轨迹问题与数列求和
高三数列讲座心得体会
时光荏苒，转眼间我们已迈入高三这个紧张而关键的阶段。
在这个阶段，数列作为高中数学的重要组成部分，对我们的数学学习提出了更高的要求。
近期，我有幸参加了一场关于数列的讲座，通过这次讲座，我对数列有了更深入的理解，以下是我的一些心得体会。
一、数列的概念与性质讲座伊始，讲师首先向我们介绍了数列的基本概念和性质。
数列是由一系列按一定顺序排列的数组成的，它可以是有限数列，也可以是无限数列。
数列的通项公式是描述数列中每一项的规律的关键。
通过学习数列的性质，我认识到数列的有序性、递增性、递减性等特点，这些特点在解决数列问题时具有重要作用。
二、数列的求和问题在讲座中，讲师详细讲解了数列的求和问题。
求和问题是数列学习中的核心问题，也是高中数学考试中的热点。
通过学习，我了解到数列求和的方法有很多，如分组求和、错位相减、裂项相消等。
这些方法在解决不同类型的数列求和问题时具有很好的效果。
例如，在解决等差数列求和问题时，我们可以运用分组求和的方法；而在解决等比数列求和问题时，则可以运用错位相减的方法。
通过这次讲座，我对数列求和问题有了更加全面的认识。
三、数列的应用讲座中，讲师还向我们展示了数列在现实生活中的应用。
例如，在经济学中，我们可以用数列来描述经济指数的变化；在物理学中，我们可以用数列来描述物体的运动轨迹。
这些应用使我认识到数列知识的重要性，也让我对数学学习产生了更浓厚的兴趣。
四、学习方法与技巧在讲座的最后，讲师分享了学习数列的方法与技巧。
以下是我在讲座中总结的一些学习心得：1. 注重基础知识：数列学习的基础是掌握数列的概念、性质和通项公式，只有对这些基础知识有扎实的掌握，才能在解决数列问题时游刃有余。
2. 善于归纳总结：在学习数列的过程中，我们要善于归纳总结各种类型数列的求和方法和解题技巧，以便在考试中能够迅速找到解题思路。
3. 勤于练习：数列知识的应用需要大量的练习，只有通过不断的练习，我们才能熟练掌握各种解题方法，提高解题速度。
数列的递推关系与求和公式详细解析
数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。
数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。
本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。
一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。
常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。
1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。
其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。
举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。
斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。
可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。
2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。
非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。
例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。
等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。
又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。
等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。
二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。
根据不同的数列类型，有不同的求和公式。
1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。
2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。
3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。
例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。
高考数学轨迹方程的求解知识点整理知识点总结
高考数学轨迹方程的求解知识点整理知识点总结掌握一定的数学基础知识和基本技能，是每一个人应当具备的文化素养之一。
为大家推荐了高考数学轨迹方程的求解知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标_，y表示相关点P的坐标_0、y0，然后代入点P 的坐标(_0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标_、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找_、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
_直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系建立适当的坐标系;②设点设轨迹上的任一点P(_，y);③列式列出动点p所满足的关系式;④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于_，Y的方程式，并化简;⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
数学轨迹问题
数学轨迹问题
数学轨迹问题是指研究设定的数学函数或方程所描述的几何图形的运动规律和特点。
这类问题通常需要将数学方法与几何图形的运动相结合，通过分析数学函数或方程的性质，来研究图形的形状、位置、变化等问题。
常见的数学轨迹问题包括：
1. 平面曲线轨迹问题：给定一个平面曲线的方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解抛物线上一动点的坐标关系。
2. 空间曲线轨迹问题：给定一个空间曲线的参数方程，研究曲线上点的运动轨迹。
例如，求解螺线上一动点的坐标关系。
3. 平面图形轨迹问题：给定一个平面图形的特定性质，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆心在直线上的所有圆的轨迹。
4. 空间图形轨迹问题：给定一个空间图形的特点，研究这个图形在不同位置、形态下的变化。
例如，研究圆锥的截面在不同高度下的形状。
数学轨迹问题在几何学、微积分等数学分支中都有广泛的应用。
通过研究数学轨迹问题，可以揭示数学函数或方程的性质，并帮助我们更好地理解几何图形的变化和相互关系。
数列的相关知识点总结
数列的相关知识点总结一、数列的定义数列是按照顺序排列的一组数字。
数列中的每个数字称为这个数列的项，通常用字母来表示数列的项，例如a₁, a₂, a₃, …, aₙ。
其中n代表数列的项数，称为数列的长度或者规模。
数列通常用一个通用公式来表示，这个公式描述了数列中每一项与前一项的关系，通常用递推公式或者递归公式来表示。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推数列，它的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
二、常见的数列类型1. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项的差值是一个常数的数列，这个常数称为公差。
等差数列的通用公式为an = a1 + (n-1)d，其中a₁为第一项，d为公差，n为项数。
2. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项的比值是一个常数的数列，这个常数称为公比。
等比数列的通用公式为an = a₁ * rⁿ⁻¹，其中a₁为第一项，r为公比，n为项数。
3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的每一项都等于前两项的和。
这个数列的通用公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F₁ = 1, F₂ = 1。
三、数列的性质1. 数列的有界性：如果数列中的所有项都不大于一个常数M，那么这个数列就是有上界的；如果数列中的所有项都不小于一个常数N，那么这个数列就是有下界的。
如果一个数列既有上界又有下界，则称其为有界数列。
2. 数列的单调性：如果数列中任意相邻两项的大小关系保持不变，那么这个数列就是单调数列。
如果数列中的每一项都大于前一项，那么这个数列就是严格递增的；如果数列中的每一项都小于前一项，那么这个数列就是严格递减的。
3. 数列的极限性质：数列的极限是指数列中的项随着项数趋向于无穷大时的极限值。
如果一个数列存在有限的极限，则称其为收敛数列；如果数列的项随着项数趋向于无穷大时趋向于无穷大或者无穷小，则称其为发散数列。
四、数列的求和公式1. 等差数列的求和公式：等差数列的前n项和可以通过以下公式来计算：Sn = n/2 * (a₁ + an)，其中Sn表示前n项和，a₁表示第一项，an表示第n项。
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是解析几何中的一个重要内容，它是描述一个物体在运动过程中的路径的数学方法。
在数学中，求轨迹方程的过程通常需要经过一系列的思路和方法，且会涉及到不同类型的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及对应的题型，希望对读者有所帮助。
一、思路在求解轨迹方程时，我们首先需要明确物体的运动规律和路径，然后通过数学方法来描述它的运动状态。
通常来说，我们可以采用以下思路来求解轨迹方程：1. 分析运动规律：首先我们需要分析物体的运动规律，包括其运动方向、速度和加速度等。
了解物体的运动规律有助于我们更好地建立数学模型。
2. 建立数学模型：根据物体的运动规律，我们可以建立数学模型，一般是通过对其位置、速度和加速度等数据进行分析得到。
建立好数学模型后，我们就可以利用数学方法来求解轨迹方程。
3. 求解轨迹方程：根据建立的数学模型，我们可以利用数学方法如微积分、几何等来求解轨迹方程。
最终得到的轨迹方程可以描述物体在运动过程中的路径。
4. 验证结果：最后我们还需要验证求解得到的轨迹方程是否准确，通常可以通过数学推导和实际运动情况进行验证。
三、对应的题型在求解轨迹方程的过程中，我们会遇到不同类型的题目，包括但不限于以下几种：1. 直线运动问题：给定物体在直线运动过程中的速度和加速度，求解其轨迹方程。
2. 圆周运动问题：给定物体在圆周运动过程中的角速度和半径，求解其轨迹方程。
3. 曲线运动问题：给定物体在曲线运动过程中的运动规律，求解其轨迹方程。
4. 三维空间运动问题：给定物体在三维空间中的运动规律，求解其轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是数学中一个常见的问题，涉及到函数、几何和代数等多个方面的知识。
在解决这类问题时，我们需要掌握一定的思路和方法，同时要能灵活应用这些知识来解决具体的题目。
本文将介绍求轨迹方程的思路、方法以及几种常见的题型，并给出相应的解题思路和步骤。
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型
求轨迹方程的思路,方法和对应的题型全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求轨迹方程是高中数学中一个重要的话题，不仅是对数学知识综合运用的考验，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一个重要环节。
在学习求轨迹方程的过程中，学生需要掌握一定的方法和技巧，同时要注意对不同类型的题目进行分类和分析，以便能够正确地找到轨迹方程。
一、思路和方法求轨迹方程的基本思路是根据给定的条件，建立方程，然后通过逻辑推理和代数计算，最终得到表达轨迹的方程。
在具体进行求解的过程中，我们可以采用以下几种方法：1. 笛卡尔坐标系法在求轨迹方程的过程中，我们常常需要用到二维平面坐标系。
通过设定坐标轴，建立直角坐标系，将问题中的各个点的坐标表示成(x,y)，然后根据给定条件进行分析，建立方程，最终得到轨迹方程。
2. 参数法有时候通过引入参数，可以简化问题的解决过程。
我们可以设一个参数t，用其作为辅助变量，来表达轨迹上各点的位置关系。
通过对参数的变化范围和步骤进行分析，最终得到轨迹方程。
3. 抽象化方法对于一些复杂的问题，我们可以通过抽象化的方法来求解轨迹方程。
将问题转化成一个更加简单的形式，然后进行分析和计算，最终得到轨迹方程。
二、对应的题型在求轨迹方程的过程中，我们会遇到各种各样的题目，不同的题目需要采用不同的方法和技巧进行求解。
下面列举一些常见的求轨迹方程的题型：1. 直线的轨迹方程有时候给定直线上的一个点和直线的方向向量，我们需要求直线的轨迹方程。
这时可以通过点斜式或者两点式求解。
给定圆心和半径，求圆的轨迹方程。
可以通过圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²来求解。
有时候会给定一组参数方程，我们需要求这些参数方程表示的轨迹方程。
可以通过把参数方程组合起来，得到关于自变量的函数表达式，最终得到轨迹方程。
第二篇示例：求轨迹方程是一种常见的数学问题，涉及到解析几何和函数方程的知识。
在数学学习中，经常会遇到求轨迹方程的题目，需要运用相关的方法和思路来解决。
高考解析几何轨迹问题解题策略
高考解析几何轨迹问题解题策略
一、轨迹方程的求法
1. 直接法：直接法就是不设出动点的坐标，而是根据题设条件，直接列出轨迹上满足的点的几何条件，并从这个条件对方程进行整理，得到轨迹方程．
2. 定义法：定义法就是根据已知条件，结合所学过的圆锥曲线的定义直接写出曲线的方程．
3. 参数法：参数法是指先引入一个参数，如时间、速度等，根据已知条件，写出参数方程，再消去参数化为普通方程．
4. 交轨法：交轨法是指利用圆锥曲线统一定义，通过求交点坐标来求轨迹方程的方法．
二、轨迹问题的解题策略
1. 转化化归：将待求问题转化为已知问题，将复杂问题转化为简单问题，将抽象问题转化为具体问题，这是解决轨迹问题的基本策略．
2. 设而不求：在轨迹问题中，设点而不求出点的坐标是常用的一种解题策略．
3. 整体代换：在轨迹问题中，有时通过整体代换可以简化运算．
4. 坐标转移：在轨迹问题中，有时可以通过坐标转移来转化问题．
5. 逆向思维：在轨迹问题中，有时通过逆向思维可以简化运算．。
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轨迹问题与数列求和一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.△ABC底边的两个端点分别是B(−6,0)，C(6,0)，周长为32，则顶点A的轨迹方程是()A. x236+y216=1(y≠0) B. x264+y2100=1(y≠0) C. x2100+y264=1(y≠0) D. x2144+y236=1(y≠0)2.己知MN是平面α的斜线段，M为斜足，若动点P∈α，且△MNP的面积为定值，则动点P的轨迹为()A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 直线3.若动点P(x,y)与两定点M(−a,0)和N(a,0)的连线的斜率之积为常数k(ka≠0)，则点P的轨迹一定不可能是()A. 除M、N两点外的圆B. 除M、N两点外的椭圆C. 除M、N两点外的双曲线D. 除M、N两点外的抛物线二、解答题（本大题共5小题，共60.0分）4.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x−3y−6=0，点T(−1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程；(3)若动圆P过点N(−2,0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．5.已知点M到点F(1,0)的距离等于点M到直线x+1=0的距离，设点M的轨迹是曲线C．(Ⅰ)求曲线C的方程．(Ⅱ)过点F(1,0)且斜率为1的直线l与曲线C交于两点A，B，求|AB|的长．(Ⅲ)若直线l：y=−x+4与曲线C交于两点M，N，求证：OM⊥ON(O是坐标原点)．6.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)令c n=(a n+1)n+1，求数列{c n}的前n项和T n．(b n+2)n7.已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=(-1)n-14n，求数列{b n}的前n项和T n．a n a n+18.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n，n∈N∗．(1)写出数列{a n}的第5项a5=______；(2)已知等差数列{b n}中，有b2=a1，b3=a3，设c n=b n，记数列{c n}的前n项和为T n，求证：T n<4(n∈N∗).a n答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可得|BC|+|AC|=20>AB ，故顶点A 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点． ∴2a =20，a =10，c =6，∴b =8，故顶点C 的轨迹方程为：x 2100+y 264=1(y ≠0)． 故选：C ．由题意可得|BC|+|AC|=14>AB ，故顶点A 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a 、b 的值，即得顶点C 的轨迹方程．本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用．解题的易错点：最后不检验满足方程的点是否都在曲线上． 2.【答案】A【解析】解：因为△MNP 的面积为定值，且MN 长为定值，所以点P 到直线MN 的距离为定值，从而，点P 在以MN 为轴的圆柱的侧面上，又直线MN 是平面α的斜线，且点P 在平面α内运动，所以，点P 在平面α与以MN 为轴的圆柱斜交的交线上，根据平面与圆柱面交线的性质，得到的轨迹是椭圆．故选：A ．因为△MNP 的面积为定值，且MN 长为定值，所以点P 到直线MN 的距离为定值，从而，点P 在以MN 为轴的圆柱的侧面上，又直线MN 是平面α的斜线，且点P 在平面α内运动，所以，点P 在平面α与以MN 为轴的圆柱斜交的交线上，根据平面与圆柱面交线的性质，得到的轨迹是椭圆．本题主要考查点线面的位置关系，圆锥曲线的定义性质，从定性的角度考虑即可．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了圆锥曲线的综合．考查了学生对圆锥曲线标准方程的考查和应用．根据题意可分别表示出动点P 与两定点的连线的斜率，根据其之积为常数，求得x 和y 的关系式，对k 的范围进行分类讨论，分别看k >0，k <0且k ≠−1和k =−1时，根据圆锥曲线的标准方程可推断出点P 的轨迹．【解答】解：依题意可知y x+a ⋅y x−a =k ，整理得y 2−kx 2=−ka 2，当k >0时，方程的轨迹为双曲线．当k <0时，且k ≠−1方程的轨迹为椭圆．当k =−1时，点P 的轨迹为圆∴抛物线的标准方程中，x 或y 的指数必有一个是1，故P 点的轨迹一定不可能是抛物线．故选：D ．4.【答案】解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x −3y −6=0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为−3，又因为点T(−1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y −1=−3(x +1)．3x +y +2=0．(2)由{x −3y −6=03x +y +2=0解得点A 的坐标为(0,−2)， 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M(2,0)．所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心．又|AM|=√(22+(0+2)2=2√2．从而矩形ABCD外接圆的方程为(x−2)2+y2=8．(3)因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以|PM|=|PN|+2√2，即|PM|−|PN|=2√2．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2√2的双曲线的左支．因为实半轴长a=√2，半焦距c=2．所以虚半轴长b=√c2−a2=√2．从而动圆P的圆心的轨迹方程为x22−y22=1(x<0)．【解析】本题主要考查直线方程的求法，平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法．(1)先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；(2)先求得其圆心和半径，再由圆的标准方程求解；(3)由圆心距等于两半径之和，抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程．5.【答案】解：(Ⅰ)点M的轨迹是焦点为F(1,0)，准线为x=−1的抛物线，设方程为y2=2px(p>0)则p=2，∴曲线C的方程为y2=4x.(Ⅱ)直线l的方程为：y=x−1，由{y=x−1y2=4x得x2−6x+1=0；设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=6,x1⋅x2=1，∴|AB|=√1+k2|x1−x2|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√2√36−4=8．(Ⅲ)由{y=−x+4y2=4x得x2−12x+16=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=12,x1⋅x2=16，y1y2=(−x1+4)(−x2+4)=x1x2−4(x1+x2)+16，∴x1x2+y1y2=2x1x2−4(x1+x2)+16=2×16−4×12+16=0∴OM⊥ON.【解析】本题考查了轨迹方程、抛物线方程及直线与抛物线关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)结合抛物线的定义，可以得出该曲线是抛物线，即可得出结果．(ⅡI)求出直线方程，联立之后带入两点间的距离公式即可得出结果.本题直线刚好过抛物线的焦点，也可结合抛物线的几何意义求焦点弦．(Ⅲ)同样联立方程组，那么要证OM⊥ON，可以转化为向量点乘为零.即x1x2+y1y2=2x1x2−4(x1+x2)+16= 2×16−4×12+16=0．6.【答案】解：(Ⅰ)S n=3n2+8n，∴n≥2时，a n=S n−S n−1=6n+5，n=1时，a1=S1=11，∴a n=6n+5；∵a n=b n+b n+1，∴a n−1=b n−1+b n，∴a n−a n−1=b n+1−b n−1．∵数列{b n}为等差数列，设公差为d，∴2d=6，∴d=3，∵a1=b1+b2，∴11=2b 1+3，∴b 1=4，∴b n =4+3(n −1)=3n +1．(Ⅱ)c n =(a n +1)n+1(b n +2)n =(6n+6)n+1(3n+3)n =(6n+6)n (6n+6)(3n+3)n=6n (n +1)n (6n +6)3n (n +1)n =6n (6n +6)3n =(2×3)n (6n +6)3n=(2×3)n (6n+6)3n =6(n +1)⋅2n ，∴T n =6[2⋅2+3⋅22+⋯+(n +1)⋅2n ]①，∴2T n =6[2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n +(n +1)⋅2n+1]②，①−②可得−T n =6[2⋅2+22+23+⋯+2n −(n +1)⋅2n+1]=12+6×2(1−2n )1−2−6(n +1)⋅2n+1 =(−6n)⋅2n+1=−3n ⋅2n+2，∴T n =3n ⋅2n+2．【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．(Ⅰ)求出数列{a n }的通项公式，再求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)求出数列{c n }的通项，利用错位相减法求数列{c n }的前n 项和T n ．7.【答案】解：(1)∵等差数列{a n }的公差为d =2，前n 项和为S n ，∴S n =na 1+n(n−1)2d =n 2−n +na 1，∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22=S 1⋅S 4，∴(22−2+2a 1)2=a 1⋅(42−4+4a 1)，化为(1+a 1)2=a 1(3+a 1)，解得a 1=1．∴a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1．(2)由(1)可得b n =(−1)n−14n a n a n+1=(−1)n−1⋅4n (2n −1)(2n +1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)．∴T n =(1+13)−(13+15)+(15+17)−⋯ +(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，T n =(1+13)−(13+15)+(15+17)−⋯ +(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n 2n+1；当n 为奇数时，T n =(1+13)−(13+15)+(15+17)−⋯ −(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于中档题．(1)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；(2)由(1)可得b n =(−1)n−1(12n−1+12n+1)，对n 分类讨论“裂项求和”即可得出． 8.【答案】16【解析】解：(1)∵a 1=2，a n+1=S n ，∴S n+1−S n =S n ，∴S n+1=2S n ，∵S 1=a 1=2，∴数列{S n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n =2n ，∴a n =2n−1，∴a 5=16(2)依题意，b 2=2，b 3=a 3=22=4，所以公差d =b 3−b 2=2，从而b 1=b 2−d =2−2=0，故b n =2(n −1)．∴c n ={0,(n =1)n−12n−2,(n ≥2)， 当n =1时，显然成立；当n ≥2时，T n =0+120+221+322+423+⋯+n−12n−2①所以12T n =0+121+222+323+⋯+n−22n−2+n−12n−1②，①−②得12T n =1+12+122+123+⋯+12n−2−n−12n−1所以T n =2(1+12+122+123+⋯+12n−2)−2(n−1)2n−1=2×1×(1−12n−1)1−12−2(n −1)2n−1 =4−4(n+1)2n ． ∵4(n+1)2n >0对∀n ∈N ∗恒成立，∴T n =4−4(n+1)2<4对∀n ∈N ∗恒成立．(1)根据数列的递推公式可以得到数列{S n }是等比数列，继而求出数列{a n }的通项公式，问题得以解决，(2)先求出数列{b n }的通项公式，再得到数列{c n }的通项公式，根据错位相减法和放缩法即可证明．本题考查了数列的通项公式公式的求法和错位相减法求和，以及放缩法证明不等式成立，属于中档题．。