湖州、衢州、丽水三地市2020届高三11月教学质量检测真题数学试卷(含答案)
浙江省丽水、湖州、衢州2022年11月三地市高三教学质量检测数学试题(参考答案)
丽水、湖州、衢州2022年11月三地市地高三教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ABDBCCDC二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2014.3515.404416.)217-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)在数列{}n a 中，113a =，112n n n n a a a a ++-=（*N n ∈）．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求满足不等式1223117k k a a a a a a +++⋯+<（*N k ∈）成立的k 的最大值．解：（1）由条件得111112n n n n n na a a a a a +++--==，-------------------------------------------------2分所以数列{}n a 是以113a =为首项，公差2d =的等差数列．故()131221nn n a =+-⨯=+，------------------------------------------------------4分题号9101112答案ACDABDACAD即121n a n =+．---------------------------------------------------------------------------5分（2）由（1）知()()11111212322123n n a a n n n n +⎡⎤==-⎢⎥++++⎣⎦，--------------------7分故122311111111235572123k k a a a a a a k k +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1112323k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭---------------------------------------------------------------------9分所以111123237k ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，解得9k <，结合*N k ∈得，k 的最大值是8．--------------------------------------------10分18.(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin 22cos A C B +=-．（1）求tan B 的值；（2）若ABC ∆的面积为2，求ABC ∆周长L 的最小值．解：（1）由()sin 22cos A C B +=-得，()2sin 21cos 4sin2BB B =-=，----------2分因为sin02B ≠，解得1tan 22B =．------------------------------------------------------3分所以22tan42tan 31tan 2BB B ==-．-------------------------5分（2）由上可知4sin 5B =，3cos 5B =．由ABC ∆的面积为2，得12sin 225ABC S ac B ac ∆===，故5ac =．-----------------------7分所以a c +≥=．（等号成立当且仅当a c =）----------------9分又22222642462cos 555b ac aca ac a c ac B c a c -==+-=+≥=-（等号成立当且仅当a c =）所以2b ≥．-----------------------------------------------------11分故ABC ∆周长()2L a b c a c b =++=++≥（等号成立当且仅当a c ==）．因此ABC ∆周长L的最小值为2+．--------------------------12分（注意：等号成立条件仅需说明一次即可）19．(本题满分12分)如图，在三棱台111ABC A B C -中，三棱锥111C A B C -的体积为3，1AB C ∆的面积为4，112AB A B =，且1A A ⊥平面ABC ．（1）求点B 到平面1AB C 的距离；（2）若1BB BA =，平面1AB C ⊥平面11ABB A ，求二面角11A B C A --的余弦值．解：（1）设点B 到平面1AB C 的距离为h ．因为112AB A B =，三棱锥111C A B C -的体积为3，所以三棱锥1B ABC -分又由11B ABC B AB C V V --=，得334311=⨯⨯∆C AB S h，解得h =分（2）由已知设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .-------------------------------------------------6分故AC AB ⊥，1AC AB ⊥，取AB 中点N ，则11A B AN x ==，四边形11A B NA 是平行四边形，所以1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA ==，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，11111323C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==.--------------------------------------8分作11A G AB ⊥，垂足为G，则12A G =，在平面1AB C 内，作1GH B C ⊥，垂足为H ，连结1A H ，则二面角11A B C A --的平面角为1A HG ∠.--------------------------------------10分B 1（第19题图）A 1C 1BCA在1Rt GHB ∆中，GH =，故11tan A G A HG GH ∠==，1cos A HG ∠=..---------------------------------------------------------12分法二：取1AB 的中点M ，连结BM ，则1BM AB ⊥，由平面1AB C ⊥平面11ABB A 可得BM ⊥平面1ACB ，故BM AC ⊥，又1AC AA ⊥，从而AC ⊥平面11AA B B .---------------------------6分故AC AB ⊥，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设11A B x =,11A C y =，则12BB AB x ==,2AC y =，取AB 中点N ，则11A B AN x ==,四边形11A B NA 是平行四边形，1B N AB ⊥，又由于AB BB =1，从而1ABB ∆为正三角形，故12AB x =，11B N AA =，又111122422AB C S AC AB y x =⋅=⋅⋅=，1111132C A B C V x y -⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭得1,2x y ==，----------------------------------------------8分则(0,0,0)A 1B，1A ，(0,4,0)C ，设面1AB C 的法向量(,,)n x y z = ，由100n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(n =，设面11A B C 的法向量(,,)m a b c = ，由11100m A B m A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得m =----------------------10分故cos ,19m n m n m n ⋅<>==⋅.-----------------12分20.(本题满分12分)自主招生和强基计划是高校选拔录取工作改革的重要环节.自主招生是学生通过高校组织的笔试和面试之后，可以得到相应的降分政策.2020年1月，教育部决定2020年起不再组织开展高校自主招生工作，而是在部分一流大学建设高校开展基础学科招生改革试点（也称强基计划）.下表是某高校从2018年起至2022年通过自主招生或强基计划在各个专业的招生人数：年份数学物理化学总计201847617201958518202069520202187621202298623请根据表格回答下列问题：（1）统计表明招生总数和年份间有较强的线性关系.记x 为年份与2017的差，y 为当年招生总人数，试用最小二乘法建立y 关于x 的线性回归方程，并以此预测2023年的招生总人数（结果四舍五入保留整数）；（2）在强基计划实施的首年，为了保证招生录取结果的公平公正，该校招生办对2020年强基计划录取结果进行抽检.此次抽检从20名学生中随机选取3位学生进行评审.记X 为抽到是数学专业学生的人数，求随机变量X 的数学期望()E X ；（3）经统计该校学生的本科学习年限占比如下：四年毕业的占0076，五年毕业的占0016，六年毕业的占008.现从2018到2022年间通过上述方式被该校录取的学生中随机抽取1名，若该生是数学专业的学生，求该生恰好在2025年毕业的概率.附：ˆˆy bxa =+为回归方程，()()()121ˆnii i nii x xy b y xx ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．解（1）由题意，x 的取值集合为{1,2,3,4,5}，y 的取值集合为{17,18,20,21,23}，直接根据公式求解：()()()121ˆniii ni i x x y by x x ==--=-∑∑，代入3x =，19.8y =算得：ˆ 1.5b =，ˆˆ15.3a y xb =-=，因此回归方程为ˆ 1.515.3yx =+，当6x =时，可得ˆ24.3y=,因此预测2023年的招生总人数为24人.--------------------------------------------5分（2）由已知，314320(0)C p X C ==，21146320(1)C C p X C ⋅==，12146320(2)C C p X C ⋅==，36320(3)C p X C ==，故()E x =211463201C C C ⋅⨯121463202C C C ⋅+⨯363203C C +⨯910=.---------------------------------------4分（3）因为2025年毕业，则入学年份可能为2021年，2020年，2019年.设事件A 是“被数学系录取”，事件B 是“2025年毕业”，事件1C 是“2021年入学”，事件2C 是“2020年入学”，事件3C 是“2019年入学”.由条件概率公式可知，()1832P C A =，()2632P C A =，()3532P C A =，由全概率公式可知，()865930.760.160.0832*******P B A =⨯+⨯+⨯=.--------------------------3分21.(本题满分12分)已知点(AC 上，过点()1,0M 的直线l 交曲线C 于D ，E 两点（D ，E 均在第四象限），直线AD ，AE 分别交直线1x =于P ，Q 两点.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若APQ ∆的面积为l 的方程.解（1）①若焦点在x 轴上，设双曲线C 方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）.由题意得223921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线C 的标准方程为2213x y -=.-----------------------------------------------2分②若焦点在y 轴上，设双曲线C 方程为22221y x a b-=（0,0a b >>）.由题意得22233921c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时无解.综上所述双曲线C 的标准方程为2213x y -=.--------------------------------------------------4分（2）设直线l 方程为1x ty =+，1111(,),(,)D x y E x y ，联立221330x ty x y =+⎧⎨--=⎩得()223220t y ty -+-=，故()221221223012202323t t ty y t y y t ⎧-≠⎪∆=->⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪⋅=-⎩，解得23-<<-t ------------6分又因为直线)11:33y AD y x x =--，取1x =得)111112232P y y y x ty ---==--，同理)2222Qy y ty -=-，-----------------------------------------------------------------8分由题意点A 到直线l 的距离是2d =，所以122APQ S PQ ∆=⨯⨯=，解得PQ =.又P QPQ y y=-=-===----------------------------------------------------------------10分化简可得211260t +-=，得t =t =，易知0t <，故t =，即直线l 方程为1x =+.--------------------------------------------------------12分22.(本题满分12分)已知函数()ln 1a xxfx x a x e =+--（R a ∈）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，则1212ln x x e a+>．解（1）由题意得()ln xxfx x x e =+-，2得()()111x f x x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------2分所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，因此()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减.------------------------------------4分（2）先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x e x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，---------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分()()ln ln 1ln 1x a x a x xf x x a x e x a x e-=+--=+--设ln t x ax =-，则由于()1tg t e t =+-单调递增，则1122ln ln x ax x ax -=-，则2ln ln 1212121x x x x x x a +<--=，可证得122x x a+>.--------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a +>.------------------------------------------------------------------12分方法二：先证明122x x a+>，因为()()111a x f x a x ex ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，--------------------------------------------------6分所以当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增，不满足题意；故0a >，可知()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞，故11ln 20f a a a e⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，解得10a e <<，且1210x x a <<<.----------------------------------------------------8分要证明122x x a +>，只要证明212x x a>-.因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增.在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，且1210x x a <<<，所以只要证明()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，只要证明()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()()2g x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（10x a<<），()()()211111022ax ax g x f x f x a x x a ax e e -⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎛⎫--+->⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣'-⎦⎛⎫''=+-= ⎪⎝⎭所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，所以()10g x g a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，因此122x x a+>成立.------------------------------------------------------------------10分所以要证明1212ln x x e a +>，只要证明22ln 0e a a+>.设()22ln a e a aϕ=+（10a e <<），则()2212220e a e e a a a a ϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<，所以()a ϕ在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则()10a e ϕϕ⎛⎫>= ⎪⎝⎭.因此有1212ln x x e a+>.-----------------------------------------------------------------12分。
湖州、衢州、丽水三地市2020届高三11月教学质量检测数学试卷(含答案)
B. , 2 C. , 2 D. , 2
A
D
O
B
C
第 9 题图
10．设数列{an} 满足 a1 1, an+1 =ean m 1 ， n N* ，若对一切 n N* ， an 2 ，则实数 m
（Ⅱ）当
x
0,
2
时，求
f
(x)
的值域．
高三数学试题卷（共四页）——第 3 页
19．(本小题满分 15 分)
如图 ，已知 三棱 台 ABC A1B1C1 ，平 面 A1 ACC1 平面 ABC ， ABC 90 ，
BAC 30 ， AA1 CC1 BC A1C1 4 ， E, F 分别是 A1C1 ， BC 的中点．
恰有两个零点，则实数
m
的取值范围是
A. (0,1) (e, )
B. (e, )
C. (0,1) (e2 ,)
D. (e2 , )
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O ，BC AB ，现将 DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，
记 BOE ，二面角 B AC E 的平面角为 ，直线 DE 和 BC 所成角为 ，则
3．已知实数
x,
y
满足
x+y
2
0,
则 x2 +y2 的最小值是
y 0,
D． i
A． 2
B． 2
C． 4
D． 8
4．若 a,b R ，则“ a b 1”是“ a2 b2 1 ”的
A．充分不必要条件
2020年11月衢州湖州丽水三地市高三技术试题及答案
衢州、湖州、丽水2020年11月三地市高三教学质量检测试卷技术试题卷本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。
全卷共15页，第一部分1至8页，第二部分9至15页。
满分100分，考试时间90分钟。
1.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
第一部分信息技术(共50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题2分，共24分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)1.下列关于信息与信息处理的说法，错误．．的是A.使用计算机处理信息，其本质都是通过计算来完成的B.信息的加工必须使用智能手机、计算机等终端才能完成C.拍图识字、汽车自动驾驶等信息处理应用了人工智能技术D.计算机进行信息处理时不仅与硬件密切相关，还需软件支持2.下列有关网页与浏览器的说法，正确的是A.使用搜索引擎检索的结果中，排在第一条的内容必定准确度最高B.使用浏览器收发电子邮件的过程中涉及的协议只有POP3和SMTPC.使用HTML协议在浏览器与Web服务器之间传输的信息内容是用HTTP描述D.在IE浏览器中以“文本文件(*.txt)”类型保存网页，无法保存网页中的超链接地址3.用Access软件设计“图书”数据表，在数据表中已录入如第3题图a所示的原始数据，其设计视图如第3题图b所示。
第3题图a 第3题图b 下列描述正确的是A.Access软件属于数据库应用系统B.可以增加数据类型为自动编号的“序号”字段C.设计视图中字段顺序必须要和原始数据的列顺序保持一致D.向数据表中添加新的记录时，“图书编号”字段的有效输入值可以为“20182002”4.将下列数转换为十进制数，除以4后余数为3的是A.A90HB.100110BC.FFFHD.101101B5.用Photoshop 软件制作“二十四节气”作品，在“小雪”图层中已选择矩形区域，如图所示。
浙江省衢州、湖州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学含答案
8
D.
3
5.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，则“ f (0) = 0 ”是
“ f ( x) 是奇函数”的
公 众 号 ： 高 三 资 料 库
5
2 正视图
1 1
侧视图
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
俯视图
第 4 题图
6. m ， n 是空间两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（Ⅰ）证明： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD ，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值 E
解：（1）取 PD 的中点 M ，连结 AM ， ME ,--------------2 分
D
由已知 AF // ME // DC ，且 AF = ME = 1 DC ,
C
2
A
F
B
（Ⅱ）解法一：取 AD 的中点 O ，连结 PO ，
∵ PA = AD = PD = 2 ， PO ⊥ AD ， 又侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，∴ PO ⊥ 平面 ABCD ， ∴ PO ⊥ BD 又∵ AP ⊥ BD ， ∴ BD ⊥ 平面 PAD ，------------------------------------------9 分
库
PA = AD = PD = 2 ，侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD ， E ， F 分别为 PC ， AB 的中点.
（Ⅰ）求证： EF // 平面 PAD ；
P
（Ⅱ）当 AP ⊥ BD 时，求直线 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.
E
D
C
20.（本小题满分 15 分）
衢州、丽水、湖州三地市2020年高三数学教学质量检测试卷
衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测试卷(第6稿)（2020.04）一、选择题1. 已知集合[]0,4A=，{}R|1B x x=∈≤，则BACR⋂)(（）A．[)1,0- B.[]1,0-C．[]0,1 D. (]1,42.椭圆x22+y2=1的离心率是（）A. 12B. 13C.√23D.√223. 已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．323B．163C．4 D．84.明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值。
《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件. （）A. 21B. 22C. 23D. 245.函数()()lnx xf x e e x-=+的图象大致为（）6.若实数满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y≥0，则2x+3y的取值范围是（）A.[－1, 15]B. [1, 15]C. [－1, 16]D. [1, 16]7.若0,0a b>>,则“ab≤4”是“1aba b≤+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.任意a∈[−1,2]，若存在实数b使不等式|x2−ax|≤b对任意的x∈[0,2]恒成立，则（）A. b的最小值为4B. b的最小值为6C. b的最小值为8D. b的最小值为109.如图，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，P是圆O上的动点，则下列叙述不正确．．．的是（）第3题图DB CA第9题A. ⋅+⋅是定值.B. ⋅+⋅+⋅+⋅是定值.C.PD PC PB PA +++是定值.D. 2222PD PC PB PA +++是定值.10.对任意x >0,不等式2ae 2x −lnx +lna ≥0恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．√eB ．2√eC. 2e D ．12e 二、填空题11.若复数z =21+i (i 为虚数单位），则|z|= . 12.在数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，已知a 2=1，a 3=6，且数列{}n a n +是等比数列,则n a = n S = .13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ，4x 的系数为 ． 14.已知直线:1,l mx y -=若直线l 与直线10x my --=平行，则m 的值为 ，动直线l 被圆x 2+y 2−2y −8=0截得的弦长最短为 . 15.已知随机变量X 的分布列如下表：X 0 2 a P12b14其中a >0,b >0.且E(X)=2,则b= ,D(2x-1)= .16.在平面直角坐标系xOy 中，已知点M 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若13OM l k k ⋅=，则双曲线离心率e 等于 . 17. 已知函数a ax x x f ++=2)(，{}x x f x A ≤∈=)(R ，{}R [()]()B x f f x f x =∈≤,B A A ⊆∅≠,，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：18.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为.已知3)4tan(=+A π.（Ⅰ）求A A 2cos 2sin + 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积1=S ，2=c ，求a 的值.ABC ∆,,a b c19.如图，已知四棱锥A BCDE -，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，//BC 平面ADE ,且BC=2,DE=1. （Ι）求证：//BC DE ；（Π）若2AF FD =，求CF 与平面ABE 所成角的正弦值.20.已知数列{}n a 的前n 项和S n =a n 2+2a n4，且)N (0*∈>n a n .（Ⅰ）写出123,,a a a 的值,并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设b n =√S n ，n T 为数列{}n b 的前n 项和；求证：22222nn T n n n +<<+.21. 如图，设抛物线方程为x 2=2py (p ＞0),M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B .（Ⅰ）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（Ⅱ）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA,MB 分别交于点C,D,记λ=SΔEAB S ΔMCD,问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22. 已知()()2x f x x a e -=-，()()1x g x a e -=+ （Ι）当1a =时,判断函数()f x 的单调性；（Π）当1a >-时,记()f x 的两个极值点为()1212,x x x x <，若不等式()()()2121'x f x f x g x λ≤-⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数λ 的值.。
2020年11月浙江省衢州、湖州、丽水三市2021届高三教学质量联考检测数学参考答案
15. 16. 17.
三、解答题
18.在锐角 中,角 所对的边分别是 ,已知
.
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）求 的取值范围.
解：（1）由已知得 ,---------------------------2分
所以 ,---------------------------------------4分
所以 ,所以 ；--------------------------------------6分
（2）
---------------------------------------------8分
,-------------------------------------------------------10分
21.已知椭圆 ,抛物线 的焦点是 ,点 在 的准线上.
（Ⅰ）当 在椭圆 上时,求 的值；
（Ⅱ）如图,过点 的直线 与椭圆 交于 两点,与抛物线 交于 两点,且
是 的中点,过点 的直线 交抛物线 于 两点.若 ,求 的斜率 的
取值范围.
解：（1）由已知 , ；------------------------------------------------2分
由 消去 得 ,
则 ,------（3）且 ,------------------10分
由 消去 得 ,
所以 ,----------------------------------------------------------------------------12分
因为 ,所以 ,即 ,
所以 ,----------（4）-----------------------------------------------------14分
衢州、湖州、丽水三地市高三教学质量检测数学试卷数学答案
衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学答案及评分标准一、选择题：二、填空题：11.14，21，16 14. 2，715. 18 16. 4 17. 83- 三、解答题：18.已知函数()2cos cos (0)f x x x x ωωωω=->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx 且()21330-=x f ，求02cos x 的值.解（Ⅰ）()21cos 2cos cos 22xf x x x x x ωωωωω+=-=-1sin(2)62x πω--.......................................4分 因为T π=，所以1ω=.............................................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1()sin(2)62f x x π=--01()2f x =，所以0sin(2)6x π-=因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈127,40ππx ，所以02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦..............................................8分因为0sin(2)6x π-=<所以022,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，0cos(2)63x π-=-..................................10分00003cos 2cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 6666666x x x x ππππππ=-+=---=-.........14分19．在四棱锥P ABCD -中，E 是侧棱PC 的中点，PAB ∆是正三角形，四边形ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，BC CD ⊥,60ABC ∠= ，22BC AD ==，3PC =．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAB ；（Ⅱ）求直线BD 与平面PAB 所成角的正弦值．解；（Ⅰ）取PB 的中点F ，连,EF AF ，---------------2分 因为EF 是PBC 的中位线，所以//EF BC ，且12EF BC =因为//AD BC ，12AD BC =，所以四边形EFAD 是平行四边形，所以//DE AF ，----------------------4分又因为DE ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ， 所以//DE 平面PAB -----------------6分（Ⅱ）取AB 中点Q ，连,PQ CQ ，因为PAB ∆是正三角形，所以PQ AB ⊥，------------8分在直角梯形ABCD 中，因为60ABC ∠=，22BC AD ==，计算得2AB AC ==，所以CQ =CQ AB ⊥，------------10分 所以AB ⊥平面PCQ ，即平面PCQ ⊥平面PAB ，过点E 作EG PQ ⊥，垂足是G ，连BG ，则EBG ∠即是直线BD 与平面PAB 所成角，------12分则PQC ∆中，3PQ QC PC ===，所以3sin 304EG PE ==，又BE =，--------14分所以sin EG EBG BE ∠==-----------------------15分 所以直线BE 与平面PAB． 解法2：如图，以D 为原点，,DA DC 为x 轴，y由已知条件得，2AB =，DC =，所以()0,0,0D ，()1,0,0A ，()C ，()B ，----8分 设(),,P x y z ，由()()((22222222214249x y z x y z x y z ⎧-++=⎪⎪-+-+=⎨⎪⎪+-+=⎩得9342P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B PACDEFQG所以5342AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，由560x z x ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩得平面PAB的法向量是()3,2n =- ，----------------12分又73,,884BE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，-----------------------14分 sin BE n BE nθ⋅==----------------------------15分 所以直线BD 与平面PAB20.设正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，12a =，且2211,3,1n n S S ++-成等差数列()n *∈N .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；12111112n S S S <+++≤ ()n *∈N . 解：（Ⅰ）由题2214n n S S +-=，214S =---------------2分所以数列{}2n S 是以为4首项，4为公差的等差数列，所以 24n S n =，又0n a >，所以0n S >，所以n S =--------------4分 当2n ≥时，1n n n a S S -=-=当1n =时，12a =也满足上式，所以N n *∀∈都有n a =分（Ⅱ）由（Ⅰ）知n S =，所以1n S ==>=分 所以121111nS S S +++> ---------------------------------------------------10分又因为1(2)n n S =<=≥------------------12分 当2n ≥时1211111112n S S S S +++≤= ------------------14分 当1n =时上式也成立12111112n S S S <+++≤ ()N n *∈ ---------------------15分 21．已知F 是抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点，点()1,P m 是抛物线上一点，且2PF =,直线l 过定点()4,0，与抛物线T 交于,A B 两点，点P 在直线l 上的射影是Q . （Ⅰ）求,m p 的值； （Ⅱ）若0m >，且2PQQA QB =⋅，求直线l 的方程．解：（Ⅰ）由2PF =得，122p+=，所以2p =，-------------------------2分 将1,x y m ==代入22y px =得，2m =±，--------------------------4分 （Ⅱ）因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，-----------------------6分因为2PQ QA QB =⋅，所以PA PB ⊥，所以0PA PB ⋅=,且124n ≠+，----------8分所以()()()()121211220x x y y --+--=，且32n ≠-，------------------------------10分 由()()()()121233220ny ny y y +++--=，得，()()()21212132130n y y n y y ++-++=，()()()2161324130n n n -++-+=，24830n n ++=，--------------------13分解得，32n =-（舍去）或12n =-， 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．---------------------15分（Ⅱ）解法二：因为0m >，由（1）知点()1,2P ，抛物线2:4T y x =， 设直线l 的方程是4x ny =+，由244x ny y x=+⎧⎨=⎩得，24160y ny --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y n +=，1216y y ⋅=-，------------------6分由()421x ny y n x =+⎧⎪⎨-=--⎪⎩解得Q 点的纵坐标是02231n y n -=+，------------------8分PQ =， -------------------------------------------10分()()()210201QA QB n y y y y ⋅=-+--()()22001164n ny y =-+--+，-------------------------------12分因为2PQQA QB =⋅，所以()()()()()22222222342323116111n n n n PQ n n n n ⎛⎫+-- ⎪==++- ⎪+++⎝⎭化简得24830n n ++=，解得，32n =-（舍去）或12n =-， ---------------------------14分 所以直线l 的方程是：142x y =-+，即280x y +-=．--------------------15分22．已知函数()()21ln ()2R f x x x a x x a =+-+∈（Ⅰ） 若函数()f x 无极值点，求a 的取值范围；（Ⅱ） 若3122a a x ≤≤≤， 记(),M a b 为()()g x f x b =-的最大值， 证明：()1,ln 24M a b ≥-.解：（Ⅰ）由题意()()()xx a x x x a a x x f 111'+-+=--+= ()()xx a x 1+-=-----------------------------------3分由()'0,0x fx >=得a x =，又()x f 无极值点，所以0a ≤ ---------------------5分（Ⅱ）因为2a ≥，由（Ⅰ）可知()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a ,2上单调递减，()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,aa 上单调递增， 又()3ln 2234492122322+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a a a a a f a f ()03ln 1<-=a 所以 322a a f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ -----------------------------------7分 所以当322a ax ≤≤时，()()⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2a f x f a f 又因为 ()()(),,,2a M a b f b M a b f a b ⎛⎫≥-≥-⎪⎝⎭-----------------------------------9分所以 ()()()2,22-a a M a b f b f a b f f a ⎛⎫⎛⎫≥-+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-------------------------------11分 即 ()()221112,ln 2ln 22ln 2282822a a a M a b f f a a a a ⎛⎫⎛⎫≥-=-+=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()1,ln 24M a b ≥-，当且仅当()()412ln 212,2--=+==f f b a 时取等号-------15分。
浙江省湖州、衢州、丽水2021届高三11月教学质量检测数学答题卷
请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效请在各题目答题区域内做答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
18.（本题满分14分）2020年11月衢州、丽水、湖州三地市教学质量检测
数学答题卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1 A B C D 6 A B C D
2 A B C D7 A B C D
3 A B C D8 A B C D
4 A B C D9 A B C D
5 A B C D10 A B C D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分）
11.
12.
13.
14.
15. 16. 17. 19．（本题满分15分）
姓名：考号：班级：
填涂样例正确填涂：]
错误填涂：\ | ; :
考生禁涂
缺考[
违纪[
贴条码区。
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11．双曲线 x2 y2 1的焦距为 45
▲ ，离心率为
▲．
12．已知二项式 x 2n n N* 的展开式中，第二项的系数是 14 ，则 n ▲ ，
湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷
高三数学（2019．11）
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
第 Ⅰ 卷 （选择题，共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
D. (e2 , )
9．如图，矩形 ABCD 中心为 O ，BC AB ，现将 DAC 沿着对角线 AC 翻折成 EAC ，
记 BOE ，二面角 B AC E 的平面角为 ，直线 DE 和 BC 所成角为 ，则
E A. , 2
B. , 2 C. , 2 D. , 2
y 0,
D． i
A． 2
B． 2
C． 4
D． 8
4．若 a,b R ，则“ a b 1”是“ a2 b2 1 ”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．函数 f x x ， x , 0 0, 的图象大致是
sin x
A
B
C
D
高三数学试题卷（共四页）——第 1 页
(n N*)
A
．
（Ⅰ）求 a2 ， a3 ，并猜想 an 的通项公式（不需证明）；
（Ⅱ）求证： a1 + a2 + + an < 2 2n 1 1 (n N*) ．
C
F B
第 19 题图
21．(本小题满分 15 分)
如图，F 是抛物线 y2 2 px p 0 的焦点， A, B, M 是抛物线上三点（ M 在第一象
A
D
O
B
C
第 9 题图
10．设数列{an} 满足 a1 1, an+1 =ean m 1 ， n N* ，若对一切 n N* ， an 2 ，则实数 m
的取值范围是
A． m 2
B．1 m 2
C． m 3
D． 2 m 3
高三数学试题卷（共四页）——第 2 页
第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共 110 分）
1．已知集合 P 1, 0, 1 ， Q x 1 x 1 ，则 P Q
A．0
B．[1, 0]
C．1, 0
D． [1,1)
2．已知复数 z 1 i （ i 为虚数单位），则复数 z 的虚部是 i
A．1
B． 1
C． i
2x+3y 6 0,
3．已知实数
x,
y
满足
x+y
2
0,
则 x2 +y2 的最小值是
6．已知随机变量 X ,Y 的分布列如下：
X
3
2
1
P
a
b
c
Y
1
2
3
P
a
b
c
若 a,b, c 成等差数列，则下列结论一定成立的是
A． DX DY
B． EX EY
C． EX EY
D．DX DY
7．已知 A 1, 6 3 ， B 0,5 3 ，作直线 l ，使得点 A, B 到直线 l 的距离均为 d ，且这样的
直线 l 恰有 4 条，则 d 的取值范围是
A. d 1
B. 0 d 1
C. 0 d 1
D. 0 d 2
8．若函数
f
(x)
x2 2x m, x 0 ex mx e2, x 0
恰有两个零点，则实数
m
的取值范围是
A. (0,1) (e, )
B. (e, )
C. (0,1) (e2 ,)
正视图
俯视图
4
侧视图
第 13 题图
15．已知 F1 ， F2 是椭圆 C :
x2 4
y2 3
1的左右焦点， P 是直线 l :
y
xm
m R 上
一点，若 PF1 PF2 的最小值是 4 ，则实a,b, c 满足 a b 60 ，| a b | 4 ，| c a | 1，则 c 的取值范围
3 2
sin
x,
cos
x
)
，
b
(cos
x,
0)
，函数
f (x) |2a b |
x R．
（Ⅰ）求函数 f x 图象的对称轴；
（Ⅱ）当
x
0,
2
时，求
f
(x)
的值域．
高三数学试题卷（共四页）——第 3 页
19．(本小题满分 15 分)
如图 ，已知 三棱 台 ABC A1B1C1 ，平 面 A1 ACC1 平面 ABC ， ABC 90 ，
为 ▲．
17．已知函数 f x x2 1 x a b a,b R ，若 x 1,1时， f x 1，则 1 a b
2
2
的最大值是 ▲ ．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
18．(本小题满分 14 分)
已知平面向量 a (
OF
N
x
A
第 21 题图
22．(本小题满分 15 分)
已知函数 f x ln x x a x a R 有两个极值点 x1, x2 ，且 x1 x2 ．
BAC 30 ， AA1 CC1 BC A1C1 4 ， E, F 分别是 A1C1 ， BC 的中点．
（Ⅰ）证明： BC EF ；
A1
E
C1
（Ⅱ）求直线 EB 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值．
B1
20．(本小题满分 15 分)
已知数列an 满足 a1
1， an1
1
n an 1
限），直线 AB 交 x 轴于点 N （ N 在 F 的右边），四边形 FMNA 是平行四边形，记
MFN ， FAB 的面积分别为 S1, S2 ．
y
B
（Ⅰ）若 MF 1 ，求点 M 的坐标（用含有 p 的代数式表示）； M
（Ⅱ）若 S1 2 ，求直线 OM 的斜率（ O 为坐标原点）． S2 5
含 x 的奇次项的二项式系数和的值是 ▲ ．
13．某几何体的三视图如图所示（单位：cm）， 则该几何体的体积为 ▲ cm3, 最长的棱长为 ▲ cm.
14．在锐角 ABC 中， D 是线段 BC 的中点， 若 AD 2 ， BD 2 ， BAD 30 ， 则角 B ▲ ， AC ▲ ．
4 22