小学数学竞赛海淀区(1979年)二试试题

合集下载

北京市部分小学数学竞赛试题

北京市部分小学数学竞赛试题海淀区（1979年）二试试题1.（10分）张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地。

早上六点张、李两人一起从甲地出发，张明每小时走5公里，李军每小时走4公里。

赵琪上午八点才从甲地出发，傍晚六点赵、张同时到达乙地。

问赵琪什么时候追上李军？2.（10分）有一批苹果平均分给幼儿园大、小两个班，每人可分得6个。

如果只分给大班，每人可得10个。

问如果只分给小班，每人可得几个？3.（10分）把52、57、65、68、69、95、119、161 八个数分成两组，每组四个数，使它们乘积相等。

请你分一下。

4.（10分）蜘蛛有八条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有这三种小虫18只，共有118条腿和20对翅膀，问每种小虫各几只？5.（10分）一个一千位的数，所有数字都是1，问这个数被7除，余数是多少？6.（10分）我家在一条短胡同里，这条胡同的门牌号是从1号开始，挨着号码编下去。

如果除我家外，其余各家的门牌号数加起来，减去我家的门牌号数，恰好等于100。

问我家的门牌号是几号？全胡同共有几家？参考答案1.中午十二点。

2.每人得15个。

3.两组为52，69，95，119；57，65，68，161。

4.蜘蛛5只，蜻蜓7只，蝉6只。

5.余数是5。

6.门牌号是10号；全胡同15家。

部分解答与提示1.可先求出赵琪行走的速度：5×12÷（18-8）=6（公里）；再求赵琪追上李军的时间；4×2÷（6-4）＋8=12（时）。

2.虽然不知道幼儿园两个班人数和苹果数，但根据条件可知苹果数须是6与10的公倍数，即30的倍数，则最少应有30个苹果。

30÷6=5，可知两个班的人数和是5的倍数。

由于只分给大班，每人可得10个苹果，说明大班人数是3的倍数，由此得出小班人数是2的倍数，从而推算出苹果只分给小班，每人可得15个。

4.先假定都是蜻蜓和蝉：（118-6×18）÷（8-6）=5（只），18-5=13（只），求出蜻蜓和蝉共有数。

北京市中关村第二小学三年级竞赛数学试题及答案_图文

北京市中关村第二小学三年级竞赛数学试题及答案_图文一、拓展提优试题1．电力公司在公路两旁埋同样多的电线杆共402根，每相邻两根之间的距离是20米．后来全部改装，只埋了202根．改装后每相邻两根之间的距离是米．2．有甲乙两桶酒，如果甲桶倒入8千克酒，两桶酒就一样重，如果从甲桶取出3千克酒倒入乙桶，乙桶的酒就是甲桶的3倍，甲原来有酒千克，乙千克．3．观察下面两个算式，□、△各表示一个数字，□□、△△、□□□、△△△各表示一个两位数和三位数，这两个算式是和．□□□×□□×□＝152625；△△△×△△×△＝625152．4．时钟2点敲2下，2秒钟敲完．12点敲了12下，秒可以敲完．5．一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃得多．聪明的沙僧用天平得到了如图所示的两种情况（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克．6．三（1）班同学排成三排做早操，三排人数相等．小红排在中间一排．从左往右数，她是第6个；从右往左数，她是第7个，全班共有个人．7．（12分）2个樱桃的价钱与3个苹果价钱一样，但是一个苹果的大小却是一个樱桃的12倍，如果妈妈用买1箱樱桃的钱买同样大小箱子的苹果，能买（）箱．A．4B．6C．18D．278．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有人．9．小圆有一筐桃子，第一次他吃掉了全部桃子的一半多1个，第二次他又吃掉了剩余桃子的一半少1个，此时筐里还剩下4个桃子，那么这个筐里原有桃子个．10．期末考试到了，小蕾的前两门语文和数学的平均分是90分，如果他希望自己的语文、数学、英语三门平均分能够不低于92分，那么他的英语至少要考到分．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：（402÷2﹣1）×20＝4000（米），202÷2＝101（根），4000÷（101﹣1）＝40（米）；答：改装后每相邻两根之间的距离是40米．故答案为：40．2．解：根据题意可得：如果从甲桶取出3千克酒倒入乙桶，两桶的差是：8+3+3＝14（千克）；这时甲桶有：14÷（3﹣1）＝7（千克）；乙桶有：7×3＝21（千克）；乙桶原来有：21﹣3＝18（千克）；甲桶原来有：18﹣8＝10（千克）．答：甲原来有酒10千克，乙18千克．故答案为：10，18．3．解：根据分析可得，□□□×□□×□＝152625＝5×5×5×3×11×37＝5×55×555，所以，□□□×□□×□＝5×55×555；△△△×△△×△＝625152＝64×11×888＝8×8×11×888＝8×88×888；故答案为：5×55×555，8×88×888．4．解：根据分析可得，2÷（2﹣1）×（12﹣1），＝2×11，＝22（秒）；答：12点敲了12下，22秒可以敲完．故答案为：22．5．解：由图可知：○＝2△+40克①○+80克＝△+200克②由②可知：○＝△+120克③把③带入①得：△+120克＝2△+40克△+120克﹣40克＝2△+40克﹣40克△+80克＝2△△+80克﹣△＝2△﹣△△＝80克把△＝80克带入③得：○＝200克200+80＝280（克）答：1个桃子和1个包子共重280克．故答案为：280．6．解：（6+7﹣1）×3，＝12×3，＝36（人）；答：全班共有36个人．故答案为：36．7．解：根据题意：2个樱桃的价钱×6＝3个苹果价钱×6，即12 个樱桃的钱可以买18 个苹果；又一个苹果的大小却是一个樱桃的12倍，所以1 个苹果大小的樱桃可以买到18 个苹果，1箱樱桃就可以买到同样大小箱子的苹果18箱．故选：C．8．解：根据题干分析可得：5+5﹣1＝9（人）9×9＝81（人）答：参加广播操表演的共有81人．故答案为：81．9．解：[（4﹣1）×2+1]×2＝7×2＝14（个）答：这个筐里原有桃子 14个．故答案为：14．10．解：92×3﹣90×2＝276﹣180＝96（分）答：他的英语至少要考到 96分．故答案为：96．。

数学奥林匹克竞赛训练题：几何部分(2)平面几何计算

数学奥林匹克竞赛训练题：几何部分（2）平面几何计算C2－001 设P是正方形ABCD内的一点，满足PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，求∠APB．【题说】1979年内蒙古区赛二试题4．【解】作点Q，使CQ=PA，BQ=PB．再连PQ，显然△APB≌△BQC，故∠APB＝∠BQC∠ABP＝∠CBQ因而△PBQ是等腰直角三角形．且PQ2=PB2=8PA2，因此PC2=9PA2=PQ2＋CQ2于是△CPQ是直角三角形，故∠APB＝∠BQC＝∠CQP＋∠PQ BC2－002设N是正九边形，O为其外接圆圆心，PQ和QR是N的两个邻边．A为PQ的中点，B为垂直于QR的半径的中点．试求AO与AB的夹角．【题说】1992年澳大利亚数学奥林匹克题1．【解】设C为垂直于QR的半径与外接圆的交点，则△POC为等边三角形，从而PB⊥OC；又因PA ⊥OA，所以A、B、O、P四点共圆．故∠OAB=∠OPB＝30°．C2－003 如图，在等腰△ABC中．AC=BC，∠ACB=40°．在三角形的外部取一点M，使∠MAB=20°，∠MBA=40°，求∠MCB．【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛八年级题3．【解】不妨设AC=BC=1，则由余弦定理知AB=2sin20°．再由正C2－004 锐角△ABC的外心为O．线段OA，BC的中点分别为M、N．∠ABC＝4∠OMN，∠ACB ＝6∠OMN．求∠OMN．【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题3．【解】如图，设∠OMN=θ，则∠ABC＝4θ，∠ACB＝6θ，∠BAC＝180°－10θ，∠NOC＝∠BOC ／2＝∠BAC＝180°－10θ，∠MOC=2∠ABC＝8θ．从而∠MON=8θ＋（180°－10θ）＝180°－2θ∠ONM＝180°－（∠MON＋∠OMN）＝θ－∠OMN所以∠OMN为等腰三角形．从而ON＝OM＝OA／2＝OC／2．故∠NOC＝60°＝180°－10θ，θ＝12°．C2－005 一直线与正六边形ABCDEF相交，截出一个△AKN，其中AK＋AN＝AB．试求∠KAN＋∠KBN＋∠KCN＋∠KDN＋∠KEN＋∠KFN等于多少度？【题说】第五十八届（1995年）莫斯科数学奥林匹克八年级题6．【解】不妨设点N位于边AB上．点K位于边AF上，由于AK＋AN=AB．故FK=AN．分别在边BC、CD、DE、EF上取点P、R、S、T．使得FK=AN=BP=CR=DS=ET（见图）．于是∠KBN=∠TAK∠KCN=∠SAT∠KDN=∠RAS∠KEN=∠PAR∠KFN=∠NAP所以∠KAN+∠KBN＋∠KCN+∠KDN＋∠KEN＋∠KFN=∠KAN＋∠TAK＋∠SAT+∠RAS＋∠PAR+∠NAP=∠KAN＋∠KAN＝2×120°＝240°C2－006 锐角△ABC的高AA1、BB1和CC1的中点分别是A2、B2和C2，求∠B2A1C2、∠C2B1A2与∠A2C1B2之和．【题说】第二十一届（1995年）全俄数学奥林匹克九年级题6．【解】设M是AB边的中点．线段MA2和MB2分别是△AA1B和△AB1B的中位线，由此得∠A2MB2=∠ACB设H为△ABC的垂心，则∠HC1M=∠HA2M=∠HB2M=90°，所以M、A2、H、B2、C1都在以HM为直径的圆上，所以∠A2C1B2=∠A2MB2=∠ACB同理∠B2A1C2=∠BAC，∠C2B1A2=∠CBA所以所求的三个角之和等于△ABC三内角之和，即180°．C2－007 设△ABC是一个等腰三角形，其中AB＝AC．假如∠B平分线交AC于D，且BC＝BD＋AD．求∠A度数．【题说】第二十八届（1996年）加拿大数学奥林匹克题4．【解】在BC上取BE=BD．则EC=AD．由分角线定理，有又∠C公用，故△ABC∽△EDC．设∠ABD＝∠CBD＝α，则∠CDE＝∠DCE＝2α∠BDE＝∠BED＝4α从而9α＝180°，α＝20°∠A＝∠CED＝5α＝100°C2－009 作三边长为a、b、c的三角形ABC的内切圆．又作三条分别平行于这三角形各边的圆的切线．这三条切线从三角形ABC中截得三个新的三角形，再在每个新的三角形中作内切圆，计算这四个圆的面积和．【题说】第六届（1964年）国际数学奥林匹克题3．本题由南斯拉夫提供．【解】考虑一个截得的三角形；比如△APQ．（如图）因△APQ∽△ABC，所以其中r a为△APQ的内切圆半径．因此，所求面积和为（Δ，s分别为△ABC的面积与半周长）C2－010 凸四边形ABCD的边AD和BC延长相交于E．设H和G分别是BD和AC的中点．求△EHG的面积对四边形ABCD面积的比．【题说】第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题4．【解】连AH、CH，有S△EGH＝S△ECH－S△GCH－S△EGC因此S△EHG∶S ABCD=1∶4．C2－011A、B、C三点共线并且B在A与C之间，在AC的同一侧分别以AB、BC、AC为直径作半圆，前两个半圆的外公切线的切点分别为U、V，而过点B的公切线与第三个【题说】1980年五国国际数学竞赛题2．本题由卢森堡提供．【解】设EA、EC分别交前两个半圆于U'、V'，则四边形EU'BV'是矩形，∠V'U'B=∠EBU'=∠EAB，∠U'V'B=∠ECB，U'V'是两个半圆的公切线，U'即U，V'即V．C2－012 一金工车间的切割工具呈有缺口的圆形，如图所示，圆B点到圆心的距离（以厘米为单位）的平方．【题说】第一届（1983年）美国数学邀请赛题4．OB2＝OA2＋AB2－2×OA×AB×cos∠OAB＝26C2－013 如图，在△ABC内选取一点P，过P作三条分别平行于各边的直线，这样所得到的三个三角形t1、t2、t3的面积，分别是4、9、49．求△ABC的面积，【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题3．【解】t1，t2，t3的对应边的比：即BH∶AG∶GH=2∶3∶7所以AB∶GH=12∶7S△ABC∶S△PGH=122∶72S△ABC＝144C2－014 如图所示，将△ABC的三个顶点与同一个内点连接起来，所得三条连线把△ABC分成6个小三角形，其中4个小三角形的面积已在图上标出．试求△ABC面积．【题说】第三届（1885年）美国数学邀请赛题6．【解】设S△CDP=x，S△AEP=y，则有由（1）、（2）解得x=70，y=56，故S△ABC=315．C2－015 一个梯形被两条对角线分成四个三角形，若用A、B分别表示以梯形上、下底为底边且有公共顶点的两个三角形的面积，求此梯形的面积．【题说】1988年新加坡数学奥林匹克（A组）题8．原题为选择题．【解】如图所示，过三角形A、B的公共顶点引高，分别记为x、y，记另两个三角形的面积为C、D．容易证得：所以梯形的面积=A＋B＋C＋DC2－016 △ABC是面积为1的直角三角形．A'、B'、C'分别是A、B、C关于各自对边的反射（对称）点．求△A'B'C'的面积．【题说】第二十一届（1989年）加拿大数学奥林匹克题2．【解】如图，设C'C交AB于D，延长交A'B'于D'，则易知C'D'⊥A'B'，AB=A'B'．C'D'=3CD，故C2－017 D、E为△ABC边AB、AC上的点，BE、CD交于P．△ADE、△BPD、△CEP的面积分别是5、8、3，求△ABC的面积．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题5．【解】如图，设△PDE、△PBC的面积分别为x、y，则（5+x+3）∶（8+y）=AD∶DB=5∶（x+8）即x2+16x+24=5y （1）又8∶y=DP∶PC=x∶3，即xy=24 （2）由（1）、（2）解得x=2，y=12．从而△ABC的面积为30．C2－018 凸五边形ABCDE中，BE分别交AC、AD于S、R，BD分别交CA、CE于T、P，AD交CE于Q．且△ASR、△BTS、△CPT、△DQP、△ERQ的面积均为1．（1）求五边形PQRST的面积；（2）求五边形ABCDE的面积．【题说】1995年日本数学奥林匹克题3．【解】（1）设五边形PQRST的面积为x．由S△BST=S△ASR得S△BTR=S△ATR，从而BA∥TR．所以同理可得BC∥AD，CD∥BE，DE∥AC，EA∥BD．由AE∥BD得即整理得x2=5（2）由AC∥DE得C2－019 设A'、B'、C'、D'、E'，F'分别是六边形ABCDEF的六边AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点．试利用△ABC'、△BCD'、△CDE'、△DEF'、△EFA'、△FAB'的面积表示六边形ABCDEF的面积．【题说】1996年城市数学联赛高年级高水平题3．【解】A′是AB的中点，故2S△EFA′=S△EFA+S△EFB同理可得2S△FAB′=S△FAB+S△FAC2S△ABC′=S△ABC+S△ABD2S△BCD′=S△BCD+S△BCE2S△CDE′=S△CDE+S△CDF2S△DEF′=S△DEF+S△DEA另一方面S ABCDE=S△EFA+S△DEA+S△ABD+S△BCD=S△FAB+S△EFB+S△BCE+S△CDE=S△ABC+S△FAC+S△CDF+S△DEFC2-020在一个边长为1的正六边形内部有一点P，已知P到某两【题说】1963年北京市赛高二二试题3．C2-021侦察机沿以A为圆心、半径为10公里的圆周飞行，速度为每小时1000公里．某时刻从A 点发射一枚与飞机具有相同速度的火箭，无论何时火箭总在连结圆心与飞机的直线上，问火箭发射后，什么时间可以追上飞机？【题说】1965年全俄数学奥林匹克十年级题5．【解】设火箭发射时，飞机在Q点，半径AB⊥AQ（如图），以AB为直径作半圆．对半圆上任一点R，延长AR交⊙A于P，连RB，C2-022 给定三个单位圆，两两相切，求切于所有三个圆的圆的半径．【题说】第四届（1972年）加拿大数学奥林匹克题1．【解】设三单位圆心为A、B、C．则△ABC为边长为2的正C2-023 一个矩形桌子长和宽如图所示．一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA=∠RQB等等）．试求小球所走的路径的长．【题说】1979年广东省赛二试题4．【解】易知四边形PQRS是平行四边形．由△QBR≌△SDP及△PDS≌△RCS，得因而小球所走路径长为[别解] 利用轴对称可发现所以2（PQ+QR）=34．C2-024设AD为△ABC的高线，求一切△ABC使AB+AC=2cm，【题说】1979年英国数学奥林匹克题1．【解】设x=BD，y=DC，且z=AD，诸线段均指有向线段，使得x+y＞0且z＞0，则x2+z2≥（2x+z）2/5当且仅当x=2z时，等号成立．当且仅当y=2z时，等号成立．由（3）与（4）得由（1）与（2），（5）中等号成立，因此x=y=2z，故适合这问题的唯一的三角形的边为：C2-025AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别内分AC、CE使AM：AC=CN：CE=r．如果B、M、N三点共线，试求r的值．【题说】第二十三届（1982年）国际数学奥林匹克题5．【解】连结BD、ND，将△MBC绕外接圆的圆心O逆时针旋转120°，则重合于△NDE，故知∠BND=120°．以BD为一边向N点另一侧作等边三角形BDG，则N、B、G、D四点共圆且C为此圆的圆心．从而CN=CB．【别解】因B、M、N共线，由梅涅劳斯定理得其中X是AC与BE的交点．设正六边形的边长是1．则C2-026在一个面积为1的正方形中构作一个如下的小正方形：将单位正方形的每条边作n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形（图中阴影部分）的面积恰为1/1985，求n的值．【题说】第三届（1985年）美国数学邀请赛题4．【解】作EF⊥HB，则Rt△BEF∽Rt△EDA从而即整理得2n2-2n+1=1985或2（n-32）（n+31）=0．解得n=32（负根舍弃）C2-027 如图，AOB是半圆的直径，AC=BC，E为BC中点，一l，求[10l]，其中[x]表示不超过x的最大整数．【题说】1986年北京市赛高一题2（7）．【解】由已知条件知O、E、F三点共线，且EF为小圈直径．连AE交小圆于K，连FK，易证△EKF∽△ACE．所以EK∶AC=EF∶AE故34.1＜10l＜34.2 即[10l]=34．C2-028如图所示，S1和S2是直角三角形ABC的两个内接正方形，若S1的面积为441，S2的面积为440，求AC+CB的值．【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题15．【解】令T1、T2、T′1、T′2、T3表示图c、d中直角三角形面积，S△ABC=S．则S=T′1+T′2+T3+440又设h、h1分别△ABC及T3斜边上高，则而ch=ab=2S于是（a+b）2=a2+b2+2ab所以a+b=21×22=462．【别解】设S1、S2的边长分别为a、b，∠B=θ．则所以a2（1+2sinθcosθ）=b2（sin2θcos2θ+2sinθcosθ+1）记t=sinθcosθ，将a2=441，b2=440代入上式并整理得440t2-2t-1=0AC+BC=（a+a tgθ）+（a+a ctgθ）=462C2-029令P是△ABC的一个内点，延长AP、BP、CP与对边相交，如图，a、b、c、d表示各相应线段的长．已知a+b+c=43，d=3，求abc=？【题说】第六届（1988年）美国数学邀请赛题12．利用三角形面积比．【解】三式相加，得整理后，得2d3+（a+b+c）d2-abc=0由是知abc=2×33+43×33=441C2-030设圆内两弦AB，CD交于圆内一点E．在直线段EB的内部取一点M，然后过点D、E、M 作圆，再过E作此圆的切线分别交【题说】第三十一届（1990年）国际数学奥林匹克题1．本题由印度提供．【解】如图所示，连DA、DM及DB．显然有∠CEF=∠DEG=∠EMD；∠ECF=∠MAD于是△CEF ∽△AMD，从而CE·MD=AM·EF．另一方面，又有∠ECG=∠MBD，于是∠CGE=∠CEF-∠ECG=∠EMD-∠MBD=∠BDM故△CGE∽△BDM，从而GE·MB=CE·MD于是GE·MB=AM·EF，故C2-031十二只完全相同的圆盘放置在半径为1的圆周上，使得这十二只圆盘覆盖这圆周，但没有两只圆盘重叠，所以这十二只圆盘的每一个与它两旁的两只圆盘相切．圆盘的排列如图所示．这十二只圆盘的被任一素数的平方整除．求a+b+c．【题说】第九届（1991年）美国数学邀请赛题11．【解】设小圆半径为r，大圆半径R=1．a+b+c=84+48+3=135C2-032梯形ABCD的边AB=92，BC=50，CD=19，AD=70，且AB∥CD．一圆的圆心P在AB上，且与BC和AD相切，设AP=m/n，其中m和n是互素的正整数，求m+n．【题说】第十届（199年）美国数学邀请赛题9．【解】延长AD和BC交于点Q．因为点P到AQ和BQ之距离C2-033 在正△ABC的边BC、CA、AB上有内分点D、E、F将边分成3∶（n-6）（n＞6）．线段AD、BE、CF相交所成的三角形面积是正三角形面积的4/49时，求n的值．【题说】1992年日本数学奥林匹克预选赛题6．【解】如图，由梅内劳斯定理知于是所以整理得5n2-64n+192=0即（5n-24）（n-8）=0由于n＞6，所以所求的值为8．C2-034图中ABCD为正方形，U、V分别为边AB、CD内部的点．确定使四边形PUQV面积为最大时，U、V的所有可能情况．【题说】第二十四届（1992年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】不妨设BU≥CV．显然，△VQC∽△BQU，所以QU≥QC并且V到QC的距离≤B到UQ的距离．在QU上取E，使QE=QC，则S△BUE≥S△VUE，S△VQC=S△VQE又由BU∥CV易知S△BQC=S△QUV，所以S△UBQ+S△VQC=S△BUE+S△BQE+S△VQE≥S△VUE+S△BQC+S△VQE=2S△UQV从而同理相加得当且仅当BU=CV时等号成立．因此，在BU=CV时，四边形PUQV面积最大．C2-035直线l1与l2分别切圆周于点A和点B．在直线l1与l2上分别取1993个点A1，A2，…，A1993与B1，B2，…，B1993，使AA i=（i+1）BB i（i=1，2，…，1993），并且A i B i的延长线与AB的延长线相交于点M i（i=1，2，…，1993）．试问：【题说】1993年第十六届哈尔滨市高中数学竞赛二试题1．【解】过点B i作AA i的平行线交AB于点B i′，显然△B i B i′B是等腰三角形，从而BB i=B i′B i，AA i=（i+1）B i′B i，又由B i′B i∥AA i知C2-036 设D是锐角三角形ABC内部的一个点，使得∠ADB=∠ACB+90°并有AC·BD=AD·BC（2）求证△ACD的外接圆和△BCD的外接圆在C点的切线互相垂直．【题说】第三十四届（1993年）国际数学奥林匹克题2．【解】（1）如图a，以BC为边向△ABC外作△CBE∽△CAD，∠DBC+∠CAD=∠ADB-∠ACB=90°．所以△DBE是等腰直角三角形，（2）证明：如图b，设CK是△ACD的外接圆的切线，CL是△BCD的外接圆的切线．则∠LCK=∠LCD+∠KCD=∠CBD+∠CAD=90°即CL⊥CK．C2-037 一个三角形的3条边长及一条高是4个相继的正整数，且这条高将三角形分成的两个直角三角形的边长均为整数．求这三角形的三边长，并证明这是唯一的．【题说】第二十五届（1993）加拿大数学奥林匹克题1．【解】设△ABC中三边及高AD为正整数n，n+1，n+2，n+3．不妨设AB＞AC，则AB＞AC＞AD，故AD=n或n+1．（1）若AD=n+1，则AB=n+3，AC=n+2，BC=n．从而都不是整数．因此满足要求的三角形不存在．①若BC=n+1，则AC=n+2，AB=n+3．这时②若BC=n+2，则AC=n+1，AB=n，这时AC=13，BC=14，AB=15综上所述，满足要求的三角形ABC，只有一解，其边长分别为13、14、15．C2-038在△ABC中，CH为高，R、S分别为△ACH和△BCH的内切圆与CH的切点．若AB=1995，AC=1994，BC=1993，则RS【题说】第十一届（1993年）美国数学邀请赛题15．【解】1997．如图，令△ABC的三边BC、AC、AB分别为a、b、c，CH= h，AH= x，BH= y，两内切圆的半径分别为r1、r2．于是，RS=|RH-SH| =|r1-r2|．又因x2-y2=b2-a2将（2）代入（1），得所以m+n=332+665=997．C2-039设AB为圆的直径．点P不在直线AB上．直线PA、PB分别交圆于U、V．设PU=sPA，PV=tPB，s、t为非负实数．用s、t表出cos∠APB．【题说】第二十六届（1994年）加拿大数学奥林匹克题4．【解】若P在圆外（如图a、b、c），则若P在圆上（如图d），则若P在圆内（如图e），则同理所以C2-040如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外【题说】第十二届（1994年）美国数学邀请赛题2．【解】如图，设大圆圆心为O，则直线PQ过O，设这直线交AB于R，AB=x，那么RO=RQ-OQ=x-10，由勾股定理m+n=8+304=312C2-041在Rt△ABC中，∠C为直角，CD为AB边上的高，D质的正整数，求m+ n．【题说】第十二届（1994年）美国数学邀请赛题10．【解】如图，我们用a、b、c分别表示BC、AC、AB的长度．设p=29，则BD= p3．熟知有a2=p3c因为p是素数，所以，存在自然数x，使a= p2x，c= px2，从而b2=c2-a2=p2x4-p4x2=p2x2（x2-p2）从而，存在正整数y，使x2-p2=y2，故p2=x2-y2=（x-y）（x+ y）因为p是素数，且x-y＜x+y，则有x-y=1和x+ y= p2，即因此，m+n=450．C2-042 半径为3和6的两圆互相外切，并内切于一半径为9的圆．半径为9的圆有一条弦是另两圆的公切线．求这弦的长度的平方．【题说】第十三届（1995年）美国数学邀请赛题4．【解】如图，设三圆圆心分别为O1、O、O2，它们在已知弦BC上的射影分别为A1、A、A2．由相切关系易知O1、O、O2共线，并且OO1=9-6=3OO2=9-3=6又易知O1A1、O2A2是两圆的半径，所以O1A1=6，O2A2=3．由定比分点公式BC2=4（OB2-OA2）=4（92-52）=4×4×14=152-1=224C2-043△ABC为等腰三角形，AB=AC，且高AM=11．设在AM上有一点D，使得AD=10，∠BDC=3∠BAC，△ABC的周长可写成【题说】第十三届（1995年）美国数学邀请赛题9．【解】设∠BAM=α，则∠BDM=3α．设tanα=x，由倍角公式易得a+b=11+605=616C2-044在一个半径为42的圆中，两条长为78的弦相交，交点与圆心的距离为18．两条弦将圆的内部分成四个区域，其中两个区域由两条长度不相等的线段围成．这两个区域中任一个的面积能唯一地表成m求m+n+d．【题说】第十三届（1995年）美国数学邀请赛题14．【解】如图，两弦AB，CD长均为78，所以它们关于过交点P的直径EF对称．设圆心为O，AB中点为M，则∠OMA=90°，OM=m+n+d=294+81+3=378C2-046 在已知圆内求作内接等腰三角形，使这个等腰三角形的底与其底上的高的和为极大．【题说】1956年上海市赛决赛题5．【解】如图，任作一圆内接等腰三角形ABC，并作高D，延长AD至E，使DE=BC，则AE为底与底上的高的和．连结EC，由DC∶DE=1∶2知EC的方向确定．在与EC平行的各直线中，能使AE最大，且与圆有公共点时应为圆的切线．因此，作与EC平行的切线切圆于H．连AH并在圆上取I使AI=AH，则△AIH即为所求．C2-047由密度均匀的金属细丝绷成一个三角形框架，求这个三角形框架重心的位置．【题说】1962年成都市赛高三二试题3．【解】边BC、CA、AB的重心即各自的中点D、E、F．问题化为在D、E、F处分别放有质量a、b、c，求D、E、F的重心．P是E、F的重心．从而D、E、F的重心在DP上．同理这重心在∠DEF的平分线上．因此D、E、F 的重心即△DEF的内心G．G也是金属框架的中心．C2-048正n边形（n＞5）的最长对角线与最短对角线的差等于边长，求n．【题说】第二届（1968年）全苏数学奥林匹克九年级题1．【解】设a n是边，D n和d n是最长的和最短的对角线．当n=6和n=7时，由三角形两边之差小于第三边，即得D n-d n＜a n．当n=8时（如图a），从最短对角线BD的端点向最长的对角线AE作垂线BK和DL．∠ABK=90°-∠BAK=22.5°＜30°．所以，AB= a8＞2AK=D8-d8．当n=9时（如图b），同理有∠ABK=30°，所以AB= a9=2AK=D9-d9．当n＞9时，考虑半径为1的圆的内接正n边形．显然，D n≥D9，d n＜d9，a n＜a9．因此，D n-d n＞D9-d9=a9＞an．综上所述，n=9．C2-049一个战士想要查遍一个正三角形（包括边）区域内或边界上有无地雷，他的探测器的有效度等于正三角形高的一半．这个战士从三角形的一个顶点开始探测．问他循怎样的探测路线才能使查遍整个区域的路程最短．【题说】第十五届（1973年）国际数学奥林匹克题4．本题由南斯拉夫提供．【解】设战士从顶点A出发探测正三角形区域ABC，△ABC的高为2d．以B为圆心，d为半径作圆与AB、BC分别交于M、N；C为圆心，d为半径作圆与AC，BC分别交于P、Q．路不短于AD′+D′E′≥AD′+D′E″≥AD+DE，后一个不等式是由于AD+DC≤AD′+D′C．同时由于D与AC的距离为d，可见战士沿路线ADE就可以完成搜索任务，因此ADE就是最短路径．还有C2-050已知两个半径分别为R和r的圆，作出一些不同的梯形ABCD，使得每个圆与梯形的两条腰及一条底边相切．求出腰AB可取的最小长度．【题说】第八届（1974年）全苏数学奥林匹克九年级题2．【解】当⊙O1（R）与⊙O2（r）外离或外切或相交时，才有符合题意的梯形存在．不妨设两圆外切于T点，梯形ABCD的一腰AB分别切⊙O1与⊙O2于E与F，如图，过T点作这两圆的公切线交EF于P点，延长梯形的两腰交于O点．则△O1PE∽△PO2F及△BO1E∽△O2AF，于是，PE·PF= Rr及BE·AF =Rr．所以，梯形的腰长还要R＜3r这一附加条件，这样，就不难画出符合题意的梯形ABCD．C2-051E是某圆直径AC上的定点．经过点E，求作弦BD，使四边形ABCD的面积为最大．【题说】第十四届（1980年）全苏数学奥林匹克九、十年级题2．【解】设O为圆心，R为圆的半径，OE= a，则S OED∶S ACD=a∶2RS OEB∶S ABC=a∶2R所以应与直径AC垂直．C2-052已知△ABC的面积为1，设A1、B1和C1分别是边BC、CA和AB的中点，如果K、L和M 分别位于线段AB1、CA1和BC1上，那么△A1B1C1和△KLM的公共部分的最小面积是多少？【题说】第八届（1974年）全苏数学奥林匹克十年级题6．【解】设△A1B1C1的三边与△KLM的三边的交点为D、D1、E、E1、F、F1，如图所示，且它们的公共部分的面于是A1D1≤D1D，因此，S△A1D1F≤S△D1DF同理，S△B1E1D≤S△E1EDS△C1F1E≤S△F1FE所以S△A1B1C1-S≤S△D1DF+S△E1ED+S F1FE=S-S△DEF≤SC2-053在一个面积为32cm2的平面凸四边形中，两条对边和一条对角线的长度之和为16cm，试确定另一条对角线的所有可能长度．【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题1．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】设凸四边形ABCD（图a）的面积为32cm2．AB+BD+CD=16cm于是32=S△ABD+S△BCD故式中应取等号，从而AB+CD=DB=8，则AB⊥DB，CD⊥DB（图b）．因此，C2-054设三角形三边长为3、4、5，P为这三角形内一点，求P到这三角形三边距离乘积的最大值．【题说】1979年陕西省赛二试题7．【解】如图，设BC=3，CA=4，AB=5．点P到AB、BC、CA的距离分别为x、y、z，因5x+3y+4z=125x·3y·4z=64为最大．故xyz的最大值为16/15．C2-055在已知锐角△ABC中作内接正方形，试求其面积最大者．【题说】1979年云南省赛二试题7．【解】如图，内接正方形MNPQ有两个顶点在BC上．边长为x a，面积为S a，则其中a= BC，h a= AH．设△ABC中，c≥b≥a，熟知a+ h a≥b+ h b≥c+ h a所以在锐角△ABC三边上的三个内接正方形中，最小边上的内接正方形的面积最大．C2-056已知两个等腰直角三角形，将一个的三个顶点分别放在另一个三角形的三条边上，问这两个三角形的面积之比最小值是多少？【题说】第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克八、九年级题1．较小三角形的直角顶点位置有两种情况：（1）当放在较大三角形的斜边上时，（如图a）两个三角形直角边的比小于1/2，它们的面积之比不小于1/4．（2）当放在较大三角形的直角边上时（如图b），x2+y2=a2，且C2－057 已知边长为4的正三角形ABC，D、E、F分别是BC、QS，P点在△RQS内及其边上移动，P点到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．1．求证：当P点在△RQS的顶点位置时，乘积xyz有极小值．2．求上述乘积的极小值．【题说】1982年全国联赛题4．【解】如图a，第一步，先固定x，考虑yz最小值．即过P作直线l∥BC，当P在l上变化时，yz何时最小？第二步，证两个引理：引理1：z+y+z=定值，这个定值就是△ABC的高．端点处取得最小值．这两个引理很容易证明．由此不难得到结论：如果P′、P″为l上两点，那么当P在区间[P′，P″]上变动时，xyz在端点P′或P″处取得最小值．第三步，扩大P点的变化区域：根据上面所述，当P点在l上变动时，xyz的值在P′或P″处为最小，这里P′、P″是l与△RQS 的边界的交点．但△RQS的边不与△ABC的边平行，因而在P移到△RQS的边界后，不能搬用上述方法再将P′或P″调整为△RQS的顶点．但是我们可以把P′点变化区域由△PQR扩大为图b所示的六边形RR′QQ′SS′，其中RR′∥Q′S∥CA，R′Q∥SS′∥BC，QQ′∥RS′∥AB，也就是说：R′与R关于∠ABC的平分线为对称．S′与R关于∠ACB的平分线为对称，等等．过P作平行于BC的直线l，将P调整为l与六边形RR′QQ′SS′的边界的交点P′（或P″），再将P′调整为顶点R或S′，每一次调整都使xyz的值减小．由于对称，xyz在六个顶点R、R′、Q、Q′、S、S′处的值显然相等，因而命题成立．2．由题易知，△ABE≌△BCF≌△CAD，从而△AER≌△BFQ≌△CDS，△RQS是正三角形．由1，我们只考虑S点x，y，z的取值．求得C2－058 在正方形ABCD的边AB、BC上分别取点P、Q，连接DP、DQ、PQ，分别记△DPQ、△DAP、△DQC和△PBQ的面值？【题说】第二届（1987年）东北三省数学邀请赛题5．【解】不妨设正方形边长为1．如图建立坐标系．设P（0，b）与Q（a，0），于是，C2－059 边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，求这个菱形两条对角线长度之和的最大值．【题说】1987年全国联赛一试题1（2）．原题为选择题．【解】设菱形的两条对角线长分别为x及y，则由已知考虑平行直线族x+y=c．当直线过点（8，6）时，得x+y的最大值14．C2－060在边长为10的正三角形ABC中，以如图所示的方式内接两个正方形（甲、乙两个正方形有一边相重迭，都有一边落在BC上，甲有一顶点在AB上，乙有一顶点在AC上）．求这样内接的两个正方形面积和的最小值．【题说】1988年北京市赛高一题3．【解】设甲、乙两正方形的边长分别为x、y，易知BC边上的四条线段之和为：记甲、乙两正方形面积之和为S，则有C2-051E是某圆直径AC上的定点．经过点E，求作弦BD，使四边形ABCD的面积为最大．【题说】第十四届（1980年）全苏数学奥林匹克九、十年级题2．【解】设O为圆心，R为圆的半径，OE= a，则S OED∶S ACD=a∶2RS OEB∶S ABC=a∶2R所以应与直径AC垂直．C2-052已知△ABC的面积为1，设A1、B1和C1分别是边BC、CA和AB的中点，如果K、L和M分别位于线段AB1、CA1和BC1上，那么△A1B1C1和△KLM的公共部分的最小面积是多少？【题说】第八届（1974年）全苏数学奥林匹克十年级题6．【解】设△A1B1C1的三边与△KLM的三边的交点为D、D1、E、E1、F、F1，如图所示，且它们的公共部分的面于是A1D1≤D1D，因此，S△A1D1F≤S△D1DF同理，S△B1E1D≤S△E1EDS△C1F1E≤S△F1FE所以S△A1B1C1-S≤S△D1DF+S△E1ED+S F1FE=S-S△DEF≤SC2-053在一个面积为32cm2的平面凸四边形中，两条对边和一条对角线的长度之和为16cm，试确定另一条对角线的所有可能长度．【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题1．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】设凸四边形ABCD（图a）的面积为32cm2．AB+BD+CD=16cm于是32=S△ABD+S△BCD故式中应取等号，从而AB+CD=DB=8，则AB⊥DB，CD⊥DB（图b）．因此，C2-054设三角形三边长为3、4、5，P为这三角形内一点，求P到这三角形三边距离乘积的最大值．【题说】1979年陕西省赛二试题7．【解】如图，设BC=3，CA=4，AB=5．点P到AB、BC、CA的距离分别为x、y、z，因5x+3y+4z=125x·3y·4z=64为最大．故xyz的最大值为16/15．C2-055在已知锐角△ABC中作内接正方形，试求其面积最大者．【题说】1979年云南省赛二试题7．【解】如图，内接正方形MNPQ有两个顶点在BC上．边长为x a，面积为S a，则其中a= BC，h a= AH．设△ABC中，c≥b≥a，熟知a+ h a≥b+ h b≥c+ h a所以在锐角△ABC三边上的三个内接正方形中，最小边上的内接正方形的面积最大．C2-056已知两个等腰直角三角形，将一个的三个顶点分别放在另一个三角形的三条边上，问这两个三角形的面积之比最小值是多少？【题说】第十三届（1979年）全苏数学奥林匹克八、九年级题1．较小三角形的直角顶点位置有两种情况：（1）当放在较大三角形的斜边上时，（如图a）两个三角形直角边的比小于1/2，它们的面积之比不小于1/4．（2）当放在较大三角形的直角边上时（如图b），x2+y2=a2，且C2－057 已知边长为4的正三角形ABC，D、E、F分别是BC、QS，P点在△RQS内及其边上移动，P点到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．1．求证：当P点在△RQS的顶点位置时，乘积xyz有极小值．2．求上述乘积的极小值．【题说】1982年全国联赛题4．【解】如图a，第一步，先固定x，考虑yz最小值．即过P作直线l∥BC，当P在l上变化时，yz何时最小？第二步，证两个引理：引理1：z+y+z=定值，这个定值就是△ABC的高．端点处取得最小值．这两个引理很容易证明．由此不难得到结论：如果P′、P″为l上两点，那么当P在区间[P′，P″]上变动时，xyz在端点P′或P″处取得最小值．第三步，扩大P点的变化区域：根据上面所述，当P点在l上变动时，xyz的值在P′或P″处为最小，这里P′、P″是l与△RQS 的边界的交点．但△RQS的边不与△ABC的边平行，因而在P移到△RQS的边界后，不能搬用上述方法再将P′或P″调整为△RQS的顶点．但是我们可以把P′点变化区域由△PQR扩大为图b所示的六边形RR′QQ′SS′，其中RR′∥Q′S∥CA，R′Q∥SS′∥BC，QQ′∥RS′∥AB，也就是说：R′与R关于∠ABC的平分线为对称．S′与R关于∠ACB的平分线为对称，等等．过P作平行于BC的直线l，将P调整为l与六边形RR′QQ′SS′的边界的交点P′（或P″），再将P′调整为顶点R或S′，每一次调整都使xyz的值减小．由于对称，xyz在六个顶点R、R′、Q、Q′、S、S′处的值显然相等，因而命题成立．2．由题易知，△ABE≌△BCF≌△CAD，从而△AER≌△BFQ≌△CDS，△RQS是正三角形．由1，我们只考虑S点x，y，z的取值．求得C2－058 在正方形ABCD的边AB、BC上分别取点P、Q，连接DP、DQ、PQ，分别记△DPQ、△DAP、△DQC和△PBQ的面值？【题说】第二届（1987年）东北三省数学邀请赛题5．【解】不妨设正方形边长为1．如图建立坐标系．设P（0，b）与Q（a，0），于是，C2－059 边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，求这个菱形两条对角线长度之和的最大值．【题说】1987年全国联赛一试题1（2）．原题为选择题．【解】设菱形的两条对角线长分别为x及y，则由已知考虑平行直线族x+y=c．当直线过点（8，6）时，得x+y的最大值14．C2－060在边长为10的正三角形ABC中，以如图所示的方式内接两个正方形（甲、乙两个正方形有一边相重迭，都有一边落在BC上，甲有一顶点在AB上，乙有一顶点在AC上）．求这样内接的两个正方形面积和的最小值．【题说】1988年北京市赛高一题3．【解】设甲、乙两正方形的边长分别为x、y，易知BC边上的四条线段之和为：。

小学数学竞赛贰级教练员试卷参考答案

小学数学竞赛贰级教练员试卷参考答案（1—8填空题,每题5分,9—17解答题,每题10分，第18题20分，共150分）1．见叁级试卷第3题。

2．见叁级试卷第4题。

3．见叁级试卷第5题。

4．见叁级试卷第6题。

5．见叁级试卷第7题。

6．见叁级试卷第8题。

7．见叁级试卷第9题。

8．见叁级试卷第10题。

9．见叁级试卷第12题。

10．见叁级试卷第13题。

11．见叁级试卷第17题。

12．80枚棋子围成一个圆圈，依次编号为：1，2，3，…，80。

按顺时针方向，每隔一枚拿掉一枚，直至剩下一枚棋子为止。

如果剩下的这枚棋子的号码是40，那么第一枚被取走的棋子的号码是多少？26 枚棋子围成一圈时，按每隔一枚拿掉一枚，最后剩下一枚棋子解：若从1开始连续64的号码应是64。

现在80枚棋子，从拿掉1开始，先拿去的80-64=16（枚），号码是1、3、5、...、31。

剩下的64枚号码是：33、34、35、...、79、80、2、4、6、 (32)从拿掉33号开始，拿掉一枚，留下一枚，最后剩下的一枚是32号。

要使最后剩下的号码是40，应该从1+（40-32）=9号棋子开始取。

13．有40张卡片，分别写上1，2，3，…，40。

每张的正、反面写着相同的数字，并且一面涂红色、一面涂蓝色。

某班正好有40名学生，老师把这40张卡片都蓝色朝上放在桌上，让这些学生按学号顺序（从1号开始）逐个前来翻卡片。

规则是：只要面上的数是该同学学号的倍数，就翻过来；不是该同学学号的倍数就不动。

请问：最后40号进行后，红色朝上的卡片有几张？解：因为平方数的正约数有奇数个，非平方数的正约数有偶数个。

又1、2、3、…、40中，平方数有21、22、23、24、25、26六个。

这些卡片被翻了奇数次，红色朝上；而其余的卡片被翻了偶数次，仍然蓝色朝上。

从而，最后红色朝上的卡片有6张。

14．商贸服务公司为客户出售货物收取3%的服务费，代客户购买物品收取2%的服务费。

今有一客户委托该公司出售自产的某种物品和代为购买新设备。

北京市中关村第二小学三年级杯数学竞赛试题

北京市中关村第二小学三年级杯数学竞赛试题一、拓展提优试题1．1到100的所有单数的和是．2．公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗子的尽头是一面粉旗．已知这排彩旗不超过200面，这排旗子最多有面．3．2000﹣180+220﹣180+220﹣180+220﹣180+220﹣180+220＝．4．A、B、C、D、E五个盒子中依次有9个、5个、3个、2个、1个小球，第一个同学找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里，第二个同学找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各拿出1个小球放到这个盒子里…；当第199个同学放完后，A、B、C、D、E五个盒子中各有个、个、个、个、个．5．有10个铅笔盒，其中5个装有铅笔，4个装有钢笔，2个既装有铅笔又有钢笔，空笔盒有个．6．切一个蛋糕，切1刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块，照这样切下去，切5刀最多切成块．7．一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃得多．聪明的沙僧用天平得到了如图所示的两种情况（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克．8．甲乙两数的差是144，甲数比乙数的3倍少14，那么甲数是．9．大、中、小三个正方形，边长都是整数厘米，小正方形的周长比中正方形的边长小，把这两个正方形放在大正方形上（如图），大正方形露出的部分的面积是10平方厘米（图中阴影部分）．那么，大正方形的面积是（）平方厘米．A．25B．36C．49D．6410．有20间房间，有的开着灯，有的关着灯，在这些房间里的人都希望与大多数房间保持一致．现在，从第一间房间的人开始，如果其余19间房间的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上，如果最开始开灯与关灯的房间各10间，并且第一间的灯开着．那么，这20间房间里的人轮完一遍后，关着灯的房间有（）间．A．0B．10C．11D．2011．如图，一个长方体由四块拼成，每块都由4个小立方体粘合而成，4块中有3块都可以完全看见，但包含黑色形状的那块只能看见一部分．那么，下列四个选项中的（）是黑色块所在的形状．A．B．C．D．12．同学们排成一个方阵进行广播操表演．小海的位置从前、从后、从左、从右数都是第5个，参加广播操表演的共有人．13．3个苹果的重量等于1个柚子的重量，4根香蕉的重量等于2个苹果的重量．一个柚子重576克，那一根香蕉（）克．A．96B．64C．14414．今年小春的年龄比他哥哥的年龄小18岁，再过3年小春的年龄将是他哥哥年龄的一半，那么小春今年岁．15．小明将买来的一筐桔子分别装入几个盘子中，如果每个盘子装10个，则多余2个，如果每个盘子装12个，则可以少用一个盘子，那么买来的一筐桔子共有多少只？【参考答案】一、拓展提优试题1．解：（1+99）×50÷2，＝100×25，＝2500；故答案为：2500．2．解：200÷（3+2+4），＝200÷9，＝22…2（面）；所以剩下的2面彩旗是在第23个循环周期内，是2面黄旗，因为最后一面看到的是粉旗，所以第23个循环周期内没有旗了；这排彩旗最多有：22×9＝198（面），答：这排彩旗最多有198面．故答案为：198．3．解：2000﹣180+220﹣180+220﹣180+220﹣180+220﹣180+220，＝2000+220×5﹣180×5，＝2000+（220﹣180）×5，＝2000+40×5，＝2000+200，＝2200．故答案为：2200．4．解：由分析可知：第8个小朋友与第3个重复，即5组一循环；则以此类推：（199﹣2）÷5＝39…2（次）；第199个同学取后ABCDE五个盒子中应分别是：5、6、4、3、2个小球；答：当199个同学放完后，A，B，C，D，E五个盒子中各放5、6、4、3、2个小球．5．解：10﹣（5+4﹣2），＝10﹣7，＝3（个）；答：空笔盒有3个；故答案为：3．6．解：当切1刀时，块数为1+1＝2块；当切2刀时，块数为1+1+2＝4块；当切3刀时，块数为1+1+2+3＝7块；…当切n刀时，块数＝1+（1+2+3…+n）＝1+．则切5刀时，块数为1+＝16块；故答案为：16．7．解：由图可知：○＝2△+40克①○+80克＝△+200克②由②可知：○＝△+120克③把③带入①得：△+120克＝2△+40克△+120克﹣40克＝2△+40克﹣40克△+80克＝2△△+80克﹣△＝2△﹣△△＝80克把△＝80克带入③得：○＝200克200+80＝280（克）答：1个桃子和1个包子共重280克．故答案为：280．8．解：（144+14）÷（3﹣1）+144，＝158÷2+144，＝79+144，＝223，答：甲数是223．故应填：223．9．解：根据分析，一条阴影部分的面积为10÷2＝5平方厘米．因为都是整数，所以只能为1×5．故，大正方形面积＝（1+5）×（1+5）＝6×6＝36平方厘米．故选：B．10．解：因为最开始开灯和关灯的各是10间，由于第一间的灯是开着的，所以，第一间人看到的，开灯的9间，关灯的10间，之后，他就关灯，以后无论开灯的出来看，还是关灯的出来看，始终关灯的多，即：一轮结束，灯全部会关闭，故选：D．11．解：因为最上面一层都看得到，所以黑色块只在最下面一层，所以A、D 可以排除，又因为后面那行最右面一个也能看到，所以应为T字型，故图形应该是C．故选：C．12．解：根据题干分析可得：5+5﹣1＝9（人）9×9＝81（人）答：参加广播操表演的共有81人．故答案为：81．13．解：576÷3×2÷4＝384÷4＝96（克）答：一根香蕉96克．故选：A．14．解：18÷（2﹣1）﹣3＝18﹣3＝15（岁）答：小春今年 15岁．故答案为：15．15．解：（10+2）÷（12﹣10）＝6（个）12×6＝72（只）答：买来的一筐桔子共有72只．。

北京市中关村第二小学三年级杯数学竞赛试题百度文库

北京市中关村第二小学三年级杯数学竞赛试题百度文库一、拓展提优试题1．张老师将一根木料锯成9小段，每段长4公米．假如将这根木料锯成3公米的小段，一共要锯次．2．找规律填数：1、4、3、8、5、12、7、．3．学校体育室买来一些足球和篮球，小强数了一数，足球的个数是篮球的3倍多4个；再数一遍，发现足球的个数还比篮球的4倍少2个．足球一共买了个．4．小李、小华比赛爬楼梯，小李跑到第5层时，小华正好跑到第3层．照这样计算，小李跑到第25层时，小华跑到第层．5．小胖从一楼到三楼需要90秒，照这样速度算，他从二楼上到七楼需要秒钟．6．甲乙两数的差是144，甲数比乙数的3倍少14，那么甲数是．7．小王有8个1分币，4个2分币，1个5分币，他要拼出8分钱来，有种不同的拼法．8．一个数与3的和是7的倍数，与5的差是8的倍数，这个数最小的．9．奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了（）A．2时45分B．2时49分C．2时50分D．2时53分10．一些糖果，如果每天吃3个，十多天吃完，最后一天只吃了2个，如果每天吃4个，不到10天就吃完了，最后一天吃了3个．那么，这些糖果原来有（）个．A．32B．24C．35D．3611．○○÷□＝14…2，□内共有种填法．12．一个不透明的布袋中有黑、白、黄三种颜色的筷子各10根，最少拿出根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子．13．长方形的周长是48厘米，已知长是宽的2倍，长方形的长是（）A．8厘米B．16厘米C．24厘米14．今年小春的年龄比他哥哥的年龄小18岁，再过3年小春的年龄将是他哥哥年龄的一半，那么小春今年岁．15．期末考试到了，小蕾的前两门语文和数学的平均分是90分，如果他希望自己的语文、数学、英语三门平均分能够不低于92分，那么他的英语至少要考到分．【参考答案】一、拓展提优试题1．解：4×9÷3＝12（段），12﹣1＝11（次），答：需要锯11次．故答案为：11．2．解：根据分析可得，12+4＝16，故答案为：16．3．解：根据题干分析可得：（4+2）×3+4＝22（个），答：足球买了22个．故答案为：22．4．解：（25﹣1）×[（3﹣1）÷（5﹣1）]+1，＝24×+1，＝12+1，＝13（层），答：小李跑到第25层时，小华跑到第13层．故答案为：13．5．解：爬每层的时间是：90÷（3﹣1）＝45（秒）；他从二楼上到七楼的时间是：45×（7﹣2）＝225（秒）．答：他从二楼上到七楼需要225秒钟．故答案为：225．6．解：（144+14）÷（3﹣1）+144，＝158÷2+144，＝79+144，＝223，答：甲数是223．故应填：223．7．解：（1）8个1分，（2）4个2分币，（3）2个1分币，3个2分币，（4）4个1分币，2个2分币，（5）6个1分币，1个2分币，（6）3个1分币，1个5分币，（7）1个1分币，1个2分币，1个5分币；所以有7种不同的拼法；故答案为：7．8．解：7×8﹣3＝53．故答案为：53．9．解：1×（5﹣1）＝4（分钟）3×5＝15（分钟）2时30分+4分钟+15分钟＝2时49分答：她折好第5个纸鹤时已经到了2时49分；故选：B．10．解：糖每天吃3个，最少吃11天，最后一天2个，糖至少有10×3+2＝32（个）糖最多吃9天，最后一天吃3个，最多8×4+3＝35个．∴在32，33，34，35这几个数中满足除以3余数是2，除以4余数是3的只有35．故选：C．11．解：因为余数＜除数，所以□＞2，因为14×6+2＝86，14×7+2＝100，被除数是两位数，所以□内最大填6，所以□内共有4种填法：3、4、5、6．故答案为：4．12．解：把三种颜色的筷子构造为三个抽屉，分别放黑、白、黄不同颜色的筷子．从最不利情况考虑，拿了3根，颜色各不同放到三个抽屉里，此时再任意拿1根，即可出现一个抽屉里能放了2根筷子．即出现一个抽屉里2根，另外两个抽屉里各1根筷子的情况，共计2+1+1＝4根．故答案为：4．13．解：48÷2÷（1+2）×2＝24÷3×2＝16（厘米）答：长方形的长是16厘米．故选：B．14．解：18÷（2﹣1）﹣3＝18﹣3＝15（岁）答：小春今年 15岁．故答案为：15．15．解：92×3﹣90×2＝276﹣180＝96（分）答：他的英语至少要考到 96分．故答案为：96．。

【寒暑假奥数】小学五年级数学竞赛答题纸、试卷、答案三合一

小学数学智能竞赛答题纸五年级第二试考试时间90分钟满分150分市(县) __________________ 学校__________________ 姓名__________________一、填空题（本大题共18小题20空，每空6分，共120分）二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）座位号题号 1 2 3 4 5 6 答案题号 789101112答案题号 1314 1516 1718 答案准考证号考生禁填注意事项缺考考生，由监考 1.答题前，考生需先在答题纸上方考人员用2B 铅笔填生信息框中填写所在地、学校、姓名涂下面的缺考标记等信息，在准考证号栏中填涂准考证号，在右上角座位栏中填写座位号。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；其它部分必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体工整，笔迹清晰。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持整洁，不要折叠，不要弄破。

缺考标记填涂样例正确填涂错误填涂19．20．小学数学智能竞赛试题卷五年级第二试时间 90分钟满分150分考生须知：1．作答必须用黑色墨迹签字笔或钢笔填写，答案必须写在答题卷上，答题时不得超出答题框，否则无效。

2．保持卷面清洁，不要折叠，不要弄破。

3．答题前，在答题卷上方考生信息框中填写所在地、学校、姓名等信息。

4．本次考试采用网上阅卷，务必要正确填涂准考证号，准考证号填涂时需用2B铅笔。

一、填空题（本大题共18小题，每空6分，共120分）1. 计算(2＋0.53＋0.64)×(0.53＋0.64＋0.75)－(2＋0.53＋0.64＋0.75)×(0.53＋0.64)＝▲ .2. 自然数960的因数一共有▲个.3. 把6个数排成一排，它们的平均数是27.其中前4个数的平均数是23，后3个数的平均数是34.那么第4个数是▲ .4. 浙江省信息技术奥赛获奖的86名同学来自12个不同的地区，那么至少有▲名同学来自同一个地区.5. 甲乙两人在周长400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的速度是平均每分钟80米，甲的速度是乙的1.25倍，甲在乙前100米，▲分钟后，甲可以追上乙.6. 如下图，ABCD为长方形，8=AB厘米，10=BC厘米，FE,分别是BC和CD的中点，且EGGF4=，则△AGE的面积是▲平方厘米.7. 下面四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方形包装盒的是▲ .8. 定义运算“★”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数(ba,)与最小公倍数[ba,]的和记为a★b.例如：4★6＝（4，6）＋[4，6]＝2＋12＝14．根据上面定义的运算15★12＝▲ .9. 一个三位数，除以54，余数为9；除以217，余数为60，这个三位数是▲ .(第6题) (第7题)10. 将分数72化成循环小数，在这个循环小数的小数部分中连续截取一段，使这一段的所有数字之和为2013，那么这一段中一共有 ▲个数字2.11. 用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台6米；把绳子对折再对折后垂到井水面，绳子超过井台1米. 绳子长 ▲ 米.12. 甲、乙两人同时从B A ,两地相向而行，相遇时距A 地100米；相遇后，他们继续前进，到达目的地后即返回，在距A 地180米处再次相遇.B A ,两地相距 ▲ 米. 13. 在1到500的所有自然数中，含数字4的自然数有 ▲ 个.14. 一个长方体木块，从下面和上面分别割去高为3厘米和4厘米的的长方体后，便成了一个正方体，它的表面积减少了140平方厘米. 原来长方体的体积是 ▲ 立方厘米.15. 有两位男孩子站一排拍照，这时又来了四位女孩子一起拍，如果这四位女孩子在两位男孩子右面且站成一排，一共有 ▲ 种不同的站法.16. 育才小学组织一次数学竞赛，共出了C B A ,,三大题，至少做对一道题的有40人，其中A 题做对的有15人，做对B 题的有20人，做对C 题的有25人. 如果三道题都做对的只有2人，那么只做对两道题的有 ▲ 人，只做对一道题的有 ▲ 人.17. 将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数是 ▲ ，位于第n 行第n 列的数是 ▲ .18. 如下图，三角形ABC 的面积为1，G F E D ,,,分别是AC BC ,边上的三等分点，BF AE ,相交于点H ，四边形CEHF 的面积是 ▲ .二、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分）19. 如图，三个图形的周长相等，求c b a ::的值.(第17题)(第18题)(第19题)20. 外表完全一样的7枚钱币，其中5枚真币都一样重，另外2枚假币也一样重，但比真币稍轻一些.给你一台只有两个秤盘而没有砝码的天平，至少需要进行几次操作才能辨别出两枚假币？写出操作过程.小学数学智能竞赛五年级二试参考答案及评分标准一、填空题 (本大题共18小题，每空6分，共120分)提示：1. 将(0.53＋0.64)看成一个整体加以运算，结果是2×0.75＝1.5.2. 960＝5326⨯⨯，1，2，4，…，64以及3，5，15，交叉相乘可得因数共有28个.3. (23×4＋34×3)－(27×6)＝32.4. 86÷12＝7…2.5. 300÷(80×1.25－80)＝15.6. 连接AF ，AEF ∆面积为80－20－20－10＝30，所以△AGE 面积是13065⨯=. 7. 注意条件“封闭”，可以动手折叠. 8. 3＋60＝63.9. 217a ＋60是三位数，a 只能取1，2，3，4，经检验只有取3时符合.10.72是小数0.285417循环，285417和为27，2013÷27＝74…15，恰好2＋8＋5＝15.11. 井深(2×6－4×1)÷2＝4，所以绳子长为2×(4＋6)＝4×(4＋1)＝20. 12. (100×3＋180)÷2＝240.13. 含数字4的在1-100，101-200，201-300，301-399中各有19个，在400-499中有100个，所以共有176个.14. 剩下正方体的棱长为140÷4÷(3＋4)＝5厘米，所以原长方体体积为5×5×(5＋3＋4) ＝300立方厘米.15. 四位女孩子站成一排共有4×3×2×1＝24种不同方法，两位男孩子互相又有2种不同排法，所以共有24×2＝48种不同站法.16. 所有做对的题目有60道，至少做对一道的40人，三道都对的2人，根据容斥原理，做对两道的应该有60－40－2×2＝16人，做对一道的有40－16－2＝22人.17. 寻找规律: 每行每列递增累加，第n 行的第一列应该是21(2)2n n -+，再依次增加12,,2,1-++n n n ，求和得到最终答案.18. 设三角形CEH 面积为x ，CFH 面积为y ，则有133133x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以有16x y +=.二、解答题(本大题共2小题，每小题15分，共30分)19. 由图可知，45,65b a a c ==， (5分)所以:4:5,:5:6a b a c ==，则:25:24c b =， (5分) 可得=c b a ::20:25:24. (5分)20. 需要三次操作就行. (3分)用A 到G 七个字母分别表示7枚钱币.从A 到F 的6枚钱币中，有1枚或2枚较轻. 把C B A ,,和F E D ,分别放到天平的两个秤盘上，如果天平平衡，则每一组3枚钱币中都有1枚较轻;这时再把A 和B 放到秤盘上，如果天平平衡，则C 为假；若不平衡，则轻者为假.再按同样的办法一次找出E D ,和F 中的假币.这样称三次就行. (6分) 把C B A ,,和F E D ,分别放到天平的两个秤盘上，如果天平不平衡，譬如C B A ,,那边较轻，说明这边有1枚或2枚假币. 再把A 和B 放到秤盘上，如果天平不平衡，轻者为第1枚假币；若天平平衡，则较轻的假币要么是A 和B ，要么是C 和G ，再把B A ,和G C ,这两对钱币分别放到秤盘再称一次便可知晓. (6分) 综上所述，至少只要称三次就行.(第18题)。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

海淀区（1979年）二试试题
1.（10分）张明、李军和赵琪三人都要从甲地到乙地。