高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式课件 新人教B版必修2
新教材高中数学第2章平面解析几何2-1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
x1＋x2
y1＋y2
(2)x＝ 02 _____2____，y＝ 03 ______2______.
知识点三 坐标法
通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代
数运算等解决问题．这种解决问题的方法称为坐标法．
1．对两点间距离公式的几点说明 (1)公式中，点 A，B 的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB| ＝ x1－x22＋y1－y22. (2)坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推 广. (3)若 B 点为原点，则|AB|＝|OA|＝ x21＋y21.
x1＋x2 _____|x_2_－__x_1_| ____；x＝ 02 ______2______.
知识点二 平面直角坐标系中的基本公式
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系中的两点，M(x，y)是线段 AB 的中点．
(1)|AB|＝|A→B|＝ 01 ___x_2_－__x1__2＋___y_2_－__y_1_2；
例 1 已知数轴上三点 A(－1)，B(5)，C(x)． (1)当|AB|＋|BC|＝8 时，求 x； (2)若 B 是 AC 的中点，求 x. [解] (1)由 A(－1)，B(5)，C(x)，可知|AB|＝|5－(－1)|＝6，|BC|＝|x－5|. 当|AB|＋|BC|＝8 时，有 6＋|x－5|＝8，解得 x＝3 或 x＝7.
(4)若 A，B 两点在 x 轴上，或在与 x 轴平行的直线上，此时|AB|＝|x2－ x1|.
(5)若 A，B 两点在 y 轴上，或在与 y 轴平行的直线上，此时|AB|＝|y2－ y1|.
注意：(4)(5)在应用时，可根据实际情况去掉绝对值号，解题更容易． (6)在数轴上，点 A(x1)，B(x2)，用绝对值定义两点间的距离，表示为 d(A， B)＝|x1－x2|.若 A，B，C 是数轴上任意三点，则 d(A，B)≤d(A，C)＋d(B， C)． 2．中点公式的两个应用 (1)知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可 求第三个量． (2)从图像上看，只要知道图像上任意的两点，可求第三个点．
2019版高中数学第二章平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版
二、内容要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程, 掌握过两点的直线斜率的计算公式. (3)能根据斜率判定两条直线平行或垂直. (4)根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、
所以方程的解为x=-4或x=2.
(2)|x+3|+|x-1|=4; (3)|x+3|+|x-1|=3.
解 : (2) 因为 |x+3|+|x-1| 表示数轴上点到 A(-3) 与 B(1) 的距离之和 , 而
A(-3)到B(1)的距离为|1-(-3)|=4, 又因为|x+3|+|x-1|=4,所以-3≤x≤1,
2 2
(3)当x≥0时,|x|=x,
则A(|x|)和B(x)为同一个点. 当x<0时,|x|>x,则A(|x|)位于B(x)的右侧.
类型二 数轴上的基本公式的应用 【例2】 已知数轴上A,B两点的坐标分别为x1=a+b,x2=a-b.求AB,BA,d(A, B),d(B,A). 解:AB=x2-x1=(a-b)-(a+b)=-2b; BA=x1-x2=(a+b)-(a-b)=2b或BA=-AB=2b;
(3)|x-2|=1表示到点A(2)的距离等于1的点的集合,所以|x-2|=1表示点B(1)和点
C(3).
变式训练3-1:在数轴上,运用两点距离的概念和计算公式,解下列方程: (1)|x+3|+|x-1|=6;
解:(1)因为|x+3|+|x-1|表示数轴上点到A(-3)与B(1)的距离之和,
新教材高中数学第二章平面解析几何1坐标法课件新人教B版选择性必修第一册
有序实数
)（即的坐标为(, 1 )，记作
(1 , 1 )，其中1 为的横坐标，1 为的纵坐标），且(2 , 2 )，则向量
(2 − 1 , 2 − 1 )
=②__________________，从而可以得到平面直角坐标系内两点之间的
ห้องสมุดไป่ตู้. 已知(, 6)，(−2, )，(2,3)，若点平分线段，则 + 等于
(
)A
A. 6
B. 1
C. 2
D. -2
2. 已知(1,2)，(, 6)，且|| = 5，则的值为( )
D
A. 4
D. -2或4
B. -4或2
C. -2
3. 已知△ 的顶点(2,3)，(−1,0)，(2,0)，则△ 的周长是(
2. 已知点(−3,4), (2, 3)，在轴上找一点，使|| = ||，求||的值.
[答案] 设点(, 0)，则有|| =
|| =
(−3 − )2 + (4 − 0)2 = 2 + 6 + 25，
(2 − )2 + ( 3 − 0)2 = 2 − 4 + 7.
C. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 以点为直角顶点的直角三角形
D. 10
)C
6. 光线从点(−3,5)射到轴上，经x轴反射后经过点(2,10)，则光线从到
的距离为( )
C
A. 5 2
B. 2 5
C. 5 10
D. 10 5
[解析] 点(−3,5)关于x轴的对称点为′ (−3, −5)，则光线从到的距离即
|| =
[5 − (−1)]2 + [3 − (−1)]2 = 62 + 42 = 52 = 2 13，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
2.1.1-2平面直角坐标系中的基本公式
在一条高速公路上距离出发点的一个以
千米为单位的数就可以确定车的位置，请 问在一个电影院里如何确定你的位置？飞 行员要想和地面指挥指挥中心联系，该如 何报告他的位置？
一维直线
数轴
二维平面
平面直角坐标系
三维空间
空间直角坐标系
第 二 章 用数字或其符号来
平 确定一个点或一个
面 解 析
物体位置的方法叫 坐标方法。相关的
知识点二 位移向量
议一议:如何用数表示数轴上的位移?
如数轴上的一点A沿着轴的正向或负向移到另一点B, 则说点在数轴上作了一次位移,点不动,则说作了零位移. 位移是一个既有大小又有方向的量,通常称为向量.
从点A到点B的向量,记为 AB ,读作“向量AB”，A 为向量的起点，B为向量的终点，线段AB的长度叫做向 量 AB 的长度，也叫做向量的模，记作 AB ，数轴上 同向且等长的向量叫做相等向量，起点和终点重合的向 量叫零向量，零向量没有确定的方向.
几 符号和数称为点的
何 坐标。
初
步
2.1平面直角坐标系 中的基本公式
2.1.1.数轴上的基本公式
知识点1 数轴上的向量 知识点2 数轴上的向量的运算
知识点一 数轴上点的坐标
1.什么叫做数轴?在数轴上，点P与实数x的对应法则
是什么呢？
P
M
-3 -2 -1 0 1 2 3 给出了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴， 或者说在这条直线上建立了直线坐标系.
例1．已知□ABCD的三个顶点A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标.
解：因为平行四边形的 两条对角线的中点相同， 所以它们的坐标也相同。
设D点的坐标为(x，y)，
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标
2.1 平面直角坐标ຫໍສະໝຸດ 中的基本公式课程目标1.理解实数与数轴上的点的对应关 系,理解实数与位移的对应关系. 2.掌握数轴上两点间的距离公式,理 解数轴上的向量加法的坐标运算. 3.探索并掌握平面直角坐标系中两 点的距离公式和中点公式. 4.通过对两点的距离求解过程的探 索,进一步体会“坐标法”的基本思 想,学会构造直角三角形解决问题的 基本思路.
思考 4 点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标是什么?
提示:点 P(x,y)关于点 G(x0,y0)的对称点的坐标为(2x0-x,2y0-y).
思考 5 教材中的“?”
如果数轴上的单位长取作 1 cm,你能在数轴上标出数 0.001,0.000 1 和 2对应的点吗?你能说明在数轴上确实存在这些点吗?
若 AB∥x 轴或与 x 轴重合,则|AB|=|x2-x1|;若 AB∥y 轴或与 y 轴重合,则 |AB|=|y2-y1|.
思考 3 算术平方根 ������2 + ������2的几何意义是什么?
提示: ������2 + ������2表示点(x,y)到原点的距离.
3.中点公式 (1)直线上的中点坐标公式. 已知数轴上两点 A(x1),B(x2),则线段 AB 的中点 M 的坐标为������1+2������2. (2)平面内的中点坐标公式. 设平面内两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的中点 M(x,y),则 x=������1+2������2,y=������1+2 ������2.
2.平面直角坐标系中的基本公式 平面直角坐标系中两点 A(x1,y1),B(x2,y2)的距离公
式:d(A,B)= (������2-������1)2 + (������2-������1)2.
用坐标方法解决几何问题课件 高二上学期数学湘教版(2019)选择性必修第一册
例1 如图所示， 是 的直径， 是 的一条弦，且 ， 为垂足.以 为坐标原点，直径 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系.设 的半径为 ， ，则 的方程为 ，设 ， ,则 ， ，
即 ， 是关于 的方程 的两根，解方程得 ，不妨设 ， ，则 的中点坐标为 ，即 .故 是 的中点，即 是 的中点.
已知 的边 长为4，若 边上的中线为定长3，求顶点 的轨迹方程.
[解析] 以直线 为 轴， 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系（如图），则 ， ，设 ， 的中点 .
① ， . ②将①代入②，整理得 . 点 不能在 轴上， .综上，点 的轨迹是以 为圆心，6为半径的圆，去掉 和 两点.轨迹方程为 .
[解析] 以点 为坐标原点，射线 为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图.
设点 ，则 ， ，由 ，化简并整理得 ，
于是得点 的轨迹是以点 为圆心，2为半径的圆，其面积为 ，所以点 的轨迹围成的区域的面积为 .
一般地，求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来，再进行变形化简，就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系，找等量关系.
3.设圆 的圆心为 ，点 在圆上，则 的中点 的轨迹方程是______________________.
[解析] 由条件知 ，设 ，根据中点坐标公式可得点 ， 点 在圆上， ，整理得 ，即 , 的中点 的轨迹方程为 .
4.台风中心从 地以 的速度向东北（东偏北 ）方向移动，离台风中心 内的地区为危险区，城市 在 地正东 处，则城市 处于危险区的时长为多少？
[答案] 其轨迹为线段 的垂直平分线，其方程为 .
问题2： 已知动点 到点 的距离等于点 到点 的距离的2倍，你能求出点 的轨迹方程吗？