第2章5-7节埃尔米特与样条
埃尔米特曲线上任意点坐标
埃尔米特曲线上任意点坐标
（实用版）
目录
1.埃尔米特曲线简介
2.埃尔米特曲线上的点坐标
3.埃尔米特曲线的应用
正文
【1.埃尔米特曲线简介】
埃尔米特曲线，又称为共形映射，是一种在复平面上的数学曲线。
它是由法国数学家查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）在 19 世纪末期发现的。
埃尔米特曲线具有非常独特的性质，如无解析表达式、不可微分、具有自相似性等。
它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
【2.埃尔米特曲线上的点坐标】
在埃尔米特曲线上，任意一点的坐标可以通过以下方法表示：
首先，在复平面上任取一点 Z，其坐标为 (x, y)。
然后，计算该点关于原点 O 的对称点 Z"，其坐标为 (-x, -y)。
最后，连接 Z 和 Z"，中点 P 的坐标即为埃尔米特曲线上对应点的坐标。
具体地，设 P 的坐标为 (a, b)，则有：
a = (x - x") / 2
b = (y - y") / 2
其中，x"和 y"分别是 Z"的横纵坐标。
【3.埃尔米特曲线的应用】
埃尔米特曲线在数学领域具有丰富的研究价值，例如与黎曼猜想、五次费马定理等著名问题密切相关。
此外，它在物理学、信号处理、计算机图形学等领域也有广泛的应用。
例如，在图像处理中，埃尔米特曲线可以用来生成分形图像；在通信系统中，其自相似性可以用于信号调制等。
五种插值法的对比研究
学号：2013大学毕业论文五种插值法的对比研究A Comparative Study of Five Interpolation Methods学院: 理学院教学系：数学系专业班级: 信息与计算科学专业1301学生:指导教师: 讲师2017年6月7日目录容摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．I Abstract．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．II 1 导言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1.1 选题背景．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 11.2 研究的目的和意义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 22 五种插值法．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3 2.1 拉格朗日插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 2.2 牛顿插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.3 分段线性插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 2.4 分段三次Hermite插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 52.5 样条插值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 53 五种插值法的对比研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 3.1 五种插值法的解题分析比较．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 63.2 五种插值法的实际应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．154 结语．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20 参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21 致．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．22容摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。
埃尔米特插值
(5.8)
x xk 1 , k ( x) x xk x x k 1 k 2 x xk k 1 ( x) x xk 1 x x . k k 1
2
(5.9)
2.5
埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2n 2 个插值基函数 j (x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
xk 5 10 k , n (k 0,1, , n)
所构造的拉格朗日插值多项式为
Ln ( x)
n 1 ( x) 1 . 2 j 0 1 x j ( x x j )n 1 ( x j )
n
令 xn 1/ 2 1 ( xn 1 xn ), 则 xn 1/ 2 5 5 ,
果并不好.
通常不用高次插值，而用分段低次插值.
2
n
18
表2-5列出了 n 2,4,,20 时的 Ln ( xn1/ 2 )的计算结果及 在 xn 1/ 2 上的误差 R( xn 1/ 2 ).
表2 5 n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 f ( xn 1/ 2 ) 0.137931 0.066390 0.054463 0.049651 0.047059 0.045440 0.044334 0.043530 0.042920 0.042440 Ln ( xn 1/ 2 ) 0.759615 0.356826 0.607879 0.831017 1.578721 2.755000 5.332743 10.173867 20.123671 39.952449 R ( xn 1/ 2 ) 0.621684 0.423216 0.553416 0.880668 1.531662 2.800440 5.288409 10.217397 20.080751 39.994889
07第七章 埃尔米特多项式
π∫
+∞ −x2
−∞
e
f (x)Hn (x)dx
西安理工大学应用数学系
内展成Hermite多项式的级数形式 多项式的级数形式 例2：将f ( x ) = e x 在 ( −∞ , +∞ ) 内展成 多项式 解 ：设 设 则
m
西安理工大学应用数学系
取
cn = 2n 则 cn−2m = (−1)m
n 2
n! 2n−2m m!(n − 2m)!
，对应多项式
当n为偶数时，有系数 为偶数时，
m
cn , cn−2 , L, c2 , c0
n! y1(x) = ∑(−1) (2x)n−2m 为关于 的偶次方的 为关于x的偶次方的 m!(n − 2m)! m=0 多项式 n! n = (2x) − (2x)n−2 +L (n − 2)! 当n为奇数时，有系数 cn , cn−2 , L, c3 , c1 ，对应多项式 为奇数时，
H1 ( x) = 2 xH 0 ( x)
H n +1 ( x) − 2 xH n ( x) + 2nH n −1 ( x) = 0, n = 1, 2,L
西安理工大学应用数学系
§7.3
Hermite多项式的正交性及其应用 Hermite多项式的正交性及其应用
结论： 结论：Hermite多项式 {H n ( x)}∞=1 在 ( −∞, +∞) 上关于权函 多项式 n 2 正交， 数 f ( x ) = e − x 正交，即
n! n−2m P (x) = ∑(−1) (2x) 为关于x的奇次方的多项式 为关于 的奇次方的多项式 n m!(n − 2m)! m=0
m
n−1 2
埃尔米特插值法
埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。
它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。
埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。
2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。
这就是插值问题。
给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。
3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。
为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。
4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。
- g i(x j)=0对所有i,j成立。
基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。
5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。
通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。
6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。
我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
第2章-插值法(Hermite插值,样条插值)
2.5 埃尔米特插值法
Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存 在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节 点处不可导等缺点
问题的提出： 不少实际问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要 求它的导数值也相等（即要求在节点上具有一阶光滑度）， 甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求的插值多项式就是 埃尔米特（Hermite）插值多项式。下面只讨论函数值与导数 值个数相等的情况。
由 j ( x j ) 1 ，可得
Cj
1 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
故
j ( x) ( x x j )
( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2 ( x j x0 ) 2 ( x j x1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j x j 1 ) 2 ( x j xn ) 2
( x x j )l j 2 ( x)
2016/8/14 6
（ii）由条件(1)可知，x0 , x1,, x j 1, x j 1,, xn都是 j ( x)的二重根，令
j ( x) C j (ax b)( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x x j 1 ) 2 ( x xn ) 2
17
即
x x1 x x0 2 0 ( x) (1 2l1 ( x)) l0 ( x) 1 2 x x x0 x1 1 0
Hermite插值多项式
( xi1
4
xi )2
因此
|
Ri ( x) |
(
x i
+1
8
xi )2
max |
xi x xi1
f ( x) |
于是在[a,b]上，| R( x) ||
f
( x)
L1( x) |
h2 8
M2
优点：计算简单； 适用于光滑性要求不高的插值问题。
缺点：分段插值函数只能保证连续性， 失去了原函数的光滑性。
(1) L1(x) 在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是
线性插值多项式;
(2) L1(xi ) yi , i=0,1,2,…,n (3) L1(x) 在区间[a , b]上连续; 则称 L1(x)是f(x)在[a ,b]上的分段线性插值函数。
2.分段线性插值函数的表达式
2
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数法求出，但不易推广到高次。
3
基函数法:
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
为使H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L1(x)满足条件
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5
两端取对数再求导，得
l ( x j ) j
k 0 k j
n
1 , x j xk
于是
j ( x) (1 2( x x j )
k 0 k j n
1 )l 2 ( x). j x j xk
同理，可得
j ( x) ( x x j )l 2 ( x). j
13
• • • • • • • • • • •
解：1)先求满足函数条件的牛顿插值多项式 构造差商表 x y 一价差商 二价差商 -2 -5 -1 -1 4 1 1 1 -1 满足函数条件的牛顿插值多项式为 H2(x)= -5+4（x+2)-(x+2)(x+1)=-x2+x+1 再设H(x)=H2(x)+A（x+2)(x+1)(x-1) 利用H’(1)= f’(1)=5 可求出A=1 所以H(x)=H2(x)+（x+2)(x+1)(x-1)=x3+x2-1
2.5
埃尔米特(Hermite)插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
f ( x j ),Fra bibliotek( j 0,1,, n), 问题是求插值多项式 H (x) ，
满足条件
H (x j ) y j , H ( x j ) m j , j 0,1,, n,
这里共有 2n 2个插值条件，可唯一确定一个次数不超过 其形式为 2n 1 的多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) ，
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2n 2 个插值基函数 j (x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
j ( xk ) jk
0, 1, j k, j k,
( j , k 0,1, , n).
j ( x) (ax b)l 2 ( x), j j ( xk ) 0, ( xk ) jk j 由条件，有
令
H 3 ( xk )1 mk ), R3 ( x) f ( 4 ( )( x xk ) ( x xk 1 ) , ( xk , xk 1 ). 4!
f ( 2 n 2) ( ) 2 R( x) f ( x) H 2 n 1 ( x) n 1 ( x) (2n 2)!
k 1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0, k 1 ( xk ) 0, k 1 ( xk 1 ) 1.
10
根据 j (x)及 j (x) 的一般表达式， 可得到
x xk x xk 1 k ( x ) 1 2 x x , xk 1 xk k k 1 2 x xkn1 x xk 1 . ( x ) 1 2 k 1x) (1 2( x kx) 1 xk 1)2 xx). ( lj ( x j xk j k k 0 x j xk
6
可以证明满足Hermite插值条件的插值多项式是唯一的. 用反证法，假设 H 2 n1 ( x) 及 H 2 n1 ( x)均满足Hermite插值条件， 于是
) H n ( x m , x) H ( x j ( x) y j , 2H1( x j)) H 2j n 1 (j 0,1,, n,
H 3 ( xk ) yn , k
H 3 ( xk 1 ) yk 1 ;
相应的插值基函数为 k ( x), k 1 ( x), k ( x), k 1 ( x), 它们满足条件
9
k ( xk ) 1,
k ( xk 1 ) 0,
k ( xk ) k ( xk 1 ) 0,
22
2
分段线性插值
由于升高插值多项式的阶数有时并不能达到提高精度 的效果, 所以实际中往往采用分段插值的思想. 分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区 间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.
所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来
逼近 f (x).
23
设已知节点 a x0 x1 xn b 上的函数值
j ( xk ) jk
0, 1, j k, j k,
j ( xk ) 0, ( xk ) jk j
H (x j ) y j ,
( j , k 0,1, , n).
j ( xk ) 0;
H ( x j ) m j , ( j 0,1,, n), 将满足条件的插值多项式 H 2 n1 ( x) H ( x) 写成用插
H 3 ( xk 1 ) mk 1. 2 2
12
例1 设f(x)在[-1, 1]上4阶导数连续, 1)求一个三次多项式H(x)满足: H(-2)= f(-2)=-5 ,H(-1)= f(-1)=-1 , H(1)= f(1)=1 , H＇(1)= f＇(1)= 5 2)求余项的表达式
4
整理得
ax j b 1; j a 2l ( x j ) 0.
解出
a 2l ( x j ), j b 1 2 x j l ( x j ). j
由于
l j ( x) ( x x0 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xn ) ,
(5.1)
在每个节点 xk 上的值及导数值均为零，即 xk 为二重根. (5.1) H ( x j ) y j , H ( x j ) m j , j 0,1,, n, 这样， (x) 有 2n 2重根，但 (x) 是不高于 2n 1次的多 项式， ( x) 0. 唯一性成立. 故
k 1 ( xk ) 0,
k 1 ( xk 1 ) 1,
k 1 ( xk ) k 1 ( xk 1 ) 0;
k ( xk ) k ( xk 1 ) 0, k ( xk ) 1, k ( xk 1 ) 0,
16
2.6
1
分段低次插值
高次插值的病态性质
根据区间 [a, b] 上给出的节点做出的插值多项式 Ln (x), 在次数 n 增加时逼近 f (x) 的精度不一定也增加. 这是因为对任意的插值节点，当 n 时， Ln (x) 不 一定收敛到 f (x) .
17
考虑函数 f ( x) 1 /(1 x 2 )，它在 [5,5] 上的各阶导数均 存在. 以 [5,5]上的 n 1 个等距节点
j ( xk ) 0;
2 j j ( 0, j k , j ( xk ) ( x)jk ax j b)l j ( x j ) 1, ( xk ) 0; j
1, j k , j ( x j ) l j ( x j )[ al j ( x j ) 2(ax j b)l j ( x j )] 0, j ( xk ) 0, ( xk ) jk ( j , k 0,1, , n). j
值基函数表示的形式
H 2 n 1 ( x) [ y j j ( x) m j j ( x)].
j 0 n
3
由插值基函数满足条件，有
H 2n1 ( xk ) yk , H 2 n1 ( xk ) mk , k 0,1,, n.
下面的问题就是如何求出这些基函数 j (x)及 j (x), 利用拉格朗日插值基函数 l j ( x ).
2
k j
xk xk 1 2 x xk k 1 ( x) x xk 1 x x . k k 1
11
2 j ( x) ( x x j )l 2 ( x). j x xk 1 , k ( x) x xk
14
2)设R(x)=K(x)(x+2)(x+1)(x-1)2 2 令 (t ) f (t ) H (t ) k ( x)(t 2)(t 1) (t 1).
(2) (1) ( x) 0 , (1) 0, (1) 0
t 2,1, x为单零点，t 1为二重零点，
f 0 , f1 ,, f n , 记 hk xk 1 xk , h max hk ,
8
Hermite插值多项式的重要特例是n 1 的情形. 这时可取节点为 xk 及 xk 1 ， 插值多项式为 H 3 ( x)，满足
H 2 n 1 ( x) [ y j j ( x) m j j ( x)]. j H 3 ( xk ) m0 , H 3 ( xk 1 ) mk 1. k
图2-5
19
从图上看到，在 x 5 附近, L10 ( x)与 f ( x) 1 /(1 x 2 ) 偏离很远， 这说明用高次插值多项式 Ln (x)近似 f (x) 效
果并不好.
20
下图是用Matlab完成的Lagrange插值（附程序）：