埃尔米特插值
1.6 埃尔米特插值
（2）基函数方法
基函数方法：
0 (x0 ) 1, 0 (x1 ) 0 (x0 ) 0 1 (x1 ) 1, 1 (x0 ) 1(x0 ) 0 0 (x0 ) 1, 0 (x0 ) 0 (x1 ) 0
2
0
( x)
1
x x1
x0 x0
2
1 ( x)
2
x x0 x1 x0
0
(
x)
(
x
x0 )(x (x1 x0
)2
x1
)
第三种解法
（3）待定系数法
p2(x) ax2 bx c p2(x) 2ax b
aaxx1022
bx0 bx1
c c
y0 y1
2ax0 b y0
题4
不同插值节点，同一个插值节点上仅有函数值（或 者一阶导数值）
设x0 x2,求作次数 2的多项式p(x)，使满足条件 p(x0 ) y0, p(x1) y1, p(x2 ) y2
由此可导出(29)式
2，数学描述
设在节点 a x0 x1 xn b上，
y j f (x j ) ， mj f (x j ) ( j 0, 1, , n)
要求插值多项式 H (x) 满足条件 H (x j ) y j , H (x j ) m j ( j 0, 1, , n)
Hermite插值问题常用解法
（1）基函数构造法 （2）待定系数法 （3）基于承袭性
根据有函数值的插值节点条件构造插 值多项式（泰勒，拉格朗日，牛顿等）， 再结合其他插值节点的导数条件构造一个 附加项，由待定系数法给出系数，从而得 到所求插值多项式
例：按下表求Hermite插值多项式
解法一：由于插值条件有5
埃米尔特插值法
埃米尔特插值法
欧几里德·埃米尔特插值法（Euler-Laplace Interpolation）又称为埃米尔特插值，是指在离
散序列中查找未知值的技术，主要用于在数据序列中实现多项式插值，发源于拉普拉斯数
学家卡尔·拉普拉斯提出的奥埃尔-拉普拉斯插值的特殊情况。
欧几里德·埃米尔特插值是一种把离散数据形成一个多项式曲线，使其能够介入更多数据点，来插值计算未知值的方式，它比一般的数值插值更加高效，也更加准确。
使用欧几里德·埃米尔特插值法时，需要先计算出拉普拉斯差值的斜的系数。
在计算拉普
拉斯差值的斜的系数时，与格雷斯特插值和牛顿插值相比，欧几里德·埃米尔特插值的计
算量相对小。
当求出拉普拉斯差值斜系数后，即可使用欧几里德·埃米尔特插值法进行插值计算。
埃米
尔特插值法最大的优点在于它可以在基于一定步长的多项式曲线下，精确计算未知点的值，同时也可以使插值结果的计算的效率更高。
总的来说，欧几里德·埃米尔特插值法具有计算简便以及精度高的特点，是离散数据插值
计算中使用非常广泛的一种技术，是在查找数据时重要的一种选择。
埃尔米特插值
(5.8)
x xk 1 , k ( x) x xk x x k 1 k 2 x xk k 1 ( x) x xk 1 x x . k k 1
2
(5.9)
2.5
埃尔米特插值
有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式. 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况.
1
设在节点 a x0 x1 xn b 上，y j
m j f ( x j )
H 2 n 1 ( x) a0 a1 x a2 n 1 x 2 n 1.
现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法.
2
先求出 2n 2 个插值基函数 j (x) 及 j ( x) ( j 0,1,, n)， 且满足条件 每一个基函数都是 2n 1 次多项式，
xk 5 10 k , n (k 0,1, , n)
所构造的拉格朗日插值多项式为
Ln ( x)
n 1 ( x) 1 . 2 j 0 1 x j ( x x j )n 1 ( x j )
n
令 xn 1/ 2 1 ( xn 1 xn ), 则 xn 1/ 2 5 5 ,
果并不好.
通常不用高次插值，而用分段低次插值.
2
n
18
表2-5列出了 n 2,4,,20 时的 Ln ( xn1/ 2 )的计算结果及 在 xn 1/ 2 上的误差 R( xn 1/ 2 ).
表2 5 n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 f ( xn 1/ 2 ) 0.137931 0.066390 0.054463 0.049651 0.047059 0.045440 0.044334 0.043530 0.042920 0.042440 Ln ( xn 1/ 2 ) 0.759615 0.356826 0.607879 0.831017 1.578721 2.755000 5.332743 10.173867 20.123671 39.952449 R ( xn 1/ 2 ) 0.621684 0.423216 0.553416 0.880668 1.531662 2.800440 5.288409 10.217397 20.080751 39.994889
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
2.4埃尔米特插值
2 1
x − x0 x −x 0 1
2
2
β 0 ( x ) = ( x − x0 ) ⋅ l02 ( x ) = ( x − x0 ) x − x1 x −x 1 0
β 1 ( x ) = ( x − x1 ) ⋅ l ( x ) = ( x − x1 )
两个节点就可以用2 × 1 + 1 = 3次多项式作为插值函数
( 2 ) 同样 , 若要求P( x )在[ a , b ]上具有m阶导数( m阶光滑度) 显然P( x )在节点 x0 , x1 ,⋯ , xn处必须满足
P( xi ) = f ( xi ) = yi
P′( xi ) = f ′( xi ) = yi′ P′′( xi ) = f ′′( xi ) = yi′′
其中
α 0 ( x0 ) = 1
α 1 ( x0 ) = 0
α 0 ( x1 ) = 0
α 1 ( x1 ) = 1 β 0 ( x1 ) = 0
′ α 0 ( x0 ) = 0 ′ α 1 ( x0 ) = 0 ′ β 0 ( x0 ) = 1 ′ β 1 ( x0 ) = 0
′ α 0 ( x1 ) = 0
所以,两点三次Hermite插值的余项为
f ( 4 ) (ξ ) R3 ( x ) = ( x − x0 )2 ( x − x1 )2 4!
x0 ≤ ξ ≤ x1
以上分析都能成立吗？
当f ( 4 ) ( x )在[ x0 , x1 ]上存在且连续时 , 上述余项公式成立
例.
已知f ( x )在节点1，处的函数值为f (1) = 2 , f ( 2 ) = 3 2 f ( x )在节点1，处的导数值为f ′(1) = 0 , f ′( 2 ) = −1 2
埃尔米特(Hermite)插值
实验二埃尔米特（Hermite）插值一、实验目的：1.掌握埃尔米特插值算法原理；2.使用C语言编程实现埃尔米特插值算法。
二、实验准备：阅读《数值分析》2.4节二、实验要求：某人从甲地开车去乙地，每隔一段时间对行车距离和速率进行一次采样，得到在n+1 个采样时刻点t i 的里程s i和速率v i（i=0, 1, ..., n）。
要求编程构造埃尔米特插值多项式H2n+1(t)，满足H2n+1(t i)=s i，H'2n+1(t i)=v i，对所有i=0, 1, ..., n成立，并据此计算m个给定时刻的里程和速率。
函数接口定义：void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] );其中N为采样点个数（注意这个N不是公式中的最大下标n，而是等于n+1），采样时刻点t i、里程s i、速率v i分别通过t、s、v传入；m是需要估算的给定时刻的个数，ht传入给定的时刻点，相应计算出的里程和速率应分别存储在hs和hv中。
裁判程序如下：裁判输入数据：20.0 1.00.0 1.00.0 0.050.0 0.2 0.5 0.8 1.030.0 0.5 1.0100.0 170.0 200.030.0 150.0 0.050.0 0.25 0.5 0.75 1.050.0 1.0 2.0 3.0 4.00.0 60.0 160.0 260.0 300.05.0 70.0 100.0 120.0 20.0100.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 3.8 3.95 4.0标准输出数据：0.0000 0.1040 0.5000 0.8960 1.00000.0000 0.9600 1.5000 0.9600 0.0000100.0000 127.9297 170.0000 195.9766 200.000030.0000 165.4688 150.0000 52.9688 0.000030.2222 60.0000 105.9303 160.0000 206.3438 260.0000 307.9764 305.7687 299.9796 300.000062.6024 70.0000 109.0488 100.0000 92.9745 120.0000 41.2374 -44.8421 -16.2783 20.0000#include<stdio.h>#define MAXN 5 /* 最大采样点个数 */#define MAXM 10 /* 最大估算点个数 */void Hermite_Interpolation( int N, double t[], double s[], double v[], int m, double ht[], double hs[], double hv[] ){double l[10],p[10],h1[10],h2[10],x,ll[10],pp[10];int kk;for(kk=0;kk<m;kk++){x=ht[kk];hs[kk]=0;hv[kk]=0;int i;for(i=0;i<N;i++){l[i]=1;ll[i]=1;int j;for(j=0;j<N;j++){if(i!=j){l[i]=l[i]*(x-t[j])/(t[i]-t[j]);}}p[i]=0;pp[i]=0;int k;for(k=0;k<N;k++){if(i!=k){p[i]=p[i]+l[i]/(x-t[k]);pp[i]=pp[i]+ll[i]/(t[i]-t[k]);}}h1[i]=(1-2*pp[i]*(x-t[i]))*l[i]*l[i];h2[i]=(x-t[i])*l[i]*l[i];hs[kk]=hs[kk]+s[i]*h1[i]+v[i]*h2[i];int kkk;for(kkk=0;kkk<N;kkk++){if(x==t[kkk])break;}if(x==t[kkk])hv[kk]=v[kkk];elsehv[kk]=hv[kk]+s[i]*(2*p[i]*l[i]-4*l[i]*p[i]*(x-t[i])*pp[i]-2*pp[i]*l[ i]*l[i])+v[i]*(l[i]*l[i]+2*l[i]*p[i]*(x-t[i]));}}}int main(){int N, m;double t[MAXN], s[MAXN], v[MAXN]; /* 用于构造的数据 */double ht[MAXM], hs[MAXM], hv[MAXM]; /* 用估算的数据 */int i;while ( scanf("%d", &N) != EOF ) {for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &t[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &s[i]);for ( i=0; i<N; i++ )scanf("%lf", &v[i]);scanf("%d", &m);for ( i=0; i<m; i++ )scanf("%lf", &ht[i]);Hermite_Interpolation( N, t, s, v, m, ht, hs, hv );for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hs[i]);printf("\n");for ( i=0; i<m; i++ )printf("%.4lf ", hv[i]);printf("\n\n");}return 0; }。
埃尔米特插值
即：x x j ( j i)是i (x)的二重根
因为i (x)得次数是2n 1
n
则：i (x) (ax b) (x x j )2 j0 ji
a和b由以下两式确定：
i (xi ) 1 i(xi ) 0
ii((xxj
) 0，j j ) 0，j
A 59 , 360
B 161 360
例5：给定如下数据表，求次数不高于3 次的代数多项式。
xi f(xi)
f (xi )
f ( xi )
x0 f(x0)
f ( x0 )
f (x0 )
x1 f(x1)
提示 H3 (x) H2 (x) A(x x0 )2 (x x1)
又：H
2
(0)
0
则：c 1
则：R2 (x) x(x 1)
则：H2 (x) L1(x) R2 (x) x2
再增加：
xi
1
yi
1
求 : H3(x),其中H3(x)满足：
xi
01
f(xi) 0
1
f (xi )
0
1
：H3(x) = H2 (x) + R3(x)
R3(0) = 0 其中：R3(1) = 0
例6：给定如下数据表，求首项系数为1 的4次的代数多项式。
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
提示 H3(x) H2 (x) c(x a)3
H2 (x) 0
xi
ab
f(xi) 0
f (xi )
0
0
f ( xi ) 0
第三章 插值法 Hermite插值
j
(
x
)
(1
c(
x
x
j
))
(((xxx xx000))222((xx xx11))222 ((xxjj xx00))22((xxjj xx11))22
(((xxxxxjjj11))222((xx xxjj11))22 ((xx ((xxjj xxjj11))22((xxjj xxjj11))22 ((
P3( x) f ( x0 ) f x0, x1x x0 f x0, x1, x2 ( x x0 )x x1
f [ x0 , x1, x1, x2 ,]( x x0 )( x x1 )( x x2 ) --- 带重节点的牛顿插值多项式
插值余项（误差估计）:
条件 f ( x) C 3[a, b]，f（4）( x)存在。
i 0,1, , n, xi互异)
（b）H2n1( x) 为Hermite插值多项式，
则
R2n1( x) f ( x) H 2n1( x)
f ( (2n2) )
(2n 2)!
(x
x0 )2( x
x1 )2
( x xn )2
f (2n (2n
2) ( )
2)!
2 n1
(
x
),
(a, b)且与 x 有关。
结论
R( x)
f ( x) P3 ( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)( x
x1 )2 ( x x0 , x2
x2 )。 且依赖于x
证明
（1）当 x xi (i 0,1,2)时, R( xi ) 0 右端 0; （2）当 x xi (i 0,1,2)时,
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同理： 1( x)为二次项式 1(0) 0 又： 1 (0) 0 则：x 0为 1( x)的二重根 则： 1( x) cx 又： 1(1) 1 则：c 1 则： 1( x) x 2 同理： 0 ( x) x(1 x)
2
插值余项为:
则对于一般情况： 已知：2n+2个条件 xi x0 x1 y i = f( x i ) y0 y1 yi ’= f ’ (xi) y0’ y 1’
… … …
xn yn yn’
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
则可以设：
H n ( x) y0 0 ( x) yn n ( x) y0 0 ( x) yn n ( x)
( x ) 1，j i i j 因为： i ( x j ) 0，j i且j 1,2,, n i ( x j ) 0, j 0,1,, n 其中：i 0,1,, n 即：x x j ( j i )是 i ( x)的二重根 因为 i ( x)得次数是2n 1 则： i ( x) (ax b) ( x x j ) 2
f ( x i )
xi f(xi)
-1 10 1
0 14
1 16 0.1
2 15
解： 先构造插值于四个函数值的插值多项式
用Newton插值法可得：
N 3 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , , x 3 ]( x x0 )( x x 2 ) 1 10 4( x 1) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 6 19 1 3 2 14 x x x 6 6
增加：
xi
yi
0
0
求：H 2 ( x), 其中H 2 ( x)满足：
xi f(xi)
f ( xi )
0 0 0
1 1
设：H 2 ( x) L1 ( x) R2 ( x) R2 (0) 0 则： R2 (1) 0 则：R2 ( x) c( x 0)( x 1) 有：H 2 ( x) x cx( x 1) 又：H 2 (0) 0 则：c 1 则：R2 ( x) x( x 1) 则：H 2 ( x) L1 ( x) R2 ( x) x
2
再增加：
xi
yi
1 1
求 : H3 ( x), 其中H3 ( x)满足：
xi f(xi) 0 0 0 1 1 1
f ( xi )
：H 3 ( x) = H 2 ( x) + R3 ( x) R3 (0) = 0 其中： R3 (1) = 0 R3 (0) = 0 ：R3 ( x) = c = 0
其中 0 ( x ), 1 ( x ), 0 ( x ) 是基函数，满足
（1）都是2次多项式； （2）无关性 要求满足:
0 ( 0 ) 1， 0 ( 0 ) 0， 0 ( 1 ) 0 1( 0 ) 0，1 ( 0 ) 0，1( 1 ) 1
0 ( 0 ) 0，0 '( 0 ) 1，0 ( 1 ) 0
x0
x1
f(x0) f(x1) f ( x0 )
f ( x0 )
f ( xi )
提示 H 3 ( x) H 2 ( x) A( x x0 ) 2 ( x x1 )
例 6 ：给定如下数据表，求首项系数为 1 的4次的代数多项式。 xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
二、简单情形
情形1. 已知：3个条件
xi y i = f (x i )
yi f ( xi )
0 y0
y0
1 y1
求:一个次数不超过2的多项式H2(x)。
注意用 Lagerange 基函数的思想和方法： 各司其职。
解： 用Lagerange基函数的方法，设
0 ( x) H 2 ( x ) y0 0 ( x ) y1 1 ( x ) y0
j 0 j i n
a和b由以下两式确定： i ( xi ) 1 i ( xi ) 0
i ( x j ) 0，j 0,1,, n i ( x j ) 0，j i, j 0,1,, n ，j i i ( x j ) 1 其中：i 0,1,, n 则：x x j ( j i )是 i ( x)的二重根，x xi 是 i ( x)的一重根 则：i ( x) c( x xi ) ( x x j ) 2
二、两种简单情形
三、例题
一、 Hermite插值多项式的定义
插值条件中除函数值外，还有导数值（回顾 Taylor展开式, 是某点的导数值），如
已知：2n+2个条件
xi y i = f (x i )
yi f ( xi )
x0 y0
y0
x1 y1
y1
… … …
xn yn
yn
求:一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x)
由于： 0 ( x)为二次项式，且有一个零点： （ 1 ） 0，则可以设： 1
0 ( x) ( x 1)( ax b)
0 (0) 1 将： 0 (0) 0 带入 0 ( x) ( x 1)( ax b)，则： a 1 b 1 则
H3 ( x) H2 ( x) c( x a)
H 2 ( x) 0
3
xi
f ( x i )
a
0 0 0
b
0
f(xi)
f ( xi )
进一步讨论第2列中的“0”上移和下移情 况下如何求解？
n
Newton插值法：
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 ,, x n ]( x x0 )( x x n1 )
注：两种方法的结果相同（唯一性）
2.4
埃 尔 米 特 插 值
一、埃尔米特（Hermite）插值多项式
再构造插值于两个导数值的插值多项式
H 5 ( x ) N 3 ( x ) ( Ax B)( x 1) x( x 1)( x 2)
解出系数
59 A , 360
161 B 360
例 5 ：给定如下数据表，求次数不高于 3 次的代数多项式。 xi f(xi)
f ( x i )
f ( ) 2 R( x ) f ( x ) H 2 ( x ) ( x x0 ) ( x x1 ) 3!
仿Lagrange 或 Newton 证明
情形2. 已知：4个条件
xi yi = f(xi) y i f ( xi )
x0 y0
y0
x1 y1
y1
求:一个次数不超过3的多项式H3(x)
练习：用 Lagerange 基函数的思想和方法： 各司其职。
插值余项为:
f ( 4) ( ) R( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 4!
仿Lagrange 或 Newton 证明
与Taylor公式进行比较，思考。
作业：
习题 14，16
*借助承袭性的思想插值:
三、例题
例 1 ：给定如下数据表，求次数不高于 3 次的代数插值多项式。
xi f(xi)
f ( x i )
0 0 0
1 1 1
解：本题利用承袭性的思想 首先利用：
xi f(xi) 0 0 1 1
求出：L1(x)
x x1 x x0 L1 ( x) y0 y1 x x0 x1 x1 x0
复 习
前面我们已经学过两种插值方法： Langrange插值法和Newton插值法 特点
1）插值条件为函数值，即
xi y i = f (x i )
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
2）求一个次数不超过n的代数多项式
3）构造方法：采用节点基函数
Langrange插值法：
Ln ( x ) i 0 yi l i ( x )
例 2 ：给定如下数据表，求次数不高于 3 次的代数插值多项式。
f ( x i )
xi f(xi)
0 0
1 0 0
2 1
例 3 ：给定如下数据表，求次数不高于 4 次的代数插值多项式。
f ( x i )
xi f(xi)
0 0
1 1
2 2 0
3 3
例 4 ：给定如下数据表，求次数不高于 5 次的代数多项式。
j 0 j i n
插值余项为：
Rn ( x) f ( x) H n ( x) f ( ) 2 (x x j ) (n 1)! j 0
( n 1) n
Hermite插值的方法：
(1)基函数方法
(2)*承袭性方法（见后例题）
注：当给出某一点处的函数值及其各阶 导数时，即为泰勒（插值）公式。