停止损失再保险与风险模型的有限时间破产概率

实 定理 １ 也 可采 用 线性规 划 法证 明．
事实 上 ， 考 虑 数学 规划 问题 ：
ｍ ａ ｘ ｇ （ Ｙ ）＝ （ 一Ｐ— ＋ｙ ）一Ａ ｙ ，
ｙ
想失去此单业务时， 再保 险是其分散风险 的有效方 法． 因此 ， 根据 实 际情 况 ， 建 立 具 有 再 保 险 因素 的风 险模 型 ， 进 而研 究 再保 险对 破 产 概 率 的影 响 具 有 重 要现实意义‘ ｌ ． 在经典风险模型 中， 假设保 险公 司
｛ Ｅ ［ （ 一 Ｐ— Ｘ＋， ） ］一Ａ Ｅ Ｉ ｝ 一｛ Ｅ ［ ｕ （ ｗ— Ｐ— ＋， ） ］一Ａ Ｅ ， ｝＝Ｅ［ （ 一Ｐ—Ｘ ＋， ）一Ａ ， ］一
Ｅ［ ／ ／ ， （ 一Ｐ— Ｘ ＋， ）一Ａ ， ） ］≥ ０ ， 所 以 ＝（ Ｘ—
保险人理赔支付为 （ — ） ＋ ＝ｍ ａ ｘ ｛ Ｘ—ｄ ， ０ ｝ ， 而原 保险人只支付剩余部分． 可见 ， 保险人 只承担 了风险 小 于 ｄ的部分 ， 则 其 损失 一定 不 会超 过 ｄ， 因此 这 种 形式的保险保障称为停止损失再保险也合情 合理 ， 纯保费 ７ ｒ （ ｄ ）＝Ｅ ［ （ —ｄ ） ＋ ］ 称为停止损失保费．
Ｖｏ １ ． ３ ７ Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ． ２ ０１ ３
文章 编 号 ： １ ０ ０ ０ － ５ ８ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ － ０ ２ ０ ６ － ０ ４
停 止 损 失 再 保 险 与风 险模 型 的有 限 时 间破产 概 率
王 丙参 ， 魏艳 华 ， 戴 宁
析表达式及上界 ， 给保险公司提供有价值的建议．
１ 停 止 损 失再 保 险 的 最优 性
停止损失再保险承保保单约定损失超出指定免
赔 额 的超额 部分 ， 如 果保 险 事故造 成 损 失 为 ， 则 再
ｈ （ Ｉ （ Ｘ ） ） 为再保险保费函数． Ｅ ［ ｕ （ ｗ— Ｐ— Ｘ＋ ， ） ］ 一 Ｅ［ （ 一 Ｐ —Ｘ ＋， ） ］＝ ｛ Ｅ［ ’ Ｍ （ 一Ｐ —Ｘ ＋， ］一 Ａ 一 （ Ｐ ） ｝ 一｛ Ｅ［ （ Ｗ— Ｐ— Ｘ＋ ， ） ］ 一Ａ （ Ｐ ） ｝＝
关 键词 ： 再保险； 停止损失序； 负二项分布； 破产概率 中图分 类号 ： Ｏ ２ １ １ ． ９ 文 献标 志码 ： Ａ
Ｖ ａ ｒ 【 Ｘ 一（ —ｄ ） ＋ ］ ．
０ 引 言
当保 险公 司 自身 无 力 承 担 某 保 单 风 险 ， 但 又 不
文献 ［ ２ ］已利 用 随机 序 对 定 理 １进 行 证 明 ， 其
ｄ ） ＋ 使 期 望效 用达 到最 大．
注１ 期 望效 用最 优准 则 的基本 思 想是 决策 的
优劣 由期 望效 用 函数值 的大小 决定．
２ 建 立模 型
定义 １ 在Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 试验序列 中， 若每次试验 事件 Ａ成功的概率为Ｐ ， 则恰好 出现 ｎ 次成功所需 的
定理 １ 当保险事故损失 ｘ≥ ０时 ， 某再保险 合 同约定 的理赔支付为 ｉ （ ｘ） ， 假定一 ， ０≤ｌ （ ｘ ） ≤ 则Ｅ ［ ／ （ ｘ ） ］＝Ｅ ［ （ —ｄ ） ＋ ］ Ｖ ａ ｒ ［ Ｘ一 ， （ ） ］ ≥
，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ ． １ ２ ． １ ５
ｓ ． ｔ ０ ≤ Ｙ ≤ ，
其 中 Ａ ∈Ｒ， 显然 ｇ （ Ｙ ＞０ ，
ｕ ”ｗ）＜０ ， 所以 ｕ （ ｘ ）是 严格 凹函数 ， 从 而 ｇ（ Ｙ ）也 按照常数速率收取保单且每张保单的保 费相 等， 但 是严 格 凹 函数 ． 在实际 中 ， 所 收取 保 单过 程 常 常是 一个 随机 过 程 ， 而 令ｇ （ Ｙ ）＝０ 可得 （ 埘一 Ｐ— ＋ Ｙ ）一Ａ ＝０ ， 非确定过 程 ， 目前 许 多学 者 对这 方 面 进行 了讨 论 ， 得 于是 ｇ （ ｙ ）在 ＝ —Ｗ ＋Ｐ＋ｕ （ Ａ）处 取得 最大 到 了一 些可靠 性 指标 引． 本 文 首先 利 用 线性 规 划 理 值． 令 ８＝ 一Ｐ一１ １ ， （ Ａ） ， 则 ＝ 一 ， 又 因为 论证明了停止损失再保险的最优性 ， 在保费收取次数 ， 所以 ＝（ 一 ８ ＋ ） ＋ ． 令 ｄ＝６ ＋ 可得数学 为负二项随机过程下， 研究保险公司利用停止损失再 ０≤Ｙ≤ —ｄ ） ＋ ． 令， ＝（ Ｘ —ｄ ） ＋ ， Ｐ＝ 保险最小化其破产概率 ， 用鞅方法得到破产概率的解 规划 的最优解 ＝ （
（ ｔ ． 天水师范学院数学与统计学院 ， 甘肃 天水 ７ ４ １ ０ ０ １ ； ２ ． 郑州大学数学系 ， 河南 郑 州 ４ ５ ０ ０ ０ ２）
摘要 ： 利用线性规划证明了停止损失再保险的最优性， 在保费收取次数为负二项随机过程下 ， 研究保险
公 司利用停 止损失再 保险最小化其破产概率 的问题 ， 用鞅方 法得到破产概率 的解析表达式及 上界 ．
第３ ７卷 第 ２期 ２ ０ １ ３年 ３月
江西 师 范大 学学 报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
基金项 目： 国家 自然科学基金 （ ６ １ １ ０ ４ ０ ４ ５ ） 和甘肃省 自然科学基金 （ ０ ９ ６ １ Ｌ Ｉ Ｚ Ｅ １ ０ ６ ） 资助项 目 作者简介 ： 王丙参 （ １ ９ ８ ３ 一 ） ， 男， 河南南 阳人 ， 讲师 ， 硕士 ， 从 事随机过程和金融数学研究 ．