学生展示师生共同归纳得出: 解:(1)x 应满足的关系式是x +13≤8.(2)根据“不等式的性质1”,在不等式的两边减13,得x +13-13≤8-13,即x ≤233. (3)这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.我们在表示233的点上画实心圆点,表示取值范围包含这个数. 强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来.在运用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:一是确定“边界点”,二是确定“方向”.(1)确定“边界点”:若边界点表示的数是不等式的解,则用实心圆点;若边界点表示的数不是不等式的解,则用空心圆圈;(2)确定“方向”:对于边界点a 而言,x >a 或x ≥a 向右画,x <a 或x ≤a 向左画. 师生活动:学生共同讨论“≤”与“<”及“≥”与“>”的区别.设计意图:培养学生合作交流的意识,提高学生的观察、分析、概括和抽象能力,强调“≤”与“<”及“≥”与“>”在意义上和在数轴表示上的区别.应用新知例1 利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:(1)3x -1>4; (2)3x <5x -4; (3)23x +2≤1.解:(1)根据不等式的性质1,两边同时加1,得3x -1+1>4+1. 整理,得3x >5.根据不等式的性质2,两边同时除以3,得x >53. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.(2)根据不等式的性质1,两边同时减5x ,得-2x <-4. 根据不等式的性质3,两边同时除以-2,得x >2. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.(3)根据不等式的性质1,两边同时减2,得23x ≤-1. 根据不等式的性质2,两边同时乘32,得x ≤-32. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.师生活动:学生独立思考,并写出解答过程.例2(教材第119页例2) 如图,某长方体形状的容器长5 cm,宽3 cm,高10 cm,容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V (单位:cm 3)表示新注入水的体积,写出V 的取值范围.问题1:新注入水的体积V 与原有水的体积的和与容器的容积有什么关系? 解:新注入水的体积V 与原有水的体积的和不能超过容器的容积. 问题2:新注入水的体积V 可以是负数吗? 解:不可以是负数.问题3:你能独立求出V的取值范围吗?问题4:试将V的取值范围在数轴上表示出来.解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积,即V+3×5×3≤3×5×10,整理,得V+45≤150.解得V≤105.又由于新注入水的体积V不能是负数,因此,V的取值范围是V≥0并且V≤105.在数轴上表示V的取值范围如图所示.师生活动:老师提出问题,引发学生思考,学生互相讨论,思考得出结论.设计意图:使学生进一步巩固不等式的性质,为后面学习一元一次不等式的解法作铺垫.解决实际问题,容易引起学生关注,激发他们参与学习的热情,同时学生能体会到生活中蕴含着数学知识,反过来数学知识又帮助我们解决生活中的许多实际问题,从而感受到知识的应用价值.巩固训练1.在数轴上表示不等式x-1<0的解集,正确的是(C)2.当x取何值时,-1x+2的值不小于0(B)3A.x<6B.x≤6C.x>6D.x≥63.按商品质量规定:商店出售的标明500 g的袋装食盐,其实际克数与所标克数相差不能超过5 g,设实际克数是x g,则x应满足的不等式是500-5≤x≤500+5.4.用不等式表示下列语句,写出解集,并在数轴上表示解集:(1)x的2倍大于或等于-4;不小于-1.(2)x的32解:(1)列不等式为2x≥-4,解得x≥-2.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.(2)列不等式为32x ≥-1,解得x ≥-23.这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.设计意图:进一步加强对不等式的性质的应用,使学生能灵活运用不等式的性质解简单的不等式.通过在实际问题中列不等式,加强学生对含“≥”“≤”的不等式的理解,并可以检验学生对本节课知识的掌握程度和运用程度.课堂8分钟.1.教材第119页练习第1,2题,第120页习题9.1第7,8,9题.2.七彩作业.第2课时 不等式的性质的应用1.含“≥”“≤”的不等式.2.在数轴上表示不等式的解集{含等号用实心圆点不含等号用空心圆圈小于向左画,大于向右画教学反思。
人教版数学七年级下册第9章不等式与不等式组教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解不等式的定义，掌握不等式的性质，能够运用不等式解决实际问题。
2.学会解一元一次不等式，包括移项、合并同类项、系数化等方法，并能够解决实际问题。
3.理解不等式组的定义，掌握解不等式组的方法，能够解决实际问题。
4.能够运用数轴表示不等式的解集，理解区间表示方法。
（3）采用讲练结合法，让学生在练习中掌握解不等式的方法，提高解题能力。
（4）小组合作学习，培养学生协作解决问题的能力，提高课堂互动性。
2.教学过程：
（1）导入：以实际情境导入，提出问题，引导学生思考，激发学习兴趣。
（2）新知：讲解不等式的性质，引导学生通过实例发现性质，加强理解。
（3）例题：讲解一元一次不等式的解法，通过典型例题，让学生掌握解题方法。
5.引导学生运用数轴表示不等式的解集，培养学生直观想象能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学习的积极态度，增强学生对数学学科的兴趣和信心。
2.引导学生认识到不等式在生活中的广泛应用，激发学生学习数学的积极性。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，让学生在解决不等式问题的过程中，体验到成功的喜悦。
5.部分学生对数学学习存在恐惧心理，需要教师关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂，增强自信心。
在教学过程中，教师应充分了解学生的实际情况，针对不同层次的学生进行差异化教学，关注学生的个体发展，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握不等式的性质，能够熟练运用性质解决实际问题。
3.拓展题：针对不等式组的内容，设计2-3道拓展题，要求学生运用所学知识解决问题，培养学生的综合应用能力。
七年级数学下册第九章不等式与不等式组教案(7套)(新版)新人教版
第九章不等式与不等式组9.1不等式9.1.1不等式及其解集【教学目标】知识与技能1.能感受到生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式和意义；2.会寻找不等式的解，会在数轴上正确地表示出不等式的解集；3.能够根据题意准确迅速地列出相应的不等式。
过程与方法通过汽车行驶过A地这一实例的研究，使学生体会到数学来源于生活，又服务于生活，培养学生“学数学、用数学”的意识；情感、态度与价值观培养学生类比的思想方法、数形结合的思想。
【教学重难点】重点:1.不等式、一元一次不等式、不等式解与解集的意义；2.在数轴上正确地表示出不等式的解集；难点:不等式解集的意义，根据题意列出相应的不等式。
【导学过程】【情境引入】引例：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离Ａ地50千米，要在12：00之前驶过Ａ地，车速应满足什么条件？设车速是x千米/小时，(1)从时间上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶50千米所用的时间不到小时，即＜①(2) 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶小时的路程要超过50千米，即ｘ＞50 ②【新知探究】探究一、不等式、一元一次不等式的概念1.不等式请同学们观察上面的两个式子,式子左右两边的大小关系是怎样的? 左右两边相等吗?不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子叫做不等式;2.练习判断下列式子中哪些是不等式，是不等式的请在题后的括号内划“√”，不是的请划“×”(1)3＞ 2 ( ）(2)2a+1＞0 ( ）(3)a ＋b＝b＋a （）(4)x＜2x+1 （）(5)x＝2x-5 （）(6)2x+4x＜3x+1 （）(7)15≠7＋9 （）上面的不等式中，有些不含未知数，有些含有未知数，大家把(2)、(4)、(6)式与(5)式类比，(5)式是一个一元一次方程，能不能给(2)、(4)、(6)式也起个名字呢?3. 一元一次不等式不等式：像上面的这些式子，用符号“”，“”，“”“”或“”表示不等关系的式子叫做不等式。
最新人教版七年级数学下册 第九章 《不等式与不等式组》教案
本章复习整体设计教材分析本章所学知识是在学生学习了一元一次方程和二元一次方程组的基础上研究简单的不等关系．首先通过具体实例建立不等式，探索不等式的性质，了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、解集在数轴上的表示、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法及其简单应用．通过探究这些问题，可以进一步提高学生的类比能力，逐步渗透数学建模思想，初步体会方程与不等式的内在联系与区别．本章重点、难点是一元一次不等式及一元一次不等式组的解法．在本章的复习中，主要从两方面进行：一是帮助学生理清本章知识结构，通过引导师生共同梳理知识，建构知识框架；二是掌握一元一次不等式组的解法以及解决实际问题的数学建模训练．课时分配1课时教学目标1．归纳本章学过的知识，使学生系统地理解本章有关概念；正确掌握不等式的性质；熟练地解一元一次不等式和一元一次不等式组及它们的应用；2．通过回顾与总结，培养并提高学生归纳、对比及分析问题和解决问题的能力．教学重难点教学重点：不等式的性质及解一元一次不等式(组)．教学难点：本章知识结构与框架的建立．教学方法设计典型例题，利用问题展开探索、交流．在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼、构建知识体系，科学地进行小结与归纳．在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活．教学过程一、熟悉知识体系设计说明通过引领学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体的把握，同时了解各知识之间的内在联系．二、知识要点回顾(一)基础知识设计说明以填空的形式引导学生回忆全章的有关知识，使学生掌握的知识更加深刻、系统．1．不等式、不等式的解、不等式的解集、解不等式用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子也是不等式；使不等式成立的__________叫做不等式的解；一般地，一个含有未知数的不等式的__________，组成这个不等式的解集；求__________的过程叫做解不等式．2．不等式的性质性质1：不等式两边加(或减)__________，不等号的方向__________；性质2：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________；性质3：不等式两边乘(或除以)__________，不等号的方向__________．3．一元一次不等式只含有__________，并且未知数的最高次数是__________，这样的不等式叫做一元一次不等式．4．解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程相类似，基本步骤是：____________________，特别注意：当系数化为1时，不等式两边同乘(或除以)同一个负数，不等号的方向__________．5．不等式解法与方程解法的对比从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的．在学习一元一次方程时利用等式的两个基本性质求得一元一次方程的解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出，若用不等式的三条性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集．例如：解下列方程和不等式：2＋x 2＝2x －13＋1； 2＋x 2≥2x －13＋1. 解：3(2＋x )＝2(2x －1)＋6 1.去分母： 解：3(2＋x )≥2(2x －1)＋6，6＋3x ＝4x －2＋6 2.去括号： 6＋3x ≥4x －2＋6 3x －4x ＝－2＋6－6 3.移项： 3x －4x ≥－2＋6－6－x ＝－2 4.合并同类项： －x ≥－2x ＝2 5.系数化为1: x ≤2∴x ＝2是原方程的解. ∴x ≤2是原不等式的解集． 方程的解在数轴上的表示 不等式的解集在数轴上的表示点评：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5，如果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向．6．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各不等式的解集的__________叫做这个不等式组的解集．7．解一元一次不等式组的步骤(1)求出不等式组中每个不等式的解集；(2)借助数轴找出各解集的公共部分；(3)写出不等式组的解集．求公共部分的规律：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解．例 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>x ＋1， ①x ＋8<4x －1. ②解：解不等式①，得x ＞2，解不等式②，得x ＞3.在数轴上表示不等式①②的解集所以这个不等式组的解集是x ＞3.8．列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤(1)审题；(2)__________；(3)根据不等关系列不等式组；(4)__________；(5)检验并作答．以上填空题答案省略．教学说明在教学过程中，借助前面的知识框架，以提问的方式引导学生回顾以上知识点，有些知识点要借助具体问题帮助学生回忆，如一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法等．由于学生有的知识遗忘了，有的知识不能很好地用数学语言表达，教师应有充分的耐心听学生说完，并注意及时规范学生的不准确的表述．通过以上复习，使学生把全章知识串起来，使全章知识系统化、条理化、全面化．(二)例题精讲例1 解不等式：x ＋3(x ＋1)8＞1－x －52. 思考：(1)不等式的性质3你知道吗？(2)解一元一次不等式通常有哪几个步骤？(3)在去分母时，通常应注意哪两点？解：去分母，得8x ＋3(x ＋1)＞8－4(x －5)，去括号，得8x ＋3x ＋3＞8－4x ＋20，移项，得8x ＋3x ＋4x ＞8＋20－3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1，得x ＞53. 在解不等式的过程中，去分母时，不能漏乘每一项，并且要注意添括号、去括号及移项的过程中，要注意符号的变化，尤其系数化为1时，系数若为负数，一定要注意不等号方向的变化．只要抓住这几点，解一元一次不等式的知识便可掌握．例2 当x 为何值时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值？ 思考：(1)“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？(2)解此类问题首先应干什么？解：依题意，得2x ＋13－1≥3＋5x 4， ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )．8x －15x ≥9＋12－4，－7x ≥17，∴x ≤－177. ∴当x ≤－177时，代数式2x ＋13－1的值不小于3＋5x 4的值． 例3 x 取哪些正整数时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值？ 解：依题意，得3－x －14≥3(x ＋2)8. 去分母，得24－2(x －1)≥3(x ＋2)，去括号，得24－2x ＋2≥3x ＋6，移项，得－2x －3x ≥6－24－2，合并同类项，得－5x ≥－20，系数化为1，得x ≤4，x ≤4的正整数解为x ＝1,2,3,4.答：当x 取1,2,3,4时，代数式3－x －14的值不小于代数式3(x ＋2)8的值． 点评：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加条件的解．例4 已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解为方程2x －ax ＝3的解．求代数式4a －14a的值．思路分析：本例是一道不等式、方程、求代数式的值交融于一体的综合题，必须各个击破，一个问题一个问题的解决，便可攻破，这也是解综合题的常用方法．解：5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7，5x －10＋8＜6x －6＋7，5x －6x ＜－6＋7＋10－8，－x ＜3，∴x ＞－3.∴此不等式的最小整数解为x ＝－2.∵x ＝－2为方程2x －ax ＝3的解，∴2×(－2)－a ·(－2)＝3.∴a ＝72. 当a ＝72时，4a －14a ＝4×72－1472＝14－4＝10. 例5 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －32＋3≥x ＋1，①1－3(x －1)<8－x ，②并写出该不等式组的整数解．解：解不等式①，得x ≤1，解不等式②，得x ＞－2，所以不等式组的解集为－2＜x ≤1.因为x 取整数，所以x ＝－1,0,1.所以不等式组的整数解为－1,0,1.例6 工程队原计划6天内完成300土方的工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前两天超额完成，问后几天每天平均至少要完成多少土方？思考：(1)列一元一次方程解应用题有哪些步骤？(2)如何依题意找相等关系？(3)如何根据题意找不等关系来解决一元一次不等式应用题？解：设后几天每天平均完成x 土方，根据题意，得60＋(6－1－2)x ≥300，解之，得x ≥80.答：每天平均至少要完成80土方．例7 一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数．分析：由于最后一人能分到玩具，但分到的玩具数不足2件，所以该问题应该是建立不等式模型来解决．解：若设有x 个小朋友，则玩具有(2x ＋3)件，分到3件玩具的小朋友有(x －1)个，另一个小朋友分到玩具，但分到的玩具数不足2件，这样我们就可以得到不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (2x ＋3)－3(x －1)>0，(2x ＋3)－3(x －1)<2，解不等式，得4＜x ＜6， 因为x 取整数，所以x ＝5.所以玩具有2×5＋3＝13(件)．三、巩固训练，熟练技能1．不等式－x ＞－2的解集是( )．A ．x ＞2B ．x ＞－2C ．x ＜2D ．x ＜－22．不等式2x －7＜5－2x 的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2<0，x ≥1的解集为( )． A ．1≤x ＜2 B ．x ≥1 C ．x ＜2 D ．无解4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ≤6，x ＋1>0的整数解是__________．5．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －3(x －1)≤7，1－2－5x 3<x .6．m 取何值时，关于x 的方程x 6－6m －13＝x －5m －12的解大于1? 7．某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．(1)设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校求出所有可能的租车方案；(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2 000元、1 800元，请你选择最省钱的一种租车方案．答案：1.C 2.B 3.A 4.0,1,2 5.－2≤x ＜－12. 6．解关于x 的方程，得x ＝3m －15，由于方程的解大于1，所以3m －15＞1. 解得m ＞2.7．解：(1)设租用甲种汽车x 辆，则租用乙种汽车(8－x )辆．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋30(8－x )≥290，10x ＋20(8－x )≥100，解得5≤x ≤6. 即共有两种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．(2)第一种租车方案的费用为5×2 000＋3×1 800＝15 400(元)；第二种租车方案的费用为6×2 000＋2×1 800＝15 600(元)．所以第一种租车方案更省钱．教学说明这一环节是为了评价本节课的教学效果，检验教学目标的达成情况，教师可根据学生反馈的具体情况作适当的评价与弥补，从而达到巩固提高的目的．四、总结反思，情意发展设计说明围绕下面四个问题，师生共同总结本节课的学习收获．1．哪些本已遗忘的知识得到巩固？2．哪些知识有新的认识？3．本章主要蕴涵了哪种数学思想？4．结合你自己的复习情况，谈谈你还有什么疑问？教学说明通过回顾和反思，让学生看到自己的进步，激励学生，使学生相信自己在今后的学习中会不断进步，同时促使学生形成良好的反思习惯．五、课堂小结1．本节重点复习归纳了本章的基础知识，提高了学生各知识点的综合应用能力．2．用到的主要思想方法是数形结合思想、类比思想、模型化思想．通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想；通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想；通过实际问题的应用，进一步领会模型化思想．3．注意的问题：复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴．六、布置作业课本复习题9 第7,8题．七、拓展练习1．关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是( )．A ．0B ．－3C ．－2D ．－12．已知一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x <b (a ≠b )的解集为x ＜a ，则( )． A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＞b ＞0 D ．a ＜b ＜03．一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >a ，x >b 的解集是x ＞a ，则a 与b 的关系为( )． A ．a ≥b B ．a ≤b C ．a ≥b ＞0 D ．a ≤b ＜04．不等式－0.5y ＋1≥0的正整数解有( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个 5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧ 2x >－3，x －1≤8－2x 的最小整数解为( )．A ．－1B ．0C ．2D ．36．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4≤0，12x ＋2>0的整数解为__________．7．已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1的整数解有5个，求a 的取值范围．8．某校准备在甲、乙两家公司为毕业班学生制作一批纪念册．甲公司提出：每册收材料费5元，另收设计费1 500元；乙公司提出：每册收材料费8元，不收设计费．(1)请写出制作纪念册的册数与甲公司的收费的关系式；(2)请写出制作纪念册的册数与乙公司的收费的关系式；(3)如果学校派你去甲、乙两家公司订做纪念册，你会选择哪家公司？答案：1.D 2.B 3.A 4.B 5.A 6.－3，－27．解：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ≥0，3－2x >－1可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x <2， 由于它有解集，所以解集为a ≤x ＜2，它的解集中包含五个整数，这五个整数依次为1,0，－1，－2，－3，反映在数轴上，a 只需－4＜a ≤－3.点评：要求不等式组的解集符合一些条件，先找到这个解集，然后把它描述在数轴上，结合条件得到结论．8．解：设学校准备制作x 册纪念册，则甲公司收费y 甲元，乙公司收费y 乙元，则(1)y 甲＝5x ＋1 500；(2)y 乙＝8x .(3)若两家收费相同时，5x ＋1 500＝8x ，解得x ＝500；若甲家收费较少时，即5x ＋1 500＜8x ，解得x ＞500；若乙家收费较少时，即5x ＋1 500＞8x ，解得x ＜500.所以，当x ＝500时，选择甲、乙两家都一样；当x ＞500时，选择甲公司；当x ＜500时，选择乙公司．评价与反思 本节复习是以“问题串”的形式引导学生回顾梳理主要知识点，构建知识体系——通过典型例题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用的解题方法．在教学中，关注学生是否认真思考，相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况，使学生在反思和交流的基础上构建合理的知识体系．借助典型例题重点强化利用一元一次不等式(组)进行计算，训练学生解不等式(组)及利用不等式(组)解决问题的技能，从而提高他们运用所学知识去分析问题和解决问题的能力．。
七年级数学下册第9章不等式与不等式组复习教案新人教版
第9章不等式与不等式组一、复习目标1、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质。
2、会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。
会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。
3、能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的实际问题。
二、课时安排1课时三、复习重难点重点：能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组难点：能够解决简单的实际问题．四、教学过程(一)知识梳理1、叫一元一次不等式，把两个或两个以上的合起来，组成一个一元一次不等式组。
2、一般的，几个不等式的解集的，叫做由它们所组成的不等式组的解集。
3、不等式性质1 ：不等式性质2：不等式性质3 ：4、解不等式组，取解集的法则：(二)题型、技巧归纳考点一不等式及不等式组的有关概念例1、x与-3的和的一半是负数，用不等式表示为( )A.例2．下列解集中，不包含0的是( )．A.x<5B.x≥-2C.x≤3D.x<0考点二不等式的基本性质例3、下列说法中，错误的是( ) A.如果a<b ，那么a-c<b-c B.如果a>b ，c>0，那么ac>bc C.如果a<b ，c<0，那么D.如果a>b ，c>0，那么-考点三 解一元一次不等式例4、解不等式并把它的解集在数轴上表示出来 考点四 解一元一次不等式组例5.解不等式组:，并写出不等式组的整数解.考点五 列一元一次不等式组解应用题例6.九(3)班学生到阅览室读书，班长问老师要分成几个小组，老师风趣地说：假如我把43本书分给各个小组,若每组8本,还有剩余;若每组9本,却又不够.你知道该分几个小组吗?（三）典例精讲1、关于x 的方程x m x --=-425的解x 满足2<x<10，求m 的取值范围2、当关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=--=+my x m y x 432522的解x 为正数，y 为负数，则求此时m 的取值范围？3、不等式()123x m m ->-的解集为2x >，求m 的值。
2024年人教版七年数学下册教案(全册)第9章 不等式与不等式组
一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“方程与不等式”主题中的“不等式与不等式组”.二、单元学习内容分析1.课标分析《标准2022》指出初中阶段数与代数是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.在小学阶段,学生认识了正有理数,掌握了正有理数的四则运算,知道可以用字母表示数、数量关系及规律.在初中阶段,学生将认识负数、无理数,学习它们的四则运算,还将学习代数式、方程、不等式、函数等内容.这些内容构成了初中阶段数与代数领域“数与式”“方程与不等式”和“函数”三个主题.“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系(相等关系和不等关系),是一类应用广泛的数学工具.应当让学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表示未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程或不等式是现实问题中含有未知数的等量关系或不等关系的数学表达;引导学生关注用字母表示一元二次方程的系数,感悟用字母表示的求根公式的意义,体会算术与代数的差异.本章的学习内容不等式与不等式组是从什么是不等式说起,类比等式和方程,讨论不等式的性质,学习一元一次不等式(组)的概念及其解法,并利用这些知识解决一些问题,感受不等式在研究不等式问题中的重要作用.2.本单元教学内容分析人教版教材七年级下册第九章“不等式与不等式组”,本章包括三个小节:9.1不等式;9.2一元一次不等式;9.3一元一次不等式组.“方程与不等式”主题通过结合具体问题,让学生了解方程的意义,探索方程的基本性质;能用方程的基本性质对方程进行变形;能解一元一次方程,能根据二元一次方程组的特征选择代入消元法或加减消元法解二元一次方程组;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次方程或二元一次方程组,解决简单的实际问题,建立模型观念.本单元内容是学生在学习了一元一次方程和二元一次方程组之后,所要学习的又一次数学建模过程,是初中阶段的重要内容之一,也为后续学习做好铺垫.通过学生所熟悉的实际问题,充分展现知识发生、发展的过程,关注新旧知识间的联系,进而引入不等式的有关概念,使学生经历用模型和符号表示实际问题的过程,以便加深对不等式相关概念的理解和应用.在探究不等式的性质和解法的过程中,利用数形结合的办法,帮助学生理解和掌握知识,如借助数轴探究不等式的性质,将不等式(组)的解集在数轴上表示出来等.通过类比,让学生发现不同知识间的联系,如将解一元一次不等式的过程和解一元一次方程的过程进行类比,有助于学生发现它们之间的异同,进而加深理解和应用.在解决实际问题的过程中使学生初步体会一元一次不等式的建模过程,培养学生建立数学模型的能力.三、单元学情分析本单元内容是人教版教材数学七年级下册第九章不等式与不等式组,学生在前面已学习了一元一次方程,初步积累了一定的数学活动经验,运用类比的数学思想,从方程的研究过程出发会降低学生学习的难度.根据学生的最近发展区创设特定情境,会使学生更加主动地去探索不等式的基本性质,培养学生良好的数学探究意识.而让学生主动探索不等式的基本性质,认识不等式在现实生活中的广泛应用是学习本单元内容的主要目标.学生虽然积累了一定的建立数学模型的数学活动经验,但是在探索的过程中对学生分析问题的能力、抽象能力、交流归纳能力以及对数学方法的掌握能力要求较高.四、单元学习目标1.经历从实际问题抽象出不等式的过程,能够根据具体问题中的数量大小关系了解不等式的意义.2.利用数形结合,通过观察、猜想、类比和归纳,探索不等式的基本性质,并能灵活运用这些性质解不等式.3.理解一元一次不等式和一元一次不等式组的解集的意义,能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集.会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集,在解不等式的过程中,体会数形结合的思想.4.知道解一元一次不等式(组)的一般步骤,掌握一元一次不等式(组)的解法,发展运算能力.5.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验所求结果的合理性.感受数学的应用价值,培养学生的模型观念、应用意识和创新意识.五、单元学习内容及学习方法概览不等式与不等式组课时划分内容本质与研究方法9.1不等式9.1.1不等式及其解集借助由特殊到一般的研究思路,归纳不等式的概念;能用不等式表示同类量之间的不等关系,理解不等式的解及其解集的意义9.1.2不等式的性质第1课时不等式的性质通过观察、猜想、类比和归纳,探究出不等式的基本性质,体会不等式变形和等式变形的区别与联系,掌握不等式的基本性质并熟练运用第2课时不等式的性质的应用9.2一元一次不等式第1课时一元一次不等式的解法能说出一元一次不等式的概念,能在数轴上表示不等式的解集;掌握解一元一次不等式的一般步骤第2课时一元一次不等式的应用类比列一元一次方程解应用题的方法,能从实际问题中抽象出数量之间的不等关系,会解决有关一元一次不等式的简单问题,发展学生的应用意识、分析和解决问题的能力,培养学生的模型观念续表不等式与不等式组课时划分内容本质与研究方法9.3一元一次不等式组能说出一元一次不等式组的概念,从实际问题中抽象出不等式组,会解简单的一元一次不等式组六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所收获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。
人教版七年级数学下册第九章《不等式与不等式组》同步教学设计
3.培养学生严谨、细致的学习态度，让他们明白在解题过程中每一步的重要性。
4.培养学生具备解决问题的能力，使他们认识到数学知识在实际生活中的应用价值。
5.引导学生树立正确的价值观，将所学知识运用到实际生活中，为社会发展做出贡献。
二、学情分析
2.对于难点的突破：
（1）设计互动环节，让学生在小组讨论中探究不等式符号的变号规则，通过同伴互助加深理解；
（2）利用图表和数轴，帮助学生形象化地理解乘除以负数时符号的变化；
（3）通过案例分析和角色扮演，让学生在实际情境中练习将问题抽象为不等式或不等式组；
（4）利用可视化工具，如数轴上的区间标记，帮助学生理解和判断不等式组的解集。
3.情境创设：通过一个与不等式相关的实际问题，激发学生探究新知的欲望。例如：“小华和小明同时从同一地点出发，小华的速度是每分钟80米，小明的速度是每分钟100米。5分钟后，他们之间的距离是多少？”
（二）讲授新知
在导入新课之后，我将正式开始讲授不等式的相关知识。
1.不等式的概念：介绍不等式的定义，如大于、小于、大于等于、小于等于等符号，并举例说明。
1.分组：将学生分成若干小组，每个小组负责讨论一个不等式的性质或解法。
2.交流：各小组汇报自己的讨论成果，分享不等式性质和解法的理解。
3.互动：鼓励学生提问，解答其他小组的疑惑，共同探讨解决不等式问题的方法。
4.总结：在各小组讨论的基础上，引导学生总结不等式的性质和解法，形成系统的知识体系。
（四）课堂练习
4.思考与拓展：
（1）请思考：不等式与方程有何区别和联系？
（2）了解不等式的其他性质，如乘除以负数时，不等号方向的变化。
七年级下册数学第九章《不等式与不等式组》教案
9.1.1不等式及其解集学习目标知识：不等式及其解集和一元一次不等式。
方法：渗透数形结合的思想。
情感：培养学生的数感，促进合作交流意识的形成。
学习重点：不等式、不等式解与解集的意义，并把解集正确地表示在数轴上。
学习难点：正确理解不等式的解集意义。
.教具准备：多媒体课件。
教学流程一、【情境引入】1、ppt出示题目：某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x，此时的x应满足怎样的关系式？依题意得4x>6(x−10)2、你能举出生活中不相等关系的一些实例吗？3、怎样来表示这些不等关系呢？这就是我们今天探讨的问题。
（板书课题：不等式及其解集）。
二、【自主探究】学生阅读121——123页。
自读提纲：（1）什么叫做不等式及不等式的解？（2）什么叫做不等式的解集？什么叫做一元一次不等式？（3）怎样在数轴上表示不等式的解集？三、【合作探究】以上问题让学生展示，先让学困生回答，中等生补充，优等生总结；教师适当指导汇总得出：1、不等式的概念：用“＜”“＞”“≠”表示大小关系的式子叫做不等式。
（让学生回忆等式的概念。
）2、使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
3、使不等式成立的所有的解的集合叫做不等式的解集。
4、含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。
（让学生回忆一元一次方程的概念。
）例1、用不等式表示。
(1)a与1的和是正数。
(2)y的2倍与1的和大于3；(3)x的一半与x的2倍的和是非正数；(4)c与4的和不大于-2；2x＞50的解例2、判断下列数中哪些是不等式376，73，79，80，74，75.1，90，60例3、在数轴上表示下列不等式的解集(1)x>1；(2)x≥1；(3)x<1；(4)x≤1教师分析指点：按画数轴，定界点，走方向答。
五、【当堂训练】1、课本P123页1，2，3。
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9.1.1 不等式及其解集
教学过程设计
1、下列哪些是不等式x＋3 > 6的解？
哪些不是？
9.1.2 不等式的性质（1）
教学过程设计
9.1.2 不等式的性质（2）
教学过程设计
9.2一元一次不等式(1)
教学过程设计
9.2一元一次不等式(2)
教学过程设计
9.3 一元一次不等式组（1）
式解决实际问题的框图，领会数学建模思想
某单位计划“五一”黄金周期间组织10~25
名员工到某地旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人50元，经过协商，
家旅行社表示可给予每位旅客六五折优惠；乙
旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其
余旅客按七折优惠，该单位选择那一家旅行社支付的旅游费用较少/
学生独立思考，类比
探究三完成，把实际
问题转题（一元一次方程或
一元一次不等式）解
决。
(
9.3一元一次不等式组（2）
教学过程
《不等式与不等式组复习》
教学过程设计。